【配套K12】全国版2019版高考数学一轮复习不等式选讲第2讲不等式的证明学案

第2讲不等式的证明

板块一知识梳理·自主学习

[必备知识]

考点1 比较法

比较法是证明不等式最基本的方法，可分为作差比较法和作商比较法两种．

考点2 综合法

一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫由因导果法．

考点3 分析法

证明命题时，从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法，这是一种执果索因的思考和证明方法．

考点4 反证法

证明命题时先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而得出原命题成立，我们把这种证明方法称为反证法．

考点5 放缩法

证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法．

考点6 柯西不等式 1．二维形式的柯西不等式

定理1 若a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2

＋b 2

)(c 2

＋d 2

)≥(ac ＋bd )2

，当且仅当ad ＝bc 时，等号成立．

2．柯西不等式的向量形式

定理2 设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α＝k β时，等号成立．

[考点自测]

1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)用反证法证明命题“a ，b ，c 全为0”时，假设为“a ，b ，c 全不为0”．( ) (2)若

x ＋2y

x －y

>1，则x ＋2y >x －y .( ) (3)|a ＋b |＋|a －b |≥|2a |.( )

(4)若实数x 、y 适合不等式xy >1，x ＋y >－2，则x >0，y >0.( ) 答案 (1)× (2)× (3)√ (4)√

2．[2018·温州模拟]若a ，b ，c ∈R ，a >b ，则下列不等式成立的是( ) A.1a <1b

B ．a 2>b 2

C.

a

c 2

＋1>b

c 2＋1

D ．a |c |>b |c |

答案 C

解析 应用排除法．取a ＝1，b ＝－1，排除A ；取a ＝0，b ＝－1，排除B ；取c ＝0，排除D.显然

1c 2

＋1>0，对不等式a >b 的两边同时乘以1c 2＋1，立得a c 2＋1>b

c 2＋1

成立．故选C.

3．[课本改编]不等式：①x 2

＋3>3x ；②a 2

＋b 2

≥2(a －b －1)；③b a ＋a b

≥2，其中恒成立的是( )

A ．①③

B ．②③

C ．①②③

D ．①② 答案 D

解析 由①得x 2＋3－3x ＝? ????x －322＋34

>0，所以x 2＋3>3x ；对于②，因为a 2＋b 2

－2(a －b

－1)＝(a －1)2

＋(b ＋1)2

≥0，所以不等式成立；对于③，因为当ab <0时，b a ＋a b －2＝(a －b )

2

ab

<0，

即b a ＋a b

<2.故选D.

4．[2018·南通模拟]若|a －c |<|b |，则下列不等式中正确的是( ) A ．a c －b C ．|a |>|b |－|c | D ．|a |<|b |＋|c |

答案 D

解析 |a |－|c |≤|a －c |<|b |，即|a |<|b |＋|c |，故选D.

5．已知a ，b ，c 是正实数，且a ＋b ＋c ＝1，则1a ＋1b ＋1

c

的最小值为________．

答案 9

解析 解法一：把a ＋b ＋c ＝1代入1a ＋1b ＋1

c

，得

a ＋

b ＋

c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c

c

＝3＋? ????b a ＋a b ＋? ????c a ＋a c ＋? ??

??c b ＋b c

≥3＋2＋2＋2＝9，

当且仅当a ＝b ＝c ＝1

3时，等号成立．

解法二：由柯西不等式得：

(a ＋b ＋c )? ????1a ＋1b ＋1c ≥?

??

??a ·1

a ＋

b ·1b

＋c ·1c 2，

即1a ＋1b ＋1

c

≥9.

6．[2017·全国卷Ⅱ]已知a >0，b >0，a 3＋b 3

＝2.证明： (1)(a ＋b )(a 5

＋b 5

)≥4； (2)a ＋b ≤2.

证明 (1)(a ＋b )(a 5

＋b 5

)＝a 6

＋ab 5

＋a 5

b ＋b 6

＝(a 3

＋b 3)2

－2a 3b 3

＋ab (a 4

＋b 4

) ＝4＋ab (a 2

－b 2)2

≥4.

