第3讲一元二次方程讲

一．一元二次方程

1. 已知关于x 的方程x 2＋b x ＋a =0的一个根是－a （a ≠0），则a －b 值为（） A.-1 B.0 C.1 D.2

2. 关于x 的方程0122=-++k kx x 的根的情况描述正确的是. A ．k 为任何实数，方程都没有实数根

B ．k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根

C ．k 为任何实数，方程都有两个相等的实数根

D ．根据k 的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种

3. 已知a 是方程21=0x x +-的一个根，则

211

a a a

--的值为（）

．

B ．

1±

- C ．－1 D ．1

4. 方程0232

=+-x x 的实数根有（）个

A 、4

B 、3

C 、2

D 、1 5.若关于x 的方程5)12()15(222-+=-x k x k 有无穷多个解，则（）

A 、k ≠－3且k ≠5

B 、k ＝3或k ＝5

C 、k ＝5

D 、k 为任意实数

6、如果α是方程032=+-m x x 的一个根，α-是方程032=-+m x x 的一个根，那么α的值等于（） A 、1或2 B 、0或－3 C 、－1或－2 D 、0或3 二、解下列方程：

1、0252

=--x x ； 2、0)52(4)32(92

=--+x x

3、061512

=+??

? ??--??? ??-x x x x ； 4、3)76(2)76(2

22=---x x x x

三、已知a 、b 是方程055332

=-+-x x 的两个正根，c 是方程92

=x 的正根，试判断以a 、b 、c 为

边的三角形是否存在？并说明理由。

四、已知三角形的两边长分别是方程0232=+-x x 的两根，第三边的长是方程03522=+-x x 的根，

求这个三角形的周长。

五、已知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程k k x k x 3)32(22+++-

02=+的两个实数根，第三边BC 的长是5。

（1）k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；

（2）k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长。

六．阅读材料：

如果21x x 、是一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根，那么，a

b x x -=+21，a

c x x =

21。这就是

著名的韦达定理。现在我们利用韦达定理解决问题：

已知n m 与是方程03622

=+-x x 的两根，（1）填空：=+n m ，=?n m ；

（2）计算n

11+

的值。

七，应用题

1.某开发商进行商铺促销，广告上写着如下条款：

投资者购买商铺后，必须由开发商代为租赁5年，5年期满后由开发商以比原商铺标价高20%的价格进行回购，投资者可在以下两种购铺方案中做出选择：

方案一：投资者按商铺标价一次性付清铺款，每年可以获得的租金为商铺标价的10%．

方案二：投资者按商铺标价的八五折一次性付清铺款，2年后每年可以获得的租金为商铺标价的10%，但要缴纳租金的10%作为管理费用．

（1）请问：投资者选择哪种购铺方案，5年后所获得的投资收益率更高？为什么？（注：投资收益率

=×100%）

（2）对同一标价的商铺，甲选择了购铺方案一，乙选择了购铺方案二，那么5年后两人获得的收益将相差5万元．问：甲、乙两人各投资了多少万元？

2. 某汽车销售公司6月份销售某厂家的汽车，在一定范围内，每部汽车的进价与销售有如下关系，若当月仅售出1部汽车，则该部汽车的进价为27万元，每多售一部，所有出售的汽车的进价均降低0.1万元/部。月底厂家根据销售量一次性返利给销售公司，销售量在10部以内，含10部，每部返利0.5万元，销售量在10部以上，每部返利1万元。

①若该公司当月卖出3部汽车，则每部汽车的进价为万元；

②如果汽车的销售价位28万元/部，该公司计划当月盈利12万元，那么要卖出多少部汽车？（盈利=销售利润+返利）

3.小明和同桌小聪在课后复习时，对课本“目标与评定”中的一道思考题，进行了认真的探索。

【思考题】如图，一架2.5米长的梯子AB斜靠在竖直的墙AC上，这时B到墙C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么点B将向外移动多少米？

（1）请你将小明对“思考题”的解答补充完整：

解：设点B将向外移动x米，即BB1=x，

则B 1C=x+0.7，A 1C=AC ﹣AA 1

0.42=

而A 1B 1=2.5，在Rt △A 1B 1C 中，由2221111B C A C A B +=得方程

，

解方程得x 1= ，x 2= ， ∴点B 将向外移动米。

（2）解完“思考题”后，小聪提出了如下两个问题：

【问题一】在“思考题”中，将“下滑0.4米”改为“下滑0.9米”，那么该题的答案会是0.9米吗？为什么？【问题二】在“思考题”中，梯子的顶端从A 处沿墙AC 下滑的距离与点B 向外移动的距离，有可能相等吗？为什么？

请你解答小聪提出的这两个问题。

4. 利民商店经销甲、乙两种商品. 现有如下信息:

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元?

（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m 元. 在不考虑其他因素的条件下，当m 定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润最大？每天的最大利润是多少？

5.随着生活水平的提高，人们对环保要求也是越来越高，萧山区内有一家化工厂原来每月利润为120万元．从今年一月起响应政府“实施清洁生产，打造绿色化工”的号召，开始安装使用回收净化设备（安装时间不计），一方面改善了环境，另一方面大大降低原料成本．据测算，使用回收净化设备后的1至x 月（1≤x≤12）的利润的月平均值w （万元）满足w=10x+80，第2年的月利润稳定在第1年的第12个月的水平．

（1）设使用回收净化设备后的1至x 月（1≤x≤12）的利润和为y ，写出y 关于x 的函数关系式，并求前几个月的利润和等于840万元？

（2）当x 为何值时，使用回收净化设备后的1至x 月的利润和与不安装回收净化设备时x 个月的利润和相等？

（3）求使用回收净化设备后两年的利润总和？

二．几何证明（二）

1．如图，在□ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，∠ABC ＝60°，过BC 的中点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，与DC 的延长线相交于点H ，则△DEF 的面积是 .

