广东省深圳市宝安区2014-2015学年高二上学期期末考试理科数学试题

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2014-2015学年第一学期宝安区期末调研测试卷

高二 理科数学

命题：许世清 2015.1

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题

目要求的。

1．已知命题p x R ?∈：，使tan 1x =，则下列关于命题p ?的描述中正确的是

A ．tan 1x R x ?∈≠，使

B ．tan 1x R x ??≠，使

C ．tan 1x R x ?∈≠，使

D ．tan 1x R x ??≠，使

2．在下列函数中,最小值是2的是 A ．x

x y 2

2+=

B ．2

122

2

++

+=

x x y

C ．x

x y sin 1

sin +

= D ．55x x y -+=

3．等差数列{}n a 中，12010=S ，那么65a a +的值是 A ．12

B ．24

C ．36

D ．48

4．空间直角坐标系O xyz -中，已知点B 是点A (3,7,－4)在xOz 平面上的射影，则OB 2等于 A ．(9,0,16) B ．25 C ．5 D ．13

5．在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 所对的边．若A ＝π3，b ＝1，△ABC 的面积为3

2

，则a 的值为

A ．1

B ．2

C ．3

2 D ． 3

6．抛物线24x y =上一点A 的纵坐标为4，则点A 与抛物线焦点的距离为 A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

7．已知x 、y 满足条件??

?

??≤≥+≥+-.3,0,05x y x y x 则2x +4y 的最小值为

A ．-6

B ．6

C ．-12

D ．12

8．设定点1(03)F ,-、2(03)F ,,动点P 满足条件|1PF |a -=

9

a

-|2PF |(0)a >则点P 的轨迹是 A ．椭圆 B ．线段 C ．不存在 D ．椭圆或线段 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分。 9．函数232+-=

x x y 的定义域为 ..

10．一个总体分为甲、乙两层,用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为20的样本.已知乙层中每个个体被

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2

抽到的概率都为

1

9,则总体中的个体数为 . 11．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>

的离心率为2

，则双曲线22221x y a b -=的离心率为 .

12．在空间直角坐标系O xyz -中，已知O (0,0,0)，A (1,2,3)，B (2,1,2)，P (1,1,2)，点Q 在直线OP 上运动，

当QA ·QB 取最小值时，点Q 的坐标是________．

13．设f (x )是定义在R 上恒不为零的函数，对任意x ，y ∈R ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )，若a 1＝12

，a n ＝f (n )(n ∈N *)，

则数列{a n }的前n 项和S n = ________． 14．对于问题：“已知关于x 的不等式02

>++c bx ax 的解集为()2,1-，解关于x 的不等式

02>+-c bx ax ”，给出了如下一种解法：

解析：由02

>++c bx ax 的解集为()2,1-，得()()02

>+-+-c x b x a 的解集为

()1,2-，即关于x 的不等式02>+-c bx ax 的解集为()1,2-.

参考上述解法，若关于x 的不等式

0<++++c x b x a x k 的解集为111,,132?

???-- ? ??

???，则关于x 的不等式01

1

1<++++cx bx ax kx 的解集为 ； 三、解答题.本大题共6小题，满分80分.解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤. 15．（本小题满分12分）

已知2

()(1)1

x f x x x =

>-. （1）求不等式()21f x x >+的解集； （2）求函数()f x 的最小值.

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3

16．（本小题满分12分）

一个多面体的三视图和直观图如图所示，其中M ，N 分别是AB ，SA 的中点．

（1）求直线NB 与MC 所成的角；

（2）求平面SAD 与平面SMC 所成锐二面角的余弦值．

17．（本小题满分14分）

已知函数()23

3x f x x +=

，数列{}n a 满足1111,,n n a a f n N a *+??==∈ ???

. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）令12233445221n n n T a a a a a a a a a a +=-+-+-，求满足60n T ≤-的最小正整数n 的值.

18．（本小题满分14分）

已知抛物线C 的方程为2y 4x =，点()40M ，，过点M 且垂直于x 轴的直线l 交抛物线于A 、B 两点。设P 是抛物线上异于A 、B 的任意一点，PQ y ⊥轴于点Q ，直线PA 、PB 的斜率分别为12,k k . （1）求

PM PQ 的最小值；（2）求证：12

11

k k -为定值，并求出该定值。

19．（本小题满分14分）

已知数列{}n a 中，12a =，23a =，其前n 项和n S 满足

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4

1121n n n S S S +-+=+（2n ≥，*n ∈N ）．

（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设1

4(1)

2(

n

a n n n

b λλ-=+-?为非零整数，*n ∈N ）

，试确定λ的值，使得对任意*

n ∈N ，都有n n b b >+1成立．

20．（本小题满分14分）

在△ABC 中，已知AB=2，AC=1，且2

cos 22sin

12

B C

A ++=. （1）求角A 的大小和BC 边的长；

（2）若点P 在△ABC 内运动（含边界），且点P 到三边距离之和为d 。设点P 到边BC CA ，的距离为分

别为,x y ，试用,x y 表示d ，并求d 的取值范围.

