淮南市2014-2015(1)期末考试高二数学试卷(理科)试卷及答案

淮南市2014-2015学年度高二第一学期期末考试

数学试卷（理科）

一、选择题（10*4=40分）

1．2,1F F 为平面上两个不同定点，4||21=F F ,动点P 满足：4||||21=+PF PF ，则动点P 的轨迹是（ ）

A.椭圆

B.线段

C.不存在

D.椭圆或线段或不存在

2． “p q ∨是真命题”是“p ?为假命题”的( )

A ．必要不充分条件

B ．充分不必要条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

3．执行右面的程序框图，若输入N ＝2015，则输出S 等于( )

A ．1

B ．20142015

4．已知变量x ，y 之间具有线性相关关系，其回归方程为^

y ＝－3＋bx ，若10

10

1

1

17,4,

i i i i x y ====∑∑则b 的值为( )

A ．2

B ．1

C ．－2

D ．－1

5．对于平面α，β，γ和直线a ，b ，m ，n ，下列命题中真命题是（ ） A ．若a m ⊥，a n ⊥，m α?，n α?，则a α⊥ B ．若//αβ，a α

γ=，b βγ=，则//a b

C ．若//a b ，b α?，则//a α

D ．若a β?，b β?，//a α，//b α，则//βα

6．已知双曲线C:22x a －22y b ＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为2

，则C 的渐近线方程为 ( )

A 、y=±

14x （B ）y=±13x （C ）y=±1

2

x （D ）y=±x

7．已知0a b >>，12,e e 分别为圆锥曲离心率，则

12lg lg e e +的值为（ ）

A ．正数

B ．负数

C ．零

D ．不确定

8．一个几何体的三视图是一个正方形，一个矩形，一个半圆，尺寸大小如图所示，则该几何体的表面积是（ ）

A.π

B.34π+

C.4π+

D.24π+

9.若曲线2

14x y

=上的动点P 到(1A -的距离与到y 轴的距离之和为d ，则d 的最小值是（ ）

A .

B . C. 3 D. 4

10．如图，在四棱锥P －ABCD 中，侧面PAD 为正三角形，底面ABCD 为正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，M 为底面ABCD 内的一个动点，且满足MP ＝MC ，则点M 在正方形ABCD 内的轨迹为( )

第II 卷（非选择题）

二、填空题（5*3=15分）

11．如图正△ABC 的斜二测画法的水平放置图形的直观图，若△A′B′C′的面积为，那

么△ABC 的面积为 ．

12．已知点P 是抛物线2

6y x =上的动点，F 是抛物线的焦点，7(,2

A 为定点，则

PA PF +

的最小值是 ，取得最小值时点P 的坐标是 .

13．已知椭圆22

22:1(0)x y C a b a b

+=>>的左焦点为

,F C 与过原点的直线相交于,A B 两点， 4

,.10,6,cos ABF ,5

AF BF AB AF C e ==∠=

连接若则的离心率= .

14.10，则m = ． 15．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，P 为BC 的中点，Q 为线段1CC 上的动点，过点,,A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为S ，则下列命题正确的是 （写出所有正确命题的编号）。

时，S 为四边形 时，S 与11C D 的交点R 满足时，S 为六边形

⑤当1CQ =时，S 的面积为

三．解答题（5小题共45分）

16．（本小题8分）如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PA ＝AB ＝2，M, N 分别为PA, BC 的中点．

（1）证明：MN ∥平面PCD ；

（2）求MN 与平面PAC 所成角的正切值．

17．（本小题9分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AA 1C 1C 是边长为4的正方形.平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，AB=3，BC=5.

（1）求证：AA 1⊥平面ABC ；

（2）求二面角A 1-BC 1-B 1的余弦值； （3）求点C 到平面11A BC 的距离.

18．（本小题9分）如图，斜率为1的直线过抛物线y 2

＝2px(p>0)的焦点，与抛物线交于两 点A,B ，M 为抛物线弧AB 上的动点．

（1）若｜AB ｜＝8，求抛物线的方程； （2）求ABM S ?的最大值

19. （本小题9分）已知中心在坐标原点的双曲线C 的右焦点为（2,0），左顶点为(。 （1）求双曲线C 的方程；

（2）若直线:l y kx =C 恒有两个不同的公共点A,B,且2OA OB >(其中O 为坐标原点)，求k 的取值范围。

20．（本小题满分10 （1）求椭圆的方程；

（2）当4>a 时，过椭圆的右焦点F 任作一条斜率为k （0≠k ）的直线交椭圆于A ，B 两

点，问在F 右侧是否存在一点D )0,(m ，连AD 、BD M ，N 两点，且以MN 为直径的圆恰好过F ，若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．

淮南市2014-2015学年度高二第一学期期末考试

数学试卷（理科）

备注：第三题没有答案，请各校自行赋分！谢谢 11. ;12.