2. 如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（） A 、48cm B 、36cm C 、24cm D 、18cm

3. 如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

4.如图（1）长为4，宽为3的矩形纸片ABCD ，先沿对角线BD 对折，点C 落在点C '位置，B C '交AD 于G ，再折一次，使点D 与点A 重合，得折痕EN ，如图（2），EN 交AD 于M ，则ME 的长是____________。

5．将△ABC 绕点A 按逆时针方向旋转θ度，并使各边长变为原来的n 倍，得△AB′C′，即如图①，我们将这种变换记为[θ，n]．

2题 3题

（1）如图①，对△ABC 作变换[60°

，得△AB′C′，则S △AB′C′：S △ABC = ；直线BC 与直线B′C′所夹的锐角为度；

（2）如图②，△ABC 中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'，使点B 、C 、C′在同一直线上，且四边形ABB'C'为矩形，求θ和n 的值；（4）如图③，△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=36°，BC=l ，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使点B 、C 、B′在同一直线上，且四边形ABB'C'为平行四边形，求θ和n 的值．

6.已知,矩形ABC D 中,4AB cm =,8BC cm =,A C 的垂直平分线EF 分别交AD 、BC 于点E 、F ,垂足为O .

(1)如图10-1,连接AF 、C E .求证四边形A F C E 为菱形,并求AF 的长；

(2)如图10-2,动点P 、Q 分别从A 、

C 两点同时出发,沿AFB ?和C

E ?各边匀速运动一周.即点P 自A →F

→B →A 停止,点Q 自C →D →E →C 停止.在运动过程中,

①已知点P 的速度为每秒5cm ,点Q 的速度为每秒4cm ,运动时间为t 秒,当A 、C 、P 、Q 四点为顶点的

四边形是平行四边形时,求t 的值.

②若点P 、Q 的运动路程分别为a 、b (单位:cm ,0ab ≠),已知A 、C 、P 、Q 四点为顶点的四边形是平行四边形,求a 与b 满足的数量关系式.

C D

图10-1 O

图10-2

备用图

7：如图，扇形OAB 的半径OA=3,∠AOB=90o

,点C 是 AB 上异于A 、

B 的动点，过点

C 作C

D ⊥OA 于点D ，作C

E ⊥OB 于点E,连接DE,点G 、H 在线段DE 上，且DG=GH=HE, (1)求证：四边形OGCH 是平行四边形；

(2)当点C 在上运动时，在CD 、CG 、DG 中是否存在长度不变的线段？若存在。求出该线段的长度； (3)求证：CD 2 +3CH 2是定值。

8.邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；…依此类推，若第n 次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n 阶准菱形．如图1，ABCD 中，若AB=1，BC=2，则

ABCD 为1阶准菱

形．

（1）判断与推理：

①邻边长分别为2和3的平行四边形是阶准菱形；

②小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图2，把ABCD 沿BE 折叠（点E 在AD 上），使点A 落在BC 边上的点F ，得到四边形ABFE ．请证明四边形ABFE 是菱形．（2）操作、探究与计算：

①已知?ABCD 的邻边长分别为1，a （a ＞1），且是3阶准菱形，请画出ABCD 及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a 的值； ②已知ABCD 的邻边长分别为a ，b （a ＞b ），满足a=6b+r ，b=5r ，请写出

ABCD 是几阶准菱形．

(

AB A D C

O H

【课后作业】

1. 如图，在正方形ABCD中，点F在CD边上，射线AF交BD于点E，交BC的延长线于点G．

（1）求证：A D E

△；

△≌C D E

（2）过点C作CE

FH=；

CH⊥，交FG于点H，求证：GH

（3）设1

△为等腰三角形，若存在，请求出x的值；若AD，=

DF x，试问是否存在x的值，使E C G

不存在，请说明理由．

2.（1）操作发现：

如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD

内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．

（2）类比探究：

如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请

说明理由．

八年级上-一元二次方程的概念

一元二次方程的概念【知识点1】整式方程都是关于未知数的整式，这样的方程叫做整式方程。如之前学过的一元一次方程和我们将要学习的一元二次方程都是整式方程。【知识点2】一元二次方程的概念只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。如02x 2=-，02419x 22=+-x ，0x 2=-x 等都是一元二次方程。说明：（1）一元二次方程属于整式方程，定义中的“只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”这句话，是指对方程“整理合并”之后而言的。（2）由一元二次方程的概念可知，只有同时满足三个条件：①方程两边都是关于未知数的整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是2，这样的方程

