函数的图像与零点试题
高三数学函数的图像、零点
一：选择题
1.已知函数f （x ）=x 2﹣2x+b 在区间（2，4）内有唯一零点，则b 的取值范围是（ D ） A 、R B 、（﹣∞，0） C 、（﹣8，+∞） D 、（﹣8，0）
2.设
，用二分法求方程
在（1，3）内近似解的过
程中，f （1）＞0，f （）＜0，f （2）＜0，f （3）＜0，则方程的根落在区间（ A ） A 、（1，） B 、（，2） C 、（2，3） D 、无法确定
3.已知函数31
)2
1()(x x f x
-=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（ B ）
（A ）)31,0( （B ）)21,31(
（C ）)32,21( （D ）)1,3
2(
4.设函数
，则函数y=f （x ）（ A ）
A 、在区间（0，1），（1，2）内均有零点
B 、在区间（0，1）内有零点，在区间（1，2）内无零点
C 、在区间（0，1），（1，2）内均无零点
D 、在区间（0，1）内无零点，在区间（1，
2）内有零点
5.已知1x 是方程32=?x x 的根, 2x 是方程2log 3x x ?=的根，则21x x 的值为（ B ） .3 C
6.已知x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点．若x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞），则（ B ）
A 、f （x 1）＜0，f （x 2）＜0
B 、f （x 1）＜0，f （x 2）＞0
C 、f （x 1）＞0，f （x 2）＜0
D 、f （x 1）＞0，f （x 2）＞0 解答：解：∵x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点∴f （x 0）=0
∵f （x ）=2x +
是单调递增函数，且x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞），
∴f （x 1）＜f （x 0）=0＜f （x 2）
故选B ．
7.如图是函数f （x ）=x 2+ax+b 的部分图象，函数g （x ）=e x ﹣f'（x ）的零点所在的区间是（k ，k+1）（k ∈z ），则k 的值为（ C ）
A ． ﹣1或0
B ． 0
C ． ﹣1或1
D ． 0或1
解答：
解；∵二次函数f （x ）图象的对称轴 x=﹣∈（﹣1，﹣），
∴1＜a ＜2，
由g （x ）=e x ﹣2x ﹣a=0得e x =2x+a
分别作出函数y=e x 和y=2x+a 的图象，如图所示．
从而函数y=e x 和y=2x+a 的图象的两个交点的横坐标分别在区间（﹣1，0）和（1，2）上． ∴函数g （x ）=e x ﹣f'（x ）的零点所在的区间是（﹣1，0）和（1，2）； ∵函数g （x ）=e x ﹣f'（x ）的零点所在的区间是（k ，k+1）（k ∈z ）， ∴k=﹣1或1 故选C ．
8.若函数f （x ）的零点与g （x ）=4x +2x ﹣2的零点之差的绝对值不超过，则f （x ）可以是（ A ） A ． f （x ）=8x ﹣2 B ． f （x ）=（x+1）2 C ． f （x ）=e x ﹣1 D ．
f （x ）=ln （x ﹣） 解答：
解：∵g （x ）=4x +2x ﹣2在R 上连续，且g （）==
＜0，g （）=2+1﹣
2=1＞0．
设g （x ）=4x +2x ﹣2的零点为x 0，则
又f （x ）=8x ﹣2零点为x=；f （x ）=（x+1）2的零点为x=﹣1 f （x ）=e x ﹣1零点为x=0；f （x ）=ln （x ﹣）零点为x=， ∴||
，即A 中的函数符合题意
故选A ． 9．若2>a ，则方程03323=+-ax x 在(0,2)上恰好有（B ）个根
A．0B．1C．2D．3
10.已知函数f（x）=，若方程f（x）+2a﹣1=0恰有4个实数根，则实数a的取值范围是（A）
A．
（﹣，0]B．
[﹣，0]
C．
[1，）
D．
（1，]
解答：
解：由f（x）=，要使方程f（x）+2a﹣1=0有4个不同的实根，
即函数y=f（x）与函数y=1﹣2a的图象有4个不同的交点，如图，
由图可知，使函数y=f（x）与函数y=1﹣2a的图象有4个不同的交点的1﹣2a的范围是[1，2），
∴实数a的取值范围是（﹣，0]．
故选A．
11.函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的所有零点之和等于（B）
A．πB．2πC．3πD．4π解答：
解：函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的零点即函数y=tanx 与函数y==
的交点的横坐标．
由于函数y=tanx 的图象关于点（，0）对称，
函数y=的图象也关于点（，0）对称，
故函数y=tanx 与函数y=的交点关于
点（，0）对称，如图所示：
设函数f（x）=tanx﹣（﹣2π≤x≤3π）的零点分别为：x1、x2、x3、x4，
则由对称性可得x1+x4=π，x2+x3=π，
∴x1+x2+x3+x4=2π，
故选B．
12.定义域为R的偶函数f（x）满足对?x∈R，有f（x+2）=f（x）﹣f（1），且当x∈[2，3]时，f（x）=﹣2x2+12x﹣18，若函数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上至多三个零点，则a的取值范围是（B）
A．
（，1）B．
（，1）∪（1，+∞）
C．
（0，）
D．
（，1）
解答：
解：因为函数f（x）是偶函数，所以令x=﹣1得，f（﹣1+2）=f（﹣1）﹣f（1）=f（1），解得f（1）=0，所以f（x+2）=f（x）﹣f（1）=f（x），即函数的周期是2．
由y=f（x）﹣log a（|x|+1）=0得f（x）=log a（|x|+1），令y=f（x），y=log a（|x|+1），当x＞0时，y=log a（|x|+1）=log a（x+1），函数过点（0，0）．
