千题百炼——高中数学个热点问题三：第炼取球问题
千题百炼——高中数学个热点问题(三)：第炼-取球问题
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第90炼 取球问题
一、基础知识：
在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下：
1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同。
2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取”
3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响
4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数。
5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解。
二、典型例题：
例1：一袋中有6个黑球，4个白球
（1）不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （3）有放回的依次取出3个球，求取到白球个数X 的分布列，期望和方差
（1）思路：因为是不放回的取球，所以后面取球的情况受到前面的影响，要使用条件概率相关公式进行计算。第一次已经取到白球，所以剩下6个黑球，3个白球；若第二次取到黑球，则第三次取到黑球的概率为
65
98
?，若第二次取到白球，则第三次取到黑球的概率为36
98
?，从而能够得到第三次取到黑球的概率 解：设事件A 为“不放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”
()65364829898723
P A ∴=
?+?== （2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型，所以第三次取球时依然是6个黑球，3个白球，取得黑球的概率为
69
解：设事件B 为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”
()23
P B ∴=
（3）思路：本问依然属于独立重复试验模型，X 的取值为0,1,2,3，则X 符合二项分布，
即23,5X
B ??
???
，所以可通过二项分布的概率计算公式求得概率，得到分布列 解：X 的取值为0,1,2,3，依题意可得：23,5X
B ?? ???
()3
0332705125P X C ??∴=== ??? ()2
133254155125P X C ????=== ? ?
???? ()1
223
3236255125P X C ??
??=== ?
???
?? ()3
332835125
P X C ??=== ?
?? X 0 1 2 3 P
27125
54125
36125
8125
23,5X
B ??
???
26355EX ∴=?
= 2318
35525
DX =??=
例2：已知甲盒内有大小相同的1个红球和3个黑球，乙盒内有大小相同的3个红球和3个黑球，现从甲，乙两个盒内各任取2个球 （1）求取出的4个球中没有红球的概率 （2）求取出的4个球中恰有1个红球的概率
（3）设ξ为取出的4个球中红球的个数，求ξ的分布列和数学期望
思路：本题这三问的关键在于所取球中红球的个数，考虑红球个数来自于两个盒内拿出红球个数的总和，所以可将红球总数进行分配，从而得到每个盒中出红球的情况，进而计算出概率
（1）设事件i A 为“甲盒中取出i 个红球”，事件j B 为“乙盒中取出j 个红球”
则()()22133322
46
,i i j j
i j C C C C P A P B C C --== 设事件A 为“4个球中没有红球”
则()()()0202
13330022
46331
61510
C C C C P A P A P B C C =?=?=?= （2）设事件B 为“4个球中恰有1个红球”
()()()02111102
1333133301102222
464639332
6156155
C C C C C C C C P B P A B P A B C C C C ∴=+=?+?=?+?= （3）ξ可取的值为0,1,2,3
()()1
010
P P A ξ∴===
()()215P P B ξ===
()()()02201111
1333133302112222
46462
25C C C C C C C C P P A B P A B C C C C ξ==+=?+?= ()()1102
1333122246331
361510
C C C C P P A B C C ξ===?=?=
ξ∴的分布列为：
ξ 0 1 2
3
P
110 25
2
5
110
12213
01231055102
E ξ∴=?+?+?+?=
例3：甲、乙两袋中各装有大小相同的小球9个，其中甲袋中红色、黑色、白色小球的个数分别为2、3、4，乙袋中红色、黑色、白色小球的个数均为3，某人用左右手分别从甲、乙两袋中取球．
（1）若左右手各取一球，求两只手中所取的球颜色不同的概率；
（2）若左右手依次各取两球，称同一手中两球颜色相同的取法为成功取法，记成功取法次数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望．
解：（1）设事件A 为“两只手中所取的球颜色不同”，则A 为“两只手中所取的球颜色相同”
()()
2333432
119999993
P A P A ??=-=-?+?+?= ???
