抽象函数、图像、函数零点
函数基本知识
抽象函数：
1. 已知函数()y f x =的定义域为R ，且对任意,a b R ∈，都有()()()f a b f a f b +=+，且当0x >时，()0f x <恒成立.
证明：（1）函数()y f x =是R 上的减函数；（2）函数()y f x =是奇函数.
2. 已知)(x f 在（－1，1）上有定义，且满足),1(
)()()1,1(,xy
y
x f y f x f y x --=--∈有 证明：)(x f 在（－1，1）上为奇函数；
3. 设)(x f 是R 上的函数，且满足1)0(=f ，并且对于任意的实数x ，y 都有
)12()()(+--=-y x y x f y x f 成立，则=)(x f _____________.
4. 已知定义在R +
上的函数()f x 同时满足下列三个条件：① (3)1f =-; ② 对任意x y R +∈、 都有()()()f xy f x f y =+；③0)(,1<>x f x 时. （1）求)9(f 、)3(f 的值； （2）证明：函数()f x 在R +
上为减函数； （3）解关于x 的不等式2)1()6(-- 5.是定义在()0,+∞()f x 上的减函数,满足()()()f x f y f xy +=. (1)求证:()()x f x f y f y ?? -= ???; (2)若()44f =-,解不等式()( ) 11212 f x f x -≥--. 6. 设函数f (x )的定义域为R ，对任意实数x 1，x 2有f (x 1＋x 2)＝f (x 1)f (x 2)成立，且当x ＜0时，f (x )＞1．数列{a n }满足：a 1＝f (0)，11 ()()(2) n n f a n f a *+=∈--N ． （1）求a 2017； （2）若不等式1212 (1)(1)(1)()21n n a a a t a a a n ++++≥对n * ∈N 恒成立，求实数t 的最 大值． 7.给出下列三个等式： ()()()y f x f xy f +=，()()()y f x f y x f =+， ()()()y f x f y x f +=+，下列函数中不满足其中任何一个等式的是（ ） A.()x x f 3= B. ()x x f 2lg = C. ()x x f 2log = D.()()0≠+=kb b kx x f 函数图像： 1.幂函数2 1311 2x y ,x y ,x y ,x y --== ==在第一象限内的图象依次是图中的曲线（ ） A. 2134,,,C C C C B. 2314C ,C ,C ,C C. 4123C ,C ,C ,C D. 3241C ,C ,C ,C 2. 函数x y 2log 2 =的图像大致是（ ） 3.函数lg x y x = 的图象大致是（ ） 4．函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. y A. B. C. D. 5．函数1 ()12 x y =+的图象关于直线y ＝x 对称的图象大致是（ ） 6. 函数||22x e x y -=在[]2,2-的图像大致为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数1 ()ln(1)f x x x = +-，则()y f x =的图像大致为（ ） A B C D 8. 函数y ＝ln 1 |2x －3| 的图象为( ) 9．已知121 ()(sin )221 x x f x x x -=-?+，则函数()y f x =的图象大致为( ) 10. 已知a >0且a ≠1，则在同一坐标系中，函数x a y -=和y ＝log a (－x )的图象可能是( ) 函数的零点： 1.函数f (x )＝－1 x ＋log 2x 的一个零点落在区间________． A.(0,1) B.(1,2) C. (2,3) D. (3,4) 2.函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为________. 3.若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )>0的解集是________. 4.若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________. 5.函数f (x )＝4x ＋m ·2x ＋1有且仅有一个零点，则m 的取值范围________. 6.函数f (x )＝2x －2 x －a 的一个零点在区间(1,2)内，则实数a 的取值范围是________． 7. 已知函数? ?? >+-≤=m x m mx x m x x x f ,42|,|)(2其中0>m ，若存在实数b ，使得关于x 的方程 f （x ）=b 有三个不同的根，则m 的取值范围是________________. 8. 设函数)(x f 满足)()(x f x f -=且当0≥x 时，x x f ?? ? ??=41)(，又函数x x x g πsin )(=， 则函数)()()(x g x f x h -=在?? ? ???- 2,21上的零点个数为（ ） A3 B4 C5 D6 9. 已知函数x x f ln )(=，? ?? >--≤<=1,2410,0)(2x x x x g 则方程1)()(=+x g x f 实根的 个数为 ． 10. 用min{m ，n }表示m ，n 中的最小值．已知函数f (x )＝x 3＋ax ＋1 4，g (x )＝－ln x ，设函数 h (x )＝min{f (x )，g (x )}(x ＞0)，若h (x )有3个零点，则实数a 的取值范围是 ． （导数 计算） 11. 若二次函数42)(2+-=ax x x f 在()+∞,1内有两个不同零点，求实数a 的取值范围 . 12．已知函数()2 21,0, { 2,0, x x f x x x x ->=--≤若函数()()3g x f x m =+有3个零点，则实数m 的 取值范围是__________． 13.记[]x 表示不超过x 的最大整数，如[][]1.31, 1.32=-=-．设函数()[]f x x x =-，若方程()1log a f x x -=有且仅有3个实数根，则正实数a 的取值范围为（ ） A ．(]3,4 B ．[)3,4 C ．[)2,3 D ．(]2,3 14.已知函数)(x f y =的周期为2,当[02]x ∈，时,,)1()(2-=x x f 如果|1|l o g )()(5--=x x f x g ，则函数的所有零点之和为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 10 15. 函数)1(log )(5-=x x f 的零点是_____ 16. 