若a＞1，则由图象可知，此时数y=f（x）﹣log a（|x|+1）在（0，+∞）上没有零点，所以此时此时满足条件．
若0＜a＜1，则由图象可知，要使两个函数y=f（x）与y=log a（x+1），有三个交点，
则y=m（x）=log a（x+1）不能过点B（4，﹣2），即m（4）＜﹣2，即log a5＜﹣2，解得，此时．
所以满足条件的a的取值范围a＞1或．
故选B．
13.已知定义在R上的奇函数f（x），当x＞0时，f（x）=则关于x
的方程6[f（x）]2﹣f（x）﹣1=0的实数根个数为（B）
A．6 B．7 C．8 D．9 解答：
解：设t=f（x），则关于x的方程6[f（x）]2﹣f（x）﹣1=0，等价6t2﹣t﹣1=0，
解得t=或t=，
当x=0时，f（0）=0，此时不满足方程．
若2＜x≤4，则0＜x﹣2≤2，即f（x）==（2|x﹣3|﹣1），
若4＜x≤6，则2＜x﹣2≤4，即f（x）==（2|x﹣5|﹣1），
作出当x＞0时，f（x）=的图象如图：
当t=时，f（x）=对应3个交点．
∵函数f（x）是奇函数，
∴当x＜0时，由f（x）=，
可得当x＞0时，f（x）=，此时函数图象对应4个交点，
综上共有7个交点，即方程有7个根．
故选：B
14.已知函数，若方程f（x）=t（t∈R）有四个不同的实数
根x1，x2，x3，x4，则x1x2x3x4的取值范围是（C）
A．（30，34）B．（30，36）C．（32，34）D．（32，36）解答：
解：先画出函数，的图象，如图：
∵a，b，c，d互不相同，不妨设a＜b＜c＜d．
且f（a）=f（b）=f（c）=f（d），0＜a＜1，1＜b＜4，4＜c＜6﹣，d＞6．
∴﹣log2a=log2b，c+d=12，cd＞24．
即ab=1，c+d=12，
∴abcd=cd=c（12﹣c）=﹣c2+12c
（4＜c＜6）的范围为（32，34）．
故选C．
二：填空题
15．若函数2()4f x x x a =--的零点个数为3，则a =______。4
16.已知函数f （x ）=k?4x ﹣k?2x+1﹣4（k+5）在区间[0，2]上存在零点，则实数k 的取值范围是 （﹣∞，﹣4]∪[5，+∞） ． 解答：解：令t=2x ，则t ∈[1，4]，
∴f （t ）=k ?t 2﹣2k?t ﹣4（k+5）=k （t ﹣1）2﹣5（k+4）在[1，4]上有零点， ∴f （1）f （4）≤0即可，即﹣5（k+4）（4k ﹣20）≤0， 解得k≥5或k≤﹣4， 故答案为：（﹣∞，﹣4]∪[5，+∞）．
17.已知函数
，则关于x 的方程f 2（x ）﹣3f （x ）+2=0的
实根的个数是 5 ． 解答：
解：方程f 2（x ）﹣3f （x ）+2=0等价于f （x ）=2或f （x ）=1 ∵函数
，∴﹣1≤x ≤1，f （x ）∈[﹣1，1]，|x|＞1时，f （1）
＞0，
∴f （x ）=1时，cos
或x 2﹣1=1，∴x=0或x=±
，
f （x ）=2时，x 2﹣1=2，∴x=，
综上知方程f 2（x ）﹣3f （x ）+2=0的实根的个数是5． 故答案为：5．
18.若关于x的方程有四个不同的实根，则实数k的取值范围是k＞1．解答：
解：由于关于x的方程有四个不同的实根，x=0是此方程的1个根，
故关于x的方程有3个不同的非零的实数解．
∴方程=有3个不同的非零的实数解，
即函数y=的图象和函数g（x）=的图象有3个交点，
画出函数g（x）的图象，如图所示：
故0＜＜1，解得k＞1，
故答案为：k＞1．
三：解答题
19.已知函数（k，m为常数）．
（1）当k和m为何值时，f（x）为经过点（1，0）的偶函数？
（2）若不论k取什么实数，函数f（x）恒有两个不同的零点，求实数m的取值范围．解答：解：（1）因为函数f（x）为偶函数，
∴f（﹣x）=f（x）
∴
由此得6kx=0总成立，故k=0．
∴，又该函数过点（1，0），
∴，得m=
所以，当m=，k=0时，f（x）为经过点（1，0）的偶函数．
（2）由函数f（x）恒有两个不同的零点知，
方程恒有两个不等实根
，故△=＞0恒成立，
即恒成立，
而﹣9k2+12k=，
故只须，即，解得0＜m＜．
所以，当0＜m＜时，函数f（x）恒有两个不同的零点．
20.已知A，B，C是直线l上的不同的三点，O是直线外一点，向量，，满足
，记y=f（x）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）若关于x的方程f（x）=2x+b在[0，1]上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围．解答：
解：（1）
∵A，B，C三点共线，
∴∴
（2）方程f（x）=2x+b即
令，
∴
当时，φ′（x）＜0，φ（x）单调递减，
当时，φ′（x）＞0，φ（x）单调递增，
∴φ（x）有极小值为=即为最小值．
又φ（0）=ln2，，又﹣ln2
=∴ln5﹣＞ln2．
∴要使原方程在[0，1]上恰有两个不同实根，必须使ln2．
21.已知函数f（x）=lnx，，
（I）设函数F（x）=ag（x）﹣f（x）（a＞0），若F（x）没有零点，求a的取值范围；（II）若x1＞x2＞0，总有m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）成立，求实数m的取值范围．
解答：
解：（I）F（x）=ag（x）﹣f（x）=ax2﹣lnx，
F′（x）=ax﹣=（x＞0）
∴函数F（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数
若F（x）没有零点，须且只须F（）＞0，
即+lna＞0，即0
设g（a）=，∵g′（a）=
∴g（a）在（0，1）而为减函数，在（1，+∞）上为增函数，而g（1）=1＞0
∴g（a）＞0，即当a＞0时，0恒成立
故若F（x）没有零点，则a的取值范围为（0，+∞）
（II）若x1＞x2＞0，总有m[g（x1）﹣g（x2）]＞x1f（x1）﹣x2f（x2）成立，
即若x1＞x2＞0，总有mg（x1）﹣x1f（x1）＞mg（x2）﹣x2f（x2）成立，
