RC一阶电路
9 RC 一阶电路（动态特性 频率响应）
一个电阻和一个电容串联起来的RC 电路看起来是很简单的电路。实际上其中的现象已
经相当复杂，这些现象涉及到的概念和分析方法，是电子电路中随处要用到的，务必仔细领悟。
9.1 零输入响应
1.电容上电压的过渡过程
先从数学上最简单的情形来看RC 电路的特性。在图9.1 中，描述了问题的物理模型。假定RC 电路接在一个电压值为V 的直流电源上很长的时间了，电容上的电压已与电源相等（关于充电的过程在后面讲解），在某时刻t 0突然将电阻左端S 接地，此后电容上的电压会怎么变化呢？应该是进入了图中表示的放电状态。理论分析时，将时刻t 0取作时间的零点。数学上要解一个满足初值条件的微分方程。
看放电的电路图，设电容上的电压为v C ,则电路中电流 dt
dv C
i C
=，
依据KVL 定律，建立电路方程：
=+dt
dv RC
v C
C
初值条件是 ()
V v C =0
像上面电路方程这样右边等于零的微分方程称为齐次方程。
设其解是一个指数函数： ()
t
C e t v S K = K 和S 是待定常数。
代入齐次方程得 0=KS +K S S t
t
e RC e
约去相同部分得 0=S +1RC 于是
RC 1
-=S
齐次方程通解 ()RC
t C e
t v -K =
还有一个待定常数K 要由初值条件来定： ()
V
K Ke
v C ===00
最后得到： ()
t RC
t C Ve
Ve
t v --
==
在上式中，引入记号RC
=τ，这是一个由电路元件参数决定的参数，称为时间常数。
它有什么物理意义呢？
在时间
t = τ 处， ()V V Ve
v 0.368=e
==-1
-C τ
ττ 时间常数 τ是电容上电压下降到初始值的1/e ＝36.8% 经历的时间。
当t = 4 τ 时，()V v 0183.0=4C τ，已经很小，一般认为电路进入稳态。
数学上描述上述物理过程可用分段描述的方式，如图9.1 中表示的由V 到0的“阶跃波”的输入信号，取开始突变的时间作为时间的0点，可以描述为：
()()0=S ≤t V t v 对 ；()()00=S ≥t t v 对。
[练习.9.1]在仿真平台上打开本专题电路图，按图中提示作出“零输入响应”的波形图。观察电容、电阻上输出波形与输入波形的关系，由图上读出电路的时间常数值，与用电路元件值计算结果比较。 仿真分析本专题电路
得到波形图如图9.2 所示。
在0到1m 这时间内，电压源值为V ，在时刻1m 时电压源值突然变到0。仿真平台在对电路做瞬态分析之前，对电路作了直流分析，因此图中1m 以前一段波形只是表明电路已经接在电压源值为V “很长时间”后的持续状态。上面理论分析只适用于1m 以后的时间过程。时刻1m 是理论分析的时间“零”点。图上看到，电容上的电压随时间在下降，曲线的样子是指数下降曲线的典型模样。由v C 曲线找到电压值为0.368V 的地方，读出它的时刻值(=2m )，即可求到电路的时间常数是1m (1毫秒)。
图中也画出电阻上电压变化曲线。观察，发现在1m 以前，电阻电压为0，在时刻1m ，电阻电压突变到 -V ，然后逐渐升到0。怎样理解这个过程呢？
2.电阻上电压的过渡过程
虽然专题电路图中取电阻的电压时是由电阻直接落地的电路得到的，但电路元件参数是相同的，该电阻上的电压应和电容落地电路中的电阻是一样的。按照这种想法，看图9.1 ，注意电阻的电压的参考方向应是由S 点向右，即应是v(S 点)-v C ，在电源电压为V 的时间内，电容已被充电到v C =V ，那么v R = v(S 点)-v C =V -V =0。在理论分析时间0处，电压源的电压值突变到0，即v(S 点)=0，但电容上的电压不能突变（回顾电容的特性：电压有连续性）。为了区分突变时刻的前和后的状态，用0- 表示突变前，0+ 表示突变后。
即是说， v C (0+)= v C (0-)=V
那么， v R (0+)= 0-v C (0+)= -V
在随后的时间内，按KVL 定律， 电阻上的电压应为：
()()t RC
t C R Ve
Ve
t v t v ---=-=-=
当然，也可以直接对电阻落地的电路来做理论分析。
在图9.3 中，看S 点突然改为接地后电容的放电过程。
以电阻的电压作求解变量。利用KCL 定律， 电路微分方程
R
v dt v d C
R R =
)
-0( 整理得
=+R
R dt dv
RC
v
由上面的分析知初值条件是：
()V v -=0+R
与上面对电容电压的演算过程类似，就可得到 ()
t -R C
t
--=-=Ve Ve t v R
对比用电容电压和用电阻电压作求解变量的两个微分方程，发现形式一样。最后 的解却不同，这是由于它们的初始条件不同。
由此可见，初始条件对于电路过程的求解是非常重要的。
9.2 RC 电路的非零起始态响应
图9.4 表示的是假定在考察的起始时间的“零”以前，电容上已经有电压V 1，在“零”时电源电压突变到V 2。在随后的时间里，电路中的电流、电容上电压、电阻上电压会怎样变化？
以电容上电压v C (t )作求解变量，
在t >0的时间里，电路的微分方程为：
2
1
=
1
+
V RC v RC dt dv
C C
初始值是：()()1-+=0=0V v v C C
现在的微分方程右端不等于零，是非齐次方程。非齐次线性微分方程的解由两部分组成：齐次通解v Ch (t )和非齐次特解v Cp (t )。
齐次方程是：0
=1+
C C
v RC
dt
dv
这个方程在上面已讲过，即齐次通解为：()
τ
t/e t v -Ch K =
其中 τ =RC 是时间常数。K 是待定常数。
非齐次方程 2
1
=
1
+
V RC v RC dt dv
C C
的非齐次项（等号右边项）是常数，非非齐次特解v Cp (t )应是一个常数，设v Cp (t )＝Q ，代入方程得：
2
1=
1+
0V RC
Q RC
得到 Q =V 2 那么非齐次通解为 ()τ
/-2K +=t C e
V t v
它还要满足初值条件，即应有： K
+=K +=2/-021V e
V V τ
由此得到 21-=K
V V
最后得到电容上的电压为：
