完成问题与二次函数

实际问题与二次函数（探究3）

教学目标

一、知识与技能

能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能用二次函数的知识解决问题。

二、过程与方法

经过探索“抛物线拱桥水面宽度问题”的过程获得利用数学方法解决实际问题的经验，提高数学思维品质。

三、情感态度与价值观

1、通过拱桥、跳绳、投蓝球图片的欣赏，感受在生活中处处存在数学，激发学习热情。

2、体会二次函数是某些实际问题的数学模型，体验数学的应用价值，培养学生探究意识，树立人生的自信心。

教学重点、难点

重点：

利用二次函数解决拱桥问题

难点：

建立二次函数数学模型

教学过程

一、创设情境

1、欣赏下面的图片

①拱桥②跳绳③投篮球

问：这三幅图片是什么形状？

（设计意图：为学生能够积极主动投入到探索活动中创设情境，激发学习热情同时为探索二次函数的实际应用提供背景材料）

二、合作交流

探究（教材探究3）

1、展示问题

如图：一抛物线形拱桥，当水面在L 时拱顶离水面2m ，水宽4m ，若水面下降1m 水面宽度增加多少？

2、分析问题

（1）怎样建立适当的平面直角坐标系？

（2）如何设抛物线的二次函数解析式？

（y=ax 2）

（3）根据题意写出对应的线段长，点的坐标？

（AB=4,AE=BE=2 A(-2,-2) B(2,-2)）

（4）求出抛物线的解析式？ 21()2

y X =- （5）水面下降1m 的含义是什么？

（下降1m 时，水面的纵坐标为y=-3）

（6）如何求宽度增加多少？

当水面下降1m 进，水面的宽是多少？即y=-3时，求出点C ，D 的横坐标。（设计意图通过对实际问题转化为数学问题，让学生体会数学建模思想）

3、解决问题

解：建立如图所示的平面直角坐标系

设抛物线表示的二次函数解析式为y=ax 2

意题知：OE=2，AB=4，AE=BE=2

∴A(-2，-2) B （2，-2）

∵这条抛物线经过B （2，-2）

∴-2=a ×22 ∴a=-12 ∴这条抛物线为212

y X =-

y x o y x

o A B C D E OF

当水面下降1m 时，水面的纵坐为y=-3，

这时有-3=212

X -

x =∴X 1

∴水面宽度为

∴水下降1m 时，水面的宽度增加了（

）m 。

设计意图：通过实际问题的解决，并对解决方法进行反思，获得解决问题的经验，感受数学的价值。

三、巩固练习：

跳绳时，绳甩到最高处时形状是抛物线，正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距AB 为6米，到地面的距离AO 和BD 均为0.9米，身高为1.4米的小丽站在距点O 的水平距离为1米的点F 处，绳子甩到最高处时刚好通过她的头顶点E ，以点O 为原点建立如图的平面直角坐标系，设此抛物线的解析式为y=ax2+bx+0.9.

(1)求该抛物线的解析式；

(2)如果小华站在OD 之间，且离点O 的距离为3米，当绳子甩到最高处时刚好通过他的头顶，请你算出小华的身高；

四、师生小结

（1）运用二次函数解决实际问题的一般步骤；

①审题，弄清已知和未知.

②将实际问题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系（建立数学模型）.

③结合数学模型，根据题意找出点的坐标，求出抛物线的解析式.

④分析图象（注意变量的取值范围），解决实际问题.

⑤数形结合的思想运用.

（2）你对本节课有什么疑惑？说给老师或同学听听.

布置作业

一位运动员在距篮下4m 处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m 时，达到大高度3.5m ，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.

（1）求抛物线的函数关系式；

（2）该运动员身高1.8m ，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m 处出手，问：球出手时，她跳离地面的高度是多少？

板书设计

一、情景引入

二、合作探究（教材探究2）

1、展示问题

2、分析问题

3、解决问题

三、巩固练习

1、师生小结

2、布置作业

二次函数(旋转-折叠)

二次函数综合训练（折叠，旋转，对称，平移） 1、已知抛物线y=x2+bx+c经过A（1，0），B（0，2）两点，顶点为D．（1）求抛物线的解析式；（2）将△OAB绕点A顺时针旋转90°后，将B落到点C的位置，将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式．（3）设（2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为B1，顶点为D1，若点N在平移后的抛物线上，且满足△NBB1的面积是△ND D1面积的2倍，求点N的坐标．

2、如图，已知点A（-2，4）和点B（1，0）都在抛物线y=m x2+2mx+n上．（1）求m、n；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A的对应点为A′，点B的对应点为B′，若四边形AA′B′B为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）试求出菱形AA′B′B的对称中心点M的坐标．

3、把边长分别为4和6的矩形ABCO如图放在平面直角坐标系中，将它绕点C顺时针旋转a 角，旋转后的矩形记为矩形EDCF．在旋转过程中，（1）如图①，当点E在射线CB上时，E点坐标为；（2）当△CBD是等边三角形时，旋转角a的度数是（a为锐角时）；（3）如图②，设EF与BC交于点C，当EC=CG时，求点G的坐标；（4）如图③，当旋转角a=90°时，请判断矩形EDCF的对称中心H是否在以C为顶点，且经过点A的抛物线上．