(2)因为(a ＋b )3

＝a 3

＋3a 2

b ＋3ab 2

＋b 3

＝2＋3ab (a ＋b )

≤2＋3(a ＋b )2

4(a ＋b )＝2＋3(a ＋b )3

4，

所以(a ＋b )3≤8，因此a ＋b ≤2.

板块二 典例探究·考向突破 考向

比较法证明不等式

例 1 [2016·全国卷Ⅱ]已知函数f (x )＝??????x －12＋????

??x ＋12，M 为不等式f (x )<2的解集．

(1)求M ；

(2)证明：当a ，b ∈M 时，|a ＋b |<|1＋ab |.

解 (1)f (x )＝?????

－2x ，x ≤－1

2

，

1，－12

2，

2x ，x ≥12

.

当x ≤－1

2

时，由f (x )<2，得－2x <2，

解得x >－1，即－1

2

；

当－12

；

当x ≥12时，由f (x )<2，得2x <2，解得x <1，即1

2≤x <1.

所以f (x )<2的解集M ＝{x |－1

(2)证明：由(1)知，当a ，b ∈M 时，－1

－(1＋ab )2

＝a 2

＋

b 2－a 2b 2－1＝(a 2－1)(1－b 2)<0.因此|a ＋b |<|1＋ab |.

触类旁通

比较法证明的一般步骤

一般步骤：作差—变形—判断—结论．为了判断作差后的符号，有时要把这个差变形为一个常数，或者变形为一个常数与一个或几个平方和的形式，也可变形为几个因式的积的形式，以判断其正负．常用的变形技巧有因式分解、配方、拆项、拼项等方法．

【变式训练1】 [2018·福建模拟]已知函数f (x )＝|x ＋1|. (1)求不等式f (x )<|2x ＋1|－1的解集M ； (2)设a ，b ∈M ，证明：f (ab )>f (a )－f (－b )．

解 (1)当x ≤－1时，原不等式可化为－x －1<－2x －2，解得x <－1；

当－1

2时，原不等式可化为x ＋1<－2x －2，解得x <－1，此时原不等式无解；

当x ≥－1

2时，原不等式可化为x ＋1<2x ，解得x >1，

综上，M ＝{x |x <－1或x >1}．

(2)证明：证法一：因为f (ab )＝|ab ＋1|＝|(ab ＋b )＋(1－b )|≥|ab ＋b |－|1－b |＝|b ||a ＋1|－|1－b |.

因为a ，b ∈M ，所以|b |>1，|a ＋1|>0， 所以f (ab )>|a ＋1|－|1－b |， 即f (ab )>f (a )－f (－b )．

证法二：因为f (a )－f (－b )＝|a ＋1|－|－b ＋1| ≤|a ＋1－(－b ＋1)|＝|a ＋b |， 所以要证f (ab )>f (a )－f (－b )，

只需证|ab ＋1|>|a ＋b |，即证|ab ＋1|2

>|a ＋b |2

， 即证a 2b 2

＋2ab ＋1>a 2

＋2ab ＋b 2

，

即证a 2b 2

－a 2

－b 2

＋1>0，即证(a 2

－1)(b 2

－1)>0.

因为a ，b ∈M ，所以a 2

>1，b 2

>1，所以(a 2

－1)(b 2

－1)>0成立，所以原不等式成立．

考向

用综合法与分析法证明不等式

例 2 (1)[2018·浙江金华模拟]已知x ，y ∈R . ①若x ，y 满足|x －3y |<12，|x ＋2y |<16，求证：|x |<3

10；

②求证：x 4

＋16y 4

≥2x 3

y ＋8xy 3

. 证明 ①利用绝对值不等式的性质得：

|x |＝15[|2(x －3y )＋3(x ＋2y )|]≤15[|2(x －3y )|＋|3(x ＋2y )|]<15? ????2×1

2＋3×16＝310.