才是一元二次方程，不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程。（3）判断一个方程是否为一元二次方程时，先观察其是否属于整式方程，再看其合并同类项后是否符合“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2”。【知识点3】一元二次方程的一般形式任何一个关于x 的一元二次方程都可以化成0ax 3=++c bx （a ，b ，c 是常数，0a ≠），这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中2a x ，bx ，c 分别叫做二次项、一次项和常数项，a ，b 分别叫做二次项系数和一次项系数。说明：（1）a ≠0是一个一元二次方程一般形式的一个重要组成部分，因为方程0a 2=++c bx x ，只有当a 0≠时才叫做一元二次方程，反之，如果明确指出方程0a 2=++c bx x 是一元二次方程，那就隐含了0a ≠这个条件，即是说方程中含有字母系数的2x 项，且出现“关于x 的方程”这样的语句，就要对方程中的字母进行讨论。（2）任何一个一元二次方程经过整理（去分母、去括号、移项，合并同类项）都可以化成一元二次方程的一般形式，但需指出的是一元二次方程的二次项、一次项、常数项、二次项系数、一次项系数都是针对方程的一般形式而言的，所以即使题目没有指出先把方程化成一般形式，只要求写出方程的项和某一项系数，解题时也要把一元二次方程化成一般形式。（3）注意区分二次项与二次项系数，一次项与一次项系数，它们都包含前面的符号，如023x 43=--x ，二次项为2x 4，二次项系数为4，一次项为x 3-，一次项系数为-3，常数项为-2。【知识点4】一元二次方程的解能使一元二次方程左右两边都相等的未知数的值，称为一元二次方程的解。（说明）一元二次方程的解类同于一元一次方程的解，通常已知方程的解代入方程即可使等式成立。 1、一个“形似一元二次方程”的方程，当二次项系数不能判定一定不为零时，

一元二次方程专题复习讲义(知识点-考点-题型总结)-----hao---use--ok

一元二次方程专题复习一、知识结构：一元二次方程?? ???*?韦达定理根的判别解与解法二、考点精析考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是2，这样的③整式方程就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax ⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ()()12132+=+x x B 02112=-+x x C 02=++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。针对练习： ★1、方程782=x 的一次项系数是，常数项是。

★2、若方程()021=--m x m 是关于x 的一元一次方程， ⑴求m 的值；⑵写出关于x 的一元一次方程。 ★★3、若方程()112=?+ -x m x m 是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是。 ★★★4、若方程2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（） 2 21 C21 1 考点二、方程的解 ⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知322-+y y 的值为2，则1242++y y 的值为。例2、关于x 的一元二次方程()04222=-++-a x x a 的一个根为0，则a 的值为。例3、已知关于x 的一元二次方程()002≠=++a c bx ax 的系数满足b c a =+，则此方程必有一根为。例4、已知b a ,是方程042=+-m x x 的两个根，c b ,是方程0582=+-m y y 的两个根，则m 的值为。针对练习： ★1、已知方程0102=-+kx x 的一根是2，则k 为，另一根是。 ★2、已知关于x 的方程022=-+kx x 的一个解与方程 311=-+x x 的解相同。 ⑴求k 的值； ⑵方程的另一个解。

沪科版(上海)八年级第一学期第五讲一元二次方程解法2

第五讲一元二次方程解法2 一、一元二次方程解法选取 1. 直接开平方法直接开平方法的概念：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法. （1）形如的方程.方程的解是：.当m＝0时，方程有两个相等的实数根. （2）形如的方程.方程的解是：. （3）形如的方程.方程的解是：. 总之，如果一元二次方程的一边是未知数的平方或者是含有未知数的代数式的平方，另一边是一个非负数，那么就可以用直接开平方法求解. 2. 因式分解法（1）因式分解法的概念：当一元二次方程的一边为0时，将方程的另一边分解成两个一次因式的积，进而分成两个一元一次方程来求解，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. （2）因式分解法的理论依据是：两个因式的积等于0，则这两个因式至少有一个等于0。用式子表示为：若，则a＝0或b＝0。（3）用因式分解法解一元二次方程的步骤是： ①将方程化为（a≠0）的形式； ②将方程的左边分解为两个一次因式的积； ③令每个因式分别等于0，得到两个一元一次方程； ④解这两个一元一次方程，它们的解就是方程的解. 点拨：（1）分解因式常用的方法有提公因式法和运用公式法；（2）如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积；（3）等式的左边都是三项，其中两项符号为“+”，是一个整式的平方，还有一项符号可“+”可“－”，它是那两项乘积的两倍.凡具备这些特点的三项式，就是一个二项式的完全平方式，将它写成平方形式，便实现了因式分解. 3. 配方法配方法的含义：把方程的一边化为一个完全平方式，另一边化为非负数，然后利用开平方求解的方法叫做配方法. 归纳：用配方法解一元二次方程的一般步骤是：（1）如果一元二次方程的二次项系数不是1，就先在方程的两边同时除以二次项系数，把二次项系数化为1；（2）把含未知数的项移到左边，常数项移到右边；（3）然后在方程的左右两边同时加上一次项系数一半的平方，这样使方程的左边变成一个完全平方式，右边是一个非负数的形式；（4）最后用直接开平方法解这个一元二次方程. 4. 公式法（1）二次方程（a≠0）的求根公式为：（），其中公式中的a、b、c分别是一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项.我们用求根公式法求一元二次方程解的方法叫公式法. （2）用公式法解一元二次方程的一般步骤是： ①首先把一元二次方程化为一般形式；

