推理与证明教案设计

第一课时 2.1.1 合情推理（一）

教学要求：结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义，能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.

教学重点：能利用归纳进行简单的推理. 教学难点：用归纳进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、新课引入：

1. 哥德巴赫猜想：观察4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜测：任一偶数（除去2，它本身是一素数）可以表示成两个素数之和. 1742年写信提出，欧拉及以后的数学家无人能解，成为数学史上举世闻名的猜想. 1973年，我国数学家陈景润，证明了充分大的偶数可表示为一个素数与至多两个素数乘积之和，数学上把它称为“1+2”. 二、讲授新课： 1. 教学概念：

① 概念：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理. 简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理.

②归纳推理的几个特点;

1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳所得的结论超越了前提所包容的范围.

2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚属未知的现象,因而结论具有猜测性.

3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观察、经验和实验的基础之上 归纳推理的一般步骤：

⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理； ⑵ 提出带有规律性的结论，即猜想； ⑶ 检验猜想。

归纳练习：(i )由铜、铁、铝、金、银能导电，能归纳出什么结论？

(ii )由直角三角形、等腰三角形、等边三角形内角和180度，能归纳出什么结论？

(iii )观察等式：2221342,13593,13579164+==++==++++==，能得出怎样的结论？ ③ 讨论：(i )统计学中，从总体中抽取样本，然后用样本估计总体，是否属归纳推理？ (ii )归纳推理有何作用？ （发现新事实，获得新结论，是做出科学发现的重要手段） (iii )归纳推理的结果是否正确？（不一定） 2. 教学例题：

① [例1] 观察图，可以发现：1=12,1+3=4=22,1+3+5=9=32, 1+3+5+7=16=42, 1+3+5+7+9=25=52, … 由上述具体事实能得出怎样的结论？

② 出示例题：已知数列{}n a 的第1项12a =，且1(1,2,)1n

n n

a a n a +=

=+，试归纳出通项公式. （分析思路：试值n =1，2，3，4 → 猜想n a →如何证明：将递推公式变形，再构造新数列）

3. 小结：①归纳推理的药店：由部分到整体、由个别到一般；②典型例子：哥德巴赫猜想的提出；数列通项公式的归纳. 三、巩固练习：

22221.:5124,7148,111120,131168,...24,,?

-=-=-=-=观察所得的结果都是的倍数继续试验你能得到什么猜想

1122.{},1,(*),2.n

n n n

a a a a n N a +==

∈+在数列中试猜想这个数列的通项公式

123.,2(1).n n n -+对于任意正整数猜想与的大小关系

第二课时 2.1.1 合情推理（二）

教学要求：结合已学过的数学实例，了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.

教学重点：了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理. 教学难点：用归纳和类比进行推理，作出猜想. 教学过程： 一、复习准备：

导入：鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理，发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、扰轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理. 二、讲授新课： 1. 教学概念：

① 概念：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的几个特点;

1.类比是从人们已经掌握了的事物的属性,推测正在研究的事物的属性,是以旧有的认识为基础,类比出新的结果.

2.类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性.

3.类比的结果是猜测性的不一定可靠,单它却有发现的功能

2. 教学例题：

① 出示例1：类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质. （得到如下表格）

思维：直角三角形中，090C ∠=，3条边的长度,,a b c ，2条直角边,a b 和1条斜边c ； →3个面两两垂直的四面体中，090PDF PDE EDF ∠=∠=∠=，4个面的面积123,,S S S 和S

3个“直角面”123,,S S S 和1个“斜面”S . → 拓展：三角形到四面体的类比. 3. 小结：类比推理的一般步骤:

1. 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征

2. 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想

3. 检测猜想

1012121992.{},0,......(19,*).,{},1,?

n n n n a a a a a a a a n n N b b -=+++=+++<∈=在等差数列中若则有且成立类比上述性质在等比数列中若则存在怎样的等式

第三课时 2.1.2 演绎推理

教学要求：结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本方法，并能运用它们进行一些简单的推理。.

教学重点：了解演绎推理的含义，能利用“三段论”进行简单的推理.

教学难点：分析证明过程中包含的“三段论”形式.

教学过程：

一、复习准备：

复习:合情推理

归纳推理的一般步骤：

类比推理的一般步骤：

二、讲授新课：

观察与思考

1.所有的金属都能导电, 因为铜是金属, 所以铜能够导电.

2.一切奇数都不能被2整除因为(2100+1)是奇数, 所以(2100+1)不能被2整除.

