专题七归纳猜想型问题MicrosoftWord文档分析

专题七归纳猜想型问题

一、中考专题诠释

归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。

二、解题策略和解法精讲

归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。

由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。

三、中考考点精讲

考点一：猜想数式规律

通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。

例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是．

思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n．

解：第八项为-27a8=-128a8．

点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．

对应训练

1．（2013?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n

考点二：猜想图形规律

根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。

例2 （2013?牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是．

思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1个；第3个图形共有三角形5+3×3-1个；第4个图形共有三角形5+3×4-1个；…；则第n 个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；

解答：解：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；

第2个图形共有三角形5+3×2-1个；

第3个图形共有三角形5+3×3-1个；

第4个图形共有三角形5+3×4-1个；

…；

则第n个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；故答案为：3n+4

点评：此题考查了规律型：图形的变化类，解决这类问题首先要从简单图形入手，抓住随着“编号”或“序号”增加时，后一个图形与前一个图形相比，在数量上增加（或倍数）情况的变化，找出数量上的变化规律，从而推出一般性的结论．

例3（2013?绥化）如图所示，以O为端点画六条射线后OA，OB，OC，OD，OE，O后F，再从射线OA上某点开始按逆时针方向依次在射线上描点并连线，若将各条射线所描的点依次记为1，2，3，4，5，6，7，8…后，那么所描的第2013个点在射线上．

思路分析：根据规律得出每6个数为一周期．用2013除以3，根据余数来决定数2013在哪条射线上．

解：∵1在射线OA上，

2在射线OB上，

3在射线OC上，

4在射线OD上，

5在射线OE上，

6在射线OF上，

7在射线OA上，

…

每六个一循环，

2013÷6=335…3，

∴所描的第2013个点在射线和3所在射线一样，

∴所描的第2013个点在射线OC上．

故答案为：OC．

点评：此题主要考查了数字变化规律，根据数的循环和余数来决定数的位置是解题关键．对应训练

2．（2013?娄底）如图，是用火柴棒拼成的图形，则第n个图形需根火柴棒．

2．2n+1

3．（2013?江西）观察下列图形中点的个数，若按其规律再画下去，可以得到第n个图形中所有点的个数为（用含n的代数式表示）．

3．（n+1）2

解：第1个图形中点的个数为：1+3=4，

第2个图形中点的个数为：1+3+5=9，

第3个图形中点的个数为：1+3+5+7=16，

…，

第n个图形中点的个数为：1+3+5+…+（2n+1）=(121)(1)

2

n n

+++

=（n+1）2．

故答案为：（n+1）2．

考点三：猜想坐标变化规律

例3 （2013?威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（0，1），（-1，0）．一个电动玩具从坐标原点0出发，第一次跳跃到点P1．使得点P1与点O关于点A成中心对称；第二次跳跃到点P2，使得点P2与点P1关于点B成中心对称；第三次跳跃到点P3，使得点P3与点P2关于点C成中心对称；第四次跳跃到点P4，使得点P4与点P3关于点A成中心对称；第五次跳跃到点P5，使得点P5与点P4关于点B成中心对称；…照此规律重复下去，则点P2013的坐标为．

思路分析：计算出前几次跳跃后，点P1，P2，P3，P4，P5，P6，P7的坐标，可得出规律，继而可求出点P2013的坐标．

解：点P1（2，0），P2（-2，2），P3（0，-2），P4（2，2），P5（-2，0），P6（0，0），P7（2，0），

从而可得出6次一个循环，

∵2013

6

=335…3，

∴点P2013的坐标为（0，-2）．

故答案为：（0，-2）．

点评：本题考查了中心对称及点的坐标的规律变换，解答本题的关键是求出前几次跳跃后点的坐标，总结出一般规律．

对应训练

3．（2013?兰州）如图，在直角坐标系中，已知点A（-3，0）、B（0，4），对△OAB连续作旋转变换，依次得到△1、△2、△3、△4…，则△2013的直角顶点的坐标为．

3．（8052，0）

考点四：猜想数量关系

数量关系的表现形式多种多样，这些关系不一定就是我们目前所学习的函数关系式。在猜想这种问题时，通常也是根据题目给出的关系式进行类比，仿照猜想数式规律的方法解答。例4 （2013?黑龙江）正方形ABCD的顶点A在直线MN上，点O是对角线AC、BD的交点，过点O作OE⊥MN于点E，过点B作BF⊥MN于点F．