即函数h（x）=mg（x）﹣xf（x）=mx2﹣xlnx，在（0，+∞）上为增函数，
即h′（x）=mx﹣lnx﹣1≥0在（0，+∞）上恒成立
即m≥在（0，+∞）上恒成立
设G（x）=，则G′（x）=
∴G（x）在（0，1）上为增函数，在（1，+∞）上为减函数，
∴G（x）≤G（1）=1
∴m≥1
22.定义在R上的函数g（x）及二次函数h（x）满足：
且h（﹣3）=﹣2．
（Ⅰ）求g（x）和h（x）的解析式；
（Ⅱ）对于x1，x2∈[﹣1，1]，均有h（x1）+ax1+5≥g（x2）﹣x2g（x2）成立，求a的取值范围；
（Ⅲ）设，讨论方程f[f（x）]=2的解的个数情况．
解答：
解：（Ⅰ）∵，①，在①中以﹣x代替x得：
，即，②
由①②联立解得：g（x）=e x﹣3．
∵h（x）是二次函数，且h（﹣2）=h（0）=1，可设h（x）=ax（x+2）+1，
由h（﹣3）=﹣2，解得a=﹣1．
∴h（x）=﹣x（x+2）+1=﹣x2﹣2x+1，
∴g（x）=e x﹣3，h（x）=﹣x2﹣2x+1．
（Ⅱ）设?（x）=h（x）+ax+5=﹣x2+（a﹣2）x+6，F（x）=e x﹣3﹣x（e x﹣3）=（1﹣x）e x+3x﹣3，
依题意知：当﹣1≤x≤1时，?（x）min≥F（x）max，
∵F′（x）=﹣e x+（1﹣x）（e x﹣3）+3=﹣xe x+3，在[﹣1，1]上单调递减，∴F′（x）min=F′（1）=3﹣e＞0，
∴F（x）在[﹣1，1]上单调递增，
∴F（x）max=F（1）=0，
∴，解得：﹣3≤a≤7，
∴实数a的取值范围为[﹣3，7]．
（Ⅲ）设t=a+5，由（Ⅱ）知，2≤t≤12，f（x）的图象如图所示：
设f（x）=T，则f（T）=t
当t=2，即a=﹣3时，T1=﹣1，T2=ln5，f（x）=﹣1有两个解，f（x）=ln5有3个解；
当2＜t＜e2﹣3，即﹣3＜a＜e2﹣8时，T=ln（t+3）且ln5＜T＜2，f（x）=T有3个解；
当t=e2﹣3，即a=e2﹣8时，T=2，f（x）=T有2个解；
当e2﹣3＜t≤12，即e2﹣8＜a≤7时，T=ln（t+3）＞2，f（x）=T有1个解．
综上所述：
当a=﹣3时，方程有5个解；
当﹣3＜a＜e2﹣8时，方程有3个解；
当a=e2﹣8时，方程有2个解；
当e2﹣8＜a≤7时，方程有1个解．
函数的图像与零点试题
高三数学函数的图像、零点 一：选择题 1.已知函数f （x ）=x 2﹣2x+b 在区间（2，4）有唯一零点，则b 的取值围是（ D ） A 、R B 、（﹣∞，0） C 、（﹣8，+∞） D 、（﹣8，0） 2.设，用二分法求方程在（1，3）近似解的过程中，f （1）＞0，f （1.5）＜0，f （2）＜0，f （3）＜0，则方程的根落在区间（ A ） A 、（1，1.5） B 、（1.5，2） C 、（2，3） D 、无法确定 3.已知函数31 )21()(x x f x -=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（ B ） （A ）)31,0( （B ）)2 1 ,31( （C ）)32,21( （D ）)1,3 2( 4.设函数，则函数y=f （x ）（ A ） A 、在区间（0，1），（1，2）均有零点 B 、在区间（0，1）有零点，在区间（1，2）无零点 C 、在区间（0，1），（1，2）均无零点 D 、在区间（0，1）无零点，在区间（1， 2）有零点 5.已知1x 是方程32=?x x 的根, 2x 是方程2log 3x x ?=的根，则21x x 的值为（ B ） A.2 B.3 C.6 D.10 6.已知x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点．若x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞），则（ B ） A 、f （x 1）＜0，f （x 2）＜0 B 、f （x 1）＜0，f （x 2）＞0 C 、f （x 1）＞0，f （x 2）＜0 D 、f （x 1）＞0，f （x 2）＞0 解答：解：∵x 0是函数f （x ）=2x +的一个零点∴f （x 0）=0 ∵f （x ）=2x +是单调递增函数，且x 1∈（1，x 0），x 2∈（x 0，+∞）， ∴f （x 1）＜f （x 0）=0＜f （x 2） 故选B ． 7.如图是函数f （x ）=x 2+ax+b 的部分图象，函数g （x ）=e x ﹣f'（x ）的零点所在的区间是（k ，k+1）（k ∈z ），则k 的值为（ C ） A ． ﹣1或0 B ． 0 C ． ﹣1或1 D ． 0或1 解答：
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系
高三数学专题复习 函数的零点与导数的应用关系 21、（本题满分14分） 已知函数1()ln ,()f x a x a R x =-∈其中 （1）设()(),h x f x x =+讨论()h x 的单调性。 （2）若函数()f x 有唯一的零点，求a 取值范围。 21．解：（1）1()ln h x a x x x =-+，定义域为(0,)+∞………………1分 22211()1a ax x h x x x x ++'=++=………………2分 令22()1,4g x x ax a =++?=- 当0?≤，即22a -≤≤时()0g x ≥，()0h x '≥此时()h x 在(0,)+∞上单调递增。………………4分 当0?>即2a <-或2a >时，由()0g x =得1x =，2x = ………………5分 若2a >则10x <又1210x x =>所以20x < 故()0h x '>在(0,)+∞上恒成立 所以()h x 在(0,)+∞单调递增……………………6分 若2a <-则20x >又1210x x =>所以20x > 此时当1(0,)x x ∈时()0h x '>；当12(,)x x x ∈时()0h x '<当2(,)x x ∈+∞时()0h x '> 故()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞上单调递增，在12(,)x x 单调递减……………………7分 综上，当2a ≥-时()h x 在(0,)+∞上单调递增 当2a <-时()h x 在1(0,)x ，2(,)x +∞单调递增，在12(,)x x 单调递减……………8分 （2）方法1：问题等价于1ln a x x = 有唯一实根 显然0a ≠则关于x 的方程1ln x x a =有唯一实根……………10分 构造函数()ln x x x ?=，则()1ln x x ?'=+ 由0ln 1'=+=x ?，得e x 1=