②因为x 4

＋16y 4

－(2x 3

y ＋8xy 3

) ＝x 4

－2x 3

y ＋16y 4

－8xy 3

＝x 3

(x －2y )＋8y 3

(2y －x ) ＝(x －2y )(x 3

－8y 3

)

＝(x －2y )(x －2y )(x 2

＋2xy ＋4y 2

) ＝(x －2y )2

[(x ＋y )2

＋3y 2]≥0， ∴x 4

＋16y 4

≥2x 3

y ＋8xy 3

.

(2)[2018·徐州模拟]已知a ，b ∈R ，a >b >e(其中e 是自然对数的底数)，求证：b a

>a b

.(提示：可考虑用分析法找思路)

证明 ∵b a

>0，a b

>0， ∴要证b a

>a b 只要证a ln b >b ln a 只要证ln b b >ln a

a

.(∵a >b >e)

取函数f (x )＝ln x x ，∵f ′(x )＝1－ln x x

2

令f ′(x )＝0，x ＝e

∴当x >e 时，f ′(x )<0，∴函数f (x )在(e ，＋∞)上单调递减． ∴当a >b >e 时，有f (b )>f (a )，

即

ln b b >ln a

a

，得证．

触类旁通

综合法与分析法的逻辑关系

用综合法证明不等式是“由因导果”，分析法证明不等式是“执果索因”，它们是两种思路截然相反的证明方法．综合法往往是分析法的逆过程，表述简单、条理清楚，所以在实际应用时，往往用分析法找思路，用综合法写步骤，由此可见，分析法与综合法相互转化，互相渗透，互为前提．

【变式训练2】 (1)设a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，证明： ①ab ＋bc ＋ca ≤13

；

②a 2b ＋b 2c ＋c 2

a

≥1. 证明 ①由a 2

＋b 2

≥2ab ，b 2

＋c 2

≥2bc ，c 2

＋a 2

≥2ca 得a 2

＋b 2

＋c 2

≥ab ＋bc ＋ca . 由题设得(a ＋b ＋c )2

＝1， 即a 2

＋b 2

＋c 2

＋2ab ＋2bc ＋2ca ＝1. 所以3(ab ＋bc ＋ca )≤1， 即ab ＋bc ＋ca ≤1

3

.

②证法一：因为a 2b ＋b ≥2a ，b 2c ＋c ≥2b ，c 2

a ＋a ≥2c ，

故a 2b ＋b 2c ＋c 2

a ＋(a ＋

b ＋

c )≥2(a ＋b ＋c )， 即a 2b ＋b 2c ＋c 2

a ≥a ＋

b ＋

c . 所以a 2b ＋b 2c ＋c 2

a

≥1.

证法二：由柯西不等式得：

(a ＋b ＋c )? ??

??c 2a ＋a 2b ＋b 2

c ≥(c ＋a ＋b )2

，

∵a ＋b ＋c ＝1，

∴c 2a ＋a 2b ＋b 2

c

≥1. (2)[2015·全国卷Ⅱ]设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： ①若ab >cd ，则a ＋b >c ＋d ；

②a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．

证明 ①因为(a ＋b )2

＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d )2

＝c ＋d ＋2cd ，由题设a ＋b ＝c ＋

d ，ab >cd ，

得(a ＋b )2

>(c ＋d )2

.所以a ＋b >c ＋d .

②(ⅰ)若|a －b |<|c －d |，则(a －b )2

<(c －d )2

，即(a ＋b )2

－4ab <(c ＋d )2

－4cd .

因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd . 由①得a ＋b >c ＋d .

(ⅱ)若a ＋b >c ＋d ，则(a ＋b )2

>(c ＋d )2

， 即a ＋b ＋2ab >c ＋d ＋2cd . 因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab >cd .

于是(a －b )2

＝(a ＋b )2

－4ab <(c ＋d )2

－4cd ＝(c －d )2

， 因此|a －b |<|c －d |.