已知函数f （x ）=|x ﹣1|﹣1，且关于x 方程02)()(2=-+x af x f 有且只有三个实数根，则实数a 的值为（ ） A. 1 B. -1 C. 0 D. 2 17. 已知函数???>-≤=1 ),1(1 ,)(x x f x e x f x ，g （x ）=kx+1，若方程f （x ）﹣g （x ）=0有两个不 同实根，则实数k 的取值范围为________． 18. 已知函数21 3,10()132,01x g x x x x x ?- -<≤? =+??-+<≤? ，若方程()0g x mx m --=有且仅有两个不等 的实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．9(,2][0,2]4-- B ．11 (,2][0,2]4-- C ．9(,2][0,2)4-- D ．11 (,2][0,2)4 -- 19. 若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________. 20. 直线x y =与函数??? ≤++>=m x x x m x x f ,24,2)(2 的图象恰有三个公共点，则实数m 的取值 21 4个互异的实数根， 则实数a 的取值范围为 22. 对于函数()(]? ? ?∈++∞∈=2,0),2(2,2,sin )(x x g x x x g π，若关于 x 的方程)0()(>=n n x f 有且只有两个 不同的实根1x ，2x ，则=+21x x _____. 23. 若偶函数 )(x f y =, R x ∈,满足 )()2(x f x f -=+,且当 []2,0∈x 时, 2 2)(x x f -=, 则方程 x f sin )(=]10,10-内的根的个数为____. 值范围是____. 25. 函数124)(+?+=x x m x f 有且仅有一个零点，则m 的取值范围_________. 26. 已知函数a ax x x f -++=3)(2,当]2,2[-∈x 时，函数至少有一个零点，求a 的取值范围_________． 27．已知函数()ln 26f x x x =+-的零点在区间()1,22k k k Z +??∈ ??? 内，那么k =__________． 28. 函数()(1)sin π1(13)f x x x x =---<<的所有零点之和为____. 29. 函数4log ,0 ()cos ,0 x x f x x x >?=?≤?的图象上关于原点O 对称的点有______对. 函数与零点 基础回顾： 零点、根、交点的区别 零点存在性定理：f （x ）是连续函数；f （a ）f （b ）<0 二分法思想：零点存在性定理 一、基础知识—零点问题 1．若函数)(x f y =在区间[a ,b ]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法正确的是（ ） A ．若0)()(>b f a f ，不存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； B ．若0)()(b f a f ，有可能存在实数),(b a c ∈使得0)(=c f ； D ．若0)()( 嵌套函数与函数的零点问题 1二已知函数f (x )=x +1,x ?0l o g 2x ,x >0{,则y =f (f (x ))+1的零点组成的集合为 .2二?变式?已知函数f (x )=x +1,x ?0l o g 2 x ,x >0{,则y =f (f (x ))-1的零点组成的集合为 .3二函数f (x )=x +1,x ?0,x 2-2x +1,x >0. { ,若关于x 的方程f 2(x )-a f (x )=0恰有5个不同的实数解,则a 的取值范围为 .4二定义域为R 的函数f (x )= |l g x |,x >0,-x 2-2 x ,x ?0.{,关于x 的函数y =2f 2(x )-3f (x )+1的零点个数为 .5二函数f (x )是定义在R 上偶函数,且当x ?0时,f (x )=x |x -2|,若关于x 的方程f 2(x )+a f (x )+b =0恰有1 0个不同的解,则a 的取值范围是 .6二已知函数f (x )=-x 2,x ?0,x 2+2x ,x <0.{ ,则不等式f f x ()()?3的解集是 .7二已知函数f (x )=l o g 2x ,x >0,2x ,x ?0. {,则满足不等式f (f (x ))>1的x 的取值范围是 .8二已知函数f (x )=x 2-2a x +a 2-1若关于x 的不等式f (f (x ))<0的解集为空集,则实数a 的取值范围是 . 9二设函数f (x )是偶函数,当x ?0时,f (x )=x (3-x ),0?x ?3,-3x +1,x >3ì?í???,若函数y =f (x )-m 有四个不同的零点,则实数m 的取值范围是 . 高三数学函数的图像、零点 一：选择题 1.已知函数f （x ）=x 2﹣2x+b 在区间（2，4）有唯一零点，则b 的取值围是（ D ） A 、R B 、（﹣∞，0） C 、（﹣8，+∞） D 、（﹣8，0） 2.设，用二分法求方程在（1，3）近似解的过程中，f （1）＞0，f （1.5）＜0，f （2）＜0，f （3）＜0，则方程的根落在区间（ A ） A 、（1，1.5） B 、（1.5，2） C 、（2，3） D 、无法确定 3.已知函数31 )21()(x x f x -=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（ B ） （A ）)31,0( （B ）)2 1 ,31( （C ）)32,21( （D ）)1,3 2( 4.设函数，则函数y=f （x ）（ A ） A 、在区间（0，1），（1，2）均有零点 B 、在区间（0，1）有零点，在区间（1，2）无零点 C 、在区间（0，1），（1，2）均无零点 D 、在区间（0，1）无零点，在区间（1， 2）有零点 5.已知1x 是方程32=?x x 的根, 2x 是方程2log 3x x ?=的根，则21x x 的值为（ B ） A.2 B.3 C.6 D.10 6.已知x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点．若x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞），则（ B ） A 、f （x 1）＜0，f （x 2）＜0 B 、f （x 1）＜0，f （x 2）＞0 C 、f （x 1）＞0，f （x 2）＜0 D 、f （x 1）＞0，f （x 2）＞0 解答：解：∵x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点∴f （x 0）=0 ∵f （x ）=2x +是单调递增函数，且x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞）， ∴f （x 1）＜f （x 0）=0＜f （x 2） 故选B ． 