函数图像与零点
3. 【2014南通高三期末测试】设函数()y f x =是定义域为R ，周期为2的周期函数，且当[)11x ∈-，时，2 ()1f x x =-；已知函数lg ||0()10x x g x x ≠??=?=??，， ， ． 则函数()f x 和()g x 的图象在 区间[]510-， 内公共点的个数为 ． 【答案】15 【文·山东实验中学高三三模·2014】5．函数y= 1x n x x 的图象大致是 【答案】B 5.【常州市2013届高三教学期末调研测试】已知函数f (x )＝32 , 2,(1),02x x x x ????-<0，且a ≠1，f (x )＝x 2－a x ，当x ∈(－1,1)时，均有f (x )<12，则实数a 的取 值范围是________． 答案：[1 2 ，1)∪(1,2] 9．已知函数y ＝f (x )和y ＝g (x )在[－2,2]的图象如下图所示：
则方程f [g (x )]＝0有且仅有________个根，方程f [f (x )]＝0有且仅有________个根． 解析：由图可知f (x )＝0有三个根，设为x 1，x 2，x 3，－ 2 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌 握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和 所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理 问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 问题2:函数2 ()68f x x x =-+在区间[][][]1,3, 0,1, 1,5有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 解法二:几何解法 (1). ()e 2 x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 11. 已知函数f(x)＝???x ，x ≥0，x 2，x ＜0， 则关于x 的不等式f(x 2)＞f(3－2x)的解集是__________ 11. (－∞，－3)∪(1，3) 解析：x≤32 时原不等式化为x 2＞3－2x ，解得x ＜－3或1＜x≤32；x ＞32时原不等式化为x 2＞(3－2x)2，解得32 ＜x ＜3.综上x ＜－3或1＜x ＜3.本题考查分类讨论的思想，考查解不等式的能力．本题属于中等题． 11. 已知定义在实数集R 上的偶函数f(x)，当x≥0时，f(x)＝－x ＋2，则不等式f(x)－x 2≥0的解集为________． 11. [－1，1] 解析：∵ f(x)≥x 2，而f(x)示意图如下： 令x 2＝－x ＋2，得x ＝1(x>0)，从而由图象知，原不等式解集为[－1，1]． 本考查了函数的综合运用，以及数形结合数学思想．本题属于中等题． 13. 已知奇函数f(x)是R 上的单调函数，若函数y ＝f(x 2)＋f(k －x)只有一个零点，则实数k 的值是__________． 13. 14 解析：不妨设f(x)＝x ，则x 2＋k －x ＝0只有一个解，从而1－4k ＝0，得k ＝14 . 12. 已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且当x≤0时，f(x)＝－x 2－3x ，则不等式f(x －1)＞－x ＋4的解集是____________． 12. (4，＋∞) 解析：由题意得f(x)＝???－x 2－3x ，x ≤0，x 2－3x ，x>0， f(x －1)＝? ??－（x －1）2－3（x －1），x －1≤0，（x －1）2－3（x －1），x －1>0， 即f(x －1)＝? ??－x 2－x ＋2，x ≤1，x 2－5x ＋4，x>1， 所以不等式f(x －1)＞－x ＋4可化为???－x 2－x ＋2>－x ＋4，x ≤1， 或???x 2－5x ＋4>－x ＋4，x>1， 解得x ＞4. 11. 已知f(x)＝???x 2＋x （x≥0），－x 2＋x （x<0）， 则不等式f(x 2－x ＋1)<12的解集是________． 11. (－1，2) 解析：由函数图象知f(x)为R 上的增函数且f (3) 利用导数研究函数的图像及零点问题 【复习指导】 本讲复习时，应注重利用导数来研究函数图像与零点问题，复习中要注意等价转化、分类讨论等数学思想的应用． 基础梳理 1．确定函数的图像 ①．特征点：零点，极值点，顶点，与y轴的交点； ②．特征线：渐近线，对称轴． 2．函数的零点 ⑵．求函数的零点的知识提示： ①．判别式； ②．介值定理； ③．单调性． 两个注意 ⑴．描绘函数的图像首先确定函数的定义域． ⑵．注意利用函数的图像确定函数的零点． 三个防范 ⑴．． ⑵．． ⑶． 常见函数的图像 ⑴．函数(0,0)x y ae bx c a b =++><与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++><的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++>的图像． ⑵．函数(0,0)x y ae bx c a b =++<>与函数ln (0,0)y ax b c x a c =++<>的图像类似于二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图像． ⑶．