4、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A（3，0），C（0，1）．将矩形OABC绕原点逆时针旋转90°，得到矩形OA′B′C′．设直线BB′与x轴交于点M、与y轴交于点N，抛物线y=a x2+bx+c的图象经过点C′、M、N．解答下列问题：（1）求出该抛物线所表示的函数解析式；（2）将△MON沿直线BB′翻折，点O落在点P处，请你判断点P是否在该抛物线上，并请说明理由；（3）将该抛物线进行一次平移（沿上下或左右方向），使它恰好经过原点O，求出所有符合要求的新抛物线的解析式．

二次函数翻折问题

二次函数专题 ——之体会翻折之美投石问路：已知函数 y x 24x3 （1）试写出分段函数的解析式（2）求出 y 随 x 增大而增大的自变量取值范围。 1.已知，二次函数y - x2bx c 的图像过点A（1，0）和C（0，2）（1）求二次函数的表达式及对称轴（2）将二次函数 y - x 2bx c 的图像在直线y=1 上方的部分沿直线y=1 翻折，图像其余的部分保持不变，得到的新函数图象记为G，点 M （m，y1）在图像 G 上，且 y1≥0，求m的取值范围。 y O X

2.抛物线y x22mx m2 4 与x轴交于A,B两点（A点在B点的左侧），与y轴交于点C，抛物线的对称轴为 x=1. （1）求抛物线的表达式（2）若 CD ∥x 轴，点 D 在点 C 的左侧， CD= 1 AB, 求点 D 的坐标 2 （ 3）在（ 2）的条件下，将抛物线在直线x=t 右侧的部分沿直线 x=t 翻折后的图像记为 G，若图像 G 与线段 CD 有公共点，请直接写出t 的取值范围 y y O X O X

3.在平面直角坐标系xoy 中，抛物线C1 : y x 2bx c 经过点C（2，-3）,且与x轴的一个交点为 B （ 3， 0）（ 4）求抛物线C1的表达式（ 5） D 是抛物线C1与 x 轴的另一个交点，点 E 的坐标为（ m， 0），其中 m＞ 0，△ ADE 的面积为21 。4 ①求m的值 ②将抛物线C1向上平移n 个单位，得到抛物线C2，若当0≤x≤m时，抛物线 C2与 x 轴只有一个公共点，结合函数的图像，求n 的取值范围。 y y O X O X

二次函数与几何综合--面积问题

二次函数与几何综合--面积问题知识点睛 1.“函数与几何综合”问题的处理原则：_________________，__________________． 2.研究背景图形：①研究函数表达式．二次函数关注____________，一次函数关注__________ ． 2___________________________．找特殊图形、特殊位置关系，寻求边长和角度信息． 3．二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积——铅垂法： ②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．例题示范例1：如图，抛物线y =ax 2+2ax -3a 与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点 B 的左侧），与y 轴交于点 C ，且OA =OC ，连接AC ．（1）求抛物线的解析式．（2）若点P 是直线AC 下方抛物线上一动点，求△ACP 面积的最大值．（3）若点E 在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F ，使以A ，B ， E ， F 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．第一问：研究背景图形【思路分析】读题标注，注意到题中给出的表达式中各项系数都只含有字母a ，可以求解A (-3，0)，B (1，0)，对称轴为直线x =-1；结合题中给出的OA =OC ，可得C (0，-3)，代入表达式，即可求得抛物线解析式．再结合所求线段长来观察几何图形，发现△AOC 为等腰直角三角形．【过程示范】解：（1）由2 23y ax ax a =+-(3)(1) a x x =+-可知(30)A -，，(10)B ，， ∵OA OC =， ∴(03)C -，，将(03)C -，代入2 23y ax ax a =+-，第二问：铅垂法求面积【思路分析】（1）整合信息，分析特征：由所求的目标入手分析，目标为S △ACP 的最大值，分析A ，C 为定点，P 为动点且P 在1()2 APB B A S PM x x =??-△

二次函数顶点式图像特点

二次函数顶点式图像及其特点教学设计【教材】人教版九年级 22.1 二次函数的图象及其特点（第4课时）【教学对象】九年级学生【授课教师】珠海市斗门区城南学校孔志坚【教材分析】本节的学习内容是在前面学过二次函数的概念和二次函数y=ax 2、y=ax 2+h 的图像和性质的基础上，运用图像变换的观点把二次函数y=ax 2的图像经过一定的平移变换，而得到二次函数y=a(x-h)2+k (h ≠0，k ≠0)的图像。二次函数是初中阶段所学的最后一类最重要、图像性质最复杂、应用难度最大的函数，是学业达标考试中的重要考查内容之一。教材中主要运用数形结合的方法从学生熟悉的知识入手进行知识探究。这是教学发现与学习的常用方法，同学们应注意学习和运用。另外，在本节内容学习中同学们还要注意 “类比”前几节的内容学习，在对比中加强联系和区别，从而更深刻的体会二次函数的图像和性质。【教学目标】 ◇ 知识技能（1）会用描点法画出二次函数 ()2 h x a y -= 、()k h x a y +-=2 的图象，通过图象了解它们的图象特征和性质．（2）观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质，通过对比发现它们之间的关系。 ◇过程与方法（1）在用描点法画出二次函数的图象过程中，体会数形结合的思想；（2）通过观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质，通过对比发现图像之间的关系，发展数学的化归思维；（3）在探究活动中，学会与人合作并能与他人交流思想的过程和探究的结果。 ◇情感态度与价值观（1）通过画二次函数的图象，感受数学美，激发学习热情；（2）在探究活动中，培养学生的合作交流意识和探索精神。【教学重点】观察图象，得出上述二次函数的图象特征和性质【教学难点】观察对比图象发现它们之间的关系【教学方法】引导探索、讨论交流【教学手段】PPT 、几何画板【教学过程设计】一、教学流程安排

