2017-2018学年高一上学期期末考试数学试题

一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）

1. 已知集合，，则__________．

【答案】

【解析】因为集合，，所以，故答案为

.

2. 已知幂函数的图象过点，则实数的值是__________．

【答案】

【解析】因为幂函数的图象过点，所以，，故答案为.

3. 函数的定义域是__________．

【答案】

【解析】要使函数有意义，则,解得, 函数的定义域是,故答案为.

4. 若，，三点共线，则实数的值是__________．

【答案】5

【解析】，，三点共线，，即，解得，故答案为.

5. 已知点，，则以线段为直径的圆的标准方程是__________．

【答案】

【解析】，，中点坐标为，圆的半径

以为直径的圆的标准方程为，故答案为.

6. 已知函数是偶函数，则实数的值是__________．

【答案】1

【解析】函数是偶函数，，即，解得，故答案为.

【方法点睛】本题主要考查函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方

法有两个，一是利用：（1）奇函数由恒成立求解，（2）偶函数由

恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性

7. 计算：__________．

【答案】

【解析】，故答案为.

8. 已知一个铜质的实心圆锥的底面半径为6，高为3，现将它熔化后铸成一个铜球（不计损耗），则该铜球的半径是__________．

【答案】3

【解析】设铜球的半径为，则，得，故答案为.

9. 函数的单调减区间是__________．

【答案】

..................

10. 两条平行直线与的距离是__________．

【答案】

11. 下列命题中正确的是__________．（填上所有正确命题的序号）

①若，，则；②若，，则；

③若，，则；④若，，，，则．

【答案】③

【解析】对于①，若，，则与可能异面、平行，故①错误；对于②，若，，

则与可能平行、相交，故②错误；对于③，若，，则根据线面垂直的性质，可知，故③正确；对于④，根据面面平行的判定定理可知，还需添加相交，故④错误，故答案为③.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定与性质、面面平行的性质及线面垂直的性质，属于难题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断，常采用画图（尤其是画长方体）、现实实物判断法（如墙角、桌面等）、排除筛选法等；另外，若原命题不太容易判断真假，可以考虑它的逆否命题，判断它的逆否命题真假，原命题与逆否命题等价.

12. 若关于的方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】设，时，方程只有一个根，不合题意，时，方程

的根，就是函数的零点，方程的一个根在区间上，另一个根在区间上，且只需，即，解得，故答案为.

13. 若方程组有解，则实数的取值范围是__________．

【答案】

【解析】，化为，要使方程组有解，则两圆相交或相切，，即或

，，故答案为.

14. 函数的值域是__________．

【答案】

【解析】由，得，可设，则

，，时取最大值），

函数的值域为，故答案为

.

【方法点睛】本题主要考查函数的定义域，函数的值域的求法，属于难题.求函数值域的常见方法有①配方法：若函数为一元二次函数，常采用配方法求函数求值域，其关键在于正确化成完全平方式，并且一定要先确定其定义域；②换元法：常用代数或三角代换法，用换元法求值域时需认真分析换元参数的范围变化；③不等式法：借助于基本不等式求函数的值域，用不等式法求值域时，要注意基本不等式的使用条件“一正、二定、三相等”；④单调性法：首先确定函数的定义域，然后准确地找出其单调区间，最后再根据其单调性求凼数的值域，⑤图像法：画出函数图像，根据图像的最高和最低点求最值.

二、解答题（本大题共6小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

15. 已知正三棱柱，是的中点．

求证：（1）平面；

（2）平面平面．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）连接，交于点，连结，由棱柱的性质可得点是的中点，根据三角形中位线定理可得，利用线面平行的判定定理可得平面；（2）由正棱柱的性质可得平面，于是，再由正三角形的性质可得，根据线面垂直的判定定理可得平面，从而根据面面垂直的判定定理可得结论.

试题解析：（1）连接，交于点，连结，

因为正三棱柱，

所以侧面是平行四边形，

故点是的中点，

又因为是的中点，

所以，

又因为平面，平面，

所以平面．

（2）因为正三棱柱，所以平面，

又因为平面，所以，

因为正三棱柱，是的中点，

是的中点，所以，

又因为，所以平面，

又因为平面，

所以平面平面．

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直及面面垂直的证明，属于中档题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理，使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面. 本题（1）是就是利用方法①证明的.

16. 已知的一条内角平分线的方程为，其中，．

（1）求顶点的坐标；

（2）求的面积．

【答案】（1）点的坐标为．（2）24

【解析】试题分析：（1）先根据中点坐标公式以及直线垂直斜率的积等于列方程组求出点

关于直线的对称点的坐标，根据两点式或点斜式可得直线的方程，与角平分线

的方程联立可得顶点的坐标；（2）根据两点间的距离公式可得的值，再利用点到直线距离公式可得到直线：的距离，由三角形面积公式可得结果.