八年级数学一元二次方程知识点总结及典型习题,推荐文档

一元二次方程 (一)、一元二次方程的概念 1理解并掌握一元二次方程的意义未知数个数为1，未知数的最高次数为2,整式方程，可化为一般形式； 2?正确识别一元二次方程中的各项及各项的系数 (1)明确只有当二次项系数a 0时，整式方程ax2 bx c 0才是一元二次方程。 (2)各项的确定(包括各项的系数及各项的未知数). 3?—元二次方程的解的定义与检验一元二次方程的解 (二)、一元二次方程的解法 1?明确一元二次方程是以降次为目的，以配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法为手段，从而把一元二次方程转化为一元一次方程求解； 2?根据方程系数的特点，熟练地选用配方法、开平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程； 3?值得注意的几个问题： (1)开平方法：对于形如x2 n或(ax b)2 n(a 0)的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用开平方法求解形如x2 n的方程的解法：当n 0时，x 、. n ；当n 0时，x1 x2 0 ；当n 0时，方程无实数根。 (2)配方法：通过配方的方法把一元二次方程转化为(x m)2 n的方程，再运用开平方法求解。配方法的一般步骤： ①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边； ②“系数化1 ”：根据等式的性质把二次项的系数化为 1 ； ③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为(x m)2 n的形式； ④求解: 若n0时，方程的解为x m . n，若n 0 时, 方程无实数解。 (3)公式法：一兀二次方程ax bx c 0(a 0)的根x -b b24ac 2a 当b24ac0时，方程有两个实数根，且这两个实数根不相等；当b24ac0时，方程有两个实数根，且这两个实数根相等，写为X1 X2 b 2a 当b24ac0时，方程无实数根? 公式法的一般步骤：①把一元二次方程化为一般式；②确定a,b,c的值；③代入b2 4ac中计算其值，判断方程是否有实数根；④若b2 4ac 0代入求根公式求值，否则，原方程无实数根。 (4)因式分解法：因式分解法的一般步骤：若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；把方程的左边分解因式；令每一个因式都为零，得到两个一元一次方程；解出这两个一元一次方程的解可得到原方程的两个解。 (三)、根的判别式

一元二次方程应用一对一辅导讲义

课题一元二次方程的应用授课时间： 2016-03-26 8：00——10:00 备课时间：2016-03-24 教学目标 1、综合运用一元二次方程和其他数学知识解决如面积、利润、增长率与降低率等生活中的实际问题。 2、注意找准等量关系及检验根是否符合实际意义。 3、从现实问题中构建一元二次方程数学模型。重点、难点会运用一元二次方程解决简单的实际问题考点及考试要求 1.一元二次方程的应用 2.一元二次方程实际问题教学内容第一课时一元二次方程的应用知识梳理 1.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程x 2-14x+48=0的一根, 则这个三角形的周长为( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 2.已知两数的积是12,这两数的平方和是25, 以这两数为根的一元二次方程是___________. 3.用适当的方法解下列一元二次方程. （1）.22(3)5x x -+= （2）.22330x x ++= 课前检测

1. 一元二次方程的实际应用????? ???????????????动点问题数字问题面积问题利润问题增长率（降低率）问题常见类型、答步骤：设、列、解、验 2. 解题循环图： 3. 利用一元二次方程解决许多生活和生产实际中的相关问题，它的一般方法是：（1）根据题意找到等量关系，列出一元二次方程。（2）特别要对方程的根注意检验，根据实际做出正确取舍，以保证结论的准确性。第二课时一元二次方程的应用典型例题考点一：增长率（降低率）和利润问题典型例题知识梳理

（一）增长率（降低率）问题：【例1】某工厂今年3月份的产值为100万元，由于受国际金融风暴的影响，5月份的产值下降到81万元，求平均每月产值下降的百分率．（二）利润问题：【例2】商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元。为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降低1元，商场平均每天可多售出2件，求：（1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？（2）若要使商场平均每天赢利最多，请你帮助设计方案。

(完整版)数学八年级下《一元二次方程》复习测试题(附答案)

一元二次方程复习测试一、选择题：(每小题2分,共20分) 01.下列方程中不一定是一元二次方程的是 A.(a-3)x 2=8 (a ≠0) B.ax 2 +bx+c=0 2 3 2057 x + -= 02.已知一元二次方程ax 2 +c=0(a ≠0),若方程有解,则必须有C 等于 A.- 12 B.-1 C.1 2 D.不能确定 03.已知x ＝2是方程32 x 2 －2a ＝0的一个解，则2a －1的值是 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 04.一元二次方程x 2 ＝c 有解的条件是 A ．c ＜O B ．c ＞O C ．c ≤0 D ．c ≥0 05.若方程11x a x a + =+的两根分别为a 和1a ，则方程11 11 x a x a +=+ -- 的根分别是 A.1, 1a a - B.11,1a a -- C.11,a a - D.,1 a a a - 06.某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，若全班有x 名同学，根据题意列出的方程为 A ．x(x ＋1)＝1035 B ．x(x －1)＝1035×2 C ．x(x －1)＝1035 D ．2x(x ＋1)＝1035 07.一元二次方程2x(x －3)＝5(x －3)的根为 A ．x ＝52 B ．x ＝3 C ．x ＝－52 D ．x 1＝3，x 2＝52 08.使分式256 1 x x x --+ 的值等于零的x 是 A.6 B.-1或6 C.-1 D.-6 09.方程x 2 -4│x │+3=0的解是 A.x=±1或x=±3 B.x=1和x=3 C.x=-1或x=-3 D.无实数根 10.若关于x 的方程x 2-k 2-16=0和x 2 -3k+12=0有相同的实数根，则k 的值是 A.-7 B.-7或4 C.-4 D.4 二、填空题:(每小题3分,共30分) 11.若 x 2 +mx+7=0的一个根，则m= ,另一根为 . 12.若方程3ax 2-bx-1=0和ax 2 +2bx-5=0有共同的根-1，则a= , b= . 13.若一元二次方程ax 2 +bx+c=0(a ≠0)有一个根为1,则a+b+c= ; 若有一个根为-1，则b 与a 、c 之间的关系为 ; 若有一个根为零，则c= . 14.有一个一元二次方程的未知数为y ，二次项系数为－1，一次项系数为3，常数项为－6，请你写出它的一般形式______________。 15.一元二次方程x 2-3x-1=0与x 2 -x+3=0的所有实数根的和等于__ _. 16.若某食品连续两次涨价10%后价格是a 元，则原价是_______ __. 17.若一元二次方程(x －1)(x －2)＝0的两个根为x 1和x 2满足x 1＞x 2，则x 1－2x 2＝ 18.已知一个正方体的表面积是384cm 2 ，求它的棱长。设这个正方体的棱长是xcm ，根据题意列方程得，解得x ＝． 19.用两边开平方的方法解下列方程： ⑴方程x 2 ＝49的根是； ⑵方程9x 2 －16＝0的根是； ⑶方程(x －3)2 ＝9的根是。 20.长方形铁片四角各截去一个边长为5cm 的正方形，而后折起来做一个没盖的盒子，铁片的长是宽的2倍，作成的盒子容积为1.5立方分米，则铁片的长等于________,宽等于________.