中考试题研究：二次函数与折叠问题

数学专题：二次函数与折叠问题一﹑中考热点展望：二次函数是中学数学中的重要内容，也是中考的必考内容，确定二次函数解析式以及顶点坐标及其他最值问题、开口方向问题、与其有关的存在型探究性问题是中考考查的“热点”；利用二次函数图象的性质求最值问题则是近几年我市的“高频”考点．近年来，平面直角坐标系中的折叠问题作为各地市中考压轴题的比重逐年增加．对折叠问题，学生并不陌生，但在直角坐标系中讨论，势必涉及函数的解析式和点的坐标，难度加大了，综合性增强了，凸显数形结合的思想，故而受到青睐．由此我们认为二次函数与折叠问题有可能成为我市今年中考的一个命题方向。二﹑考点动向：折叠问题在教材中有所体现，符合中考试题源于课本高于课本的基本命题理念，同时，折叠问题既可以考查学生的空间想象能力，也考查学生的动手能力及比较等思维方式。折叠问题与二次函数结合命题，既能使两者的知识点有机的柔和，又能提升试题档次，考察学生综合应用知识的能力。通过我们对近几年各地市此类试题的解读，我们认为从设计意图上来看，试题类型可以分为两类：⑴是以折叠为背景渗透柔和二次函数的知识，⑵以二次函数为背景渗透柔和折叠的知识三﹑解题技巧与应考策略：解决这类问题首先应对往年真题做出一些实质性的解读，真正感悟中考数学怎样考?考什么?要应用哪些知识点？怎样应用？以便我们指导学生如何解答此类题目，使学生不殊头，不怯考。用到的知识点主要有轴对称性质﹑勾股定理﹑特殊图形的性质﹑相似﹑函数性质等。这类问题解决的思考应突出以下几点：①把背景图形研究清楚；②充分注意折叠的两部分全等，对称轴是任意对称两点连线的垂直平分线；③充分利用轴对称的性质和勾股定理；④动手折叠与想象相结合；⑤找准特殊图形，用好特殊图形的性质；⑥能发现图形中的一些特殊量，如特殊角，特殊关系等。四﹑典例解读：㈠以折叠为背景渗透柔和二次函数的知识：例题1：对称轴不明确：（07宁德）已知：矩形纸片ABCD 中，26AB =厘米，18.5BC =厘米，点E 在AD 上，且6AE =厘米，点P 是AB 边上一动点．按如下操作：步骤一，折叠纸片，使点P 与点E 重合，展开纸片得折痕MN （如图1所示）；步骤二，过点P 作PT AB ⊥，交MN 所在的直线于点Q ，连接QE （如图2所示）（1）无论点P 在AB 边上任何位置，都有PQ _________QE （填“>”、“=”、“<”号）；（2）如图3所示，将纸片ABCD 放在直角坐标系中，按上述步骤一、二进行操作： ①当点P 在A 点时，PT 与MN 交于点11Q Q ，点的坐标是（_______，_________）； ②当6PA =厘米时，PT 与MN 交于点22Q Q ，点的坐标是（_______，_________）； ③当12PA =厘米时，在图3中画出MN PT ，（不要求写画法），并求出MN 与PT 的交点3Q 的坐标；

销售问题(二次函数的应用)

二次函数的应用——销售问题知识回顾： 1．抛物线21 (2)12 y x = ++的顶点坐标是，当x ＝时，y 有最值为。 2．抛物线()2 254y x =--+的顶点坐标是，当x ＝时，y 有最值为。 3．抛物线2 247y x x =-++的顶点坐标是，当x ＝时，y 有最值为。例1：某超市销售一种商品，成本是每千克40元，规定每千克售价不低于成本，且不高于80元，经市场调查发现：每天销售量y （千克）与每千克售价x （元）满足一次函数关系，部分数据如下表： ⑴求y 与x 之间的函数关系式： ⑵设商品每天的总利润为W （元），求W 与x 之间的函数关系式： ⑶试说明⑵中总利润W 随售价x 的变化而变化的情况，并指出售价为多少元时获得最大利润，最大利润是多少练习： 1．汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25万元，经市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周售出8辆，而当销售价每降低万元时，平均每周能多售出4辆，如果设每辆汽车降价x 万元，每辆汽车的销售利润为y 万元。（销售利润＝销售价－进货价） ⑴求y 与x 的函数关系式；在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范围； ⑵假设这种汽车平均每周的销售利润为Z 万元，试写出Z 与x 的函数关系式； ⑶当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大最大利润是多少 2．李经理按市场价格30元/千克收购了一种可食用的野生菌1000千克存入冷库中，据预测，该野生菌的市场价将以每天每千克上涨1元；但冷库存放这种野生菌时每天需要支付各种费