（1）如图1，当O、B两点均在直线MN上方时，易证：AF+BF=2OE（不需证明）

（2）当正方形ABCD绕点A顺时针旋转至图2、图3的位置时，线段AF、BF、OE之间又有怎样的关系？请直接写出你的猜想，并选择一种情况给予证明．

思路分析：（1）过点B作BG⊥OE于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；（2）选择图2，过点B作BG⊥OE交OE的延长线于G，可得四边形BGEF是矩形，根据矩形的对边相等可得EF=BG，BF=GE，根据正方形的对角线相等且互相垂直平分可得OA=OB，∠AOB=90°，再根据同角的余角相等求出∠AOE=∠OBG，然后利用“角角边”证明△AOE和△OBG全等，根据全等三角形对应边相等可得OG=AE，OE=BG，再根据AF-EF=AE，整理即可得证；选择图3同理可证．

解：（1）证明：如图，过点B作BG⊥OE于G，

则四边形BGEF是矩形，

∴EF=BG，BF=GE，

在正方形ABCD中，OA=OB，∠AOB=90°，

∵BG⊥OE，

∴∠OBG+∠BOE=90°，

又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG ，

∵在△AOE 和△OBG 中，

90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠??

∠=∠=???=?

， ∴△AOE ≌△OBG （AAS ）， ∴OG=AE ，OE=BG ，

∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE-GE=OE-BF ， ∴AF-OE=OE-BF ， ∴AF+BF=2OE ；

（2）图2结论：AF-BF=2OE ， 图3结论：AF-BF=2OE ．

对图2证明：过点B 作BG ⊥OE 交OE 的延长线于G ， 则四边形BGEF 是矩形， ∴EF=BG ，BF=GE ，

在正方形ABCD 中，OA=OB ，∠AOB=90°， ∵BG ⊥OE ，

∴∠OBG+∠BOE=90°， 又∵∠AOE+∠BOE=90°， ∴∠AOE=∠OBG ，

∵在△AOE 和△OBG 中，

90AOE OBG AEO OGB OA OB ∠=∠??

∠=∠=???=?

， ∴△AOE ≌△OBG （AAS ）， ∴OG=AE ，OE=BG ，

∵AF-EF=AE ，EF=BG=OE ，AE=OG=OE+GE=OE+BF ， ∴AF-OE=OE+BF ， ∴AF-BF=2OE ；

若选图3，其证明方法同上．

点评：本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等的性质，作辅助线构造出全等三角形与矩形是解题的关键，也是本题的难点．

对应训练

4．（2013?锦州）如图1，等腰直角三角板的一个锐角顶点与正方形ABCD的顶点A重合，将此三角板绕点A旋转，使三角板中该锐角的两条边分别交正方形的两边BC，DC于点E，F，连接EF．