(完整)八年级数学一元二次方程单元练习题

八年级数学一元二次方程单元练习题一、判断下列方程是否是关于x 的一元二次方程（本题8分）（1）352=x （）（2）02=x （）（3）72=+x m mx （m 为实数）（）（4）x x 3852=-（）（5）82=+b bx （）（6）x 1 23x 32 （7）0272=-x （8）)3(023 4)3(2≠=++-m x x m （）二、选择题：（本题6分）（1）方程2)12()3)(3(2-=+++-x x x x 的常数项是不是（）（A ）5 （B ）3 （C ）-3 （D ）0 （2）方程2)3()32)(32(-=-+x x x 化成一般形式，并写出a ，b ，c 的值是（）。（A ）2，3，4 （B ）4，5，6 （C ）2，-6，-3 （D ）2，3，6 （3）下列方程是不完全的一元二次方程的是（）（A ）3)21(2=-x x （B ）752 -=x x （C ）22)1()2(+=x x （D ）0)2)(2(32=-+-x x x 三、用开平方法解方程：（本题15分） 1、01)12(62=--x 2、08)23(42=-+x 3、22)23()13(x x -=- 4、96)32)(32(2+-=--x x x x 5、22244b a ax x =+-

*6、2222)(b ab a a x ++=- 四、用配方法解方程：（本题18分） 1、0352=--x x 2、031612=-+ x x 3、x x 7322-= 4、023 1322=-+y y *5、032)13(22=+++y y *6、06522=+-a ax x 7、用配方法将下列各式化成k h x a ++2)(的形式（1）1442--x x （2）23 1322-+y y 五、用公式法解方程：（本题9分） 1、0822=-+x x 2、x （x+1）=12 3、24422 =-x x 六、选用适当方法解方程：（本题24分） 1、27)33(2=-x 2、0112362 =++x x 3、03322=--y y 4、)12(23)12(2+=-+x x 5、012 =+x 6、03||42=+-x x 七、解答题：（本题20分） 1、当d 为何值时，关于x 的方程036)13(2=-++dx x d 是一元二次方程。

中考数学试题分类8一元二次方程解法及应用(学生)

一元二次方程解法及应用一、填空题 1.（2009重庆綦江）一元二次方程x 2=16的解是． 2.（2009威海）若关于x 的一元二次方程2 (3)0x k x k +++=的一个根是2-，则另一个根是______． 3．（2009山西省太原市）某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为x ，根据题意列出的方程是． 4.（2009年江苏省）某县2008年农民人均年收入为7 800元，计划到2010年，农民人均年收入达到9 100元．设人均年收入的平均增长率为x ，则可列方程． 5．（2009年甘肃庆阳）若关于x 的方程2 210x x k ++-=的一个根是0，则k = ． 6.某果农2006年的年收入为5万元，由于党的惠农政策的落实，2008年年收入增加到 7.2万元，则平均每年的增长率是__________. 7.（2009年包头）将一条长为20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm 2． 8.（2009年莆田）已知1O ⊙和2O ⊙的半径分别是一元二次方程()()120x x --=的两根，且122O O =，则 1O ⊙和2O ⊙的位置关系是． 9.（2009年莆田）出售某种文具盒，若每个获利x 元，一天可售出()6x -个，则当x = 元时，一天出售该种文具盒的总利润y 10.(2009年本溪)11．由于甲型H1N1流感（起初叫猪流感）的影响，在一个月内猪肉价格两次大幅下降．由原来每斤16元下调到每斤9元，求平均每次下调的百分率是多少？设平均每次下调的百分率为x ，则根据题意可列方程为． 11．(2009年温州)方程(x-1)2=4的解是 12．（2009临沂）某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元，．则这种药品的成本的年平均下降率为______________． 13．（2009年哈尔滨）如果2是一元二次方程x 2＋bx ＋2＝0的一个根，那么常数b 的值为． 14、（2009年兰州）阅读材料：设一元二次方程ax 2+bx +c ＝0(a ≠0)的两根为x 1，x 2，则两根与方程系数之间有如下关系：x 1+x 2＝－b a ，x 1·x 2＝c a .根据该材料填空：已知x 1、x 2是方程x 2+6x +3＝0的两实数根，则 21x x +1 2 x x 的值为． 15．(2009年宁德市)方程042=-x x 的解是______________． 16．（2009年赤峰市）已知关于x 的方程x 2-3x+2k=0的一个根是1，则k= 17、（2009年崇左）分解因式：2 242x x -+= ． 18．（2009年崇左）一元二次方程2 30x mx ++=的一个根为1-，则另一个根为．