7.如图是函数f （x ）=x 2+ax+b 的部分图象，函数g （x ）=e x ﹣f'（x ）的零点所在的区间是（k ，k+1）（k ∈z ），则k 的值为（ C ） A ． ﹣1或0 B ． 0 C ． ﹣1或1 D ． 0或1 解答： 高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1= 3. 【2014南通高三期末测试】设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2 ()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠??=?=??，， ， ． 则函数()f x 和()g x 的图象在 区间[]510-， 内公共点的个数为 ． 【答案】15 【文·山东实验中学高三三模·2014】5．函数y= 1x n x x 的图象大致是 【答案】B 5.【常州市2013届高三教学期末调研测试】已知函数f (x )＝32 , 2,(1),02x x x x ????-<0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取 值范围是________． 答案：[1 2 ，1)∪(1,2] 9．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]的图象如下图所示： 则方程f [g (x )]＝0有且仅有________个根，方程f [f (x )]＝0有且仅有________个根． 解析：由图可知f (x )＝0有三个根，设为x 1，x 2，x 3，－ 2 函数的零点 【题型一】函数的零点个数 【解题技巧】用导数来判断函数的零点个数，常通过研究函数的单调性、极值后，描绘出函数的图象，再借助图象加以判断。 【例1】已知函数3 ()31,0f x x ax a =--≠ ()I 求()f x 的单调区间； ()II 若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x = 的图象有三个不同的交点， 求m 的取值范围。 变式：已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-，且在区间[0,2]上是增函数，若方程 ()(0)f x m m =>在区间[8,8]-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，则 1234_________. x x x x +++= 【答案】 -8 【解析】因为定义在R 上的奇函数，满足(4)()f x f x -=-，所以(4)()f x f x -=-，所以, 由)(x f 为奇函数，所以函数图象关于直线2x =对称且(0)0f =，由(4)()f x f x -=-知(8)()f x f x -=，所以函数是以8为周期的周期函数，又因为)(x f 在区间[0,2]上 是增函数，所以)(x f 在区间[-2,0]上也是增函数．如图所示，那么方程f(x)=m(m>0) 在区间 []8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ，不妨设1234x x x x <<<，由对称性知 1212 x x +=-， 344 x x +=． 所以12341248 x x x x +++=-+=-． 6 【题型二】复合函数的零点个数 复合函数是由内层函数与外层函数复合而成的，在处理其零点个数问题时，应分清内层和外层函数与零点的关系。 【解题技巧】函数()(())h x f f x c =-的零点个数的判断方法可借助换元法解方程的思想 分两步进行。即令()f x d =，则()()h x f d c =- 第一步：先判断()f d c =的零点个数情况 第二步：再判断()f x d =的零点个数情况 【例2】已知函数3()3f x x x =- 设()(())h x f f x c =-，其中[22]c ∈-，，求函数()y h x =的零点个数 1．（江苏省连云港市2013届高三上学期摸底考试（数学）已知函数 322()39(0)f x x ax a x a =--≠.若方程'2()12169f x nx ax a a =---在[l,2]恰好有两个 相异的实根,求实数a 的取值范围(注:1n2≈0.69): 【题型三】如何运用导数求证函数“存在、有且只有一个”零点 【解题技巧】（1）要求证一个函数存在零点，只须要用“函数零点的存在性定理”即可证明。即： 高中数学专题练习-函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(·湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(2015·北京)设函数f (x )＝??? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (·东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (·天津)已知函数f (x )＝??? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实数 a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌 握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和 所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理 问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 问题2:函数2 ()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 解法二:几何解法 (1). ()e 2 x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 11. 已知函数f(x)＝???x ，x ≥0，x 2，x ＜0， 则关于x 的不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是__________ 11. (－∞，－3)∪(1，3) 解析：x≤32 时原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x≤32；x ＞32时原不等式化为x 2＞(3－2x)2，解得32 ＜x ＜3.