()()2/-21+-=V e V V t v t C τ
电流
()()τ
t/C
e V V R
dt
dv C
t i -12-1=
= 电阻上的电压 ()()()t/τ
e
V V t v V t v -12C 2R -=-=
[练习9.2]在仿真平台上打开本专题电路图，按图中提示作出“非零起始态响应”的波形图。观察电容、电阻上输出波形与输入波形的关系，由图上读出电路的时间常数值，与用电路元件值计算结果比较。 仿真分析本专题电路
根据专题电路图中的元件和电源模型参数，得到如图9.5 的结果，图上还标注了与上面讲解对应的物理量，以便用理论结果理解曲线。
特别注意电阻电压的情况，在0- 时间以前，v R 为零，在0+时刻，突变到V 2 -V 1（为什么？），在随后足够长时间后，v R 又变到零。上面得到的v R (t )公式与曲线相符。在专题电路图中是由落地电阻取得v R ，也可以用v R 作为求解变量列方程解出来。对比RC 电路的零输入响应、非零起始态响应的电容电压和电阻电压随时间变化的函数关系式,发现，在电源电压保持为恒定值的时间内，元件电压随时间变化的波形，由它的起始值（记为v (0+)）、它的稳态终止值（记为v (∞)）和时间常数 τ 决定，可以一般地表示为：
这个式子非常有用。用它分析电路响应的方法，常称为三要素法。请将它应用到上述各种情况，推出具体的表达式，与原来得到的表达式比较。
[练习9.3]用三要素法分析图9.6 中电阻R的电压在0+ 时刻后的变化规律。如果直接用解初值问题的微分方程方法也可得到同样的结果，可以练习一下。
在数字技术中，用“0”和“1”两个数字组成的串表示各种信息。实际上，是用在两种状态间跳变的方波脉冲串表示数字串。方波脉冲串有两个“电平”，实际上是两个电压值，一个低电平，一个高电平，一般规定，用低电平代表0，高电平代表1。理想的数字电路系统要求在两种状态之间的跳变是“突然”的。上面的例子表明，只要电路中有电容，状态的转变就要有一个过程，这就给电路的工作带来许多问题。
9.3 方波脉冲串通过RC电路
为便于对比研究，在本专题电路图中同时画了三条支路，如图9.7所示。其中R S
代表电压信号源的内阻，取值很小(1μ),其压降可以忽略。
[练习9.4]在仿真平台上打开本专题电路图。核实元件参数为R=1kΩ,C=2μF，电
压源模型为“梯形脉冲源”，参数依次为（0 0 10 0.5m0 1m0 2m）.作瞬态分析（TR (10m2000)），观察X、Y、Z三点波形。观察波形，叙述它的变化趋势。取6m到10m
一段时间的波形，求出电阻电压、电容电压的算术平均值。计算RC电路的时间常数。
用三要素法解释波形的成因。
电
路
题
分
仿真
析
本专
得到结果如图9.8 所示。
这里特别关注电容电压波形的特点，它很像是一个三角波，当输入是高电平时间内，电容电压近似直线上升；输入是低电平时间内，电容电压近似直线下降。设记电源的恒定电压值为V ，则可列出电容电压的微分方程：
V
RC
v RC
dt
dv C C
1=
1+
目前电路的时间常数τ =RC 较大，方程左边第二项比第一项小较多，可以忽略。这
样方程近似可写成：
V
RC
dt
dv
C
1≈
那么，=
+=
-+⎰
0001
1
()()()()
t
C C C t v t Vdt v t V t t v t RC RC
这表示，RC 时间常数比信号周期大得多的情况下，电容上的电压与信号源电压成积分关系。积分电路，方波变三角波这些概念在今后理解电子电路实现的功能上是很重要的。
再观察图9.8 中电阻电压的曲线，它实际上代表了电路中电流的变化特点，可见在输入电压变值的时刻，电流突然改变方向。电容电压与电流成积分关系，但随电流方向的改变，电容电压值有时在上升，有时在下降。
另外，发现在开头的一两个周期内的波形与后面时间的不同，开头一段时间电路处于“暂态过程”，后来就进入“稳态”。在稳态阶段，电容电压的算术平均值很接近脉冲串的平均高度，而电阻电压平均值接近于零。在由电阻取输出(Y 点)的电路中，电容的这种作用叫“隔直”，注意这时有一个直流电压保持在电容上。
[练习9.5] 在仿真平台上打开本专题电路图。核实元件参数为R =100Ω,C =1μF ，电压源模型为“梯形脉冲源”，参数依次为（0 0 10 0.5m 0 1m 0 2m ）.作瞬态分析（TR( 8m 1000），观察X 、Y 、Z 三点波形。观察波形，叙述它的变化趋势。计算RC 电路的时间常数。用三要素法解释波形的成因。
仿真分析本专题电路
得到结果如图9.9 所示。
这里电容电压波形基本上“跟上”电压源电压的变化，但是电阻电压波形是典型的“尖脉冲”。这种尖脉冲在时间的位置上很准，很适合用做“时钟脉冲”。注意这个电路的特点是RC 时间常数很小。电阻电压有特殊表现的地方出现在电源电压有突变的时刻。这是一种“微分”作用。
看图9.6 ，以电阻电压为求解变量，信号源电压一般地表示为v S (t ),列出 微分方程：
()
R v dt v v d C
R R
S =- 整理得 ： dt dv dt
dv RC v S
R
R
=
+
在RC 较小时，近似为：
dt dv
RC
v S
R ≈ 式子表明，当v S 为恒定值的时间里，v R ≈0。只在v S 突变的地方，d v S /d t 的值才大，正如图9.9 所示。RC 时间常数比信号周期小得多情况下，电阻电压与信号源电压成微分关系。
9.4 正弦交流电通过RC 串联电路（动态响应）
在7.3 节中已讨论了这个问题，当时主要是为引入复数阻抗和相量法而讲的，对过渡过程中的现象分析是不完全的。
以图9.10的求解为例。
设信号源为 )+sin(=)(S SM S ϕωt V t v
并设初值为 v C (0)=0 ，那么v R (0)= v S (0)=V SM sin (ϕS )。
电路微分方程： dt
dv dt
dv RC v S
R
R
=
+
将信号电压代入，运算整理得：
)
+c o s (=1
+
S SM R R
t V v RC dt dv
ϕωω
它的解由齐次方程通解和非齐次方程特解组成。引入时间常数τ =RC ，
齐次方程 0
=1+
R R
v RC
dt
