有余数的除法

第六单元有余数的除法

《有余数的除法》课标内容和课标解读

课标内容

《课程标准（2011年版）》在“学段目标”第一学段中提出“体会四则运算的意义，掌握必要的运算技能，能准确进行运算”；在“课程内容”中提出“结合具体情境，体会整数四则运算的意义。”“能熟练地口算20以内的加减法和表内乘除法，能口算简单的百以内的加减法和一位数乘除两位数。”“能运用数及数的运算解决生活中的简单问题，并能对结果的实际意义作出解释”的要求。

课标解读

本单元是表内除法知识的延伸和拓展，是今后继续学习一位数除多位数等除法的重要基础。本单元主要包括有余数的除法的含义与计算和解决问题两部分内容。在课程实施中，要通过操作直观来促进学生对相关知识的理解，要通过观察对比帮助学生理解有余数的除法的含义和计算，要通过加强试商例题的教学，帮助学生经历数学化的过程，为后续学习作好铺垫。

一、充分利用表内除法的知识经验和活动经验，通过操作、比较等数学活动，让学生理解有余数的除法的基本概念，初步掌握试商的基本方法，掌握有余数的除法的计算方法，形成计算技能。

1．通过操作、比较等数学活动，理解余数及有余数的除法的含义，理解余数和除数的关系，理解除法竖式中各数的含义，掌握除法竖式的写法。例如，在例3的教学中，要充分利用操作活动来帮助学生理解竖式中每个数的含义，如竖式中“13”的理解，可以先让学生思考“竖式中的13表示什么”，再让学生把它指出来，从而明白“13”就是要分的总根数。要充分引导学生进行比较，通过操作过程的比较，进一步理解余数及有余数的除法的含义；通过竖式和横式的比较，理解除法竖式的书写方法，理解竖式中每个数的含义；通过横式与横式的比较，进一步理解有余数的除法的横式中各部分的名称及每个数的含义，理解余数比除数小的道理；通过竖式与竖式的比较，进一步理解竖式的写法，理解竖式中余数0的含义。

2．利用除法竖式和乘法口诀，让学生初步学会试商的方法,掌握有余数的除法的计算方法。在课程实施中，先要进行“（）里最大能填几”的针对练习，使学生学会寻找最接近被除数的一个积的方法。在试商的教学中，要把握两个关键点：一是要找到一个合适的数（即商），使这个数与除数相乘的积最接近被除数而又小于被除数，二是得到的余数应该比除数小。

3．通过操作、口算、竖式相互结合的方式，让学生经历由具体到抽象，再由抽象到具体的过程，理解算理，掌握算法。在课程实施中，要让学生在操作体验中建立分的过程、口算过程、竖式的书写过程以及语言表达过程间的一一对应关系，进一步理解算理。

4．通过“分铅笔”“分棒棒糖”“我是快乐的小医生”“啄木鸟吃虫子”等数学活动，让学生进一步理解余数及有余数的除法的含义，理解余数和除数的关系，理解除法竖式中各数的含义，掌握除法竖式的写法。

5．通过“直接写商”“判断对错”“用竖式计算”等练习活动，让学生熟练掌握有余数的除法的计算方法，初步感受“商×除数+余数＝被除数”，渗透有余数的除法计算的检验方法，形成计算技能。

二、利用学生已有的解决问题的经验，通过观察、比较等活动，初步学会用有余数的除法解决生活中的简单问题，感受数学与生活的密切联系，继续掌握解决问题的基本思路和基本方法

1．通过解决“划船”“运菠萝”“做灯笼”“买面包”等情境中的问题，让学生初步学会用有余数的除法解决简单的实际问题，学会根据实际情况采用“进一法”或“去尾法”确定问题的答案，感受数学知识在实际生活中的灵活应用。例如，在例5的教学中，让学生在理解“最多”“至少”含义的基础上，通过“用图表示”“用符号表示”“用竖式表示”等不同表征方式，理解“余下的2人也需要租一条船”，学会采用“进一法”确定问题答案。

2．创设“摆小旗”“串珠子”“摆花”等问题情境，借助几何直观，利用图来描述和分析问题，让学生直观、形象地明晰解决“等余问题”的解题思路，建立解决此类问题的模型。例如，在例6的教学中，要在充分尊重学生的解题思路和方法的基础上，着重引导学生利用除法（竖式）解决问题，通过按排列规律3面一组地圈，理解用除法解答的道理，并结合图示理解余数与旗子颜色的关系。

3．通过适量的“解决简单的实际问题”“解决等余问题”的练习，让学生不断经历从现实生活或具体情境中发现并抽象出数学问题的过程，掌握用有余数的除法解决问题的方法与策略，积累发现和提出问题、分析和解决问题的经验。

除法竖式是本单元的教学重点和难点。在课程实施中，应对此加以重点处理，教师可以根据教学实际的需要增加课时，以使学生有更充分的时间掌握除法竖式的写法，真正地理解除法竖式中各数的含义。也可以补充一些除法竖式形式演变的史料，以促进学生的理解。