函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++><与函数2ln (0,0)y ax bx c d x a d =+++><的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++>的图像． ⑷．函数2(0,0)x y ae bx cx d a b =+++<>与函数2ln (0,0)y ax bc c d x a d =+++<>的图像类似于二次函数32(0)y ax bx cx d a =+++<的图像． 双基自测 ⑴．画函数1ln y x x =--的图像． ⑵．画函数2x y e x =-的图像． ⑶．画函数x e y x =的图像． ⑷．画函数ln x y x = 的图像． ⑸．关于x 的方程ln 1x e x =的实根个数是 ．1 初等数学的方法能够解决的函数问题：定义域、奇偶性、周期性、对称轴、渐近线 初等数学的方法未能彻底解决的函数问题：值域、单调性、零点、极值点 考点一 函数的图像问题 题型⑴．画函数的图像 【例1】画函数1x y e x =--的图像． 【练习1】画函数2x y x e =-的图像． 函数零点问题的求解 【教学目标】 知识与技能： 1.理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数 零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2.结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 过程与方法： 1.函数零点反映了函数和方程的联系，函数零点与方程的根能相互转化，能把方程问题合理 转化为函数问题进行解决. 2.函数的零点问题的解决涉及到分类讨论,数形结合,化归转化等数学思想方法,有效提升了 学生的数学思想方法的应用. 情感、态度与价值观: 1.培养学生认真、耐心、严谨的数学品质； 2.让学生在自我解决问题的过程中，体验成功的喜悦. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在的区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 【教学过程】 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()1 1e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对于函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2. 零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有 函数及函数的零点有关概念 函数的概念：设A 、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数．记作： y=f(x)，x ∈A ．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x ∈A }叫做函数的值域． 要点一：函数三要素及分段函数 (一)函数三要素 1.定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域。 1.1求函数的定义域时从以下几个方面入手： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零；(3)对数式的真数必须大于零； (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)指数为零底不可以等于零。 (6)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成的集合即交集.(7)三角函数正切函数tan y x =中()2 x k k Z π π≠+ ∈. (8)实际问题或几何问题中的函数的定义域不仅要考虑使其解析式有意义,还要保证实际问题或几何问题有意义. (9)以上这些在题目中都没出现，则函数的定义域为R. 1.2复合函数定义域的求法： 复合函数：如果y=f(u)(u ∈M),u=g(x)(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x ∈A) 称为f 、g 的复合函数。 (1)已知f(x)的定义域是[a,b],求f[g(x)]的定义域，是指满足()a g x b ≤≤的x 的取值范围； (2)已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f(x)的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域； (3) 已知f[g(x)]的定义域是[a,b],求f[h(x)]的定义域，是指在[,]x a b ∈的条件下，求g(x)的值域,g(x)的值域就是h(x)的值域,再由h(x)的范围解出x 即可。 2).求函数的解析式的常用求法： 1、定义法； 2、换元法； 3、待定系数法； 4、函数方程法； 5、参数法； 6、配方法 3).值域 : 先考虑其定义域 3.1求函数值域的常用方法 1、图像法； 2、层层递进法； 3、分离常数法； 4、换元法； 5、单调性法； 6、判别式法； 7、有界性； 8、奇偶性法； 9、不等式法；10、几何法； 3.2分段函数的值域是各段的并集 3.3复合函数的值域 专题14 运用函数的图像研零点问题 一、题型选讲 题型一： 运用函数图像判断函数零点个数 可将零点个数问题转化成方程，进而通过构造函数将方程转化为两个图像交点问题，并作出函数图像。作图与根分布综合的题目，其中作图是通过分析函数的单调性和关键点来进行作图，在作图的过程中还要注意渐近线的细节，从而保证图像的准确。 