江苏省南京市2010届高三上学期期末调研测试试题 数学word版

大冈中学2010届高三数学学情分析（1）

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．集合{}0,2A =，{}

2

1,B a =，若{}0,1,2,4A B ?=，则实数a 的值为 ．

2．已知角α的终边经过点(),6P x -，且3

tan 5

α=-

，则x 的值为 ． 3．经过点()2,1-，且与直线50x y +-=垂直的直线方程是 ．

4．若复数12,1z a i z i =-=+（i 为虚数单位），且12z z ?为纯虚数，则实数a 的 值为 ．

5．已知实数x y 、满足约束条件002x y x y ≥??

≥??+≤?

则24z x y =+的最大值为 ．

6．某学校有两个食堂，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的 一个食堂用餐，则他们在同一个食堂用餐的概率为 ． 7．设等差数列{}n a 的公差0d ≠，14a d =，若k a 是1a 与2k a

的等比中项，则k 的值为 ．

8．根据如图所示的算法流程，可知输出的结果i 为 ． 9．下图是一次考试结果的频率分布直方图，若规定60分以上 （含60）为考试合格，则这次考试的合格率为 ．

0． 0．0．0．0．o 20 40 60 80 100 分数／分

(第9题图)

10．设,,a b c

是单位向量，且a b c += ，则a c 的值为 ．

11．如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为2cm ，高位5cm ，一质点自A 点出发，

沿着三棱柱的侧面绕行两周到达1A 点的最短路线的长为 cm ．

12．若不等式23

22x x x ax ++-≥对()0,4x ∈恒成立，

则实数a 的取值范围是 ．

13．五位同学围成一圈依次循环报数，规定，第一位同学首次 报出的数为2，第二位同学首次报出的数为3，之后每位

同学所报出的数都是前两位同学所报出数的乘积的个位数字， 则第2010个被报出的数为 ．

14．设M 是由满足下列性质的函数()f x 构成的集合：

在定义域内存在0x ，使得()()()0011f x f x f +=+成立．已知下列函数： ①()1f x x

=

；②()2x

f x =；③()()2l

g 2f x x =+；④()cos f x x π=，其中属于集 合M 的函数是 （写出所有满足要求的函数的序号）．

二、解答题（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分）

已知()sin ,1a α= ，()cos ,2b α= ，0,4πα??∈ ???．

⑴若a ∥b

，求tan α的值；

⑵若a b 178=，求sin 24πα??+ ??

?的值．

1C

A

B

C

1A

1B

(第11题图)

16．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

如图，在四棱锥E ABCD -中，四边形ABCD 为平行四边形，BE BC =，AE BE ⊥， M 为CE 上一点，且BM ⊥平面ACE ． ⑴求证：AE BC ⊥；

⑵如果点N 为线段AB 的中点，求证：MN ∥平面ADE ．

17． 如图，矩形ABCD 是机器人踢足球的场地，170AB cm =，80AD cm =，机器人先从AD 的中点E 进入场地到点F 处，40EF

cm =，EF AD ⊥．场地内有一小球从A 点运动，机器人从F 点出发去截小球，现机器人和小球同时出发，它们均作匀速直线运动，并且小球运动的速度是机器人行走速度的2倍．若忽略机器人原地旋转所需的时间，则机器人最快可在何处截住小球？

18．已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>的离心率为12，12F F 、分别为椭圆C 的左、右焦点，

若椭圆C 的焦距为2． ⑴求椭圆C 的方程；

⑵设M 为椭圆上任意一点，以M 为圆心，1MF 为半径作圆M ，当圆M 与椭圆的右准线 l 有公共点时，求△12MF F 面积的最大值．

N

A

B

C

D

E

M

A B

C

D E

19．（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题4分，第3小题8分）

已知函数()()323,f x ax bx x a b R =+-∈在点()()

1,1f 处的切线方程为20y +=． ⑴求函数()f x 的解析式；

⑵若对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有()()12f x f x c -≤，求实数c 的最小值；

⑶若过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，求实数m 的取值范围．

20．（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题6分，第3小题6分） 设函数()()23

03x f x x x +=

>，数列{}n a 满足()

*1111,,2n n a a f n N n a -??==∈≥ ???