dv
通解是 ()τ
t/e t v -R h K =
为便于与以前的方程对比，非齐次方程改写成：
)
90++sin(=1+
SM R R
S t V v RC
dt
dv ϕωω
用相量法，可得：
v R 的幅度为
2
SM
RM )
(+1=
RC RCV
V ωω
v R 的相角为 )arctg(-+90=-+90=S S R RC ωϕϕϕϕ
)arctg(=RC ωϕ
这样，可写出：
)
-90
++sin(=)(S R M R p ϕϕω
t V t v
使用初值条件：)-90+sin(+K =)0(S R M 0+R ϕϕ
V e v
此得： )-90+sin(-)(0=K S R M +R ϕϕ
V v 最后得到，v R (t )由两部分组成：
τ
ϕϕϕϕωt/e
V v t V t v -S R M +R S R M R ))-90
+sin(-)0((+)-90
++sin(=)(
式子表明，在正弦激励下，RC 电路中元件上电压由两部分组成：带指数衰减因子的自由分量和正弦成分的强制分量（稳态）。由于电路初始状态和激励的初值可能有种种情况，激励开始后一段时间内，元件电压会有一段不规则的波形。当时间足够长（大约t >4τ）,自由分量近似为0，电路进入稳态。除特殊需要外，分析电路时只做“稳态分析”，这时就可应用相量法。
如果初始相角 ϕS =0 ,
则 τ
ϕϕωt/e V t V t v -R M R M R ))-90sin(-0(+)-90+sin(=)(
))cos(e
-)-(cos(=)(/-R M R ϕϕωτ
t t V t v
写出稳态解的完全形式为：
))
arctg(-90+sin()
(+1=
)(2
SM
R RC t RC RCV
t v ωωωω
在7.3 节中已求到电容上输出信号电压为：
()
()
)arctg(-sin +1=
)(2
SM C RC t RC V t v ωωω
[练习9.6] 在仿真平台上打开本专题电路图。核实元件参数为R =1k Ω,C =1μF ，电压源模型为“正弦源”，参数依次为（0 0 1m 1 159 90）.作瞬态分析（TR(25m 500)），观察X 、Y 、Z 三点波形。观察波形，区分“暂态”和“稳态”。在稳态段，读出，求出电阻电压、电容电压的幅度。根据时间关系算出电阻电压、电容电压与输入电压的相角差。用公式手算出各量的值，对比之。
仿真分析本专题电路
9.5 RC 串联电路的频率响应特性（高通 低通）
在7.4 节，已经提到表示电路频率响应常用网络的转移函数（或称传递函数）：
RC 串联电路中以电容电压作为输出时，
电路的转移函数的模（幅度）为： 2
C )
(+11=
)j (H RC ωω
转移函数的相角为： )-a r c t g (=C RC ω
ϕ 根据上面，可得以电阻电压作为输出时，
电路的转移函数的模（幅度）为：
2
R )
(+1=
)j (H RC RC ωωω
转移函数的相角为： )a r c t g
(-90=R RC ωϕ
[练习9.7] 在仿真平台上打开本专题电路图。核实元件参数为R =1k Ω,C =1μF 。作交流分析（AC(1 10K 100)），观察Y 、Z 两点。认识RC 电路从不同元件输出时的频率响应特性。读出特征频率值，与用公式手算值比较。
仿真分析本专题电路
在仿真平台上正确操作，就显示出如图9.11的曲线。选做运算“Y 普通刻度”就得出图9.12。
在今后学习电子电路基础时，分析电路的频率响应特性是经常要做的，这里先把有关的概念做仔细的讲解。
读图9.12。图的横坐标轴(X 轴)现在具体代表频率，常用字母f 标记，其单位是Hz .与理论分析常用的ω的关系是：f ＝ω/(2π)＝0.159 ω .
左纵坐标轴(YL 轴)现在具体代表转移函数的幅度,是奇数号曲线的共同坐标轴.因为是电压的比率,所以是无量纲的,图中括号内用下划线表示.
右纵坐标轴(YR 轴)现在具体代表转移函数的相角,是双数号曲线的共同坐标轴.单位用度．
因为一个相量是由两个关联的数组成的,图上单号、双号两条曲线配对表示一个物理量。在进行复数运算时，取来运算的函数和放置运算结果函数都以奇数号指定，平台自动配对运算。
在仿真平台上，做交流分析时，总是假定信号源的幅度是1，相角是0。得到的节点电压相量本身已有转移函数的意义。
现在来读图9.12中由电容输出的曲线。在低频段，幅度很接近于1，相角很接近于0，表示低频信号可以没有衰减的由电容输出；随着频率的增大，幅度减少，相角逐渐向-90度变化，表示高频信号被衰减。这种频率响应特性称为低通滤波。图上标记了一个特别的频率位置f 0,幅度曲线上对应这个频率的幅度值是0.7,这个频率被看作是一个频率分界点：频率
比f 0低的信号认为是能通过的信号，频率比f 0高的信号认为是被阻止的信号。频率f 0称为特征频率。
上面已得到电容电压的幅频特性公式：
2
C )
(+11=
)j (H RC ωω
当 ω＝０，1=)
j (H C ω，是最大值； 当 ω＝∞，0=)j (H C ω，是最小值；
当
RC
1=
ω，
707.0=21=)j (H C ω。这个式子表现了特征频率的理论意义。如果将幅度值取平方，则得：
5
.0=21=
)
j (H 2
C ω。表明输出功率刚好是输入功率的一半。
总结看，由电路元件值决定了一个特征频率，
RC RC f 1
159
.0=21
=
2=
0ππω，根据它的物理意义又称半功率频率，转折频率等。
再看相频特性曲线，利用上面有关公式，可得特征频率处相角是-45度。
类似地可理解由电阻取输出的幅频特性及相频特性。此时电路是高通滤波电路。请用有关公式，仿照上面做典型频率点情况的分析。
幅度的值变动的范围常常比较大，这时用对数来表示比较方便。实际上，常使用分贝(dB ) 来表示。
用分贝表示的转移函数的幅度的定义是：)
j (H log 20=)
j (H dB
ωω
当1=)
j (H ω，0
=)j (H dB ω
当707
.0=2
1=
)j (H ω，-3(dB)
=7)20log(0.70=)
j (H dB ω
这样，半功率频率又多了一个名字：-3dB 频率。
现在可以读懂图9.11了。