5

7

; 13. 520-或； 14. (1) (2) (3) (5). 15. 解：若命题p 为真，则210,10,211,k k k k ->??

->??-≠-?

解得1k >； 2分

若命题q 为真，则(4)(3)0k k --<，解得3k <或4k >. 由题意可知命题p 与q 一真一假, 3分 当p 真q 假时，则1,

34,

k

k >??

≤≤?，解得34k ≤≤； 5分

当p 假q

真时，则1,

34,

k k k ≤?

?

<>?或解得1k

≤. 7分

综上，实数k 的取值范围1k ≤或34k ≤≤. 8分 考点：1椭圆和双曲线的标准方程；2复合命题真假判断。 16.

证明：（1）取PD 的中点E ，连接ME, CE ． ∵M, N 分别为PA, BC 的中点，

∴MNCE 是平行四边形，∴MN ∥CE ， 2分

∵CE ?平面PCD ，MN ?平面PCD ，

∴MN ∥平面PCD ． 5分

解：（2）作NF ⊥AC 于F ，连接MF ．

∵PA ⊥平面ABCD ，∴PA ⊥NF ，又∵PA ∩AC ＝A ，

∴NF ⊥平面PAC ，∴∠FMN 是MN 与平面PAC 所成的角． 6分

分 解法二：（1）建立如图所示的坐标系，则A(0，0，0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),

P(0,0,2),M(0,0,1),N(2,1,0),PD 中点E(0，1，0),则(2,1,1)EC =-,(2,1,1)MN =-

EC ∴∥MN ,即EC ∥MN ,?又EC 平面PCD ,MN PCD ?平面,MN ∴平面PCD

5分

(2)设平面PAC 的一个法向量为(,,)n x y z =，则n PA n AC ?⊥??⊥??0

0n PA n AC ?=???=??00

z x y =??

?

+=? 令1y =-，得(1,1,0)n =-，由（1）知(2,1,1)MN =-，设M N P A C 与平面所成的角为θ，

则3sin 6n MN n MN

θ=

=

,tan 11

θ∴=。 9分

考点： 1、线面平行的判定定理和性质定理；2、线面角的求法． 17.证明：（1）因为11AAC C 为正方形，所以1AA AC ⊥. 因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C ，，且平面ABC

平面AA 1C 1C AC =，

所以1AA ⊥平面ABC. 3分 解：（2）由（1）知，1AA ⊥AC, 1AA ⊥AB.

由题意知3,5,4AB BC AC ===，所以AB AC ⊥. 如图，以

A

为原点建立空间直角坐标系

A xyz -,则

()()()()1110,3,0,0,0,4,0,3,4,4,0,4B A B C .

设平面11A BC 的法向量为(),,n x y z =，则1110,0.

n A B n AC ??=???=??即340,40,y z x -=??=?

令3z =，则0,4x y ==，所以()0,4,3n =. 同理可得，平面11B BC 的法向量为()3,4,0m =.

16

,25

||||m n m n m n ?>=

=

?. 由题知二面角A 1-BC 1-B 1为锐角，所以二面角A 1-BC 1-B 1分 y

x

（3）由（2）知平面11A BC 的法向量为()

0,4,3n =，

1(0,0,4)

CC =

所以点C 到平面

11A BC 距离112

5

C C n d n

=

=

9分

本题考查了平面与平面垂直的性质定理，直线和平面垂直的判定定理，考查了法向量、空间

向量在立体几何中的应用和二面角的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力. 18. (1)

由条件知l AB ，则22y px =，消去y x 1＋x 2＝3p ，由抛物线定义得|AB|＝x 1＋x 2＋p ＝4p.

又因为|AB|＝8，即p

＝2，则抛物线的方程为24y x =. 4

分 (2)由(1)知|AB|＝4p ，且l AB x 得：22

2

0y px p --=，即

M 到AB

M 在直线AB

当0y p =时，

分 19.解：（1）当焦点在x 轴上时，

由，故所求椭圆方程

为 当焦点在y 轴上时，

4分 （2）如图所示：

设

直

线

AB 的方程为

()()

3,0y k x k =-≠，

系）得：

∴由 …… ① M D A 、、三点共线，即//MD DA ,且MD m ?=- ，()11,DA

x m y =-,

……②

根所题意，即0FM FN FM FN ⊥??=，

163163FM FN ??= ?

?????= ? ……③ 由①、②、③得：

210k +>，∴由21640005m m -=?=±，

点D 在()3,0F 的右侧，∴3m >，5m =． 9分

∴存在满足条件的D 点，且5m =．

考点：①椭圆的方程和性质；②直线方程；③向量共线和垂直的动用；④根与系数的关系；⑤数形结合思想；⑥方程思想；⑦推理和运算能力．