2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学山东卷

2017年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（山东卷）

一、选择题

1．设函数的定义域A，函数的定义域为B,则

A．（1,2）B．C．（-2,1）D．[-2,1)

2．已知,i是虚数单位，若，则a=

A．1或-1 B．C．- D．

3．已知命题p:；命题q：若a＞b，则，下列命题为真命题的是

A．B．C．D．

4．已知x,y满足，则z=x+2y的最大值是

A．0 B．2 C．5 D．6

5．为了研究某班学生的脚长（单位：厘米）和身高（单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出与之间有线性相关关系，

设其回归直线方程为．已知，，．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为

A． B． C． D．

6．执行两次右图所示的程序框图，若第一次输入的的值为，第二次输入的的值为，则第一次、第二次输出的的值分别为

A．0，0 B．1，1 C．0，1 D．1，0

7．若，且，则下列不等式成立的是

A．B．

C．D．

8．从分别标有，，，的张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是=

A．B．C．D．

9．在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是A．B．C．D．

10．已知当时，函数的图象与的图象有且只有一个交点，则正实数的取值范围是

A．B．

C．D．

二、填空题 11．已知的展开式中含有

项的系数是

，则

12．已知是互相垂直的单位向量，若

与

的夹角为

，则实数的

13.由一个长方体和两个4

1

圆柱体构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积

14．在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为

的抛

物线交于

两点，若

，则该双曲线的渐近线方程

15．若函数（是自然对数的底数）在

的定义域上单调递增，

则称函数具有性质.下列函数中所有具有

①

②

③

④

三、解答题:本大题共6小题，共75分。

16.设函数，其中.已知.

（Ⅰ）求

；

17.如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形（及其内部）以边所在直线为旋转轴旋转得到的，是的中点.

（Ⅰ）设是上的一点，且，求的大小；

（Ⅱ）当，，求二面角的大小.

18．（18）（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙中心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示。（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B3的概率。

（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX。

19．（本小题满分12分）

已知{x n}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2

（Ⅰ）求数列{x n}的通项公式；

（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…P n+1(x n+1, n+1)得到折线P1 P2…P n+1，求由该折线与直线y=0，所围成的区域的面积

.

20．（20）（本小题满分13分）

已知函数，，其中是自然对数的底数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）令，讨论的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值.

21．（本小题满分14分）

在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：22

221x y a b

+=()0a b >>，焦距为2.

（Ⅰ）求椭圆E 的方程；

（Ⅱ）如图，动直线l ：1y k x =交椭圆E 于,A B 两点，C 是椭圆E 上一点，直线OC

的斜率为2k ，且12k k =

M 是线段OC 延长线上一点，且:2:3MC AB =，M 的半径为MC ，,OS OT 是M 的两条切线，切点分别为,S T .求SOT ∠的最大值，并求取得最大值时直线l 的斜率.

参考答案

1．D 【解析】 由

240

x -≥得

22x -≤≤，由

10

x ->得

1x <，故

A B ={|22}x x x x x x

-≤≤

?

<=-≤

<

，选D.

2．A

【解析】由,4z a z z =?=得234a +=，所以1a =±，故选A. 3．B

【解析】由0x >时11,ln(1)x x +>+有意义，知

p

是真命题，由

22

2

21,21;12,(1)(2)

>>

->-

-<-可知q 是假命题，即?,p q 均是真命题，故选B. 4．C

【解析】由x y 3x y ?-+≤?

+≤??+≥?

30

+5030x 画出可行域及直线20x y +=如图所示，平移20x y +=发现，

当其经过直线3x +y 50=+与x -3=的交点(3,4)-时，2z x y =+最大为

3245z =-+?=，选C.

5．C

【解析】 22.5,160,160422.570,42470166x y a

y ==∴=-?==?+= ,选C. 6．D

【解析】第一次2

2

7,27,3,37,1x b a =<=>= ；第二次2

2

9,29,3,39,0x b a =<===，选D.

7．B

【解析】221,01,1,log ()log 1,2

a b

a b a b ><<∴

<+>= 1211

2log ()a b

a a

b a a b b b

+>+

>+?+>+ ，所以选B. 8．C

【解析】

125425

989

C C =? ,选C. 9．A

【解析】sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+ 所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =?=?=，选A.

10．B

【解析】当01m <≤时，

1

1m

≥ ，2(1)y mx =- 单调递减，且22(1)[(1),1]y mx m =-∈-，

y m =单调递增，且[,1]y m m m ∈+ ，此时有且仅有一个交点；当1m >时，1

01m

<

< ，2(1)y mx =-在1[,1]m 上单调递增，所以要有且仅有一个交点，需

2(1)13m m m -≥+?≥ 选B.

11．4

【解析】()1C 3C 3r

r r r r r n n x x +T ==??，令2r =得：22

C 354n ?=，解得

4n =．

12

【解析】

)()

22

1212112122e e e e e e e e λλλ-?+=?-?-= ，

122e -== ，

12e e λ+=

==

2cos60λ== 3

λ=

． 13．22

π

+

【解析】该几何体的体积为21V 112211242

π

π=

???+??=+．

14．y x =

【解析】||||=4222

A B A B p p p

AF BF y y y y p ++

++=??+= ， 因为

22

222222221

202x y a y pb y a b a b

x py ?-=??-+=???=?