[练习9.8]读图9.11，或到仿真平台上做出曲线，在上面作业。看电阻的有关曲线，读出频率10、159、10K 处的幅度分贝数和相角，读出半功率频率，读出向低频处每十倍频幅度衰减分贝数。
类似地从电容的有关曲线读出相应的物理量值。
9.6 多种频率成分信号通过RC串联电路
实际的信号总是包含有多种频率的，例如音色美的歌声总是有丰富的谐音。如果电路对不同频率的成分有不同的响应，可以想到，经过电路作用后输出的信号就变了。
[练习9.9]在仿真平台上打开本专题电路图。核实元件参数为R=1kΩ,C=1μF。设定信号源为正弦源，参数依次为（0 0 0 1 100 0 1 200 0 1 400 0）。作瞬态分析（TR(40m 1000)，观察X、Y、Z三点波形。转做频谱分析，做“选X轴范围”，取20m到40m一段时间的波形。做频谱分析记录每条曲线对应的“频谱”：各成分的频率、幅度、相位。利用上面的频率响应特性曲线（像图9.12那样），读出对应于电源的各个频率成分的幅度、相位。对比不同做法得到的结果。解释各点波形差异的来由。
题
电
路
本专
析
仿真
分
图9.13是得到的波形图，可见电阻电压和电容电压波形与输入波形都有了明显的差别。选做频谱分析，当取20m到40m一段时间的波形（此时电路已进入稳态），选电阻电压和电容电压两条曲线做分析，得到频谱图如图9.14所示。
图中表明输入电压的三种频率成分的相对大小关系发生改变，由电阻输出的高频成分相对变大，由电容输出的低高频成分相对变大，由于此时电路已进入稳态，频谱就很干净地只有电源的三种频率成分了，虽然它们的幅度和相角都改变了。又一次表明，在稳态时线性电路不会改变信号频率，只会改变各频率成分的相对幅度和相角值。也可以在“频谱加工”下点“数据窗口”得到频谱表。
在这个专题里，相当仔细地讨论了从各个角度去看的RC电路的特性。因为电路简单，数学问题可以有解析解，是学会用数学工具对电路做理论分析的好例子。但是，从计算机计算出的曲线中理解出现的各种现象，建立描述这些现象的概念和方法，也是非常重要的。对于复杂的电路，真正做完全的数学推演是相当费时费事的，而利用在简单电路建立起来的概念对电路特性做近似的推断，在仿真平台上看电路特性的实际表现，总结出规律性的认识，是至为重要的方法。在这里看到的各种曲线，许多是实验室里用仪器，例如示波器，傅立叶频谱分析仪，频率特性测试仪等，对电路进行测量时会得到的，看熟这些曲线对使用这些仪器是很有帮助的。对电路的研究要在实验室里做实际测量，“仿真平台”实际上是一个“软实验室”，或“虚拟实验室”，它对电路研究的辅助作用虽然不小，但实际产品最终总要在实验室调是试和检验，仿真平台给学习电子电路基础提供了很大的方便，但在实验室里的动手动脑能力仍然是非常重要的。
本节对仿真平台的用法的相当详尽的解说，希望多加体会，真正学会使用，今后对仿真平台使用上的问题不多做说明了。
[总结与思考]
1.1.RC串联电路的时间常数和特征频率与元件值的关系，相互的关系。
2.2.一个RC串联电路，具体的元件值不知道，怎样知道它的时间常数？
3.3.一个RC串联电路，具体的元件值不知道，怎样知道它的特征频率？
4.4.假定已经有一块电路能产生周期性方波串，现需要三角波，可以怎么做？
5.5.假定已经有一块电路能产生周期性方波串，现需要尖脉冲，可以怎么做？
6.6.三要素法可以用在什么场合？具体怎么做？
7.7.相量法用在什么场合？具体怎么做？
8.8.网络转移函数（或传递函数）。幅频特性。相频特性。
9.9.RC高通滤波电路和RC低通滤波电路。
10.10.当电路由一种状态突变到另一种状态时（常称为“换路”），电阻、电容的电压和电
流怎样变化？
，0+ 这些记号？
11.11.为什么要用0
-
12.12.对RC串联电路，以电容电压为求解变量和以电阻电压为求解变量的微分方程，能
否用一个形式统一的数学方程概括它们？又怎样表现出各自的特性呢？
RC一阶电路
9 RC 一阶电路（动态特性 频率响应） 一个电阻和一个电容串联起来的RC 电路看起来是很简单的电路。实际上其中的现象已 经相当复杂，这些现象涉及到的概念和分析方法，是电子电路中随处要用到的，务必仔细领悟。 9.1 零输入响应 1.电容上电压的过渡过程 先从数学上最简单的情形来看RC 电路的特性。在图9.1 中，描述了问题的物理模型。假定RC 电路接在一个电压值为V 的直流电源上很长的时间了，电容上的电压已与电源相等（关于充电的过程在后面讲解），在某时刻t 0突然将电阻左端S 接地，此后电容上的电压会怎么变化呢？应该是进入了图中表示的放电状态。理论分析时，将时刻t 0取作时间的零点。数学上要解一个满足初值条件的微分方程。 看放电的电路图，设电容上的电压为v C ,则电路中电流 dt dv C i C =， 依据KVL 定律，建立电路方程： =+dt dv RC v C C 初值条件是 () V v C =0 像上面电路方程这样右边等于零的微分方程称为齐次方程。 设其解是一个指数函数： () t C e t v S K = K 和S 是待定常数。 代入齐次方程得 0=KS +K S S t t e RC e 约去相同部分得 0=S +1RC 于是 RC 1 -=S 齐次方程通解 ()RC t C e t v -K = 还有一个待定常数K 要由初值条件来定： () V K Ke v C ===00 最后得到： () t RC t C Ve Ve t v -- ==