综上，a ＋b >c ＋d 是|a －b |<|c －d |的充要条件．

考向

反证法证明不等式

例 3 [2015·湖南高考]设a >0，b >0，且a ＋b ＝1a ＋1

b

.证明：

(1)a ＋b ≥2；

(2)a 2

＋a <2与b 2

＋b <2不可能同时成立．

证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋b

ab

，a >0，b >0，得ab ＝1.

(1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立．

(2)假设a 2

＋a <2与b 2

＋b <2同时成立，则由a 2

＋a <2及a >0，得0

＋a <2与b 2

＋b <2不可能同时成立．

触类旁通

对于某些问题中所证结论若是“都是”“都不是”“至多”“至少”等问题，一般用反证法．其一般步骤是反设→推理→得出矛盾→肯定原结论．

【变式训练3】 [2018·达州校级期末]已知a ，b ，c ∈(0,1)．求证：(1－a )b ，(1－b )c ，(1－c )a 不能同时大于14

.

证明 假设三式同时大于14，即(1－a )b >14，(1－b )c >14，(1－c )a >1

4.

三式同向相乘，得(1－a )a (1－b )b (1－c )c >1

64(*)

又(1－a )a ≤?

???

?1－a ＋a 22＝14

，

同理(1－b )b ≤14，(1－c )c ≤1

4.

所以(1－a )a (1－b )b (1－c )c ≤1

64，

与*式矛盾，即假设不成立，故结论正确．

考向

柯西不等式的应用

例 4 柯西不等式是大数学家柯西在研究数学分析中的“流数”问题时得到的，柯西不等式是指：对任意实数a i ，b i (i ＝1,2，…，n )，有(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2

≤(a 2

1＋a 2

2＋…＋a 2

n )(b 2

1

＋b 2

2＋…＋b 2

n )，当且仅当a i ＝kb i (i ＝1,2，…，n )时，等号成立．

(1)证明：当n ＝2时的柯西不等式；

(2)设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2

＋b 2

＝5，ma ＋nb ＝5，求m 2

＋n 2

的最小值．

解 (1)证明：当n ＝2时，柯西不等式的二维形式为：(a 2

1＋a 2

2)(b 2

1＋b 2

2)≥(a 1b 1＋a 2b 2)2

，(a 2

1＋a 2

2)(b 2

1＋b 2

2)－(a 1b 1＋a 2b 2)2

＝a 21b 2

2＋a 22b 2

1－2a 1a 2b 1b 2＝(a 1b 2－a 2b 1)2

≥0，当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时取得等号．

(2)由柯西不等式得(a 2

＋b 2

)(m 2

＋n 2

)≥(ma ＋nb )2

，所以5(m 2

＋n 2

)≥52

即m 2

＋n 2

≥5，所以

m 2＋n 2的最小值为 5.

触类旁通

利用柯西不等式解题时，要注意配凑成相应的形式，既可从左向右用，也可从右向左用．

【变式训练4】 [2018·皇姑区校级期末]设xy >0，则?

????x 2＋4y 2?

??

??y 2＋1x

2的最小值为( )

A ．－9

B ．9

C ．10

D ．0 答案 B

解析 ? ????x 2＋4y 2? ????y 2＋1x 2≥?

??

??x ·1x ＋2y

·y 2

＝9.当且仅当xy ＝2xy

即xy ＝2时取等号．故选

B.

核心规律

1.证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法和反证法仍是证明不等式的基本方法．要依据题设、题目的结构特点、内在联系，选择恰当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维方法，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．

2.综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程．

3.不等式证明中的裂项形式： (1)

1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1，1n (n ＋k )＝1k ? ??

??1

n －1n ＋k .

(2)1k 2<1k 2－1＝12? ??

??1k －1－1k ＋1.

(3)1k －1k ＋1＝1(k ＋1)k <1k 2<1(k －1)k ＝1k －1－1k . (4)

1n (n ＋1)(n ＋2)＝12????

??1n (n ＋1)－1(n ＋1)(n ＋2).