综上x ＜－3或1＜x ＜3.本题考查分类讨论的思想，考查解不等式的能力．本题属于中等题． 11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝－x ＋2，则不等式f(x)－x 2≥0的解集为________． 11. [－1，1] 解析：∵ f(x)≥x 2，而f(x)示意图如下： 令x 2＝－x ＋2，得x ＝1(x>0)，从而由图象知，原不等式解集为[－1，1]． 本考查了函数的综合运用，以及数形结合数学思想．本题属于中等题． 13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________． 13. 14 解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14 . 12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是____________． 12. (4，＋∞) 解析：由题意得f(x)＝???－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x>0， f(x －1)＝? ??－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1>0， 即f(x －1)＝? ??－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x>1， 所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为???－x 2－x ＋2>－x ＋4，x ≤1， 或???x 2－5x ＋4>－x ＋4，x>1， 解得x ＞4. 11. 已知f(x)＝???x 2＋x （x≥0），－x 2＋x （x<0）， 则不等式f(x 2－x ＋1)<12的解集是________． 11. (－1，2) 解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f (3) 利用导数研究函数的图像及零点问题 【复习指导】 本讲复习时，应注重利用导数来研究函数图像与零点问题，复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用． 基础梳理 1．确定函数的图像 ①．特征点：零点，极值点，顶点，与y轴的交点； ②．特征线：渐近线，对称轴． 2．函数的零点 ⑵．求函数的零点的知识提示： ①．判别式； ②．介值定理； ③．单调性． 两个注意 ⑴．描绘函数的图像首先确定函数的定义域． ⑵．注意利用函数的图像确定函数的零点． 三个防范 ⑴．． ⑵．． ⑶． 常见函数的图像 ⑴．函数(0,0)x y ae bx c a b =++><与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++><的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图像． ⑵．函数(0,0)x y ae bx c a b =++<>与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++<>的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图像． ⑶．函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++><与函数2ln (0,0)y ax bx c d x a d =+++><的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++>的图像． ⑷．函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++<>与函数2ln (0,0)y ax bc c d x a d =+++<>的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++<的图像． 双基自测 ⑴．画函数1ln y x x =--的图像． ⑵．画函数2x y e x =-的图像． ⑶．画函数x e y x =的图像． ⑷．画函数ln x y x = 的图像． ⑸．关于x 的方程ln 1x e x =的实根个数是 ．1 初等数学的方法能够解决的函数问题：定义域、奇偶性、周期性、对称轴、渐近线 初等数学的方法未能彻底解决的函数问题：值域、单调性、零点、极值点 考点一 函数的图像问题 题型⑴．画函数的图像 【例1】画函数1x y e x =--的图像． 【练习1】画函数2x y x e =-的图像． 导数和函数零点问题 Prepared on 24 November 2020 导数和函数零点 1、已知函数3()31,0f x x a x a =--≠ （1）求()f x 的单调区间； （2）若()f x 在1x =-处取得极值，直线y=m 与()y f x =的图象有三个不同的交 点， 求m 的取值范围。 2、设a 为实数，函数a x x x f ++-=3)(3 （1）求)(x f 的极值； （2）若方程0)(=x f 有3个实数根，求a 的取值范围； （3）若0)(=x f 恰有两个实数根，求a 的值。 3、已知函数)(ln 2)(2R a x ax x f ∈-= （1）讨论)(x f 的单调性； （2）是否存在a 的值，使得方程3)(=x f 有两个不等的实数根 若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由。 4、已知函数a ax x a x x f ---+=232 131)(，x R ∈，其中0>a 。 （1）求函数)(x f 的单调区间； （2）若函数)(x f 在区间)0,2(-内恰有两个零点，求a 的取值范围； 5、已知函数)0()23()(2 3>+--++=a d x b a c bx ax x f 的图象如图所示. （1）求c ，d 的值； （2）若函数,01132)(=-+=y x x x f 处的切线方程 在求函数)(x f 的解析式； （3）在（2）的条件下，函数m x x f y x f y ++= =5)(3 1)('与的图象有三个不同的交点， 求m 的取值范围； 6、已知定义域为R 的奇函数)(x f ，当0>x 时，)(1ln )(R a ax x x f ∈+-= 函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有 函数零点问题 [题型分析·高考展望] 函数零点问题是高考常考题型，一般以选择题、填空题的形式考查，难度为中档.