用合计310元，而且这类野生菌在冷库中最多可保存160天，同时，平均每天有3千克的野生菌损坏而不能出售。 ⑴设x天后每千克该野生菌的市场价为y元，试写出y与x的函数关系式及x的取值范围； ⑵若存放x天后，将这批野生菌一次性出售，设出售这批野生菌获得的利润为W元，试写出 W与x的函数关系式；（利润＝销售额－收购成本－各种费用） ⑶将这批野生菌存放多少天后出售可获得最大利润最大利润是多少 3．某商店经营一组小商品，规定销售单价不得低于成本单价，且获利不得高于100%。已知该商品进价为40元，据市场调查，销售单价是80元时平均每天销售量是100件，而销售价每降低1元，平均每天就可以多售出10件。 ⑴假定每件商品降价x元，商店每天销售y件，写出y与x的函数关系式，并写出x的取值范围； ⑵每件小商品销售价是多少元时，商店每天销售这种小商品的利润最大最大利润是多少 4．某饮料经营部每天的固定成本为 200元，其销售的饮料每瓶进价为5 元。销售单价与日平均销售量的关系如下表： ⑴若销售单价比每瓶进价多x元（x为正整数），则销售量为瓶（用含x的式子表示） ⑵求日平均利润（利润＝售价－进价－固定成本）y与x的函数关系式； ⑶若要使日平均利润达到1400元，则销售单价应定为多少元 ⑷若要使日平均利润达到最大，销售单价应定为多少元最大日平均利润是多少

二次函数与几何综合(有答案)中考数学压轴题必做(经典)

二次函数与几何综合
题目背景
07 年课改后，最后一题普遍为抛物线和几何结合（主要是与三角形结合）的代数几何综合题，计算量较大。几何题可能想很久都不能动笔，而代数题则可以想到哪里写到哪里，这就让很多考生能够拿到一些步骤分。因此，课改之后，武汉市数学中考最后一题相对来说要比以前简单不少，而这也符合教育部要求给学生减轻负担的主旨，因此也会继续下去。要做好这最后一题，主要是要在有限的时间里面找到的简便的计算方法。要做到这一点，一是要加强本身的观察力，二是需要在平时要多积累一些好的算法，并能够熟练运用，最后就是培养计算的耐心，做到计算又快又准。
题型分析
题目分析及对考生要求（1）第一问通常为求点坐标、解析式：本小问要求学生能够熟练地掌握待定系数法求函数解析式，属于送分题。（2）第二问为代数几何综合题，题型不固定。解题偏代数，要求学生能够熟练掌握函数的平移，左加右减，上加下减。要求学生有较好的计算能力，能够把题目中所给的几何信息进行转化，得到相应的点坐标，再进行相应的代数计算。（3）第三问为几何代数综合，题型不固定。解题偏几何，要求学生能够对题目所给条件进行转化，合理设参数，将点坐标转化为相应的线段长，再根据题目条件合理构造相似、全等，或者利用锐角三角函数，将这些线段与题目构建起联系，再进行相应计算求解，此处要求学生能够熟练运用韦达定理，本小问综合性较强。
在我们解题时，往往有一些几何条件，我们直接在坐标系中话不是很好用，这时我们需要对它进行相应的条件转化，变成方便我们使用的条件，以下为两种常见的条件转化思想。 1、遇到面积条件：a.不规则图形先进行分割，变成规则的图形面积；b.在第一步变化后仍不是很好使用时，根据同底等高，或者等底同高的三角形面积相等这一性质，将面积进行转化；c.当面积转化为一边与坐标轴平行时，以这条边为底，根据面积公式转化为线段条件。 2、遇到角度条件：找到所有与这些角相等的角，以这些角为基础构造相似、全等或者利用锐角三角函数，转化为线段条件。
二次函数与三角形综合
【例1】. （2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C1：y= x2﹣2 的顶点，点 B 的坐标为（1，
0）直线 AB 交抛物线 C1 于另一点 C

与二次函数有关的动点问题

与二次函数有关的动点问题 1. 已知O为坐标原点，抛物线y1＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于点A(x1，0)，B(x1，0)．与y轴交于点C，且O，C两点之间的距离为3，x1?x2＜0，|x1|＋|x2|＝4，点A，C在直线y2＝－3x2＋t上． (1)求点C的坐标； (2)当y1随着x的增大而增大时，求自变量x的取值范围； (3)将抛物线y1向左平移n(n＞0)个单位，记平移后y随着x的增大而增大的部分为P，直线y2向下平移n 个单位，当平移后的直线与P有公共点时，求2n2－5n的最小值． 2.如图，关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）和点B与y轴交于点C（0，3），抛物线的对称轴与x轴交于点D．（1）求二次函数的表达式；（2）在y轴上是否存在一点P，使△PBC为等腰三角形？若存在．请求出点P的坐标）；（3）有一个点M从点A出发，以每秒1个单位的速度在AB上向点B运动，另一个点N从点D与点M同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点M到达点B时，点M、N同时停止运动，问点M、N运动到何处时，△MNB面积最大，试求出最大面积．１