满分策略

1.作差比较法适用的主要题型是多项式、分式、对数式、三角式，作商比较法适用的主要题型是高次幂乘积结构．

2.如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以

“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法．

3.高考命题专家说：“放缩是一种能力．”如何把握放缩的“度”，使得放缩“恰到好处”，这正是放缩法的精髓和关键所在！

板块三 模拟演练·提能增分

[A 级 基础达标]

1．已知a ，b ，c ，d 均为正数，S ＝a a ＋b ＋d ＋b b ＋c ＋a ＋c c ＋d ＋b ＋d

d ＋a ＋c

，则一定有( )

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

答案 B 解析 S >

a a ＋

b ＋

c ＋

d ＋

b a ＋b ＋

c ＋

d ＋

c

a ＋

b ＋

c ＋

d ＋

d

a ＋

b ＋

c ＋d

＝1，

S <

a

a ＋

b ＋b

a ＋

b ＋

c

c ＋

d ＋

d

c ＋d

＝2，

∴1

2．[2018·驻马店期末]若x 1，x 2，x 3∈(0，＋∞)，则3个数x 1x 2，x 2x 3，x 3x 1

的值( ) A ．至多有一个不大于1 B ．至少有一个不大于1 C ．都大于1 D ．都小于1

答案 B

解析 解法一：设x 1≤x 2≤x 3，则x 1x 2≤1，x 2x 3≤1，x 3x 1

≥1.故选B. 解法二：设x 1x 2>1，x 2x 3>1，x 3x 1

>1， ∴x 1x 2·x 2x 3·x 3x 1>1与x 1x 2·x 2x 3·x 3x 1

＝1矛盾， ∴至少有一个不大于1.

3．设x >0，y >0，M ＝x ＋y 2＋x ＋y ，N ＝x 2＋x ＋y

2＋y

，则M 、N 的大小关系为________．

答案 M

解析 N ＝x 2＋x ＋y 2＋y >x 2＋x ＋y ＋y

2＋x ＋y

＝

x ＋y

2＋x ＋y

＝M .

4．已知a ，b ∈R ，a 2

＋b 2

＝4，则3a ＋2b 的取值范围是________． 答案 [－213，213] 解析 根据柯西不等式

(ac ＋bd )2

≤(a 2

＋b 2

)·(c 2

＋d 2

)，可得(3a ＋2b )2

≤(a 2

＋b 2

)·(32

＋22

) ∴－213≤3a ＋2b ≤213. 3a ＋2b ∈[－213，213]．

[B 级 能力达标]

5．求证：11×3＋13×5＋15×7＋…＋1(2n －1)(2n ＋1)<12(n ∈N *

)．

证明 ∵1(2n －1)(2n ＋1)＝12? ??

??1

2n －1－12n ＋1

∴左边＝12??????? ????1－13＋? ????13－15＋…＋? ????12n －1－12n ＋1＝12? ????1－12n ＋1<12

.

6．[2018·泸州模拟]设函数f (x )＝?

???

??x －4a ＋|x ＋a |(a >0)．

(1)证明：f (x )≥4；

(2)若f (2)<5，求a 的取值范围．

解 (1)证明：??????x －4a ＋|x ＋a |≥?

???

??x ＋a ＋4a

－x ＝a ＋4a

≥4；当且仅当a ＝2时取等号．

(2)f (2)＝?

???

??2－4a ＋|a ＋2|.

①当a ＝2时，?

???

??2－4a ＋|2＋a |<5显然满足；

②当 0

<5，即a 2

－5a ＋4<0?1

③当a >2时，不等式变成a 2

－a －4<0，∴1－172

综上，a 的取值范围为1

1＋17

2

. 7．[2018·龙门县校级模拟]已知函数f (x )＝|2x －1|.

(1)若不等式f ? ??

??x ＋12≤2m ＋1(m >0)的解集为[－2,2]，求实数m 的值； (2)对任意x ∈R ，y >0，求证：f (x )≤2y ＋4

2y

＋|2x ＋3|.

解 (1)不等式f ? ??

??x ＋12≤2m ＋1?|2x |≤2m ＋1(m >0)， ∴－m －12≤x ≤m ＋1

2

，

由解集为[－2,2]，可得m ＋12＝2，解得m ＝3

2.