（1）猜想BE、EF、DF三条线段之间的数量关系，并证明你的猜想；

（2）在图1中，过点A作AM⊥EF于点M，请直接写出AM和AB的数量关系；

（3）如图2，将Rt△ABC沿斜边AC翻折得到Rt△ADC，E，F分别是BC，CD边上的点，∠EAF=

1

2

∠BAD，连接EF，过点A作AM⊥EF于点M，试猜想AM与AB之间的数量关系．并证明你的猜想．

4．（1）EF=BE+DF，

证明：如答图1，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=∠ABQ=90°，

在△ADF和△ABQ中

AB AD

ABQ D

BQ DF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ADF≌△ABQ（SAS），

∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，

∵∠DAB=90°，∠FAE=45°，

∴∠DAF+∠BAE=45°，

∴∠BAE+∠BAQ=45°，

即∠EAQ=∠FAE，

在△EAQ和△EAF中

AE AE

EAQ EAF

AQ AF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△EAQ≌△EAF，

∴EF=BQ=BE+EQ=BE+DF．

（2）解：AM=AB，

理由是：∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，

∴

1

2

×BQ×AB=

1

2

×FE×AM，

∴AM=AB．

（3）AM=AB，

证明：如答图2，延长CB到Q，使BQ=DF，连接AQ，

∵折叠后B和D重合，

∴AD=AB，∠D=∠DAB=∠ABE=90°，∠BAC=∠DAC=

1

2

∠BAD，在△ADF和△ABQ中

AB AD

ABQ D

BQ DF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

，

∴△ADF≌△ABQ（SAS），

∴AQ=AF，∠QAB=∠DAF，

∵∠FAE=

1

2

∠BAD，

∴∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAQ=∠EAQ=

1

2

∠BAD，

即∠EAQ=∠FAE，

在△EAQ和△EAF中

AE AE

EAQ EAF

AQ AF

=

?

?

∠=∠

?

?=

?

∴△EAQ≌△EAF，

∴EF=BQ，

∵△EAQ≌△EAF，EF=BQ，

∴

1

2

×BQ×AB=

1

2

×FE×AM，

∴AM=AB．

考点五：猜想变化情况

随着数字或图形的变化，它原先的一些性质有的不会改变，有的则发生了变化，而且这种变化是有一定规律的。比如，在几何图形按特定要求变化后，只要本质不变，通常的规律是“位置关系不改变，乘除乘方不改变，减变加法加变减，正号负号要互换”。这种规律可以作为猜想的一个参考依据。

例5 （2013?张家界）如图，OP=1，过P作PP1⊥OP，得OP1=2；再过P1作P1P2⊥OP1且P1P2=1，得OP2=3；又过P2作P2P3⊥OP2且P2P3=1，得OP3=2；…依此法继续作下去，得OP2012= ．

思路分析：首先根据勾股定理求出OP4，再由OP1，OP2，OP3的长度找到规律进而求出OP2012的长．

解：由勾股定理得：OP4=221

+=5，

∵OP1=211

=+；得OP2=321

=+；OP3=2=431

=+；

依此类推可得OP n=1

n+，

∴OP2012=201212013

+=，

故答案为：2013．

点评：本题考查了勾股定理的运用，解题的关键是由已知数据找到规律．

对应训练

5．（2013?黑龙江）已知等边三角形ABC的边长是2，以BC边上的高AB1为边作等边三角形，得到第一个等边三角形AB1C1，再以等边三角形AB1C1的B1C1边上的高AB2为边作等边三角形，得到第二个等边三角形AB2C2，再以等边三角形AB2C2的边B2C2边上的高AB3

为边作等边三角形，得到第三个等边AB3C3；…，如此下去，这样得到的第n个等边三角形AB n C n的面积为．

5

33

考点六：猜想数字求和

例6（2013?广安）已知直线y=

(1)1

22

n

x

n n

-+

+

++

（n为正整数）与坐标轴围成的三角形

的面积为S n，则S1+S2+S3+…+S2012= ．

思路分析：令x=0，y=0分别求出与y轴、x轴的交点，然后利用三角形面积公式列式表示出S n，再利用拆项法整理求解即可．

解：令x=0，则y=

1

2 n+

，

令y=0，则-

1

2

n

n

+

+

x+

1

2

n+

=0，

解得x=

1

1 n+

，

所以，S n=111

212

n n

++

=

111

()

212

n n

-

++

，

所以，S1+S2+S3+…+S2012=111111111 () 223344520132014 -+-+-++-

=111

() 222014

-=

503

2014

．

故答案为：503 2014

．

点评：本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，表示出S n，再利用拆项法写成两个数的差是解题的关键，也是本题的难点．

对应训练

6．（2013?黔东南州）观察规律：1=12；1+3=22；1+3+5=32；1+3+5+7=42；…，则1+3+5+…+2013的值是．

6．1014049

四、中考真题演练

一、选择题

1．（2013?南平）给定一列按规律排列的数：1234

,,,

251017

，…，则这列数的第6个数是（）

A．6

37

B．

6

35

C．

5

31

D．

7

39

1．A

2．（2013?重庆）下列图形都是由同样大小的矩形按一定的规律组成，其中第（1）个图形的面积为2cm2，第（2）个图形的面积为8cm2，第（3）个图形的面积为18cm2，…，则第（10）个图形的面积为（）