3.如图，已知直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于A，B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A，B两点，点P在线段OA上，从点O出发，向点A以1个单位/秒的速度匀速运动；同时，点Q在线段AB上，从点A出发，向点B 以个单位/秒的速度匀速运动，连接PQ，设运动时间为t秒．（1）求抛物线的解析式；（2）问：当t为何值时，△APQ为直角三角形；（3）过点P作PE∥y轴，交AB于点E，过点Q作QF∥y轴，交抛物线于点F，连接EF，当EF∥PQ时，求点F的坐标；（4）设抛物线顶点为M，连接BP，BM，MQ，问：是否存在t的值，使以B，Q，M为顶点的三角形与以O，B，P为顶点的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 4.(14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+与x轴交于A（﹣3，0），B（1，0）两点．与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对称．（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B匀速运动，到达点B时停止运动．以AP为边作等边△APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，△APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M、O、A为顶点的三角形与△AOC相似．请直接写出所有符合条件的点M坐标．２

二次函数与几何分类总结

二次函数与几何综合 1，二次函数图像问题 1．（2010湖北十堰）如图，点C 、D 是以线段AB 为公共弦的两条圆弧的中点，AB =4，点E 、 F 分别是线段CD ，AB 上的动点，设AF =x ，AE 2－FE 2=y ，则能表示y 与x 的函数关系的图象是（） 2．（2010 重庆江津）如图，等腰Rt △ABC （∠ACB ＝90o）的直角边与正方形DEFG 的边长均为2，且AC 与DE 在同一直线上，开始时点C 与点D 重合，让△ABC 沿这条直线向右平移，直到点A 与点E 重合为止．设CD 的长为x ，△ABC 与正方形DEFG 重合部分（图中阴影部分）的面积为y ，则y 与x 之间的函数关系的图象大致是（）（第10题） C D E F A B O x y 4 4 O x y 4 4 B ． O x y 4 4 C ． O x y 4 4 D ．（第10题分析图） C D E F A B P

3．（2010广西南宁）如图3，从地面竖立向上抛出一个小球，小球的高度h （单位：m ）与小球运动时间t （单位：s ）之间的关系式为2 530t t h -=，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是：（A ）6s （B ）4s （C ）3s （D ）2s 4．（2010山东日照）如图，小明在一次高尔夫球争霸赛中，从山坡下O 点打出一球向球洞A 点飞去，球的飞行路线为抛物线，如果不考虑空气阻力，当球达到最大水平高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA 与水平方向OC 的夹角为30o ，O 、A 两点相距83米．（1）求出点A 的坐标及直线OA 的解析式；（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式；（3）判断小明这一杆能否把高尔夫球从O 点直接打入球洞A 点．

二次函数练习顶点式练习题.doc

二次函数图像和性质练习 1、二次函数y=2x1 2-4的顶点坐标为,对称轴为。 2、二次函数y = -2(x + 3尸—1 由y = -2(x-1)2+1 向平移个单位，再向平移个单位得到。 3、抛物线y = 3(x + 2)2—3可由抛物线y = 3(x + 2)2 +2向平移个单位得到. 4、将抛物线y = -(x-3)2+2向右平移3个单位，再向上平移2个单位， 6 得到的抛物线是 5、把抛物线y = —3 — 1)2 —1向平移个单位，再向平移个单位得到抛物线y = -(x + 2)2-3. 6、抛物线y = l(x + 4)2-7的顶点坐标是_________________ ,对称轴是直 2 线,它的开口向,在对称轴的左侧，即当XV 时, y随x的增大而；在对称轴的右侧，即当x>时，y随x的增大而; 当x=时，y 的值最, 最值是。 7、将抛物线y=3x2向左平移6个单位，再向下平移7个单位所得新抛物线的解析式为。 8、若一抛物线形状与y=-5x2+2相同，顶点坐标是(4, 一2),则其解析式是. 9、两个数的和为8,则这两个数的积最大可以为，若设其中一个数为x,积为y,则y与x的函数表达式为. 10、一根长为100m的铁丝围成一个矩形的框子，要想使铁丝框的面积最大, 边长分别为 . 11、若两个数的差为3,若其中较大的数为x,则它们的积y与x的函数表达式为,它有最值，即当x= 时，y=_ 12、边长为12cm的正方形铁片，中间剪去一个边长为x的小正方形铁片, 剩下的四方框铁片的面积y (cm2)与x (cm)之间的函数表达式为 13、等边三角形的边长2x与面积y之间的函数表达式为