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宝安区2014-2015学年度高二上学期期末考试

理科数学答案及评分标准

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分 CDBB DDAD

二、填空题：每小题5分，满分30分。 9.(][)+∞∞-,21, . 10.180

12.????43，43，83 13.1

1()2

n

- 14.(3,1)

(1,2)--

三、解答题.本大题共6小题，满分80分。 15.（本小题满分12分）

解：（1）由()21f x x >+得：

2

211

x x x >+-， 整理得：2

10x x --<，…………………………………………3分

x <<

……………………………………5分 又

1x >

，所以不等式的解集为：………………6分 （2）设1x t -=，1,0,x t >∴>且1x t =+.………………7分

22(1)211()224t t t f x t t t t +++∴===++≥=……11分

当且仅当1t =即2x =时取“=”号，故()f x 的最小值为4.……12分 16．（本小题满分12分）

解：(1)证明：如图，建立空间直角坐标系，则

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D (0,0,0)，A (1,0,0)，B (1,1,0)，C (0,1,0)，S (0,0,2)，………………1分 M ????1，12，0，N ????1

2，0，1， ∴CM ＝?

???1，－1

2，0， BN ＝????－1

2，－1，1，………………………………………………3分 ∴CM ·BN ＝1×????－12＋????－1

2×(－1)＋0×1＝0，

∴CM ⊥BN ，即直线NB 与MC 所成的角为900.………………………6分 (2)易知平面SAD 的一个法向量是

DC ＝(0,1,0)，…………………………………………………………5分

设平面SMC 的法向量为n ＝(a ，b ，c )， 又SM ＝????1，1

2，－2，SC ＝(0,1，－2)， 即?????

a ＋12

b －2

c ＝0，

b －2

c ＝0，

令c ＝1，则b ＝2，a ＝1，故取n ＝(1,2,1)，……………………8分

于是cos 〈DC ，n 〉＝DC ·n |DC ||n |

＝26＝63.

故平面SAD 与平面SMC 所成角的余弦值为6

3

.……………………12分 17. （本小题满分14分）

解：（1）因为123

2312

333n n n n n n

a a a f a a a ++??+====+ ???

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所以{}n a 是以

23为公差的等差数列，又11,a =所以21

33

n a n =+.…………6分 （2）12233445221n n n T a a a a a a a a a a +=-+-+

-

=()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+-+-++-

=()2424

3

n a a a -

+++ …………………………………………10分

=541433332n n ??++? ???-?=()2

4239

n n -+………………………………12分

由60n T ≤得：()24

23609

n n -

+≤-， 2231350n n ∴+-≥，且0n >，解得：15

2

n ≥

， 故n 的最小值为8.………………………………………………………………14分 18. （本小题满分14分）

解：（1）设00(,)P x y ，则200y 4x =

()2

222

0000222004416x y x x PM PQ x x -+-+===2

004161x x -+=2

0413

24

x ??-+ ???…………4分 所以，当0412x =时，即08x =时，22min 34PM PQ ??= ???

，故min 2PM PQ ??= ???。……7分 （2）联立244

y x x ?=?=?，得44x y =??=±?，所以()()4,4,4,4A B -…………9分

则

()()00002120000

84844411

24416164x x x x k k y y y x -----=-===-----为定值。…………14分 19. （本小题满分14分）

解：（1）由已知，()()111n n n n S S S S +----=（2n ≥，*

n ∈N ），

即11n n a a +-=（2n ≥，*

n ∈N ），且211a a -=． ∴数列{}n a 是以12a =为首项，公差为1的等差数列．

∴1n a n =+．…………………………………………………………5分

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（2）∵1n a n =+，∴114(1)2n n n n b λ-+=+-?，要使n n b b >+1恒成立，

∴()()1

12

114412120n

n n n n n n n b b λλ-++++-=-+-?--?>恒成立，

∴()

1

1343120n n

n λ-+?-?->恒成立，

∴()

1

112n n λ---<恒成立． …………………………………………7分

（ⅰ）当n 为奇数时，即1

2

n λ-<恒成立，

当且仅当1n =时，1

2n -有最小值为1，

∴1λ<． …………………………………………………………10分 （ⅱ）当n 为偶数时，即1

2

n λ->-恒成立，

当且仅当2n =时，1

2

n --有最大值2-，

∴2λ>-．

即21λ-<<，又λ为非零整数，则1λ=-．……………………13分

综上所述，存在1λ=-，使得对任意*

n ∈N ，都有1n n b b +>．…………14分

20. （本小题满分14分） （1）因为2

cos 22sin

12

B C

A ++=，所以()cos2cos 0A

B

C -+=， 即2

2cos cos 10A A +-=，解得1cos cos =12

A A =-或，……………………2分

又()0A π∈，，所以=

3

A π

，……………………………………………………4分

由余弦定理得：BC 分 （2）设点P 到AB 边的距离为z ，则

(

)

1

22

ABC

PBC

PCA

PAB

S

S

S

S

y z =++=

++

又12

ABC

S

BC CA =

?=所以

)

122

y z ++=

)

12z y =

-.

………………………………8分

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故(

1

22d x y z x y ?=++=++?，又x y 、

满足)

001

02

x y y ?

?≥?≥???-≥?，

……………………………10分 由线性规划知识得d

的取值范围是?.………………………………………14分