第1课时《有余数的除法》教材分析和重难点突破

教材分析

在日常生活中平均分物时，结果包含两种情况：一种是恰好分完的情况，这时没有剩余（即余数为0），表内除法涉及的就是这样的内容；一种是平均分后还有剩余的情况（余数不为0），这是有余数的除法要研究的内容。鉴于有余数的除法与表内除法的密切关系，以

及考虑到通过操作和对比更有利于学生对这部分内容的理解，修订后的教材将本单元从三年级上册调整到了二年级下册。相应地，具体内容也进行了一些调整。

主题图呈现了学生分别用11根小棒摆出正方形、三角形、五边形的活动情境，并且将要解决的问题完整地呈现在黑板上。作用有四点：一是承上启下。基于已有的知识基础，学生按要求用小棒摆图形时，自然地会关注摆几个图形，但不会特别关注还剩几根小棒，而这正是本节课要重点关注的内容；二是便于操作。题目清晰、简洁，学具简单，利于准备和操作；三是激发兴趣。由于在操作过程中会有不同的剩余情况，会引发学生思考：“为什么剩的不一样？”“在数学上该怎样表示出来？”等，产生探究的愿望，同时体现学习有余数除法的必要性；四是作好铺垫。图中呈现的几种摆法为学生在操作中理解余数及有余数的除法的含义提供示范，积累活动经验。

例1借助平均分物的操作活动，先进行恰好分完的操作活动，并用除法算式表示出来；再进行有剩余的操作活动，通过对比使学生体会其异同，帮助学生理解有剩余的情况，并用除法算式表示。通过与表内除法的对比，使学生理解余数及有余数的除法的含义。这里有两个对比：一是平均分物分得的结果的对比；一是用除法横式表示的对比。其中第一个对比是理解第二个对比中的余数及有余数的除法的含义的基础，也是理解第二个对比中商和余数的名数不同的基础。

“做一做”的两道题，都是先用语言描述操作要求，再让学生圈、连、填，最后用除法算式表示。即多种表征形式相互映衬，帮助学生理解余数及有余数的除法的含义，并学会确定商与余数的名数。其中第1题与例题相似，都是平均分中的“包含”情况，并且将要求与结果以图分开呈现，便于学生根据操作写出除法算式，巩固学生对相关知识的理解。第2题涵盖了平均分的两种情况（包含和等分），可使学生进一步体会在有余数的除法中，商和余数的名数什么时候相同（等分），什么时候不同（包含）。

本课时的教学重点是理解余数及有余数的除法的含义，难点是理解余数和除数的关系。

重难点突破

1．理解余数及有余数的除法的含义。

突破建议：

（1）平均分没有剩余与有剩余的小棒，列出相应的除法算式，比较其异同，感受平均分在有剩余的情况下产生有余数的除法。

（2）说一说有余数的除法算式中每一个数所表示的意义。

（3）在理解的基础上强调商与余数的名数在等分的情况下相同，在包含的情况下不同。

2．理解除数与余数的关系。

突破建议：

（1）通过用小棒摆正方形，探究余数与除数的关系。

出示一个用小棒摆的正方形，让学生知道：摆一个正方形需要4根同样长的小棒。接着分别用9、10、11、12、13、14、15根小棒来摆正方形，并用算式表示摆的过程，教师板书。在摆的过程中，重点探究如果余数出现4根小棒时应该如何处理，从而明白余数小于除数的道理。

（2）不计算，运用余数与除数的关系判断计算的对错。

64÷7=8……8（）45÷5=8……5( )

（3）余数最大能填几？

（）÷8=4……（）（）÷5=7……（）

（4）除数最小能填几？

（）÷（）=（3）......8 （）÷（）=（7） (5)

第1课时《有余数的除法》教学设计

教学内容：教材第60页例1、第61页例2及相关内容。

教学目标：

1．使学生初步理解有余数的除法的含义，认识余数，探索并发现余数和除数的关系，理解余数要比除数小的道理。

2．学生在获取知识的过程中，渗透借助直观研究问题的意识和方法，积累观察、操作、讨论、合作交流、抽象和概括等数学活动经验，发展抽象思维。

3．学生在自主探究解决问题的过程中，感受数学与生活的联系，体验成功的喜悦。

目标解析：

本课教学目标的定位是基于学生已有的表内除法的基础之上，同时它也是今后学习一位数除多位数除法的重要基础，具有承上启下的作用。通过分草莓的操作活动，使学生经历把物品平均分后有剩余的现象，抽象为有余数的除法的过程，理解有余数除法的含义。借助用小棒摆正方形的操作，使学生巩固有余数除法的含义，理解余数要比除数小的道理。