折叠问题与二次函数

几何专题——折叠问题折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；解题时，灵活运用轴对称性质和背景图形性质。轴对称性质-----折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。题型一：根据折叠的性质求角度例1如图1，将矩形纸片ABCD 折叠，使点D 与点B 重合，点C 落在点C′处，折痕为EF ，若∠ABE ＝20°，那么∠EFC′的度数为度．例2 （2011山东泰安）如图2，点O 是矩形ABCD 的中心，E 是AB 上的点，沿CE 折叠后，点B 恰好与点O 重合，若BC =3，则∠ACD= 。例3 （2009湖北省荆门市）如图3，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，∠A =50°，将其折叠，使点A 落在边CB 上A ′处，折痕为CD ，则A DB '∠=（） A 、40° B 、30° C 、20° D 、10° 图1 图2 总结：（1）注意折叠前后的对应角相等；（2）注意折叠图形本身的性质。题型二：根据折叠的性质求线段长度例4 （2012武汉）如图，矩形ABCD 中，点E 在边AB 上，将矩形ABCD 沿直线DE 折叠，点A 恰好落在边BC 的点F 处．若AE=5，BF=3，则CD 的长是（） A 、7 B 、8 C 、9 D 、10 例5 （2012遵义）如图，矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将△ABE 沿BE 折叠后得到△GBE ，延长BG 交CD 于F 点，若CF=1，FD=2，则BC 的长为（） A 、 B 、 C 、 D 、例6 （2009年日照市）将三角形纸片（△ABC ）按如图9所示的方式折叠，使点B 落在边 AC 上，记为点B ′，折痕为EF ．已知AB ＝AC ＝3，BC ＝4，若以点B ′，F ，C 为顶点的三角形与△ABC 相似，那么BF 的长度是．图4 图5 图6 总结：注意勾股定理和三角形相似与折叠问题的结合。图3 A ' B D A C

中考数学每日一练：二次函数的实际应用-销售问题练习题及答案_2020年压轴题版

中考数学每日一练：二次函数的实际应用-销售问题练习题及答案_2020年压轴题版答案答案答案2020年中考数学：函数_二次函数_二次函数的实际应用-销售问题练习题 ~~第1题~~ (2018阳新.中考模拟) 某商店准备进一批季节性小家电，每个进价为40元，经市场预测，销售定价为50元，可售出400个；定价每增加1元，销售量将减少10个．设每个定价增加x 元．（1）写出售出一个可获得的利润是多少元（用含x 的代数式表示）？（2）商店若准备获得利润6000元，并且使进货量较少，则每个定价为多少元？应进货多少个？（3）商店若要获得最大利润，则每个应定价多少元？获得的最大利润是多少？考点：一元二次方程的实际应用-销售问题;根据实际问题列一次函数表达式;二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;二次函数的实际应用-销售问题; ~~第2题~~(2019定兴.中考模拟) 小明大学毕业回家乡创业，第一期培植盆景与花卉各50盆．售后统计，盆景的平均每盆利润是160元，花卉的平均每盆利润是19元．调研发现： ①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元； ②花卉的平均每盆利润始终不变．小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W ， W （单位：元）．（1）用含x 的代数式分别表示W ，W ；（2）当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？考点：一次函数的实际应用;二次函数的实际应用-销售问题;~~第3题~~ (2019嘉兴.中考模拟) 立定跳远是嘉兴市体育中考的抽考项目之一，某校九年级（1），（2 ）班准备集体购买某品牌的立定跳远训练鞋.现了解到某网店正好有这种品牌训练鞋的促销活动，其购买的单价y （元/双）与一次性购买的数量x （双）之间满足的函数关系如图所示. （1）当10≤x ＜60时，求y 关于x 的函数表达式；（2）九（1），（2）班共购买此品牌鞋子100双，由于某种原因需分两次购买，且一次购买数量多于25双且少于60双； ①若两次购买鞋子共花费9200元，求第一次的购买数量； ②如何规划两次购买的方案，使所花费用最少，最少多少元？考点：一元一次不等式的应用;二次函数y=ax^2+bx+c 的性质;二次函数的实际应用-销售问题;~~ 第4题~~ (2019嘉兴.中考真卷) 某农作物的生长率与温度 ( )有如下关系：如图1，当10≤ ≤25 时可近似用函数刻画； 1212

【精品讲义】二次函数一般式、顶点式、交点式

二次函数一般式、顶点式、交点式这节课我们学什么 1. 会用待定系数法求二次函数的解析式； 2. 会平移二次函数2(0)y ax a =≠的图象得到二次函数2()y a x h k =-+的图象；了解特殊与一般相互联系和转化的思想； 3. 根据交点求解解析式．

知识点梳理 1、顶点式：()2y a x h k =-+的图像与性质 2、交点式：12()()y a x x x x =--的图像与性质 1x 、2x 分别是二次函数与x 轴的两个交点坐标，如果二次函数与x 轴的交点坐标已知，则我们可以设解析式为12()()y a x x x x =--，然后再根据条件求出a 即可； 3、一般式2y ax bx c =++的性质对于一般式：2(0)y ax bx c a =++≠，我们怎么能知道二次函数的对称轴以及顶点坐标呢？将一般式配方成顶点式： 2y ax bx c =++=2 ()b c a x x a a ++=22222()44b b b c a x x a a a a ++-+ =222(())()22b b c b a x x a a a a +++- =222424b b ac a x a a -??+= ?? ? 所以，任意二次函数，其对称轴方程为：直线2b x a =-；顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ， 1．当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 2．当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为直线2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；