试题解析：（1）由题意可得，点关于直线的对称点在直线上，

则有解得，，即，

由和，得直线的方程为，

由得顶点的坐标为．

（2），

到直线：的距离，

故的面积为．

17. 如图，在三棱锥中，平面平面，，，．

（1）求三棱锥的体积；

（2）在平面内经过点，画一条直线，使，请写出作法，并说明理由．

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）取的中点，连接，因为，所以，由面面垂直的性质可得平面，求出的值，利用三角形面积公式求出底面积，从而根据棱锥的条件公式可得三棱锥的体积；（2）在平面中，过点作，交于点，

在平面中，过点作，交于点，连结，则直线就是所求的直线，根据作法，利用线面垂直的判定定理与性质可证明.

试题解析：（1）取的中点，连接，

因为，所以，

又因为平面平面，平面平面，平面，

所以平面，

因为，，所以，

因为，所以的面积，

所以三棱锥的体积．

（2）在平面中，过点作，交于点，

在平面中，过点作，交于点，

连结，则直线就是所求的直线，

由作法可知，，

又因为，所以平面，所以，即．

18. 某种商品的市场需求量（万件）、市场供应量（万件）与市场价格（元/件）分别近似地满足下列关系：，．当时的市场价格称为市场平衡价格，此时的需求量称为平衡需求量．

（1）求平衡价格和平衡需求量；

（2）若该商品的市场销售量（万件）是市场需求量和市场供应量两者中的较小者，该商品的市场销售额（万元）等于市场销售量与市场价格的乘积．

①当市场价格取何值时，市场销售额取得最大值；

②当市场销售额取得最大值时，为了使得此时的市场价格恰好是新的市场平衡价格，则政府应该对每件商品征税多少元？

【答案】（1）平衡价格是30元，平衡需求量是40万件．（2）①市场价格是35元时，市场总销售额取得最大值．②政府应该对每件商品征7.5元．

【解析】试题分析：（1）令，得，可得，此时，从而可得结果；（2）①先求出，从而得，根据二次函数的性质分别求出两段函数的最值再比较大小即可的结果；②政府应该对每件商品征税元，则供应商的实际价格是每件元，根据可得结果.

试题解析：（1）令，得，

故，此时．

答：平衡价格是30元，平衡需求量是40万件．

（2）①由，，得，

由题意可知：

故

当时，，即时，；

当时，，即时，，

综述：当时，时，．

答：市场价格是35元时，市场总销售额取得最大值．

②设政府应该对每件商品征税元，则供应商的实际价格是每件元，

故，

令，得，

由题意可知上述方程的解是，代入上述方程得．

答：政府应该对每件商品征7.5元．

【方法点睛】本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏，分段函数的最值是各段的最大(最小)者的最大者(最小者)

19. 在平面直角坐标系中，已知点，，在圆上．

（1）求圆的方程；

（2）过点的直线交圆于，两点．

①若弦长，求直线的方程；

②分别过点，作圆的切线，交于点，判断点在何种图形上运动，并说明理由.

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）设圆的方程为：，将点，，

分别代入圆方程列方程组可解得，，，从而可得圆的方程；（2）①由（1）得圆的标准方程为，讨论两种情况，当直线的斜率存在时，设为，则的方程为，由弦长，根据点到直线距离公式列方程求得，从而可得直线的方程；②，利用两圆公共弦方程求出切点弦方程，将代入切点弦方程，即可得结果. 试题解析：（1）设圆的方程为：，由题意可得

解得，，，故圆的方程为．

（2）由（1）得圆的标准方程为．

①当直线的斜率不存在时，的方程是，符合题意；

当直线的斜率存在时，设为，则的方程为，即，

由，可得圆心到的距离，

故，解得，故的方程是，

所以，的方程是或．

②设，则切线长，

故以为圆心，为半径的圆的方程为，

化简得圆的方程为：，①

又因为的方程为，②

②①化简得直线的方程为，

将代入得：，

故点在直线上运动．

20. 已知函数，．

（1）试比较与的大小关系，并给出证明；

（2）解方程：；

（3）求函数，（是实数）的最小值．

【答案】（1）（2）或．（3）

【解析】试题分析：（1）与作差，配方后即可得；（2）原方程化为，设，可得，进而可得结果；（3）令，则，函数可化为，利用二次函数的性质分情况讨论，分别求出两段函数的最小值，比较大小后可得各种情况下函数

，（是实数）的最小值.

试题解析：（1）因为，

所以．

（2）由，得，

令，则，故原方程可化为，

解得，或（舍去），

则，即，解得或，

所以或．

（3）令，则，

函数可化为

①若，

当时，，对称轴，此时；

当时，，对称轴，此时，

故，．

②若，

当，，对称轴，此时；当时，，对称轴，此时，

故，．

③若，

当时，，对称轴，此时；当时，，对称轴，此时，故，

；

④若，

当时，，对称轴，此时；

当时，，对称轴，此时，

则时，，

时，，

故，

⑤若，

当时，，对称轴，此时；

当时，，对称轴，此时，

因为时，，

故，．

综述：

【方法点睛】本题主要考查指数函数的性质分段函数的解析式和性质、分类讨论思想及方程的根与系数的关系.属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.