第五讲一元二次方程的整数整数解

第五讲一元二次方程的整数整数解从求根入手，求出根的有理表达式，利用整除求解；从判别式手，运用判别式求出参数或解的取值范围，或引入参数(设厶= k2)，通过穷举，逼近求解；从韦达定理入手，从根与系数的关系式中消去参数，得到关于两根的不定方程，借助因数分解、因式分解求解；从变更主元入人，当方程中参数次数较低时，可考虑以参数为主元求解. 注：一元二次方程的整数根问题，既涉及方程的解法、判别式、韦达定理等与方程相关的知识，又与整除、奇数、偶数、质数、合数等整数知识密切相关. 【例题求解】【例1】若关于x的方程(6_k)(9_k)x2 _(117_15k)x 54=0的解都是整数，则符合条件的整数是的值有__________ 个. 注：系数含参数的方程问题，在没有指明是二次方程时，要注意有可能是一次方程，根据问题的题设条件，看是否要分类讨论. 【例2】已知a、b为质数且是方程x2 -13x c =0的根，那么- -的值是() a b 127 A. - 22 125 B. 22 C. 123 22 121 D.—— 22 【例3】试确定切有理数r ,使得关于x的方程rx2 (r 2)x r 0有根且只有整数根【例4】当m为整数时，关于x的方程(2m-1)x2 -(2m 1)x ^0是否有有理根？如果有，求出m的值；如果没有，请说明理由. 注：一元二次方程ax2 bx 0 (a^ 0)而言，方程的根为整数必为有理数，而△=b2-4ac 为完全平方数是方程的根为有理数的充要条件. 【例5】若关于x的方程ax2 -2(a -3)x ? (a -13) =0至少有一个整数根，求非负整数a的值. 思路点拨因根的表示式复杂，从韦达定理得出的a的两个关系式中消去a也较困难，又因

初二数学一元二次方程的解法练习题

一元二次方程解法训练 1.用直接开平方法解下列方程：（1）25(21)180y -=；（2） 21(31)644 x +=；（3）26(2)1x +=； 2.用配方法解下列方程（1）210x x --=；（2）23920x x -+=．（3）2310y y ++=． 3. 方程22103x x -+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是． 4. 关于x 的方程22291240x a ab b ---=的根1x = ，2x = ． 5. 关于x 的方程22220x ax b a +-+=的解为 6. 用适当的方法解方程（1）23(1)12x +=；（2）2 410y y ++=；（3）2884x x -=； 7. 用配方法证明：（1）21a a -+的值恒为正；（2）2982x x -+-的值恒小于0． 8. 已知正方形边长为a ，面积为S ，则（）Ａ．S = Ｂ．a = Ｃ．S 的平方根是a Ｄ．a 是S 的算术平方根 9. 解方程23270x +=，得该方程的根是（）Ａ．3x =± Ｂ．3x = Ｃ．3x =- Ｄ．无实数根 10. x 取何值时，2x -的值为2-？因式分解法

2．下列方程4x 2－3x －1＝0，5x 2－7x ＋2＝0，13x 2 －15x ＋2＝0中，有一个公共解是( ) A ．．x ＝21 B ．x ＝2 C ．x ＝1 D ．x ＝－1 3．方程5x(x ＋3)＝3(x ＋3)解为( ) A ．x 1＝53，x 2＝3 B ．x ＝53 C ．x 1＝－53，x 2＝－3 D ．x 1＝5 3，x 2＝－3 4．方程(y －5)(y ＋2)＝1的根为( ) A ．y 1＝5，y 2＝－2 B ．y ＝5 C ．y ＝－2 D ．以上答案都不对 5．方程(x －1)2－4(x ＋2)2＝0的根为( ) A ．x 1＝1，x 2＝－5 B ．x 1＝－1，x 2＝－5 C ．x 1＝1，x 2＝5 D ．x 1＝－1，x 2＝5 6．一元二次方程x 2＋5x ＝0的较大的一个根设为m ，x 2－3x ＋2＝0较小的根设为n ，则m ＋n 的值为( ) A ．1 B ．2 C ．－4 D ．4 7．已知三角形两边长为4和7，第三边的长是方程x 2－16x ＋55＝0的一个根，则第三边长是( ) A ．5 B ．5或11 C ．6 D ．11 8．方程x 2－3|x －1|＝1的不同解的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 9.方程t(t ＋3)＝28的解为_______． 10.方程(2x ＋1)2＋3(2x ＋1)＝0的解为__________． 11.方程(2y ＋1)2＋3(2y ＋1)＋2＝0的解为______． 12.关于x 的方程x 2＋(m ＋n)x ＋mn ＝0的解为______． 13.方程x(x －5)＝5 －x 的解为__________． 16．已知x 2＋3xy －4y 2＝0(y ≠0)，试求 y x y x +-的值． 17．已知(x 2＋y 2)(x 2－1＋y 2)－12＝0．求x 2＋y 2的值． 18．已知x 2＋3x ＋5的值为9，试求3x 2 ＋9x －2的值．公式法 1．用公式法解方程4x 2-12x=3，得到（）． A ． x= B ． x= C ． x= D ． x= 2．（m 2-n2）（m 2-n 2-2）-8=0，则m 2-n 2 的值是（）． A ．4 B ．-2 C ．4或-2 D ．-4或2 3．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的求根公式是________，条件是________． 4．当x=______时，代数式x 2-8x+12的值是-4．