次函数中的翻折问题

备用图二次函数中的翻折问题 1、．已知关于x 的一元二次方程210x mx m -+-=．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）关于x 的二次函数211y x mx m =-+-的图象1C 经过2(168)k k k --+，和 2(568)k k k -+-+，两点． ①求这个二次函数的解析式； ②把①中的抛物线1C 沿x 轴翻折后，再向左平移2个单位，向上平移8个单位得到抛物线2C ．设抛物线2C 交x 轴于M 、N 两点（点M 在点N 的左侧），点P (a ，b )为抛物线2C 在x 轴上方部分图象上的一个动点.当∠MPN ≤45°时，直接写出a 的取值范围． 2、已知关于x 的一元二次方程0132=-+-k x x 有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个不为0的整数根时，将关于x 的二次函数132-+-=k x x y 的图象向下平移2个单位，求平移后的函数图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数图象位于y 轴左侧的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象G ．当直线5y x b =+与图象G 有3个公共点时，请你直接写出b 的取值范围.

3、关于x 的一元二次方程023)1(32=+++-m x m x ．（1）求证：无论m 为何值时，方程总有一个根大于0；（2）若函数23)1(32+++-=m x m x y 与x 轴有且只有一个交点，求m 的值；（3）在（2）的条件下，将函数23)1(32+++-=m x m x y 的图象沿直线2=x 翻折，得到新的函数图象G ．在x y ，轴上分别有点P (t ，0)，Q (0，2t )，其中0t >，当线段PQ 与函数图象G 只有一个公共点时，求t 的值．

实际问题与二次函数-详解与练习(含答案)

. 初中数学专项训练：实际问题与二次函数（人教版）一、利用函数求图形面积的最值问题一、围成图形面积的最值 1、只围二边的矩形的面积最值问题例1、如图1，用长为18米的篱笆（虚线部分）和两面墙围成矩形苗圃。（1）设矩形的一边长为x （米），面积为y （平方米），求y 关于x 的函数关系式；（2）当x 为何值时，所围成的苗圃面积最大？最大面积是多少？分析：关键是用含x 的代数式表示出矩形的长与宽。解：（1）设矩形的长为x （米），则宽为（18- x ）（米），根据题意，得：x x x x y 18)18(2 +-=-=；又∵180,0 180 ＜x＜x ＞x ＞∴?? ?- （2）∵x x x x y 18)18(2 +-=-=中，a= -1＜0，∴y 有最大值，即当9) 1(218 2=-?-=- =a b x 时，81)1(41804422max =-?-=-=a b ac y 故当x=9米时，苗圃的面积最大，最大面积为81平方米。点评：在回扣问题实际时，一定注意不要遗漏了单位。 2、只围三边的矩形的面积最值例2、如图2，用长为50米的篱笆围成一个养鸡场，养鸡场的一面靠墙。问如何围，才能使养鸡场的面积最大？分析：关键是明确问题中的变量是哪两个，并能准确布列出函数关系式解：设养鸡场的长为x （米），面积为y （平方米），则宽为（2 50x -）（米），根据题意，得：x x x x y 252 1 )250( 2+-=-=；又∵500,02 500 ＜x＜＞x x ＞∴??? ??- ∵x x x x y 2521)250( 2+-=-=中，a=2 1 -＜0，∴y 有最大值，即当25) 2 1(2252=-?- =-=a b x 时，2625) 2 1(42504422max =-?-=-=a b ac y

专题二次函数与几何图形

y A x B O C D 专题：二次函数与几何图形一、二次函数与平行四边形 1．已知抛物线c bx ax y ++=2 )0(≠a 过点A （-3，0），B （1,0），C （0,3）三点 (1)求抛物线的解析式； (2) 若抛物线的顶点为P ，求∠PAC 正切值； (3)若以A 、P 、C 、M 为顶点的四边形是平行四边形，求点M 的坐标. 2．已知一次函数1y x =+的图像和二次函数2 y x bx c =++的图像都经过A 、B 两点，且点A 在y 轴上，B 点的纵坐标为5. （1）求这个二次函数的解析式；（2）将此二次函数图像的顶点记作点P ，求△ABP 的面积；（3）已知点C 、D 在射线AB 上，且D 点的横坐标比C 点的横坐标大2，点E 、F 在这个二次函数图像上，且CE 、 DF 与y 轴平行，当CF ∥ED 时，求C 点坐标. 二、二次函数与相似三角形 3.如图，直线y ＝x ＋3与x 轴、y 轴分别交于点A 、C ，经过A 、C 两点的抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴的负半轴上另一交点为B ，且tan ∠CBO=3．（1）求该抛物线的解析式及抛物线的顶点D 的坐标；（2）若点P 是射线BD 上一点，且以点P 、A 、B 为顶点的三角形与△ABC 相似，求P 点坐标．【2014徐汇区】 1 2345 -1 -1-2 123456 x y O 图8