例1、(2019苏州三市、苏北四市二调）定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )，且在区间[2，4)上 题型二： 运用函数图像研究复合函数零点个数 复合函数零点问题的特点：考虑关于x 的方程()0g f x =????根的个数，在解此类问题时，要分为两层来分析，第一层是解关于()f x 的方程，观察有几个()f x 的值使得等式成立；第二层是结合着第一层( )f x 的值求出每一个()f x 被几个x 对应，将x 的个数汇总后即为()0g f x =????的根的个数 题型三 运用函数图像研究与零点有关的参数问题 三类问题之间的联系：即函数的零点?方程的根?函数图象的交点，运用方程可进行等式的变形进 而构造函数进行数形结合，解决这类问题要选择合适的函数，以便于作图，便于求出参数的取值范围为原 题型四、运用函数图像研究与零点有关的复合函数的参数问题 求解复合函数()y g f x =????零点问题的技巧：（1）此类问题与函数图象结合较为紧密，在处理问题的开始要作出()(),f x g x 的图像（2）若已知零点个数求参数的范围，则先估计关于()f x 的方程()0g f x =????中()f x 解的个数，再根据个数与()f x 的图像特点，分配每个函数值()i f x 被几个x 所对应，从而确定()i f x 的取值范围，进而决定参数的范围 例6、(2018南京、盐城、连云港二模）已知函数f(x)＝? ?? ??－x 3＋3x 2＋t ， x ＜0，x ，x ≥0， t ∈R .若函数g (x )＝f (f (x ) －1)恰有4个不同的零点，则t 的取值范围为________． 2、(2017南京、盐城二模）若函数f (x )＝x 2－m cos x ＋m 2＋3m －8有唯一零点，则满足条件的实数m 组成的集合为________. 3、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）已知函数3()3 .x x a f x x x x a ?=?- 高中数学-函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数零点的存在性定理，它仅能判断零点的存在性，不能求出零点的个数。对函数零点的个数问题，我们可以通过适当构造函数，利用函数的图象和性质进行求解。如： 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． < A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.() 1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()0 0e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选 C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗 · 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象，可观察得出C 正确. ) )0=有实数根 方程根的个数 图像法 1. 已知函数?（x ）=2 -x e x （1）求?（x ）的单调区间 增),3(+∞减)3,2()2,( -∞ （2）判断关于x 的方程e x =k(x-2)(k ∈R)的解的情况 2已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足(4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,若方程f(x)=m(m>0)在区间[]8,8-上有四个不同的根1234,,,x x x x ,则1234_________.x x x x +++= 利用单调性 1已知二次函数)(x f 的二次项系数为a ，且不等式)(x f ＞x 2的解集为（-1，3）。 （1）若方程a x f 7)(-=有两个相等的实数根，求)(x f 的解析式 34)(2++-=x x x f （2）若函数)()(x xf x g =在区间?? ? ??∞-3,a 内单调递减，求a 的取值范围 (]1,-∞- （3）当a =-1时，证明：方程12)(3 -=x x f 仅有一个实数根 2、已知a ＞0，l x n x ax x f ),1(112)(2+++-=是曲线)(x f y =在点))0(,0(f P 处的切线 （1）求l 的方程 1+-=x y （2）若切线l 与曲线)(x f y =有且只有一个公共点，求a 的值 2 1=a （3）证明：对任意的),(*N ∈=n n a 函数)(x f y =总有单调递减区间，并求出)(x f 的单调递减区 间的长度的取值范围（区间[]21,x x 的长度=12x x -） (] 2,1 分离参数求值域 1. 已知函数=)(x f log 4)()14(R x kx x ∈++是偶函数 （1）求k 的值 2 1-=k （2）若方程0)(=-m x f 有解，求m 的取值范围 m ≥ 21 函数零点问题 【教学目标】 知识与技能： 1. 理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根之间的 联系，掌握用连续函数零点定理及函数图像判断函数零点所在的区间与方程的根所在的区间. 2. 结合几类基本初等函数的图象特征，掌握判断函数的零点 个数和所在区间法. 3.能根据函数零点的情况求参数的取值范围. 【教学重点】 理解函数的零点与方程根的关系，形成用 函数观点处理问题的意识. 【教学难点】 根据函数零点所在区间求参数的取值范围 【教学方法】 发现、合作、讲解、演练相结合. 一、引例 （1）．函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是（ ）． A.()2,1-- B.()1,0- C.()0,1 D.()1,2 解法一:代数解法 解：(1)．