（2）X 可取的值为0,1,2
左手取球成功的概率2222341
295
18
C C C P C ++==
右手取球成功的概率22233322
91
4
C C C P C ++== ()511301118424P X ?
???∴==-?-= ? ?????
()5151711118418418
P X ????==-?+?-= ? ????? ()515
218472
P X ==
?=
X ∴的分布列为
X 0 1 2 P
1324
7
18
572
13751901224187236
EX ∴=?
+?+?= 例4：袋中装有若干个质地均匀大小相同的红球和白球，白球数量是红球数量的两倍，每次从袋中摸出一个球，然后放回，若累计3次摸到红球则停止摸球，否则继续摸球直到第5次摸球后结束
（1）求摸球四次就停止的事件发生的概率
（2）记摸到红球的次数为ξ，求随机变量ξ的分布列及其期望
（1）思路：本题为有放回摸球，可理解为独立重复试验，如果摸球四次就停止，说明在这四次中一共摸到3次红球，且前三次有两次摸到红球，第四次又摸到红球。通过红白球数量关系可知一次摸球中摸到红球的概率为
1
3
，然后可按照分析列式并求出概率。 解：设事件A 为“摸球四次即停止摸球“
解：依题意可得：在一次摸球中，摸到红球的概率为
13
()2
23214
339
P A C ????∴== ? ?????
（2）思路：可知ξ可取的值为0,1,2,3，当0,1,2ξ=时，摸球是通过完成5次后停止，所以可利用独立重复试验模型计算概率；当3ξ=时，按照规则有可能摸球提前结束，所以要按摸球的次数（3次，4次，5次）分类讨论后再汇总
解：ξ可取的值为0,1,2,3
()523203243P ξ??∴=== ??? ()4
151280133243P C ξ????=== ??????? ()2
3
25
1280233243
P C ξ????
===
? ?????
()32
2
2
2234112112151173333333324381P C C ξ??????????????==++== ? ? ??? ? ? ?
??????????????
ξ∴的分布列为：
ξ 0
1 2 3
P
32
243
80243 80243
1781
32808017131
01232432432438181
E ξ∴=?+?+?+?=
例5：某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖．抽奖箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”．顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球．获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖． （1）求分别获得一、二、三等奖的概率；
（2）设摸球次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 解：（1）设i A 为“获得i 等奖”
()111111
4444256P A =
???=
()()3
231111514444256
P A A =????-=
()1233411119444464P A C A =?????= （2）摸球次数ξ可取的值为1,2,3,4
()114P ξ∴==
()31324416
P ξ==?=
()3319344464P ξ==
??= ()33327
444464
P ξ==??=
ξ∴的分布列为：
ξ
1 2 3
4
P
14 316
9
64
2764
1392711
123441664644
E ξ∴=?+?+?+?=
例6：学校游园活动有这样一个游戏项目：甲箱子里装有3个白球，2个黑球；乙箱子里面装有1个白球，2个黑球；这些球除了颜色外完全相同，每次游戏从这两个箱子里各随机摸出2个球，若摸出的白球不少于2个，则获奖（每次游戏后将球放回原箱） （1）求在一次游戏中 ① 摸出3个白球的概率 ② 获奖的概率
（2）求在三次游戏中获奖次数X 的分布列与期望
（1）思路：本题的结果实质上是一个“拼球”的过程，即两个箱子各自拿球，然后统计白球的个数。则①：若摸出3个白球，则情况为甲2乙1。②：若获奖，则白球个数不少于2个，可分成白球有3个或有2个两种情况，分别求出概率再求和即可 解：设i A 为“甲箱子里取出i 个白球”，j B 为“乙箱子里取出j 个白球” ① 设事件A 为“摸出3个白球”
()()211
3122121
531
5
C C C P A P A B C C ?∴==?= ② 设事件B 为“获奖”（即白球不少于2个）
()()()()111122
3212321120212222
535317
510
C C C C C C P B P A B P A B P A B C C C C ?∴=++=?+?+= （2）思路：三次游戏可视为独立重复试验，所以获奖次数X 服从二项分布，由（1）可得
73,10X
B ??