，

所

以

222A B pb y y p a a +==?=?

渐近线方程为2

y x =±.

15．①④

【解析】①()22x

x x x e e f x e -??=?= ???在R 上单调递增，故()2x

f x -=具有M 性质；

②()33x

x

x

x

e e

f x e -??=?= ???

在R 上单调递减，故()3x

f x -=不具有M 性质；

③()3

x

x

e f x e x =?，令()3

x

g x e x =?，则()()3

2

232x

x

x

g x e x e x x e

x '=?+?=+，∴当

2x >-时，()0g x '>，当2x <-时，()0g x '<，∴()3x x e f x e x =?在(),2-∞-上单调

递减，在()2,-+∞上单调递增，故()3

f x x =不具有M 性质；

④

()()

22x x e f x e x =+，令

()(

)2

2x

g x e

x =

+，则

()(

)()

2

2

22110x

x x g x e x e x e x ??'=

++?

=+

+>?

?

，∴()()22x x e f x e x =+在R 上单调递增，故()2

2f x x =+具有M 性质． （Ⅱ）将函数

的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到

的图象向左平移

个单位，得到函数

的图象，求

在上的最小

值.16．（Ⅰ）2ω=.（Ⅱ）得最小值3

2

-

. 【解析】解：（Ⅰ）因为()sin()sin()62

f x x x π

π

ωω=-

+-，

所以1

()cos cos 2

f x x x x ωωω=

--

3

cos 22

x x ωω=

-

13(sin )22x x ωω=-

)3

x π

ω=-

由题设知()06

f π

=，

所以

63

k ωπ

π

π=

=，k Z ∈.

故62k ω=+，k Z ∈，又03ω<<， 所以2ω=.

（Ⅱ）由（Ⅰ）得())3

f x x π

=-

所以()))4312

g x x x π

ππ

=+-=-. 因为3[,]44x ππ

∈-， 所以2[,]12

3

3x π

ππ

-∈-

，

当12

3

x π

π

-

=-

，

即4

x π

=-

时，()g x 取得最小值3

2-

. 17．（Ⅰ）30CBP ∠=?.（Ⅱ）60?. 【解析】解：（Ⅰ）因为AP BE ⊥，AB BE ⊥， AB ，AP ?平面ABP ，AB AP A = ， 所以BE ⊥平面ABP ， 又BP ?平面ABP ，

所以BE BP ⊥，又120EBC ∠=?， 因此30CBP ∠=?

（Ⅱ）解法一：

取 EC

的中点H ，连接EH ，GH ，CH . 因为120EBC ∠=?，

所以四边形BEHC 为菱形，

所以AE GE AC GC ====

取AG 中点M ，连接EM ，CM ，EC . 则EM AG ⊥，CM AG ⊥，

所以EMC ∠为所求二面角的平面角.

又1AM =

，所以EM CM === 在BEC ?中，由于120EBC ∠=?，

由余弦定理得22222222cos12012EC =+-????=，

所以EC =EMC ?为等边三角形， 故所求的角为60?. 解法二：

以B 为坐标原点，分别以BE ，BP ，BA 所在的直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系.

由题意得(0,0,3A (2,0,0E

，(1G

，(1C -，故(2,0,3

AE =-

，(1AG = ，(2,0,3)CG =

，

设111(,,)m x y z =是平面AEG 的一个法向量.

由00

m AE m AG ??=???=??

可得1111230,0,x z x -=???+=??

取12z =，可得平面AEG

的一个法向量(3,m . 设222(,,)n x y z =是平面ACG 的一个法向量.

由00

n AG n CG ??=???=??

可得22220,230,x x z ?+=??

+=?? 取22z =-，可得平面ACG

的一个法向量(3,2)n =-. 所以1

cos ,||||2

m n m n m n ?<>=

=?.

因此所求的角为60?.

18．（I ）5

.18

(II)X 的分布列为 X 0

1

2

3

4

P

142 521 1021 521 142

X 的数学期望是2EX =.

【解析】解：（I ）记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含3B 的事件为M ，则

485105().18

C P M C ==

(II)由题意知X 可取的值为：0,1,2,3,4.则

565101

(0),42C P X C ===

41645105

(1),21C C P X C ===

326451010

(2),21C C P X C ===

23645105

(3),21C C P X C ===

14645101

(4),42

C C P X C ===

因此X 的分布列为

X 0 1 2 3 4

P 142

521

1021

521

142

X

的

数

学

期

望

是0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)

EX P X P X P X P X P X =?=+?=+?=+?=+?==

151******** 2.4221212142

?

+?+?+?+?= 19．(I)1

2.n n x -=（II ）(21)21

.2

n n n T -?+=

【解析】解：(I)设数列{}n x 的公比为q ，由已知q>0.

由题意得112

1132

x x q x q x q +=??