3.三角函数都是周期函数, 因为tan 三角函数, 所以是tan 周期函数

1. 教学概念：

①概念：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理。

要点：由一般到特殊的推理。

②讨论：演绎推理与合情推理有什么区别？

合情推理?

?

?

归纳推理：由特殊到一般

类比推理：由特殊到特殊

；演绎推理：由一般到特殊.

“三段论”是演绎推理的一般模式：第一段：大前提——已知的一般原理；第二段：小前提——所研究的特殊情况；第三段：结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断.

④举例：举出一些用“三段论”推理的例子.

2. 教学例题：

练习

:(0){},.

n n n a cq cq a =≠1.证明通项公式为的数列是等比数列并分析证明过程中的三段论

,,,,:ABC AC BC CD AB ACD BCD ?>∠>∠2.如图在中是边上的高求证,,ABC CD AB AC BC

AD BD ACD BCD

?⊥>>∠>∠证明：在中因为 所以于是指出上面证明过程中的错误。

3. 比较：合情推理与演绎推理的区别与联系？（从推理形式、结论正确性等角度比较；演绎推理可以验证合情推理的结论，合情推理为演绎推理提供方向和思路.）

? ①归纳是由特殊到一般的推理; ②类比是由特殊到特殊的推理; ③演绎推理是由一般到

特殊的推理.

? 从推理的结论来看,合情推理的结论不一定正确,有待证明;演绎推理得到的结论一定正确. 演绎推理是证明数学结论、建立数学体系的重要思维过程.

三、巩固练习：

D B

C

A

第一课时 2.2.1 综合法和分析法（一）

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.

教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备：

1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则

12

11

4a a +≥”

，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111

....n

a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a

b

c R +∈，1a b c ++=，求证：

111

9a b c

++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？ 二、讲授新课： 1. 教学例题：

① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a(b 2+c 2)+b(c 2+a 2)≥4abc

② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示：

要点：顺推证法；由因导果.

③ .例2：2221

,,||||()ABC a CA b S a b a b ?===-设CB 求证

④ 出示例3：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形. 2. 练习：、

1.已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证

3b c a a c b a b c

a b c

+-+-+-++>

2,A B 为锐角，且tan tan tan A B A B ++=60A B +=. （提示：算tan()A B +） 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ???，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 三、巩固练习：

1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P44 练习 1题）

2. ABC ?的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113

a b b c a b c

+=

++++. 3. 作业：教材P 46 A 组 1题.

第二课时 2.2.1 综合法和分析法（二）

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.

教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备：

1. 提问：基本不等式的形式？

2. 讨论：如何证明基本不等式

(0,0)2

a b

a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件） 二、讲授新课： 1. 教学例题：

① 出示例1.

讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式）

→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法

② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：

要点：逆推证法；执果索因

.

22

()()0,:.828a b a b a b a b a b

-+->><<例2.已知求证

例3:如图,SA ⊥平面ABC,AB ⊥BC,过A 作SB 的垂线,垂足为E,过E 作SC 的垂线,垂足为F,求证 AF ⊥SC

222224.,(),sin cos 2sin ,

(1)

2

sin cos sin ,

(2)

1tan 1tan :.

1tan 2(1tan )

k k Z π

αβπθθαθθβαβαβ≠+

∈+=?=--=++已知且求证

③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：112

23

33

2

()()x y x y +>+. 先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.

④ 出示例4：见教材P 48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例5：见教材P 49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求） 2. 练习：

>+1.求证

21

,,,2,(),22a b c S ab S a b c S a ==++<2.设为一个三角形的三边且试证

222tan sin ,tan sin ,()16a b a b ab αααα+=-=-=3.已知求证

3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ???，直到所有的已知P 都成立；

比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意） 三、巩固练习：

1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S

是三角形的面积，求证：2224c a b ab --+≥.

略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 4sin ab C ab C -+≥，

即证：2cos C C -≥

cos 2C C +≤，即证：sin()16

C π

+

≤（成立）.

2. 作业：教材P 46练习 2、3题.

第三课时 2.2.2 反证法

教学要求：结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.

教学重点：会用反证法证明问题；了解反证法的思考过程. 教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法. 教学过程： 一、复习准备：

A 、

B 、

C 三个人，A 说B 撒谎，B 说C 撒谎，C 说A 、B 都撒谎。则C 必定是在撒谎，为什么？ 分析：假设C 没有撒谎，则C 真. ——那么A 假且B 假; 由A 假，知B 真. 这与B 假矛盾. 那么假设C 没有撒谎不成立; 则C 必定是在撒谎. 二、讲授新课：

1. 教学反证法概念及步骤：

提出反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立.