???
，从而可利用公式计算概率，列出分布列 解：X 可取的值为0,1,2,3，依题意可得：73,10X
B ?? ???
()3033270101000P X C ??∴=== ??? ()2
1373189110101000
P X C ????=== ???
???? ()2
23
73441210101000P X C ????=== ? ???
?? ()3
3373433101000P X C ??=== ?
??
X ∴的分布列为：
X 0 1 2 3 P
27
1000
189
1000
441
1000
343
1000
73,10X
B ??
???
721
31010
EX ∴=?
=
例7：一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设袋子中的每一个球被摸到可能性是相等的。 （1）从袋子中任意摸出3个球，求摸出的球均为白球的概率；
（2）一次从袋子中任意摸出3个球，若其中红球的个数多于白球的个数，则称“摸球成功”（每次操作完成后将球放回），某人连续摸了3次，记“摸球成功”的次数为ξ，求ξ的分布列和数学期望。
（1）思路：此问可用古典概型解决，事件Ω为“10个球中任意摸出3个球”，则()3
10n C Ω=，
所求事件A 为“均是白球”，则()3
4n A C =，从而()()()
1
30
n A P A n =
=
Ω 解：设事件A 为“3个球均为白球“
()3431041
12030
C P A C ===
（2）思路：按题目叙述可知对于摸3次球，由于是有放回的摸，所以相当于独立重复试验，结合ξ的含义可知ξ服从二项分布。但“摸球成功”的概率还未知，所以先根据“摸球成功”的要求利用古典概型计算出一次成功的概率，再通过二项分布的公式计算ξ的分布列即可 解：设事件B 为“一次摸球成功”
()213064643
10802
1203
C C C C P B C ?+?∴===
ξ的取值为0,1,2,3，依题意可得：23,3B ξ
?? ???
()3
03110327P C ξ??∴=== ??? ()2
1321613327P C ξ????=== ??????? ()2
1
23
211223327P C ξ????=== ? ????? ()3
33283327
P C ξ??=== ??? ξ∴的分布列为：
ξ 0
1
2
3
P
127
29
49
827
124801232279927
E ξ∴=?
+?+?+?= 例8：袋中装着标有数字1,2,3,4的小球各3个，从袋中任取3个小球，每个小球被取出的可能性都相等.
（1）求取出的3个小球上的数字互不相同的概率；
（2）用X 表示取出的3个小球上所标的最大数字，求随机变量X 的分布列和数学期望. （1）思路：本题的特点在于每个编号都有3个球，若将这12个球视为不同元素，则可利用古典概型进行计算，设Ω为“12个球中任取3个”，则()3
12n C Ω=，事件A 为“三个球数
字各不相同”，则计数时第一步要先选出不同的三个编号，即3
4C ，然后每个编号中都有3个小球可供选择，即1
1
1
333C C C ??，所以()()2
3
143
n A C C =?。进而可计算出()P A
解：设事件A 为“三个球数字各不相同”
()()()
()3
31
433
12
2755
C C n A P A n C ?∴=
=
=
Ω （2）思路：依题意可知X 的取值为1,2,3,4，依然用古典概型解决，但要明确X 取每个值时所代表的情况：当1X =时，只能3个球均为1号球；当2X =时，说明至少有一个2号
球，其余的用1号球组成，即32112
33333C C C C C ++，或者使用间接法：从1,2号共6个球中
先随意取三个，再减去不含2号球的情况，即(
)
33
63C C -个，同理可得：3X =时，至少有一个3号球，其余的球为1,2号球，所以由(
)
36
93C C -个，4X =时，至少有一个4号球，
其余的球为1,2,3号球，所以由()
33
129
C C -个，进而求得概率得到分布列 解：X 的取值为1,2,3,4
()3331211220C P X C ∴=== ()33
633
1219