在上式中，引入记号RC =τ，这是一个由电路元件参数决定的参数，称为时间常数。 它有什么物理意义呢？ 在时间 t = τ 处， ()V V Ve v 0.368=e ==-1 -C τ ττ 时间常数 τ是电容上电压下降到初始值的1/e ＝36.8% 经历的时间。 当t = 4 τ 时，()V v 0183.0=4C τ，已经很小，一般认为电路进入稳态。 数学上描述上述物理过程可用分段描述的方式，如图9.1 中表示的由V 到0的“阶跃波”的输入信号，取开始突变的时间作为时间的0点，可以描述为： ()()0=S ≤t V t v 对 ；()()00=S ≥t t v 对。 [练习.9.1]在仿真平台上打开本专题电路图，按图中提示作出“零输入响应”的波形图。观察电容、电阻上输出波形与输入波形的关系，由图上读出电路的时间常数值，与用电路元件值计算结果比较。 仿真分析本专题电路 得到波形图如图9.2 所示。 在0到1m 这时间内，电压源值为V ，在时刻1m 时电压源值突然变到0。仿真平台在对电路做瞬态分析之前，对电路作了直流分析，因此图中1m 以前一段波形只是表明电路已经接在电压源值为V “很长时间”后的持续状态。上面理论分析只适用于1m 以后的时间过程。时刻1m 是理论分析的时间“零”点。图上看到，电容上的电压随时间在下降，曲线的样子是指数下降曲线的典型模样。由v C 曲线找到电压值为0.368V 的地方，读出它的时刻值(=2m )，即可求到电路的时间常数是1m (1毫秒)。 图中也画出电阻上电压变化曲线。观察，发现在1m 以前，电阻电压为0，在时刻1m ，电阻电压突变到 -V ，然后逐渐升到0。怎样理解这个过程呢？ 2.电阻上电压的过渡过程 虽然专题电路图中取电阻的电压时是由电阻直接落地的电路得到的，但电路元件参数是相同的，该电阻上的电压应和电容落地电路中的电阻是一样的。按照这种想法，看图9.1 ，注意电阻的电压的参考方向应是由S 点向右，即应是v(S 点)-v C ，在电源电压为V 的时间内，电容已被充电到v C =V ，那么v R = v(S 点)-v C =V -V =0。在理论分析时间0处，电压源的电压值突变到0，即v(S 点)=0，但电容上的电压不能突变（回顾电容的特性：电压有连续性）。为了区分突变时刻的前和后的状态，用0- 表示突变前，0+ 表示突变后。 即是说， v C (0+)= v C (0-)=V 那么， v R (0+)= 0-v C (0+)= -V 在随后的时间内，按KVL 定律， 电阻上的电压应为： ()()t RC t C R Ve Ve t v t v ---=-=-= 当然，也可以直接对电阻落地的电路来做理论分析。
一阶rc电路有关原理
一阶RC电路是一种基本的电子电路，由电阻（R）和电容（C）组成。这种电路在电子工程、通信、控制等领域有着广泛的应用。下面将详细介绍一阶RC电路的原理。 一、电路组成 一阶RC电路由一个电阻和一个电容组成。电阻是线性元件，其阻值保持恒定；电容是储能元件，其电荷量与电压成正比。 二、工作原理 充电过程 当电路接通电源时，电容开始充电。根据欧姆定律，电流I与电压V成正比，即I=V/R。随着时间的推移，电容上的电荷量逐渐增加，电压也逐渐升高。当电容完全充电后，电压达到电源电压。 放电过程 当电路断开电源时，电容开始放电。此时，电流从电容流出，通过电阻进行放电。根据电流的定义，电流I=dQ/dt=d(CV)/dt。随着时间的推移，电容上的电荷量逐渐减少，电压也逐渐降低。当电容完全放电后，电压为零。 时间常数 一阶RC电路的时间常数定义为R×C，即电阻与电容的乘积。时间常数决定了电路的充放电速度。当时间常数较大时，充放电过程较慢；当时间常数较小时，充放电过程较快。 暂态过程 在一阶RC电路中，当电源接通或断开时，电路会经历暂态过程。在这个过程中，电容上的电压和电流会发生变化。根据一阶RC电路的特性，暂态过程的持续时间与时间常数有关。当时间常数较大时，暂态过程的持续时间较长；当时间常数较小时，暂态过程的持续时间较短。
稳态过程 在一阶RC电路中，当暂态过程结束后，电路会进入稳态过程。在这个过程中，电容上的电压和电流保持恒定。根据一阶RC电路的特性，稳态过程的电压和电流与电源电压和电阻有关。 三、应用领域 一阶RC电路在电子工程、通信、控制等领域有着广泛的应用。例如，在滤波器、振荡器、定时器等电路中，一阶RC电路可以起到关键的作用。此外，一阶RC电路还可以用于模拟电路中的暂态过程和稳态过程，为模拟电路的分析和设计提供重要的理论支持。 总之，一阶RC电路是一种基本的电子电路，其工作原理和应用领域广泛。通过深入了解一阶RC电路的原理和应用，我们可以更好地掌握电子工程的基本知识，为实际应用提供有力的支持。
rc一阶电路实验报告结论
rc一阶电路实验报告结论 实验目的： 通过实验掌握rc一阶电路的基本原理和性质；熟悉rc一阶低通滤波器、高通滤波器 的特性；学习使用示波器、函数发生器等基本仪器。 实验原理： RC一阶电路是由一个电容和一个电阻串联，可以用于滤波器、延时电路、放大器等。在RC电路中，从电源向电容开始充电时，电阻会限制电流的流动。而一旦电容电量达到一定程度时，电容充电速度减慢，电流变为电阻上的虚拟电流。当电容电量达到电源电压时，电容不再吸收能量。此时电容会像一个开路，电阻上的电压保持不变。 低通滤波器是一种滤波器，可以通过控制高频信号的频率而将其消除。当频率变得很 高时，电容器的导电特性变得不起作用，因此信号就不会通过电容器。因此低通滤波器是 将低频信号保留下来的。 实验仪器： 正弦波发生器、示波器、万用表、电容器、电阻等。 实验步骤： 1.将电容器和电阻器串联在一起，制作rc一阶电路。 2.将RC电路连接到正弦波发生器和示波器上。 3.使用正弦波发生器输入正弦波信号，观察RC电路输出信号在示波器上的波形。 4.使用万用表测量电容器电量和电阻器电阻值。 5.将正弦波发生器频率逐步增大和减小，观察RC电路的输出信号变化。 6.将RC电路调整为低通滤波器和高通滤波器，并观察其变化。 实验结果： 通过实验可以发现，当正弦波发生器的频率逐渐增加时，RC电路的输出信号也会逐渐减小。当输入频率越高时，输出电压越小，RC电路表现出更强的低通特性。反之，当输入频率逐渐减小时，输出电压也会逐渐减小。当输入频率越低时，输出电压越小，RC电路表现出更强的高通特性。