证明基本步骤：假设原命题的结论不成立 → 从假设出发，经推理论证得到矛盾 → 矛盾的原因是假设不成立，从而原命题的结论成立

应用关键：在正确的推理下得出矛盾（与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实矛盾等）.

方法实质：反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，即由一个命题与其逆否命题同真假，通过证明一个命题的逆否命题的正确，从而肯定原命题真实. 注：结合准备题分析以上知识. 2. 教学例题：

332,:2p q p q +=+≤例1.已知求证

例2 已知a ≠0，证明x 的方程ax=b 有且只有一个根。 例3：求证圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分.

分析：如何否定结论？ → 如何从假设出发进行推理？ → 得到怎样的矛盾？ 与教材不同的证法：反设AB 、CD 被P 平分，∵P 不是圆心，连结O P ，

则由垂径定理：O P ⊥AB ，O P ⊥CD ，则过P 有两条直线与OP 垂直（矛盾），∴不被P 平分.

222,,,2,2,2,

2

3

6:,,0.

a b c a x y b y z c z x a b c π

π

π

=-+=-+

=-+

例4.若均为实数且求证中至少有一个大于

④ 练习：

1..求证

3.,,,.2

ABC a b c B π

?<

的三边的倒数成等差数列求证

3. 小结：反证法是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确. 注意证明步骤和适应范围（“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征的问题） 三、巩固练习： 1. 练习：教材P 45 1、2题 2. 作业：教材P 46 A 组3题.

第一课时 数学归纳法（1）

教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. 教学难点：数学归纳法中递推思想的理解. 教学过程： 一、复习准备：

1、已知数列{a n }中，a 1=1,a n+1=a n /(a n +1),试求出a 2,a 3,a 4并猜想{a n }的通项公式

2、费马猜想

1

2234

2222*21 5 2117 21257 2165537

21()n

n N +=+=+=+=+∈都是质数，于是他用归纳推理提出猜想任何形如的数都是质数

225522142949672976416700417n

n =+==?时，是一个合数：

3、思考

? 从一个袋子里第一次摸出的是一个白球,接着,如果我们有这样一个保证:“当你这一次摸出的白球,

则下一次摸出的一定也是白球.”

能判断这个袋子里装的全是白球吗? 4、多米诺骨牌游戏. 成功的两个条件：（1）第一张牌被推倒；（2）骨牌的排列，保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒. 二、讲授新课：

1、数学归纳法的定义

对于某些与正整数n 有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性： 先证明当n 取第一个值n 0

时命题成立；

然后假设当n=k(k ∈N*，k ≥n 0

)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。

数学归纳法两大步：（i ）归纳奠基：证明当n 取第一个值n 0时命题成立；（ii ）归纳递推：假设n =k （k ≥

n 0， k ∈N *）时命题成立，证明当n =k +1时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n 0开始的所有正整数n 都成立 2. 教学数学归纳法的应用：

例1、用数学归纳法证明1+3+5+……+(2n-1)=n 2

（n ∈N ）. 例2：用数学归纳法证明

2222(1)(21)

1236

n n n n +++++

+=

练习：

求证: 11

(11)(1)(1)3

21

n ++???+

>-n ∈N *）. 3. 小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉”；从n =k 到n =k +1时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等. 三、巩固练习： 1. 练习：教材96 1

第二课时 数学归纳法（2）

教学要求：了解数学归纳法的原理，并能以递推思想作指导，理解数学归纳法的操作步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题，并能严格按照数学归纳法证明问题的格式书写. 教学重点：能用数学归纳法证明几个经典不等式. 教学难点：理解经典不等式的证明思路. 教学过程： 一、复习准备： 二、讲授新课： 1. 教学例题： ①例1:已知数列

1111

,,,,,1×44×77×10(3n -2)(3n +1)

计算1234S ,S ,S ,S ,根据计算的结果,猜想 n S 的表达式,并用数学归纳法进行证明.

例2:是否存在常数a 、b,使得等式:222212n an +n

++…+=1335(2n -1)(2n +1)bn +2

对一切正整数n 都成立,并证明你的结论.

例3:用数学归纳法证明21

31()35

2n n f n ++=?+对任意的自然数n,f(n)都能被17整除

例4:平面内有n 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过同一点,证明交点的个数f(n)=n(n-1)/2.