因为()00e 0210f =+-=-<，()11e 12e 10f =+-=->， 所以函数()e 2x f x x =+-的零点所在的一个区间是()0,1．故选C. 二、 基础知识回顾 1．函数零点概念 对函数()y f x =，把使()0f x =的实数x 叫做函数()y f x =的零点． 2.零点存在性定理：如果函数()y f x =在区间[]a,b 上的图象是连续不断一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么，函数()y f x =在区间()a,b 内有零点.即存在()c a,b ∈，使得()0f c =，这个c 也就是方程()0f x =的根. 有零点吗? 引例除了用零点基本定理,还有其他方法可以确定函数零点所在的区间吗? 解法二:几何解法 (1). ()e 2x f x x =+- 可化为2x e x =-+． 画出函数x y e =和 2y x =-+的图象，可观察得出C 正确. ) )0=有实数根 图像有交点. 复合函数图像研究零点 例1、求方程02324=+-x x 实数解的个数为个。 例2、已知函数?? ?>≤+=. 0,ln ,0,1)(x x x kx x f 则下列关于函数[]1)(+=x f f y 的零点个数的判断正确的是（ ） A. 当0>k 时，有3个零点；当0 及时训练 1、已知函数)(x f y =和)(x g y =在]2,2[-的图象如下所示： 给出下列四个命题： ①方程0)]([=x g f 有且仅有6个根 ②方程0)]([=x f g 有且仅有3个根 ③方程0)]([=x f f 有且仅有5个根 ④方程0)]([=x g g 有且仅有4个根 其中正确的命题是．（将所有正确的命题序号填在横线上）. 2、定义在()+∞,0上的单调函数函数)(x f ，对任意(),,0+∞∈x 都有[]4log )(3=-x x f f ，则函数2 1)()(x x f x g -=的零点所在区间是（ ） A 、?? ? ??41,0 B 、??? ??21,41 C 、??? ??43,21 D 、? ?? ??1,43 函数图像与变换 一、 图像变换 1．平移变换： （1）水平平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向左(0)a >或向右(0)a <平移 ||a 个单位即可得到； （2）竖直平移：函数()y f x a =+的图像可以把函数()y f x =的图像沿x 轴方向向上(0)a >或向下(0)a <平移 ||a 个单位即可得到． 2．对称变换：（1）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于y 轴对称即可得到； （2）函数()y f x =-的图像可以将函数()y f x =的图像关于x 轴对称即可得到； （3）函数()y f x =--的图像可以将函数()y f x =的图像关于原点对称即可得到； （4）函数1()y f x -=的图像可以将函数()y f x =的图像关于直线y x =对称得到． 3．翻折变换： （1）函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方，去掉原x 轴下 方部分，并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到； （2）函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左边部分并保 留()y f x =在y 轴右边部分即可得到． 4.伸缩变换： （1）函数()y af x = (0a >)的图像可以将函数()y f x =的图像的纵坐标伸长到原来的(0)k k >倍（横坐 标不变）得到。 （2）函数()y af x = (0a >)的图像可以将函数()y f x =的图像的横坐标伸长到原来的(0)k k >倍（纵坐 标不变）得到。 二、典型例题 1、 函数的图象变换:函数的图象变换这一节的知识点是高考考查的重要方面，一些复杂的函数是可以通过 一些较为简单的函数由相应的变换得到，从而我们可以利用之研究函数的性质。 例1、（1）设()2,()x f x g x -=的图像与()f x 的图像关于直线y x =对称，() h x 的图像由()g x 的图像 右平移1个单位得到，则()h x 为__________ （2）要得到)3lg(x y -=的图像，需作x y lg =关于_____轴对称的图像，再向____平移3个单位 （3）将函数()y f x =的图像上所有点的横坐标变为原来的13 （纵坐标不变），再将此图像沿x 轴方向向左平移2个单位，所得图像对应的函数为_____ 例2、已知f(x+199)=4x 2＋4x+3(x ∈R)，那么函数f(x)的最小值为____． 例3、设函数y=f(x)的定义域为Ｒ，则函数y=f(x-1)与y=(1-x)的图象关系为( ) Ａ、直线y=0对称 Ｂ、直线x=0对称 Ｃ、直线y=1对称 Ｄ、直线x=1对称 2 、函数图象的画法:以解析式表示的函数作图象的方法有两种，即列表描点法和图象变换法，运用描点法 作图象应避免描点前的盲目性，也应避免盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段。用图象变换法作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换。 例4画出下列函数的图象 （1）| 2|21+? ? ? ??=x y （2）|122|2 -+=x x y （3）()1lg -==x x f y ； （4）())1lg(-=x x g 高中数学2017-2018高三专题复习 -函数（3）函数零点问题及例题解析 一、函数与方程基本知识点 1、函数零点：（变号零点与不变号零点） （1）对于函数)(x f y =，我们把方程0)(=x f 的实数根叫函数)(x f y =的零点。 （2）方程0)(=x f 有实根?函数()y f x =的图像与x 轴有交点?函数()y f x =有零点。 