A．196cm2B．200cm2C．216cm2D．256cm2

2．B

3．（2013?呼和浩特）如图，下列图案均是长度相同的火柴按一定的规律拼搭而成：第1个图案需7根火柴，第2个图案需13根火柴，…，依此规律，第11个图案需（）根火柴．

A．156 B．157 C．158 D．159

3．B

4．（2013?重庆）下列图形都是由同样大小的棋子按一定的规律组成，其中第①个图形有1棵棋子，第②个图形一共有6棵棋子，第③个图形一共有16棵棋子，…，则第⑥个图形中棋子的颗数为（）

A．51 B．70 C．76 D．81

4．C

5．（2013?济南）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2013次碰到矩形的边时，点P的坐标为（）A．（1，4）B．（5，0）C．（6，4）D．（8，3）

5．D

6．（2013?济宁）如图，矩形ABCD的面积为20cm2，对角线交于点O；以AB、AO为邻边做平行四边形AOC1B，对角线交于点O1；以AB、AO1为邻边做平行四边形AO1C2B；…；依此类推，则平行四边形AO4C5B的面积为（）

A．5

4

cm2B．

5

8

cm2C．

5

16

cm2D．

5

32

cm2

6．B

二．填空题

7．（2013?沈阳）有一组等式：12+22+22=32，22+32+62=72，32+42+122=132，42+52+202=212…请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第8个等式为．

7．82+92+722=732

8．（2013?曲靖）一组“穿心箭”按如下规律排列，照此规律，画出2013支“穿心箭”是．

8．

9．（2013?三明）观察下列各数，它们是按一定规律排列的，则第n个数是．1371531

,,,,

2481632

，…

9．21 2

n

n

10．（2013?莱芜）已知123456789101112…997998999是由连续整数1至999排列组成的一个数，在该数中从左往右数第2013位上的数字为．

10．7

11．（2013?红河州）下列图形是由一些小正方形和实心圆按一定规律排列而成的，如图所示，按此规律排列下去，第20个图形中有个实心圆．

11．42

12．（2013?衡阳）观察下列按顺序排列的等式：a1＝1?

1

2

，a2＝

11

24

-，a3＝

11

35

-，a4＝11

46

-，…，试猜想第n个等式（n为正整数）：a n= ．

12．

11

2

n n

-

+

13．（2013?遂宁）为庆祝“六?一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比赛．如图所示：按照上面的规律，摆第（n）图，需用火柴棒的根数为．

13．6n+2

14．（2013?深圳）如图，每一幅图中均含有若干个正方形，第1幅图中有1个正方形；第2幅图中有5个正方形；…按这样的规律下去，第6幅图中有个正方形．

14．91

15．（2013?南宁）有这样一组数据a1，a2，a3，…a n，满足以下规律：a1＝

1

2

，a2＝

1

1

1a

-

，

a3＝

2

1

1a

-

，…，a n＝

1

1

1

n

a

-

-

（n≥2且n为正整数），则a2013的值为（结果用

数字表示）．

15．-1

16．（2013?大庆）已知

111

(1)

1323

=-

?

，

1111

()

35235

=-

?

，

1111

()

57257

=-

?

，…

依据上述规律，计算

1

13

+

?

1

35

?

+

1

57

+

?

…

1

1113

+

?

的结果为（写成一个分数的形式）。

16．

6 13

17．（2013?崇左）如图是三种化合物的结构式及分子式．请按其规律，写出后面第2013种化合物的分子式．

17．C2013H4028

18．（2013?聊城）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点O出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点A1

（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），…那么点A4n+1（n为自然数）的坐标为（用n表示）

18．（2n，1）

19．（2013?天水）观察下列运算过程：S=1+3+32+33+…+32012+32013①，

①×3得3S=3+32+33+…+32013+32014②，

②-①得2S=32014-1，S=

2014

31

2

-

．

运用上面计算方法计算：1+5+52+53+…+52013= ．

19．

2014 51

4

-

20．（2013?龙岩）对于任意非零实数a、b，定义运算“⊕”，使下列式子成立：1⊕2=-3

2

，

2⊕1=3

2

，（-2）⊕5=

21

10

，5⊕（-2）=-

21

10

，…，则a⊕b= ．

20．

22 a b ab

-

21．（2013?湖州）将连续正整数按以下规律排列，则位于第7行第7列的数x是．