教学重点：理解余数及有余数除法的含义，探索并发现余数和除数的关系。

教学难点：理解余数要比除数小的道理。

教学准备：课件、小棒、学生学具。

教学过程：

一、创设情境，初步感知

（一）出示教材第59页主题图。

（二）引导观察，交流信息。

（三）教师小结，揭示课题。

平常我们分东西，有时候正好平均分完，有时候不能正好分完，剩下的又不够再分。剩下不够再分的数就叫做余数，这节课我们就一起来学习“有余数的除法”(出示课题)

【设计意图：充分利用主题图的情境，引导学生在现实生活背景中挖掘数学问题，激发学生已有的知识经验和生活感悟，为新课的学习做好铺垫。】

二、动手操作，探究意义

（一）复习表内除法的意义

1．课件出示6个草莓图：把下面这些草莓每2个摆一盘，摆一摆。

2．学生交流获取信息。

3．利用学具实际操作。

4．用算式表示操作的过程。

5．小组内说说6÷2=3（盘），这个算式表示的意思。

【设计意图：沟通操作过程、算式、语言表达之间的转换，使学生明白它们的意思是一样的，只是表达的形式不同。】

（二）理解有余数除法的含义

1．在动手操作中感受平均分时会出现有剩余的情况。

（1）课件出示7个草莓图：把下面这些草莓每2个摆一盘，摆一摆。

（2）学生利用学具操作。

（3）交流发现的问题：剩下一个草莓。

2．在交流中确定表示平均分时有剩余的方法。

（1）学生用算式表示刚才摆的过程，教师巡视，选取典型案例。

（2）教师板书规范写法：7÷2=3（盘）……1（个）。

（3）交流算式表示的意思，7、3、2、1各表示什么？明确“1”是剩下的草莓数，我们把它叫做余数。

3．归纳总结，完善学生的认知结构。

（1）比较两次分草莓的相同点和不同点。

（2）教师随学生的回答课件呈现下表。

【设计意图：充分调动学生已有的经验，通过摆学具的直观方式让学生在与表内除法的对比中，理解余数及有余数除法的含义，给学生创设自主构建知识的空间。】

（三）理解商与余数名数的确定

1．完成教材第60页“做一做”第1题。

（1）学生读题，根据题意独立完成。

（2）教师引导学生交流：第1小题算式中每个数分别在图中表示哪个部分？分别表示什么意思？

2．完成教材第60页“做一做”第2题。（这一题涵盖了平均分的两种情况）

（1）学生独立先在图中圈一圈，再说一说，最后用除法算式表示。

（2）比较发现两小题之间的联系与区别，进一步理解商与余数的名数的确定。

【设计意图：借助练习，沟通不同表征方式间的联系，在多种表征形式相互映衬下，帮助学生进一步理解余数及有余数除法的含义，并学会确定商与余数的名数。】

三、观察比较，发现关系

（一）合作探究

1．教师操作：在实物投影仪上用4根小棒摆出一个正方形。

2．学生思考：用4根小棒可以摆出几个正方形？你能列出除法算式吗？

3．小组合作：用8根、9根、10根、……15根、16根小棒摆出独立的正方形，看看能摆出几个，还剩多少根？（每组准备的小棒根数不同，共分成以下9种情况）

4．根据摆出的小棒图，列出除法算式。

（二）交流反馈

教师组织全班交流，根据学生的回答，将结果展示在黑板上。

（三）观察对比，发现余数与除数的关系

1.观察算式中的余数和除数，你们发现了什么？

2.组织学生讨论：

（1）你们发现余数有什么规律？

（2）余数可能是4、5、6……吗？为什么？

（3）余数和谁有关系？是怎样的关系？

（4）学生举例验证

3．教师小结并板书：余数<除数

（四）练习巩固

1．出示教材第61页“做一做”。

2．学生读题，教师引导理解：用小棒摆一个五边形需要5根小棒，如果有剩余，可能是几根？

3．为什么是这几种可能性？你是怎样想的？

4．如果用这些小棒摆三角形可能会剩余几根？

【设计意图：本环节主要是通过用不同根数的小棒摆正方形的活动，引导学生探究余数和除数的关系，渗透借助直观研究问题的意识和方法。利用小组分工合作的形式，既减轻了学生的学习负担，又提高了课堂学习效率。通过练习，深化理解“余数要比除数小”的道理。】

四、巩固练习，深化理解

（一）完成教材“练习十四”第1、2题。

1．学生独立完成。

2．教师讲评。明确“余数要比除数小”的道理，体会商与余数的名数的确定方法。

（二）填一填：（）÷6=7……□

1．思考：□里可以填哪些数？说说你是怎么想的？

2．集体交流。明确根据“余数要比除数小”来确定余数。

【设计意图：以学生自主练习为主，让学生在独立思考、合作交流中巩固对有余数除法的含义及余数与除数的关系的理解。】

五、课堂总结，明确目标

（一）本节课中，你有什么收获？

（二）在计算有余数的除法时应注意些什么？