其考查点有两个方面：一是函数零点所在区间、零点个数；二是由函数零点的个数或取值范围求解参数的取值范围. 常考题型精析 题型一 零点个数与零点区间问题 例1 (1)(湖北)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2－3x ，则函数g (x )＝f (x )－x ＋3的零点的集合为( ) A.{1,3} B.{－3，－1,1,3} C.{2－7，1,3} D.{－2－7，1,3} (2)(北京)设函数f (x )＝????? 2x －a ，x ＜1，4(x －a )(x －2a )，x ≥1. ①若a ＝1，则f (x )的最小值为________； ②若f (x )恰有2个零点，则实数a 的取值范围是________. 点评 确定函数零点的常用方法： (1)若方程易求解时，用解方程判定法； (2)数形结合法，在研究函数零点、方程的根及图象交点的问题时，当从正面求解难以入手时，可以转化为某一易入手的等价问题求解，如求解含有绝对值、分式、指数、对数、三角函数式等较复杂的函数零点问题，常转化为熟悉的两个函数图象的交点问题求解. 变式训练1 (东营模拟)[x ]表示不超过x 的最大整数，例如[2.9]＝2，[－4.1]＝－5.已知f (x )＝x －[x ](x ∈R )，g (x )＝log 4(x －1)，则函数h (x )＝f (x )－g (x )的零点个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 题型二 由函数零点求参数范围问题 例2 (天津)已知函数f (x )＝? ??? ? |x 2＋5x ＋4|，x ≤0，2|x －2|，x >0. 若函数y ＝f (x )－a |x |恰有4个零点，则实 数a 的取值范围为________. 点评 利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法： 函数及函数的零点有关概念 函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 (一)函数三要素 1.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)指数为零底不可以等于零。 (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合即交集.(7)三角函数正切函数tan y x =中()2 x k k Z π π≠+ ∈. (8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义. (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法： 复合函数：如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 (1)已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域，是指满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围； (2)已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域； (3) 已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f[h(x)]的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域,g(x)的值域就是h(x)的值域,再由h(x)的范围解出x 即可。 2).求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法 3).值域 : 先考虑其定义域 3.1求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性法； 9、不等式法；10、几何法； 3.2分段函数的值域是各段的并集 3.3复合函数的值域 专题14 运用函数的图像研零点问题 一、题型选讲 题型一： 运用函数图像判断函数零点个数 可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。 例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上 题型二： 运用函数图像研究复合函数零点个数 复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层( )f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =????的根的个数 题型三 运用函数图像研究与零点有关的参数问题 三类问题之间的联系：即函数的零点?方程的根?函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进 而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原 题型四、运用函数图像研究与零点有关的复合函数的参数问题 求解复合函数()y g f x =????零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =????中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围 例6、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)＝? ?? ??－x 3＋3x 2＋t ， x ＜0，x ，x ≥0， t ∈R .若函数g (x )＝f (f (x ) －1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为________． 2、(2017南京、盐城二模）若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为________. 3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ?=?- 高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如： §2.8 函数与方程 函数零点问题 学习目标;(1)理解函数零点定义，会应用函数零点存在性定理 (2)体会函数与方程的转化思想 一 知识导练 1. (必修1 P43练习3改编) 函数32()2f x x x x =-+的零点是____________． 