5一元二次方程的应用尖子班讲义

一元二次方程根与系数关系及应用题（讲义）一、知识点睛 1．从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ?=_________，这两个式子称为_____________，数学史上称为___________．注：使用___________________的前提是_________________． 2．一元二次方程应用题的常见类型有： ①______________；②______________；③______________．增长率型例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）； 1人患了流感，经过两轮传染．经济型例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3．应用题的处理流程： ① 理解题意，辨析类型； ② 梳理信息，建立数学模型； ③ 求解，结果验证．二、精讲精练 1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ?的值分别是（） A ．7错误!未找到引用源。，4 B ．7 2-，2 C ．7 2，2 D ．72 ， -2 2. 若x 1 =2是一元二次方程210x ax ++=的一个根，则该方程的另一个根x 2=_________，a =________． 3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是 ____________________． 4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是则m =________． 5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（） A ．2289(1)256x -= B ．2256(1)289x -= C ．289(12)256x -= D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2013年的房价为6 000元/米2，预计2015年将达到8 840元/ 米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________． 7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了________________个人．

一元二次方程提高题(八年级)

一元二次方程提高题（八年级）一．选择题（共6小题） 1．一元二次方程2x2﹣（m+1）x+1=x（x﹣1）化成一般形式后二次项的系数为1，一次项的系数为﹣1，则m的值为（） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 2．满足（n2﹣n﹣1）n+2=1的整数n有几个（） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．已知关于x的一元二次方程x2+ax+b=0有一个非零根﹣b，则a﹣b的值为（）A．1 B．﹣1 C．0 D．﹣2 4．关于x的方程m（x+h）2+k=0（m，h，k均为常数，m≠0）的解是x1=﹣3，x2=2，则方程m（x+h﹣3）2+k=0的解是（） A．x1=﹣6，x2=﹣1 B．x1=0，x2=5 C．x1=﹣3，x2=5 D．x1=﹣6，x2=2 5．x1、x2是一元二次方程3（x﹣1）2=15的两个解，且x1＜x2，下列说法正确的是（） A．x1小于﹣1，x2大于3 B．x1小于﹣2，x2大于3 C．x1，x2在﹣1和3之间D．x1，x2都小于3 6．已知α是一元二次方程x2﹣x﹣1=0较大的根，则下面对α的估计正确的是（） A．0＜α＜1 B．1＜α＜1.5 C．1.5＜α＜2 D．2＜α＜3 二．填空题（共11小题） 7．已知关于x的方程是一元二次方程，则m=． 8．关于x的两个方程x2﹣x﹣2=0与有一个解相同，则a=．9．当k取值为时，关于x的方程x2+kx﹣1=0与x2+x+（k﹣2）=0只有一个相同的实数根． 10．在实数范围内定义运算“☆”，其规则为：a☆b=a2﹣b2，则方程（4☆3）☆x=13的解为x=．

11．方程x2﹣|x|﹣1=0的根是． 12．三角形的每条边的长都是方程x2﹣7x+10=0的根，则三角形的周长是．13．已知实数x满足，则=． 14．关于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣mx+1=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是． 15．已知m、n是方程x2﹣2002x+2003=0的两根，则（n2﹣2003n+2004）与（m2﹣2003m+2004）的积是． 16．设有x家公司参加一次商品交易会，每两家之间都签订一份合同，所有公司共签订45份合同，列方程得． 17．如图，在宽为20m，长为32m的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为540m2，求道路的宽．如果设小路宽为x，根据题意，所列方程为．三．解答题（共12小题） 18．用直接开平方法解下列方程（1）（3x﹣2）（3x+2）=8．（2）（5﹣2x）2=9（x+3）2．（3）﹣6=0 （4）（x﹣m）2=n．（n为正数）

初中数学九年级上册讲义第5讲一元二次方程根与系数关系(提高)-学案

初中数学九年级上册讲义第5讲一元二次方程根与系数关系（提高）-学案高效提分源于优学第05讲一元二次方程根与系数关系温故知新用公式法解一元二次方程的一般步骤（1）整理把原方程整理成；（2）确定a.b.c 的值，（各项系数若有分数，通常化为整数）-bb24ac（3）计算的值，并判断这个值的正负若b24ac2a的值并计算；写出答案 x1，x2若b24ac决定的，我们把b24ac0，方程有两个不相等的实数根。（2）当Db24ac0，方程没有实数根。 2.上述结论反过来也成立（1）若方程有两个不相等的实数根，则Db24ac0（3）若方程没有实数根，则Db24ac0；反过来也成立。典例分析例1（1）如果关于x的方程x2x22k1x22k1x10有两个不相等的实数根，求k的取值范围。学霸说者对于一元二次方程方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根；方程没有实数根，裸裸的残酷的掠夺，激起了当地土著民族顽强的反抗。举一反三 1.已知关于m的一元二次方程x2m0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围。