(2)证明：原不等式即为|2x －1|－|2x ＋3|≤2y ＋4

2y .

令g (x )＝|2x －1|－|2x ＋3|≤|(2x －1)－(2x ＋3)|＝4， 当2x ＋3≤0，即x ≤－3

2时，g (x )取得最大值4，

又2y ＋4

2y

≥2

2y ·42y ＝4，当且仅当2y ＝4

2y

，即y ＝1时，取得最小值4.

则|2x －1|－|2x ＋3|≤2y ＋42y

. 故原不等式成立．

8．[2018·黄山期末](1)已知a ，b ∈(0，＋∞)，求证：x ，y ∈R ，有x 2a ＋y 2b ≥(x ＋y )2

a ＋b

；

(2)若0

证明 (1)证法一：? ????x 2a ＋y 2b (a ＋b )＝x 2＋bx 2a ＋ay 2

b ＋y 2≥x 2＋2xy ＋y 2＝(x ＋y )2

，

当且仅当bx 2a ＝ay 2

b ，即|bx |＝|ay |时取等号，

由于a ，b ∈(0，＋∞)，所以有x 2a ＋y 2b ≥(x ＋y )2

a ＋b

.

证法二：由柯西不等式得

(a ＋b )? ????x 2a ＋y 2b ≥? ??

??a ·x a ＋b ·y b 2，

即(a ＋b )? ??

??x 2a ＋y 2

b ≥(x ＋y )2

，

x 2a ＋y 2b ≥(x ＋y )2a ＋b

. (2)假设结论不成立，即(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 同时大于1.

?

???

?

(2－a )b >1(2－b )c >1(2－c )a >1?(2－a )b ·(2－b )c ·(2－c )a >1， 而(2－a )b ·(2－b )c · (2－c )a ＝(2－a )a ·(2－b )b ·(2－c )c ≤?

????2－a ＋a 22? ??

?

?

2－b ＋b 22

? ??

??2－c ＋c 22＝1， 这与(2－a )b ·(2－b )c ·(2－c )a >1矛盾．

所以假设错误，即(2－a )b ，(2－b )c ，(2－c )a 不能同时大于1. 9．[2018·天津期末]已知x >y >0，m >0. (1)试比较y x 与

y ＋m

x ＋m

的大小；

(2)用分析法证明：xy (2－xy )≤1. 解 (1)因为y x －

y ＋m x ＋m ＝m (y －x )

x (x ＋m )

，x >y >0，m >0.

所以m (y －x )<0，x (x ＋m )>0， 所以

m (y －x )x (x ＋m )<0，即y x －y ＋m

x ＋m <0，

所以y x <

y ＋m

x ＋m

. (2)证明：(用分析法证明)要证xy (2－xy )≤1，

只需证2xy －(xy )2

≤1， 只需证(xy )2

－2xy ＋1≥0， 即证(xy －1)2≥0，

因为x ，y >0，且(xy －1)2

≥0成立， 所以xy (2－xy )≤1.

10．[2018·江阴市期末]已知实数a >0，b >0.

(1)若a ＋b >2，求证：1＋b a ，1＋a

b

中至少有一个小于2；

(2)若a －b ＝2，求证：a 3

＋b >8.

证明 (1)假设1＋b a ，1＋a b 都不小于2，则1＋b a ≥2，1＋a b

≥2，因为a >0，b >0，所以1＋

b ≥2a,1＋a ≥2b ，1＋1＋a ＋b ≥2(a ＋b )，

即2≥a ＋b ，这与已知a ＋b >2相矛盾，故假设不成立． 综上，1＋b a ，1＋a b

中至少有一个小于2.

(2)∵a －b ＝2，∴b ＝a －2， ∵b >0，∴a >2，

∴a 3

＋b －8＝a 3

－8＋a －2＝(a －2)(a 2

＋2a ＋5)， ∴(a －2)[(a ＋1)2

＋4]>0， ∴a 3

＋b >8.