通过调整电容和电阻的比例和数值，可以调整RC电路的频率特性。如果电容值很小，就可以在更高的频率下过滤掉噪声和其他高频信号。相反，如果电容器很大，就可以在更 低的频率下过滤掉低频信号。 结论： 在RC电路中，电容充电速度随着时间的推移而逐渐减少。当电容电量达到电源电压时，电容将像一个开路，并且电阻上的电压保持不变。通过调整RC电路的电容和电阻，可以控制电路的频率特性。低通滤波器可以将低频信号保留下来，而高通滤波器则可以将高频信 号保留下来。通过对电容和电阻参数的调整，还可以使RC电路在特定频率下表现出共振。共振是指电路在某种频率下输出电压达到最大值的现象。通过在RC电路中引入电阻和电容的组合，可以在特定频率下形成谐振回路，从而实现共振。 需要注意的是，在实际电路中，会存在一些误差、干扰和噪声等因素，会影响RC电路的输出表现。在电容器中可能会存在不均匀的绝缘或者电容损耗，这些都会导致输出信号 的误差。 在实现RC电路时，还需要注意电路的稳定性和可靠性。电容器和电阻器组成的RC电 路在一定程度上可以承受高电流和高电压，但需要选择适当的组件质量和规格，并采取合 适的保护措施，以确保电路的可靠性和安全性。 RC一阶电路具有简单、经济、易于制造和优良的低通和高通滤波特性，因此在电子电路中被广泛使用。在频率特性、稳定性和可靠性等方面也具有优异的性能表现。通过实验 可以对RC电路的工作原理和性质有更深入的理解，从而更好地应用于实际电路设计和制造中。除了低通滤波器和高通滤波器外，RC电路还可以组成带通滤波器和带阻滤波器等复杂的滤波器电路。带通滤波器可以选择特定频率范围内的信号，而带阻滤波器则可以选择特 定频率范围外的信号。这些滤波器电路在实际电路设计中是非常有用的，可以通过组合调 整来实现复杂信号的处理和过滤。 RC电路还可以用于时间常数的测量和计算。时间常数是由电容器和电阻组合而成的，通常用τ表示。在RC电路中，时间常数是指RC电路将其电压输出的时间。如果电容的值增加，时间常数也会增加。在实际电路设计和分析中，时间常数是非常有用的参数，可以 帮助我们理解电路的性质、行为和响应。 RC一阶电路是一种非常重要的电路组件，广泛应用于各种电子设备和系统中。通过对RC一阶电路的实验和了解，我们可以更好地理解电路的性质和行为，从而更好地应用于实际的电路设计和制造中。还可以深入理解RC电路在滤波、信号处理和时间常数等方面的应用和重要性。除了滤波器和时间常数外，RC电路还可以被用于设计和构建其他类型的电路。在放大器设计中，RC电路可以被用作耦合电容器或直流偏置电路。耦合电容器是一个简单的电路，用于将一个电路的信号转移到另一个电路中。直流偏置电路则用于产生直流电压 以便提供适当的偏置电压，以确保电路正确地工作。
一阶有源rc滤波电路
一阶有源rc滤波电路 一阶有源RC滤波电路是一种常见的电路，用于对输入信号进行滤波和放大。它由一个电阻（R）、一个电容（C）和一个放大器（A）组成。在这篇文章中，我将详细介绍一阶有源RC滤波电路的工作原理和特点。 让我们了解一下电阻、电容和放大器的基本概念。电阻是一种用来限制电流流动的元件，它的阻值决定了通过它的电流大小。电容则是一种储存电荷的元件，它能够在两个导体之间储存电荷，并且能够根据电压的变化而进行充放电。放大器则是一种能够将输入信号放大的电路元件，它可以增加信号的幅度。 一阶有源RC滤波电路的工作原理如下：输入信号经过电阻R和电容C的串联后，进入放大器A进行放大，最后输出滤波后的信号。在这个过程中，电阻R起到限制电流的作用，电容C起到储存电荷和充放电的作用，放大器A起到放大信号的作用。 在一阶有源RC滤波电路中，电阻R和电容C的数值决定了滤波的特性。具体来说，当电容C的值较大时，电容将能够储存更多的电荷，从而使得低频信号得到放大，而高频信号则被抑制。相反，当电容C的值较小时，电容储存的电荷较少，低频信号被抑制，而高频信号得到放大。因此，我们可以通过调整电容C的值来实现不同的滤波效果。
放大器A的增益也会影响滤波电路的输出。当放大器的增益较大时，输入信号经过放大后的幅度也会增大，从而得到更大的输出信号。而当放大器的增益较小时，则输出信号的幅度也会相应减小。 一阶有源RC滤波电路还有一个重要的特点是相位延迟。由于电容C的存在，信号经过滤波电路后会产生一定的相位延迟。这意味着滤波后的信号相较于输入信号会有一定的延迟，延迟的时间取决于电容C的数值和频率。 一阶有源RC滤波电路是一种常用的电路，可以实现对输入信号的滤波和放大。通过调整电阻R、电容C和放大器A的数值，可以实现不同的滤波效果。同时，滤波电路还会产生相位延迟，需要根据具体的应用需求进行考虑。
rc一阶电路的零状态响应,uc按指数规律上升
一、引言 RC一阶电路是电子工程领域中常见的电路之一，它由一个电阻和一个电容组成，具有许多应用，如信号滤波、时间延迟等。在研究RC一阶电路的零状态响应时，我们需要了解其uc按指数规律上升的特性。本文将针对这一主题展开深入探讨。 二、RC一阶电路的特点 1. RC一阶电路由电阻R和电容C组成，是一种简单且常见的电路结构。 2. 电容器具有“储存电荷”的特性，而电阻则是电流的阻碍器。 3. 当电路中的电压或电流发生变化时，RC电路会产生零状态响应。 三、零状态响应的概念 1. 零状态响应是指在电路中所有初始条件都为零的情况下，电路产生的响应。 2. 在RC一阶电路中，零状态响应可以描述电压或电流等信号的变化规律。 四、uc按指数规律上升的原理 1. 在RC一阶电路中，uc按指数规律上升的特点是由电容器的充放电过程决定的。 2. 当电路中施加一个电压或电流源时，电容器开始充电，其电压uc会按指数规律上升。
3. 电容器的充电过程可以用指数函数来描述，即uc(t) = U(1 - e^(- t/RC))。 五、uc按指数规律上升的数学推导 1. 假设电路初始时刻电容器上无电荷，电压为0，则uc(0) = 0。 2. 根据电容器充放电的数学模型uc(t) = U(1 - e^(-t/RC))，可以推导出uc按指数规律上升的表达式。 3. 当t趋于无穷大时，指数函数e^(-t/RC)趋近于0，此时uc趋近于U，电压最终稳定在U的值。 六、uc按指数规律上升的应用 1. 在电子工程中，uc按指数规律上升的特性常常被用于时间延迟、信号衰减等应用场景。 2. 通过控制RC电路的参数，可以调节电压或电流的上升速度，实现 对信号的精准控制。 七、结论 RC一阶电路的零状态响应和uc按指数规律上升的特性是我们在设计 电子电路和解决实际问题时需要重点关注的内容。对于电子工程师而言，深入了解和掌握这些特性，能够帮助我们更好地设计和优化电路，提高系统的稳定性和性能。希望本文的内容能够为读者提供一定的参 考和帮助。
一阶RC电路的实验研究