若函数()f x 在区间[],a b 上的图像是连续的曲线，则0)()(f ，所以由根的存在性定理可知，函数x x x f 2 )1ln()(-+=的零点所在的大致区间是（1，2），选B （二）求解有关函数零点的个数（或方程根的个数）问题。 函数的零点及应用 一、要点扫描 1．函数零点的理解：(1)函数的零点、方程的根、函数图象与x 轴的交点的横坐标，实质是同一个问题的三种不同表达形式；(2)若函数f (x )在区间[a ，b ]上的图象是一条连续的曲线且f (a )f (b )＜0，则f (x )在区间(a ，b )内有零点． 2．函数零点的判定常用方法：(1)零点存在性定理；(2)数形结合法；(3)解方程f (x )＝0. 3．曲线的交点问题：(1)曲线交点坐标即为方程组的解，从而转化为方程的根；(2)求曲线y ＝f (x )与y ＝g (x )的交点的横坐标，实际上就是求函数y ＝f (x )－g (x )的零点，即求f (x )－g (x )＝0的根． 二、典型例题剖析 1．求函数的零点 例1 求函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点． 解 令f (x )＝x 3－3x ＋2＝0，∴(x ＋2)(x －1)2＝0. ∴x ＝－2或x ＝1， ∴函数f (x )＝x 3－3x ＋2的零点为－2,1. 评注 求函数的零点，就是求f (x )＝0的根，利用等价转化思想，把函数的零点问题转化为方程根的问题，或利用数形结合思想把函数零点问题转化为函数图象与x 轴的交点问题． 2．判断函数零点的个数 例2 已知函数f (x )＝a x ＋x －2 x ＋1 (a ＞1)，判断函数f (x )＝0的根的个数． 解 设f 1(x )＝a x (a ＞1)，f 2(x )＝－x －2 x ＋1 ，则f (x )＝0的解，即为f 1(x )＝f 2(x )的解，即为函数f 1(x ) 与f 2(x )的交点的横坐标． 良好的开端是成功的一半 一 函数零点与零点个数的判断： 例1、函数f (x )＝ln x －1 x －1 的零点的个数是( 1 ．(2013天津高考数学(理))函数0.5()2|log x f x =2．函数f (x )＝x cos x 2在区间[0,4]上的零点个数为( 二 有关二次函数的零点问题： 例2、关于x 的一元二次方程x 2 －2ax ＋a ＋2＝0(1,3)之间；(3)有一根大于2，另一根小于2；1．已知函数21,0, ()(1),0. x x f x f x x -?-≤=?->?若方程(f x 取值范围是 （ ）A ．(),1-∞B ．(],1-∞C ．2．已知函数???>≤+=. 0,ln , 0,1)(x x x kx x f （ ）A ．当0>k 时,有3个零点;当0 6、函数图象及其应用 一．教学内容分析： 本堂课安排在人教版必修1第二章结束之后，第三章教学之前，对所学常见函数模型及其图像进行归纳总结，使学生对函数图像有个系统的认识，在此基础上，一方面加强学生的看图识图能力，探究函数模型的广泛应用，另一方面，着重探讨函数图像与方程的联系，渗透函数与方程的思想及数形结合思想，为第三章作了很好的铺垫，承上启下，衔接自然，水到渠成。 学生对函数与方程的关系有一个逐步认识的过程，应遵循由浅入深、循序渐进的原则．从学生认为较简单的问题入手，由具体到一般，建立方程的根与函数图像的联系。另外，函数与方程相比较,一个“动”，一个“静”；一个“整体”，一个“局部”，用函数的观点研究方程，本质上就是将局部的问题放在整体中研究，将静态的结果放在动态的过程中研究，这为今后进一步学习函数与不等式等其它知识的联系奠定了坚实的基础。 二．学生学习情况分析： 学生在学完了第一章《集合与函数概念》、第二章《基本初等函数》后，对函数的性质和基本初等函数及其图像有了一定的了解和把握，但学生素质参差不齐，又存在能力差异，导致不同学生对知识的领悟与掌握能力的差距很大。因此进行本堂课的教学，应首先有意识地让学生归纳总结旧知识，提高综合能力，对新知识的传授，即如何利用函数图像解决方程的根的问题，则应给足学生思考的空间和时间，充分化解学生的认知冲突，化难为易，化繁为简，突破难点。 高中数学与初中数学相比，数学语言在抽象程度上突变，思维方法向理性层次跃迁，知识内容的整体数量剧增，以上这三点在函数这一章中得到了充分的体现，本章的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。因此，在教学中应多考虑初高中的衔接，更好地帮助学生借由形象的手段理解抽象的概念，在函数这一章，函数的图像就显得尤其重要而且直观。 三．设计思想： 1．尽管我们的教材为学生提供了精心选择的课程资源，但教材仅是教师在教学设计时所思考的依据，在具体实施中，我们需要根据自己学生数学学习的特点，联系学生的学习实际，对教材内容进行灵活处理，比如调整教学进度、整合教学内容等，本节课是必修1第二章与第三章的过渡课，既巩固了第二章所学知识，又为第三章学习埋下伏笔，对教材做了一次成功的加工整合，正所谓磨刀不误砍材功。 2．树立以学生为主体的意识，实现有效教学。现代教学论认为，学生的数学学习过程是一个学生已有的知识和经验为基础的主动建构的过程，只有学生主动参与到学习活动中，才是有效的教学。在本节课的设计中，首先设计一些能够启发学生思维的活动，学生通过观察、试验、思考、表述，体现学生的自主性和活动性；其次，设计一些问题情境，而解决问题所需要的信息均来自学生的真实水平，要么定位在学生已有的知识基础，要么定位在一些学生很容易掌握的知识上，保证课堂上大部分学生都能够轻松地解决问题。随着学生的知识和信息不断函数零点问题(讲解)
专题分段函数与函数零点答案
利用导数研究函数的图像及零点问题(基础)6
函数的零点问题
函数与函数的零点知识点总结
专题14 运用函数的图像研零点问题(解析版)
高中数学-函数零点问题及例题解析
函数零点问题(讲解)
导数在函数零点中的应用
函数的零点问题(讲解)
复合函数图像研究及零点个数问题
函数图像与变换+零点存在定理
高中数学函数零点问题及例题解析2018年高三专题复习-函数
函数的零点及应用
2015 函数的零点与图像
函数图像 零点