2018最新版本(人教B版)必修五学案：第二章 2.2.1 等差数列(二)-含答案

2.2.1 等差数列(二)

[学习目标] 1.能根据等差数列的定义推出等差数列的重要性质.2.能运用等差数列的性质解决有关问题．

[知识链接]

在等差数列{a n }中，若已知首项a 1和公差d 的值，由通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 可求出任意一项的值，如果已知a m 和公差d 的值，有没有一个公式也能求任意一项的值？由等差数列的通项公式能得到等差数列的哪些性质？

[预习导引]

1．等差数列的图象

等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d ，当d ＝0时，a n 是关于n 的常函数；当d ≠0时，点(n ，a n )分布在以d 为斜率的直线上，是这条直线上的一列孤立的点．

2．等差数列的项与序号的关系

(1)等差数列通项公式的推广：在等差数列{a n }中，已知a 1，d, a m, a n (m ≠n )，则d ＝a n －a 1n －1

＝a n －a m n －m

，从而有a n ＝a m ＋(n －m )d . (2)项的运算性质：在等差数列{a n }中，若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q .

3．等差数列的性质

(1)等差数列的项的对称性

在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和．即a 1＋a n ＝a 2＋a

n －1＝a 3＋a n －2＝….

(2)若{a n }、{b n }分别是公差为d ，d ′的等差数列，则有

(3){a n }n 为递增数列；n 为递减数列；n }为常数列.

要点一 等差数列性质的应用

例1 (1)已知等差数列{a n }中，a 2＋a 6＋a 10＝1，求a 4＋a 8.

(2)设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，求a 11＋a 12＋a 13的值． 解 (1)方法一 根据等差数列的通项公式，得a 2＋a 6＋a 10＝(a 1＋d )＋(a 1＋5d )＋(a 1＋9d )＝3a 1＋15d .

由题意知，3a 1＋15d ＝1，即a 1＋5d ＝13

. ∴a 4＋a 8＝2a 1＋10d ＝2(a 1＋5d )＝23

. 方法二 根据等差数列性质a 2＋a 10＝a 4＋a 8＝2a 6.

由a 2＋a 6＋a 10＝1，得3a 6＝1，解得a 6＝13，∴a 4＋a 8＝2a 6＝23

. (2){a n }是公差为正数的等差数列，设公差为d ，

∵a 1＋a 3＝2a 2，

∴a 1＋a 2＋a 3＝15＝3a 2，∴a 2＝5，

又a 1a 2a 3＝80，∴a 1a 3＝(5－d )(5＋d )＝16?d ＝3或d ＝－3(舍去)，

∴a 12＝a 2＋10d ＝35，a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝105.

规律方法 解决本类问题一般有两种方法：一是运用等差数列{a n }的性质：若m ＋n ＝p ＋q ＝2w ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ＝2a w (m ，n ，p ，q ，w 都是正整数)；二是利用通项公式转化为数列的首项与公差的结构完成运算，属于通性通法，两种方法都运用了整体代换与方程的思想． 跟踪演练1 在等差数列{a n }中：

(1)若a 3＝5，则a 1＋2a 4＝________；

(2)若a 1＋a 2＋a 3＝－24，a 18＋a 19＋a 20＝78，则a 1＋a 20

等于________．

答案 (1)15 (2)18

解析 (1)a 1＋2a 4＝a 1＋(a 3＋a 5)＝(a 1＋a 5)＋a 3＝2a 3＋a 3＝3a 3＝15.

(2)由已知可得(a 1＋a 2＋a 3)＋(a 18＋a 19＋a 20)＝－24＋78?(a 1＋a 20)＋(a 2＋a 19)＋(a 3＋a 18)＝54?a 1＋a 20＝18.

要点二 等差数列的设法与求解

例2 三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数．

解 方法一 设等差数列的等差中项为a ，公差为d ，则这三个数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，3a ＝6且a (a －d )(a ＋d )＝－24，所以a ＝2，代入a (a －d )(a ＋d )＝－24，

化简得d 2＝16，于是d ＝±4，故三个数为－2,2,6或6,2，－2.

方法二 设首项为a ，公差为d ，这三个数分别为a ，a ＋d ，a ＋2d ，

依题意，3a ＋3d ＝6且a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24，

所以a ＝2－d ，代入a (a ＋d )(a ＋2d )＝－24，

得2(2－d )(2＋d )＝－24,4－d 2＝－12，

即d 2＝16，于是d ＝±4，三个数为－2,2,6或6,2,－2.

规律方法 利用等差数列的定义巧设未知量可以简化计算．一般地有如下规律：当等差数列{a n }的项数n 为奇数时，可设中间一项为a ，再以公差为d 向两边分别设项：…a －2d ，a －d ，a ，a ＋d ，a ＋2d ，…；当项数为偶数项时，可设中间两项为a －d ，a ＋d ，再以公差为2d 向两边分别设项：…a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d ，…，这样可减少计算量．

跟踪演练2 四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数． 解 方法一 设这四个数为a －3d ，a －d ，a ＋d ，a ＋3d (公差为2d )，

依题意，2a ＝2，且(a －3d )(a ＋3d )＝－8，

即a ＝1，a 2－9d 2＝－8，

∴d 2＝1，∴d ＝1或d ＝－1.又四个数成递增等差数列，所以d >0，∴d ＝1，

故所求的四个数为－2,0,2,4.

方法二 若设这四个数为a ，a ＋d ，a ＋2d ，a ＋3d (公差为d )，

依题意，2a ＋3d ＝2，且a (a ＋3d )＝－8，把a ＝1－32

d 代入a (a ＋3d )＝－8， 得(1－32d )(1＋32

d )＝－8， 即1－94

d 2＝－8， 化简得d 2＝4，所以d ＝2或－2.

又四个数成递增等差数列，