一阶RC电路的实验研究 一、实验目的 1.理解一阶RC电路的基本原理和特性。 2.熟悉一阶RC电路的实验测量方法。 3.观察和分析一阶RC电路的时间响应特性。 二、实验器材 1.信号发生器 2.示波器 3.电阻箱 4.电容器 5.万用表 6.连线电缆 7.电源 三、实验步骤 1.搭建一阶RC电路，将信号发生器、电阻箱、电容器和示波器依次连接在一起。注意保持正确的电路连接。 2.设置信号发生器输出一个方波信号，并通过示波器观察输出波形。 3.调节信号发生器的频率和幅度，观察RC电路的响应，并记录实验数据。
4.通过示波器的测量功能，测量电阻和电容的值，并记录实验数据。 5.根据测量数据，计算RC电路的时间常数（τ=R×C）。 6.重复实验步骤2-5，分别改变电阻和电容的值，观察RC电路的响应特性，并记录实验数据。 四、实验结果 1.绘制RC电路的幅频特性图，研究电路的频率响应特性。 2.绘制RC电路的相频特性图，研究电路的相位响应特性。 3.绘制RC电路的阶跃响应曲线，研究电路的时间响应特性。 4.分析和讨论实验结果，比较不同参数下RC电路的性能差异。 五、实验分析 1.从幅频特性图可以观察到RC电路的频率响应特性。随着频率的增加，对输入信号的衰减程度逐渐增大。 2.从相频特性图可以观察到RC电路的相位响应特性。随着频率的增加，输出信号的相位逐渐滞后于输入信号。 3.从阶跃响应曲线可以观察到RC电路的时间响应特性。在电容充电过程中，电压会逐渐上升，且上升的速度随着电阻和电容的增大而减小。 4.实验数据和结果的分析需要结合理论知识进行，可以对不同参数下的RC电路性能进行比较和评估。 六、实验注意事项 1.搭建电路时注意正确连接和保持连接可靠。
rc一阶电路的零状态响应,按指数规律上升,按指数规律衰减 -回复
rc一阶电路的零状态响应,按指数规律上升,按指数规 律衰减-回复 题目：RC一阶电路的零状态响应：按指数规律上升、按指数规律衰减 引言： RC一阶电路是电子学中最基本的电路之一，具有广泛的应用领域。它由一个电阻（R）串联一个电容（C）组成，通过充电和放电的过程实现信号的处理和滤波。在零状态下，当施加一个外部输入信号时，电路的响应过程是非常值得研究的。本文将详细介绍RC一阶电路的零状态响应，其中包括按指数规律上升和按指数规律衰减两种情况。 一、按指数规律上升的零状态响应 1. RC电路方程的建立 RC电路中，电阻R和电容C之间存在着电压关系，可以利用基尔霍夫定律建立电路方程。根据欧姆定律和电容电压方程，可得到如下的微分方程： RC\frac{{dv(t)}}{{dt}}+ v(t) = V_m 其中，v(t)为电容器的电压，V_m为外部输入信号。 2. 解微分方程
对微分方程进行求解，得到v(t)的表达式： v(t) = V_m (1 - e^{-\frac{{t}}{{RC}}}) 这个表达式体现了零状态响应的特性，它是指数规律上升的。随着时间t 的增加，指数e的幂函数逐渐接近1，电容器电压将逐渐趋于输入信号的幅值。 3. 特点分析 指数规律上升的零状态响应具有以下几个特点： - 响应时间：RC时间常数为RC，即在时间常数内，电容器电压达到输入信号幅值的63.2； - 上升速度：电容器电压初始时刻为0，随着时间的增加，电压按照指数规律逐渐上升，上升速度取决于RC的大小； - 最终值：理论上，无限时间后，电容器电压将趋于输入信号幅值； - 幅值变化：电容器电压按照平滑曲线变化，没有跳变。 二、按指数规律衰减的零状态响应 1. RC电路方程的建立 与按指数规律上升的情况类似，按指数规律衰减的零状态响应也可以利用基尔霍夫定律建立电路方程，得到如下的微分方程：
RC一阶二阶电路设计
RC一阶二阶电路设计 电路设计是电子工程中非常重要的一部分，它涉及到电路的性能和功 能的设计。RC（电阻电容）一阶和二阶电路是电路中比较常见的一种类型，其中RC一阶电路只包含一个电阻和一个电容元件，而RC二阶电路包含两 个电阻和一个电容元件。 一阶RC电路设计： RC一阶电路是最简单的一种电路，其主要特点是只有一个能量存储 元件，即电容，以及一个线性元件，即电阻。它可以用于滤波、时钟发生器、波形整形等应用。 设计RC一阶低通滤波器： 低通滤波器是指能够通过低频信号而抑制高频信号的电路。RC一阶 低通滤波器的设计目标是确定合适的电阻和电容数值，以满足所需的截止 频率和滤波特性。 1.确定截止频率： 截止频率是指在该频率下信号的振幅被滤波器抑制到一定程度。先确 定所需截止频率，并转换为角频率ωc。 ωc = 2πfc 其中，fc为截止频率，ωc为角频率。 2.选择合适的电容： 电容的数值决定了截止频率，因此需要根据所需的截止频率选择合适 的电容数值。选择电容的一般原则是，电容的数值越大，截止频率越低。
C = 1 / (2πRfc) 其中，C为电容，R为电阻，fc为截止频率。 3.选择合适的电阻： 电阻的数值决定了电路的阻抗，从而影响滤波器的截止频率和增益。 选择电阻数值时，需要考虑到电源电压、系统噪声以及输入和输出的电气 特性等因素。 R = 1 / (2πfcC) 其中，R为电阻，C为电容，fc为截止频率。 二阶RC电路设计： 二阶RC电路相比于一阶RC电路更为复杂，因为它包含两个电阻和一 个电容元件。它可以用于滤波器、振荡器以及信号处理中。 设计二阶RCL低通滤波器： 二阶RCL低通滤波器是一种常见的滤波器，可以用于降低高频信号的 干扰。 其设计步骤与一阶RC滤波器相似，只是需要考虑到两个电阻的数值。 1.确定截止频率： 同样，先确定所需的截止频率，并将其转换为角频率。 2.选择合适的电容： 根据所需的截止频率，选择合适的电容数值。 3.选择合适的电阻：
rc一阶电路的响应实验报告