且． ⑴求数列{}n a 的通项公式；

⑵设()1

1223344511n n n n T a a a a a a a a a a -+=-+-+???+-，若2n T tn ≥对*n N ∈恒成立，求实

数t 的取值范围；

⑶是否存在以1a 为首项，公比为()*

05,q q q N <<∈的数列{}k n a ，*k N ∈，使得数列{}

k

n a 中每一项都是数列{}n a 中不同的项，若存在，求出所有满足条件的数列{}k n 的通项公式；若不存在，说明理由．

大冈中学2010届高三数学学情分析（1）

参考答案

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分）

1．2± 2．10 3．30x y --= 4．1- 5．8 6．1

4

7．3

8．7 9．72％ 10．

1

2

11．13 12．(

,-∞ 13．4 14．②④

二、解答题（本大题共6小题，共90分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分，第1小题5分，第2小题9分）

解：⑴因为a ∥b

，所以2sin cos αα=．………………… ………………………3分

则1

tan 2

α=．…………………………………………………………………………5分 ⑵因为a b 178=，所以17sin cos 28αα+=，……………………………………7分

即1

sin 24

α=．…………………………………………………………………………9分

因为0,

4πα??

∈ ??

?

，所以20,

2πα??

∈ ??

?

，则cos 2α=

．…………………………11分

sin 2224πααα?

?+= ???

所以

124248

=

+=

…………………………………………………14分 16．（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）

证明：⑴因为BM ⊥平面ACE ，AE ?平面ACE ，所以BM AE ⊥．……………2分 因为AE BE ⊥，且BE BM B ?=，BE BM ?、平面EBC ，

所以AE ⊥平面EBC ．……………………………………………………………………4分 因为BC ?平面EBC ，所以AE BC ⊥．………………………………………………6分 ⑵取DE 中点H ，连结MH AH 、．

因为BM ⊥平面ACE ，EC ?平面ACE ，所以BM ⊥EC ．

因为BE BC =，所以M 为CE 的中点．………………………………………………8分

所以MH 为△EDC 的中位线．所以MH ∥

12DC ，且MH =1

2

DC ．……………10分 因为四边形ABCD 为平行四边形，所以DC ∥AB ，且DC =AB ． 故MH ∥

12AB ，且MH =1

2

AB ． 因为N 为AB 中点，所以MH ∥AN ，且MH =AN ．

所以四边形ANMH 为平行四边形，所以MN ∥AH ．………………………………12分 因为MN ?平面ADE ，AH ?平面ADE ，所以MN ∥平面ADE ．………………14分 17．（本题满分14分）

解：设该机器人最快可在点G 处截住小球 ，点G 在线段AB 上． 设FG xcm =．根据题意，得2BG xcm = ．

则()()1702AG AB BG x cm =-=-．………………………………………………1分 连接AF ，在△AEF 中，40EF AE cm ==，EF AD ⊥，

所以45EAF ∠=?，AF = ．………………………………………………2分 于是45FAG ∠=?．在△AFG 中，由余弦定理， 得2

2

2

2cos FG AF AG AF AG FAG =+-∠ ．

所以(()()2

2

2170221702cos 45x x x =+--?-?．………………8分

解得12370

50

3

x x ==

．………………………………………………………………12分 所以()170270AG x cm =-=，或()370

3

AG cm =-（不合题意，舍去）．………13分

答：该机器人最快可在线段AB 上离A 点70cm 处截住小球．…………………………14分 18．（本题满分16分，第1小题6分，第2小题10分） 解：⑴因为22c =，且

1

2

c a =，所以1,2c a ==．……………………………………2分 所以2

3b =．………………………………………………………………………………4分

所以椭圆C 的方程为22

143

x y +=．……………………………………………………6分

⑵设点M 的坐标为()00,x y ，则2200

143

x y +=．

因为()11,0F -，

2

4a c

=，所以直线l 的方程为4x =．………………………………8分 由于圆M 与l 由公共点，所以M 到l 的距离04x -小于或等于圆的半径R ．

因为()2

2221001R MF x y ==++，所以()()2

2

2

00041x x y -≤++，………………10分

即20010150y x +-≥ ．

又因为22

00

314x y ??=- ???