x y O O N C M B A 4.已知：在直角坐标系中，直线y=x+1与x 轴交与点A ，与y 轴交与点B ，抛物线 21 ()2 y x m n =-+的顶点D 在直线AB 上，与y 轴的交点为C 。（1）若点C （非顶点）与点B 重合，求抛物线的表达式；（2015杨浦区）（2）若抛物线的对称轴在y 轴的右侧，且CD ⊥AB ，求∠CAD 的正切值；（3）在第（2）的条件下，在∠ACD 的内部作射线CP 交抛物线的对称轴于点P ，使得∠DCP=∠CAD ，求点P 的坐标。三、二次函数与特殊三角形（Rt △ 等腰△ 等腰Rt △） 5．如图，已知二次函数y=-x 2 +bx+c （c>0）的图像与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 左侧），与y 轴交于点C ，且OB=OC=3，顶点为M 。（1）求二次函数的解析式。（2）线段BM 上是否存在点N ，使得△NMC 为等腰三角形？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说理。 6.已知二次函数y=ax 2 +bx+c (a ≠0)的图像经过点 (1)求此函数的解析式和对称轴. (2)试探索该抛物线在x 轴下方的对称轴上存在几个点P, 使△PAB 是直角三角形,并求出这些点的坐标.

用顶点式求二次函数解析式

一、用顶点式求二次函数解析式。例题：已知抛物线的顶点为（1,3）经过点（3,0）解：设抛物线的解析式为k h x a y +-=2 )( 把顶点（1,3）代入得：3)1(2+-=x a y 把点（3,0）代入得：03)13(2 =+-a 解得：43 - =a ∴抛物线解析式为：3)1(4 32 +--=x y 练习1：已知抛物线的顶点为（-1,4）经过点（2，-5） 2．已知抛物线y ＝ax 2 经过点A (1，1)．(1)求这个函数的解析式； 3．已知二次函数的图象顶点坐标为(－2，3)，且过点(1，0)，求此二次函数的解析式． 4．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的顶点坐标为(2，4)，且过原点，求抛物线的解析式． 5.已知二次函数为x ＝4时有最小值 -3且它的图象与x 轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式． 6．抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过(0，0)，(12，0)两点，其顶点的纵坐标是3，求这个抛物线的解析式． 7．把抛物线y ＝(x －1)2 沿y 轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q (3，0)，求平移后的抛物线的解析式． 8．已知二次函数m x x y +-=62 的最小值为1，求m 的值． 9．已知抛物线经过A （0，3），B （4,6）两点，对称轴为ｘ＝5 3 ，求这条抛物线的解析式； 10．若一抛物线与x 轴两个交点间的距离为8，且顶点坐标为（1, 5），则它们的解析式为。二、用三个点求二次函数解析式例题：二次函数的图象经过（-1,10），（1,4），（2,7）解：设二次函数的解析式为：c bx ax y ++=2 把点（-1,10），（1,4），（2,7）代入得： ???? ?=++=++=+-724410c b a c b a c b a 解得：??? ??=-==5 32c b a ∴抛物线解析式为：5322 +-=x x y 练习11：二次函数的图象经过（0,0），（-1,-1），（1,9） 12.已知二次函数y=ax 2 ＋bx ＋c ，当 x=0时，y=0；x=1时，y=2；x=-1时，y=1．求a 、b 、c ，并写出函数解析式

(完整版)中考二次函数-动点专题内含答案

模式1：平行四边形分类标准：讨论对角线例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成平行四边形，则可分成以下几种情况（1）当边AB 是对角线时，那么有BC AP // （2）当边AC 是对角线时，那么有CP AB // （3）当边BC 是对角线时，那么有BP AC // 例题1：（山东省阳谷县育才中学模拟10）本题满分14分）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三点. (1)求抛物线的解析式； (2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值； (3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标. 练习：图1，抛物线322 ++-=x x y 与x 轴相交于A 、B 两点（点A 在B 的左侧），与y 轴相交于点C ，顶点为D ．（1）直接写出A 、B 、C 三点的坐标和抛物线的对称轴；（2）连结BC ，与抛物线的对称轴交于点E ，点P 为线段BC 上的一个动点，过点P 作PF //DE 交抛物线于点F ，设点P 的横坐标为m ． ①用含m 的代数式表示线段PF 的长，并求出当m 为何值时，四边形PEDF 为平行四边形？ ②设△BCF 的面积为S ，求S 与m 的函数关系．

模式2：梯形分类标准：讨论上下底例如：请在抛物线上找一点p 使得P C B A 、、、四点构成梯形，则可分成以下几种情况（1）当边AB 是底时，那么有PC AB // （2）当边AC 是底时，那么有BP AC // （3）当边BC 是底时，那么有AP BC // 例题2：已知，矩形OABC 在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A 的坐标为(4,0)，点C 的坐标为)20(-，，直线x y 3 2 -=与边BC 相交于点D ． (1)求点D 的坐标； (2)抛物线c bx ax y ++=2 经过点A 、D 、O ，求此抛物线的表达式； (3)在这个抛物线上是否存在点M ，使O 、D 、A 、M 为顶点的四边形是梯形？若存在，请求出所有符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．练习：已知二次函数的图象经过A （2，0）、C (0，12) 两点，且对称轴为直线x ＝4，设顶点为点P ，与x 轴的另一交点为点B ．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；