2.当k为何值时，关于x的一元二次方程kx2k2x0有实数根。 3.若关于x的一元二次方程kx22x10有两个不相等的实数根，则k的取值范围是知识要点二一元二次方程根与系数的关系1 21.若Db21xm20有两个实数根x和x。 12（1）求实数m的取值范围12（2）当时，求m的值。举一反三1已知x1，x2是方程2x24x30的两个根，不解方程求下列各式的值（1）（2） 2.已知关于x的一元二次方程x2k20（k为常数）（1）求证方程有两个不相等的实数根；（2）设x1，x2为方程的两个实数根，且x12x214，试求出方程的两个实数根和k的值。 3.已知关于x的一元二次方程x2（2m1）xm20有两个实数根 x1和x2（1）求实数m的取值范围；（2）若x1x21，求m的值课堂闯关初出茅庐1关于x的一元二次方程kx23x10有实数根，则k 的取值范围是（）AkBk且k0CkDk且k02若关于x的一元二次方程（m2）2x2（2m1）x10有解，那么m的取值范围是（）AmBmCm且m2Dm且m23下列关于x的方程有实数根的是（） Ax2x10Bx22x20C（x1）210D（x1）（x2）04一元二次方程x24x20的根的情况是（）A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D没有实数根5若关于x的一元二次方程方程（k1）x24x10有实数根，则k的取值范围是（） Ak5Bk5，且k1Ck5，且k1Dk56如果关于x的一元二次方程2x2xk0

一元二次方程解法讲义

龙文教育学科教师辅导讲义课题一元二次方程的解法教学目标 1. 理解一元二次方程及其有关概念 2. 会解一元二次方程,并能熟练运用四种方法去解重点、难点 1. 一元二次方程的判定，求根公式 2. 一元二次方程的解法与应用考点及考试要求 1. 一元二次方程的定义,一般形式，配方式 2. 熟练一元二次方程的解法能灵活运用:直接开平法,配方法.，因式分解，公式法去 3. 一元二次方程在实际问题中的综合应用教学内容考点一、概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③ 整式方程．．．．就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02≠=++a c bx ax 注：当b=0时可化为02=+c ax 这是一元二次方程的配方式 (3)四个特点：(1)只含有一个未知数；(2)且未知数次数最高次数是2；(3)是整式方程．要判断一个方程是否为一元二次方程，先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理．如果能整理为)0(02≠=++a c bx ax 的形式，则这个方程就为一元二次方程．（4）将方程化为一般形式： 2 =++c bx ax 时，应满足（a≠0） (4)难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。典型例题：例1、下列方程中是关于x 的一元二次方程的是（） A ()()12132 +=+x x B 02112 =-+ x x C 0 2 =++c bx ax D 1222+=+x x x 变式：当k 时，关于x 的方程3222+=+x x kx 是一元二次方程。例2、方程()0132=+++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。

二次函数与一元二次方程和一元二次不等式

二次函数与一元二次方程和一元二次不等式二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础．在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x 取任意实数时的最值情况(当0a >时，函数在2b x a =-处取得最小值2 44ac b a -，无最大值；当0a <时，函数在2b x a =-处取得最大值2 44ac b a -，无最小值．方程与函数不仅是初中数学中的重要内容，也是高中数学学习的重要内容，方程与函数之间存在着密切的联系，二次函数的图象与x 轴交点的横坐标即为相应的二次方程的解，课程标准要求我们能利用二次函数的图象求二次方程的近似解。本节我们将进一步研究一元二次方程与函数问题，研究当自变量x 在某个范围内取值时，函数的最值问题．同时还将学习二次函数的最值问题在实际生活中的简单应用．【例1】已知二次函数22y x x m =-++的部分图象如图所示，则关于x 的一元二次方程220x x m -++=的解为．分析：因为二次方程220x x m -++=的根为二次函数22y x x m =-++的图象与x 轴交点横坐标。根据已知条件22y x x m =-++ ，可知抛物线的对称轴为直线1x =；根据图象可知抛物线与x 轴的一个交点的横坐标为3x =，所以利用抛物线的对称性知抛物线与x 轴的另一个交点横坐标为―1，因此，方程220x x m -++=的解为3和－1。本题利用抛物线的轴对称性求抛物线与轴的交点坐标，从而求出相应的一元二次方程的根。【例2】二次函数2(0y ax bx c a a b c =++≠，，，是常数)中，自变量x 与函数y 的对应值如下表：

新人教版八年级数学一元二次方程

一元二次方程教学内容一元二次方程概念及一元二次方程一般式及有关概念．教学目标了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0（a≠0）及其派生的概念；?应用一元二次方程概念解决一些简单题目． 1．通过设置问题，建立数学模型，?模仿一元一次方程概念给一元二次方程下定义． 2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目． 4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情．重难点关键 1．?重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 2．难点关键：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，?再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念．教学过程一、复习引入学生活动：列方程．问题（1）古算趣题：“执竿进屋” 笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭。有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足。借问竿长多少数，谁人算出我佩服。如果假设门的高为x?尺，?那么，?这个门的宽为_______?尺，长为_______?尺， ?根据题意，?得________．整理、化简，得：__________．问题（2）如图，如果AC CB AB AC ，那么点C叫做线段AB的黄金分割点． https://www.360docs.net/doc/c17686510.html, 如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________．整理得：_________．问题（3）有一面积为54m2的长方形，将它的一边剪短5m，另一边剪短2m，恰好变成一个正方形，那么这个正方形的边长是多少？如果假设剪后的正方形边长为x，那么原来长方形长是________，宽是_____，根据题意，得：_______．整理，得：________．老师点评并分析如何建立一元二次方程的数学模型，并整理．二、探索新知学生活动：请口答下面问题．（1）上面三个方程整理后含有几个未知数？（2）按照整式中的多项式的规定，它们最高次数是几次？（3）有等号吗？还是与多项式一样只有式子？