，所以2

033101504x x -

+-≥．…………………………12分 解得

04

23

x ≤≤．……………………………………………………………………14分 当043x =

时，0y =(

)

12max

122MF F S =?=

．…………16分 19．（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题4分，第3小题8分）

解：⑴()2

323f x ax bx '=+-．…………………………………………………………2分

根据题意，得()()12,10,

f f =-???'=??即32,

3230,a b a b +-=-??+-=?解得10a b =??=?……………………3分

所以()3

3f x x x =-．………………………………………………………………4分

⑵令()0f x '=，即2

330x -=．得1x =±．

因为()12f -=，()12f =-，

所以当[]2,2x ∈-时，()max 2f x =，()min 2f x =-．………………………………6分

则对于区间[]2,2-上任意两个自变量的值12,x x ，都有

()()()()12max min 4f x f x f x f x -≤-=，所以4c ≥．

所以c 的最小值为4．……………………………………………………………………8分 ⑶因为点()()2,2M m m ≠不在曲线()y f x =上，所以可设切点为()00,x y ．

则3

0003y x x =-．

因为()2

0033f x x '=-，所以切线的斜率为2033x -．………………………………9分

则20

33x -=3

00032

x x m

x ---，………………………………………………………………11分

即32

002660x x m -++=．

因为过点()()2,2M m m ≠可作曲线()y f x =的三条切线，

所以方程32002660x x m -++=有三个不同的实数解．

所以函数()3

2

266g x x x m =-++有三个不同的零点．

则()2

612g x x x '=-．令()0g x '=，则0x =或2x =．

则()()0022

g g >?????-+

20．（本题满分16分，第1小题 4分，第2小题6分，第3小题6分）

解：⑴因为()*11

11

1

23

12

,,2133n n n n n a a f a n N n a a ----?

+??===+∈≥ ????且，

所以12

3

n n a a --=

．…………………………………………………………………………2分 因为11a =，所以数列{}n a 是以1为首项，公差为2

3

的等差数列．

所以21

3

n n a +=．…………………………………………………………………………4分

⑵①当2,*n m m N =∈时，

()

21

2122334452211m n m m m T T a a a a a a a a a a -+==-+-+???+-

()()()21343522121m m m a a a a a a a a a -+=-+-+???+-

()24243m a a a =-

+++ ()22241

812329m a a m m m +=-??=-+ ()21

269

n n =-+．…………………………………………………………………………6分

②当21,*n m m N =-∈时，

()

21

2122211m n m m m m T T T a a --+==--

()()2211

8121616399m m m m =-

++++ ()()2211

84326799

m m n n =++=++．…………………………………………8分 所以()()2

2126,9

12679

n n n n T n n n ?-+??=??++??为偶数，，为奇数

要使2n T tn ≥对*

n N ∈恒成立， 只要使()221

26,(9

n n tn n -

+≥为偶数)恒成立． 只要使162,9t n n ??

-+

≥ ???

对为偶数恒成立， 故实数t 的取值范围为59??-∞- ??

?

，．……………………………………………………10分

⑶由21

3

n n a +=

，知数列{}n a 中每一项都不可能是偶数．

①如存在以1a 为首项，公比q 为2或4的数列{}

k n a ，*

k N ∈， 此时{}k

n a 中每一项除第一项外都是偶数，故不存在以1

a 为首项，公比为偶数的数列

{}k

n a ．……………………………………………………………………………………12分

②当1q =时，显然不存在这样的数列{}

k n a ．

当3q =时，若存在以1a 为首项，公比为3的数列{}

k n a ，*

k N ∈． 则11n a =，11n =，1

213

3k k k n n a -+==，312

k k n -=．

所以满足条件的数列{}k n 的通项公式为31

2

k k n -=．……………………………………16分