专题十三 基本不等式及其应用

专题十二 基本不等式及其应用

复习目标：掌握基本不等式的条件、能利用基本不等式解决最值、参数范围、比较大小及实际

问题

知识要点：

定理1、若a ，b R ∈，则22a b 2ab +≥（当且仅当a=b 时取等号）

2、若a ，b R +∈

，则a b 2+≥a=b 时取等号）?若a ，b R +∈，则2a b ab 2

+≤（）（当且仅当a=b 时取等号）

常用结论：①y=b a b a 22a b a b +≥+≤-或

②2a b 112a b

+≤≤≤+（a ，b R +∈ ） 一、【课前热身】

1．若x>0，y>0且182=+

y x ，则xy 有最 小 值为64 2．x<0，当

x=2-时，y=4－2x －x 3

的最小值4+3．设x,y ∈R +,x+y+xy=2，则xy

的最大值为4-

4、若x,a,b ，y 成等差数列， x,c,d ，y 成等比数列，则2

a+b)cd

（的取值范围为(][)04,-∞+∞ ， 5．4

522++=x x y 的最小值是52 二、【例题讲解】

例1．若1x >，则11

x x +

-的最小值是 3 例1：11

x x +-=11131x x -++≥-，当且仅当x=2时取等号； 变式1

：已知20,a >求函数

解：2=

令

t ≥则1t t

+y=

1≥即1a ≥

时，min y

1<即01a <<时，2min y = 变式2：已知(],0,2x x

∈a 函数f(x)=x+，常数0,a >求函数f(x)的最小值。

2即4a ≥时，22

a +min y =

2即04a <<

时，min y =

例2、已知x ，y 为正实数，且x 2y 1+=，（1）求xy 的最大值，及取得最大值时的x ，y 的值；

（2）求11x y

+的最小值； 解：（1）

1=1x 2y 8xy +≥≤

当且仅当221x y x y =??+=?即121

4

x y ?=????=??时，max 18xy = （2）11x y +=(

)112x 2y 33x y x y y x

??++=++≥+ ???当且仅当221x y y x x y ?=???+=?

即x y ?=????=??

时，min 113x y ??+=+ ???变式1：已知x ，y 为正实数，若x y 4+=，则 14x y

+≥m 恒成立的实数m 取值范围是 解：14x y +=(

)(11414x y 195544y x 44

x y x y ????++=++≥+= ? ?????， 故9m 4

≤ 变式2：已知不等式（x y +）1a x y

+（）≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为 解：∵（x y +

）1a y ax a 1a x y x y ++≥++（）=1++

∴1a 9++≥，得a 4≥，即a 的最小值为4

变式3、（1）已知a ，b 是正常数，a ≠b ，x ，y 0∈+∞（，），求证： 222a b a b x y

x y ++≥+（），并指出等号成立的条件;(2)求 491f x)=((0,))x 122

x x +∈-（的最小值，并指出取最小值时x 的值。 解：（1）a ，b ， x ，y 0∈+∞（，） ∴()()222222222a b b x a y x y a b a b 2ab a b x

y y x ??++=+++≥++=+ ??? ∴222a b a b x y x y ++≥+（），当且仅当22b x a y y x

=即x a b y =时取等号。

（2）()8989f x)=2x+122x 122x 12x x x ??+=+- ?--??

（17=+()8129217122x x x x -?+≥+-

当且仅当()81292122x x x x

-?=-即4x =时取等号。 例3、（1）已知直角三角形的周长为定值l ,求此三角形面积的最大值。

(2)已知直角三角形的面积为定值s,求此三角形周长的最小值。

解：（1）设直角三角形两直角边长分别为a ，b ，

则l

∴面积S=22

11

22ab ≤=

(2) 由（1）知l

变式1：若直角三角形的内切圆半径为1，求其面积的最小值. 解：∵11(),22

ab a b c =++

∴ab a b c a b =++≥+≥

2≥，即ab 6≥+

∴S=12

ab 的最小值3+a=b=2。 变式2：若正数a ，b 满足ab=a+b+3，求a+b 的取值范围。 解：法一∵a+b+3=ab 2a+b 2??≤ ???