rc一阶电路的响应实验报告 实验目的： 通过对RC一阶电路的响应实验，了解电容器和电阻器在电路中的作用，探究 电路的响应特性，并进一步加深对电路的理解。 实验原理： RC一阶电路是由一个电阻器（R）和一个电容器（C）串联而成的。当电路中 有输入信号时，电容器会对信号进行滞后处理，形成电路的响应。电路的响应 特性可以通过计算电压和电流的变化来研究。 实验步骤： 1. 搭建RC一阶电路：将电容器和电阻器按照电路图连接起来，并接入信号发 生器和示波器。 2. 设置信号发生器：根据实验要求，设置信号发生器的频率和幅度。 3. 测量电压响应：将示波器连接到电容器的两端，观察并记录电压随时间变化 的波形。 4. 测量电流响应：将示波器连接到电阻器的两端，观察并记录电流随时间变化 的波形。 实验结果与分析： 通过实验测量得到的电压和电流波形可以用来分析RC一阶电路的响应特性。 根据实验数据，可以计算得到电压和电流的幅值、相位差等参数，进一步研究 电路的响应规律。 在RC一阶电路中，电容器对信号的响应可以通过计算电压的滞后角度来表达。当输入信号的频率较低时，电容器对信号的滞后效应较为明显，电压波形会出
现明显的相位差。而当输入信号的频率较高时，电容器对信号的滞后效应会减弱，电压波形的相位差也会减小。 此外，通过实验还可以观察到电流波形与电压波形之间的关系。在RC一阶电路中，电流波形与电压波形是相位相同的，但幅值不同。电流的幅值取决于电阻器的阻值，而电压的幅值则取决于电容器的电容量和电阻器的阻值。 实验结论： 通过对RC一阶电路的响应实验，我们可以得出以下结论： 1. RC一阶电路中的电容器对信号具有滞后效应，频率越低，滞后效应越明显。 2. 电流波形与电压波形相位相同，但幅值不同，幅值取决于电阻器的阻值。 3. 通过实验数据的分析，可以进一步了解电路的响应规律，并应用于实际电路设计和调试中。 实验总结： 通过本次RC一阶电路的响应实验，我们深入了解了电容器和电阻器在电路中的作用，以及电路的响应特性。实验结果和分析为我们进一步研究电路的响应规律提供了基础。在今后的学习和实践中，我们将更加灵活地运用这些知识，提高电路设计和调试的能力。
一阶rcr滤波电路
一阶rcr滤波电路 一阶RCR滤波电路是一种经典的滤波电路，常用于对信号进行滤波和去噪。在这篇文章中，我们将介绍一阶RCR滤波电路的原理、特点和应用。 一阶RCR滤波电路由一个电阻（R）、一个电容（C）和一个电感（L）组成。它的原理是通过电阻、电容和电感的组合，实现对信号的频率进行选择性的衰减或增强。具体来说，当信号的频率高于或低于一定的截止频率时，滤波电路会对信号进行衰减，从而实现对噪声的去除或信号的滤波。 一阶RCR滤波电路的特点有以下几个方面。首先，它是一个线性滤波器，具有简单的电路结构和低成本的特点。其次，它可以实现对特定频率范围内信号的滤波，具有较好的频率选择性。此外，一阶RCR滤波电路还可用于对信号的幅度进行增益或衰减，具有一定的放大或衰减作用。 一阶RCR滤波电路在实际应用中具有广泛的用途。首先，它常用于音频设备中，用于对音频信号进行去噪和滤波处理，提高音质和音量清晰度。其次，一阶RCR滤波电路也常用于通信系统中，用于对信号进行预处理，提高信号质量和传输效果。此外，一阶RCR滤波电路还可用于电源滤波，对电源信号进行稳压和去除纹波噪声。 在使用一阶RCR滤波电路时，需要注意一些问题。首先，电阻、电
容和电感的数值选择要合理，以满足滤波效果的要求。其次，一阶RCR滤波电路的截止频率和衰减特性需要根据具体应用场景进行调整和优化。此外，一阶RCR滤波电路对信号的相位会引起一定的延迟，需要在实际应用中进行补偿。 总结起来，一阶RCR滤波电路是一种常用的滤波电路，具有简单、低成本和频率选择性好的特点，广泛应用于音频设备、通信系统和电源滤波等领域。在实际应用中，需要根据具体需求选择合适的电阻、电容和电感数值，并进行相应的调整和优化。通过合理使用一阶RCR滤波电路，可以实现对信号的滤波、去噪和增益，提高信号质量和系统性能。
一阶rc电路的传递函数
一阶RC电路的传递函数 引言 一阶RC电路是电子电路中常见且重要的一类电路，由电阻（R）和电容（C）构成。它具有简单的结构和良好的响应特性，在电子工程领域有着广泛的应用。本文将介绍一阶RC电路的传递函数及其相关知识。 一阶RC电路的结构 一阶RC电路由一个电阻和一个电容串联构成，如下图所示： +-----R-----+ | | Vin | | | +----C------+-- Vout Vin表示输入信号，Vout表示输出信号。电阻R和电容C分别对应于电路的阻抗和电容阻抗。当输入信号通过电阻和电容的串联电路时，会产生一个根据时间常数响应的输出信号。 一阶RC电路的传递函数推导 为了推导一阶RC电路的传递函数，我们首先需要建立电路的基本方程。根据基尔霍夫定律，电流通过电阻和电容的串联电路时，有以下关系： Vin = VR + VC 其中，Vin表示输入电压，VR表示电阻上的电压，VC表示电容上的电压。根据欧姆定律和电容电压方程，我们可以得到如下方程： Vin = iR + Vc 其中，i表示电流。进一步推导，可以得到： Vin = RC * d(Vout) / dt + Vout 这是一阶RC电路的基本方程。为了得到传递函数，我们可以将上述方程进行变换： Vin - Vout = RC * d(Vout) / dt 将上式中的Vout视为函数Vout(t)的导数，我们可以得到所谓的微分方程：d(Vout) / Vout = 1 / (RC) * dt 对上式进行积分后，得到：
ln(Vout) = t / (RC) + K 其中ln表示自然对数，K为常数。为了消除常数K，我们可以取指数函数，从而得到一阶RC电路的传递函数： Vout = A * e^(t / (RC)) 其中A为常数，与Vin有关。上述传递函数描述了一阶RC电路的输入和输出 之间的关系。 一阶RC电路的频率响应 通过上述传递函数的表达式，我们可以看出一阶RC电路对不同频率信号的响 应情况。由于指数函数的特性，我们可以得到以下结论： •当输入信号的频率较低时，即频率远小于1/(RC)时，电路对输入信号几乎没有相位延迟，并且输出信号几乎与输入信号成比例。 •当输入信号的频率较高时，即频率远大于1/(RC)时，电路对输入信号有较大的相位延迟，并且输出信号逐渐减小。 这表明一阶RC电路对于低频信号具有放大作用，而对高频信号则有衰减作用。 总结 本文介绍了一阶RC电路的传递函数及其相关知识。一阶RC电路通过电阻和 电容的串联构成，具有简单的结构和良好的响应特性。通过传递函数推导，我们可以得到电路的输出与输入之间的关系，以及电路对不同频率信号的响应情况。了解一阶RC电路的传递函数可以帮助我们设计和分析电子电路中涉及到该电路的问题。