解析：解方程x3－2x2＋x ＝0得x ＝0或x ＝1，所以函数的零点是0或1. 导航：函数零点的求解 2．(必修1 P111复习13改编)已知函数()23x f x x =-，则函数f(x)的零点个数是____． 解析：解法1：令f(x)＝0，则2x ＝3x ，在同一坐标系中分别作出y ＝2x 和y ＝3x 的图象，由图知函数y ＝2x 和y ＝3x 的图象有2个交点，所以函数f(x)的零点个数为2. 解法2：由f(0)>0，f(1)<0，f(3)<0，f(4)>0，…，所以有2个零点，分别在区间(0，1)和(3，4)内． 导航：函数零点个数的判定 3.给出以下三个结论：（1）0一定是奇函数的一个零点； （2）单调函数有且仅有一个零点； （3）周期函数一定有无穷多个零点. 其中正确的结论共有_____个。 4．(必修1 P97习题8)若关于x 的方程27(13)20x m x m -+--=的一个根在区间(0，1)上，另一个在区间(1，2)上，则实数m 的取值范围为_____________． 解析：设f(x)＝7x2－(m ＋13)x －m －2，则???? ?f （0）>0，f （1）<0，f （2）>0，解得－4 第16讲-导数与函数的零点 一、 经典例题 考点一 判断零点的个数 【例1】已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }． (1)求函数f (x )的解析式； (2)求函数g (x )＝f (x )x －4ln x 的零点个数． 解 (1)∵ f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R }， ∴设f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a >0. ∴f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3. (2)由(1)知g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2， ∴g (x )的定义域为(0，＋∞)，g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝(x －1)(x －3)x 2 ，令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3. 当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下表： X (0，1) 1 (1，3) 3 (3，＋∞) g ′(x ) ＋ 0 － 0 ＋ g (x ) 极大值 极小值 当0 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． < A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.() 1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选 C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 · 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象，可观察得出C 正确. ) )0=有实数根 方程根的个数 图像法 1. 已知函数?（x ）=2 -x e x （1）求?（x ）的单调区间 增),3(+∞减)3,2()2,( -∞ （2）判断关于x 的方程e x =k(x-2)(k ∈R)的解的情况 2已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++= 利用单调性 1已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式)(x f ＞x 2的解集为（-1，3）。 （1）若方程a x f 7)(-=有两个相等的实数根，求)(x f 的解析式 34)(2++-=x x x f （2）若函数)()(x xf x g =在区间?? ? ??∞-3,a 内单调递减，求a 的取值范围 (]1,-∞- （3）当a =-1时，证明：方程12)(3 -=x x f 仅有一个实数根 2、已知a ＞0，l x n x ax x f ),1(112)(2+++-=是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线 （1）求l 的方程 1+-=x y （2）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值 2 1=a （3）证明：对任意的),(*N ∈=n n a 函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 的单调递减区 间的长度的取值范围（区间[]21,x x 的长度=12x x -） (] 2,1 分离参数求值域 1. 已知函数=)(x f log 4)()14(R x kx x ∈++是偶函数 （1）求k 的值 2 1-=k （2）若方程0)(=-m x f 有解，求m 的取值范围 m ≥ 21 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的 联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点 个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗? 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗? 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象，可观察得出C 正确. ) )0=有实数根 图像有交点.函数与零点练习题
嵌套函数与函数的零点问题
函数的图像与零点试题
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系
函数图像与零点
导数与函数的零点讲义(非常好,有解析)
高中数学专题练习-函数零点问题
函数零点问题(讲解)
专题分段函数与函数零点答案
利用导数研究函数的图像及零点问题(基础)6
导数和函数零点问题
函数的零点问题
高中数学-函数零点问题
函数与函数的零点知识点总结
专题14 运用函数的图像研零点问题(解析版)
高中数学-函数零点问题及例题解析
函数与方程(零点问题)
第16讲-导数与函数的零点(解析版)
函数零点问题(讲解)
导数在函数零点中的应用
函数的零点问题(讲解)