-=?，所以2

3520q q --=， 因为q>0,所以12,1q x ==， 因此数列{}n x 的通项公式为12.n n x -=

（II ）过123,,,P P P ……1n P +向x 轴作垂线，垂足分别为123,,,Q Q Q ……1n Q +, 由(I)得111222.n n n n n x x --+-=-= 记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意1

2(1)2(21)22

n n n n n b n --++=?=+?， 所以

123n T b b b =+++……+n b

=101

325272-?+?+?+……+32(21)2(21)2n n n n ---?++? ①

又0122325272n T =?+?+?+……+2

1(21)2(21)2n n n n ---?++?②

①-②得

1

2

1

1

32(22......2)(21)2n n n T n ----=?++++-+?=1132(12)

(21)2.212

n n n ---+

-+?- 所以(21)21

.2

n n n T -?+=

20．（Ⅰ）222y x ππ=--. （Ⅱ）综上所述：

当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；

当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，

极大值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??

极小值是()021h a =--；

当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； 当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增， 在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()021h a =--；

极小值是()()()2

ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??.

【解析】解：（Ⅰ）由题意()22f ππ=- 又()22sin f x x x '=-， 所以()2f ππ'=，

因此 曲线()y f x =在点()(),f ππ处的切线方程为

()()222y x πππ--=-，

即 222y x ππ=--.

（Ⅱ）由题意得 ()()()

22cos sin 222cos h x e x x x a x x =-+--+， 因为()()()()cos sin 22sin cos 222sin x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+--

()()2sin 2sin x e x x a x x =---

()()2sin x e a x x =--，

令()sin m x x x =- 则()1cos 0m x x '=-≥ 所以()m x 在R 上单调递增. 所以 当0x >时，()m x 单调递减， 当0x >时，()0m x < (1)当0a ≤时，x e a -0>

当0x <时，()0h x '<，()h x 单调递减， 当0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增，

所以 当0x =时()h x 取得极小值，极小值是 ()021h a =--； (2)当0a >时，()()()ln 2sin x a h x e e x x '=--

由 ()0h x '=得 1ln x a =，2=0x ①当01a <<时，ln 0a <，

当(),ln x a ∈-∞时，()ln 0,0x a e e h x '-<>，()h x 单调递增； 当()ln ,0x a ∈时，()ln 0,0x a e e h x '-><，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()ln 0,0x a e e h x '->>，()h x 单调递增. 所以 当ln x a =时()h x 取得极大值.

极大值为()()()2

ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??，

当0x =时()h x 取到极小值，极小值是 ()021h a =--； ②当1a =时，ln 0a =，

所以 当(),x ∈-∞+∞时，()0h x '≥，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； ③当1a >时，ln 0a >

所以 当(),0x ∈-∞时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '>单调递增； 当()0,ln x a ∈时，ln 0x a e e -<，()()0,h x h x '<单调递减； 当()ln ,x a ∈+∞时，ln 0x a e e ->，()()0,h x h x '>单调递增； 所以 当0x =时()h x 取得极大值，极大值是()021h a =--； 当ln x a =时()h x 取得极小值.

极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??.

综上所述：

当0a ≤时，()h x 在(),0-∞上单调递减，在()0,+∞上单调递增， 函数()h x 有极小值，极小值是()021h a =--；

当01a <<时，函数()h x 在(),ln a -∞和()0,ln a 和()0,+∞上单调递增，在()ln ,0a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值，

极大值是()()()2

ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??

极小值是()021h a =--；

当1a =时，函数()h x 在(),-∞+∞上单调递增，无极值； 当1a >时，函数()h x 在(),0-∞和()ln ,a +∞上单调递增， 在()0,ln a 上单调递减，函数()h x 有极大值，也有极小值， 极大值是()021h a =--；

极小值是()()()2ln ln 2ln sin ln cos ln 2h a a a a a a ??=--+++??.

21．（I ）2212

x y +=.

（Ⅱ）SOT ∠的最大值为

3

π

，取得最大值时直线l

的斜率为1k =.

【解析】解：（I ）由题意知

c e a ==，22c =， 所以

1a b ==，

因此 椭圆E 的方程为2

212

x y +=.

（Ⅱ）设()()1122,,,A x y B x y ，

联立方程2

211,2

x y y k x ?+=????=??

得(

)

22114210k x x +--=， 由题意知0?>，

且()

12122

111

221x x x x k +=-+， 所以

121AB x =-=.

由题意知12k k =

所以21

k

由此直线OC

的方程为1

y =

.

联立方程22

1

1,2

,x y y ?+=????=??

得22

212

2

1181

,1414k x y k k ==++， 因此

OC =

由题意可知 1

sin

21SOT r

OC r OC

r

∠==++

，

而

1OC r

=

=

令2112t k =+， 则()1

1,0,1t t

>∈，

因此

1OC r

=

==≥，

当且仅当11

2

t =，即2t =

时等号成立，此时1k =，

所以 1

sin 22

SOT ∠≤，

因此

26

SOT π∠≤， 所以 SOT ∠最大值为

3

π

. 综上所述：SOT ∠的最大值为3

π

，取得最大值时直线l

的斜率为1k =.