, ∴

()()21a+b a+b 304

--≥得a+b 6≥ 法二∵a （b-1）= b+3，得b+3a b-1

= 由b+3a 0b-1

=＞且b 0＞得b ＞1

∴b+344a+b +b=+b+1=+b-1+226b-1b-1b-1=≥= 当且仅当b 3a 3

=??=?时取等号

三、【课堂检测】

1．0

时，y=)41(x x -的最大值41 2．已知a>0,b>0，且a+b=1，则

b a 11+的最小值为 4 . 3.给出下列函数：①x x y 1+

=；②)101(lg 1lg <<+=x x x y ；③x x y -+=33；

④)

20(sin 1sin π≤≤+=x x x y ,⑤)y x ∈R ，其中最小值为2的有③④

4．已知x , y 满足10x y ++=,则22x y A =+5、函数)22(244x x x x y --+-+=的最小值是 -2

四、【课堂小结】

本节课复习了基本不等式的应用，要注意应用的条件，同时要灵活运用“1”的代换，以及

注意含参数问题的讨论。

五、【课后作业】

1．已知0,1a b a b <<+=,则将221,2,,2a b ab a +按从小到大的顺序排列得22122

a a

b a b +＜＜＜ 2、若a ＞b ＞1，P ＝

b a lg lg ?，Q ＝21（lg a ＋lg b ），R ＝lg （2b a +），则P 、Q 、R 的大小关系为R Q P ＞＞

3、某产品的产量第一年的增长率为p ，第二年的增长率为q ，设这两年平均增长率为x ，则

2p q x +与的大小关系为2

p q x +≤ 4、某金店用一架不准确的天平（两边臂不等长）称黄金，一顾客要购买10g 黄金，售货员先将5g 的砝码放在左盘，将黄金放在右盘使之平衡后给顾客；然后又将5g 的砝码放在右盘，将另一黄金放在左盘使之平衡后又给顾客，则该顾客所得黄金＞ 10g （填“＞、＜、≥、≤）

5．已知，1,1x y >>且lg lg 4,x y +=则lg lg x y ?的最大值是 4

6．已知33log log 2,m n m n +=+则的最小值是 6

7．已知0,0a b >>且1a b +=，则2211(

1)(1)a b --的最小值是 9 8．设x >0,从不等式12x x +≥和2244322x x x x x +=++≥，启发我们可推广为x +n x

≥( )n +1,则括号内应填写的是n n

9．已知非负实数a ，b 满足2a +3b =1010．若41x -<<，则22222

x x y x -+=-有最大值为-1

11．函数22()(42)(0f x x x x =-<的最大值是 2 .

12、使y x +≤a y x +(x ＞0，y ＞0)恒成立的a 的最小值为

13．设01,0,a a t >≠>且试比较

11log log 22a a t t +与的大小，并证明你的结论. 解：∵12

t t +≥， ∴11a 1log log 22

a a t t +≥当＞时； 11a 1log log 22

a a t t +≤当0＜＜时 14、已知ABC ?内接于单位圆，且(1tan )(1tan )2A B ++=.

⑴求证内角C 为定值 ⑵求ABC ?面积的最大值.

解：⑴∵(1tan )(1tan )2A B ++= 34

π=tan tan tan()11tan tan A B A B A B ++==- 又(0,)A B π+∈，∴4A B π+=

∴C 34

π=（定值） ⑵法一：

（化为边）

2sin 4c R c π=?=

∴222232cos 2224

a b ab a b ab π+-=?++=≥

2ab ?=

∴1sin 2S ab C ==≤

当且仅当a b =

max ()S = 法二：（化为角）

22sin ,2sin()sin sin 4a b a A b A A B π==?==-

111cos 2sin sin()sin 22422A S ab C A A A π-===-=-

1)42

A π=+- 当

A max 1)82

S π

==- 时，( 15、甲、乙两地相距240千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过60千米/时.已知汽车

每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平

方成正比,比例系数为b ；固定部分为a 元.

⑴全程运输成本把y (元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;

⑵为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?

解：⑴2240240a a y bv a)240bv 240bv v v v

=+?=+=+（（），定义域为(]0，60

60y 240≥?时，

222a 240b v a b 60y =240b-v v

-'=（）时，（）

当v y ?'∈ ?时，＜0，函数递减;

当v y ?'∈??时，＞0，函数递增; ∴当v=60时，函数y 有最小值。