2220C C P X C -=== ()3396312643220C C P X C -=== ()331293
12136
4220
C C P X C -=== X ∴的分布列为：
X 1 2 3 4 P
1220 19220
16
55
3455
1191634775155
1234220220555522044
EX ∴=?+?+?+?==
例9：一个盒子中装有大小相同的小球n 个，在小球上分别标有1,2,3,,n 的号码，已知从
盒子中随机的取出两个球，两球的号码最大值为n 的概率为1
4
， （1）盒子中装有几个小球？
（2）现从盒子中随机的取出4个球，记所取4个球的号码中，连续自然数的个数的最大值为随机变量ξ（如取2468时，1ξ=；取1246时，2ξ=，取1235时，3ξ=） （1）思路：以两球号码最大值为n 的概率为入手点，则该叙述等价于“取出一个n 号球和一个其它号码球的概率为
1
4
，从而利用古典概型列出关于n 的方程并解出n 解：设事件A 为“两球号码最大值为n ”
()1
1
2
114
n n C P A C -?∴==即()11142
n n n -=- 解得：8n = （2）思路：由（1）可得小球的编号为18-，结合所给的例子可知ξ的取值为1,2,3,4，其概率可用古典概型计算。1ξ=代表所取得数两两不相邻，可能的情况有{}1,3,5,7，
{}{}{}{}1,3,5,8,1,3,6,8,1,4,6,8,2,4,6,8共5种；2ξ=表示只有一对相邻的数或两对相邻
的数（两队相邻的数之间不再相邻）；3ξ=表示有三个相邻的数，与另一个数不相邻；
4ξ=
表示四个数均相邻，共5个。由于2ξ=包含情况较复杂，所以可以考虑算出其他情况的概率再用1减即可。 解：ξ的取值为1,2,3,4
()4851114P C ξ==
= ()4842342023707P C ξ?+?==== ()48551
47014
P C ξ==
== ()()()()4211347
P P P P ξξξξ∴==-=-=-==
ξ∴的分布列为：
ξ 1 2 3
4
P
114 47
27
114
142133
123414771414
E ξ∴=?+?+?+?=
例10：袋中装有35个球，每个球上分别标有135-的一个号码，设号码为n 的球重
2
5152
n n -+克，这些球等可能的从袋中被取出 （1）如果任取1球，试求其重量大于号码数的概率 （2）如果不放回任意取出2球，试求它们重量相等的概率
（3）如果取出一球，当它的重量大于号码数，则放回，将拌均匀后重取；当它的重量小于号码数时，则停止取球，按照以上规则，最多取球3次，设停止之前取球次数为ξ，求ξ的分布列和期望
思路：（1）本题的球重与编号存在函数关系，要解得重量大于号码数的概率，先要判断出在
35个球中，那些球的重量大于号码数，即解不等式2
5152n n n -+>，可解出66n >+或66n <-，所以n 的解集为{}1,2,3,9,10,11,
35共30个数，所以取出球重量大于号码
数的概率为
306357
= 解：设事件A 为“取1球其重量大于号码数”
若球重量大于号码数，则2
5152
n n n -+> 212300n n ∴-+>，解得：66n >+或66n <- 135,n n N *≤≤∈
n ∴的取值集合为{}1,2,3,9,10,11,
35，共30个元素
()306357
P A ∴=
= （2）思路：不妨设取出的球的编号为,m n ，从而22
51551522
n m n m -+=-+，可推得：10m n +=，从而取出球的组合为{}{}{}{}1,9,2,8,3,7,4,6共4组，所以概率为
235
4
C 解：设所取球的编号为,m n ，依题意可得：
22
51551522
n m n m -+=-+ ()()()2210100n m n m n m n m ∴-=-?-+-=
m n ≠ 10m n ∴+=
取出球的组合为{}{}{}{}1,9,2,8,3,7,4,6 设事件B 为“取出2球重量相等”
()23544
595
P B C ∴=
= （3）思路：依题意可知：ξ可取的值为1,2,3，由（1）可知球重量大于号码的概率为
6
7
，因为是可放回的抽取，所以每次抽取为独立重复试验。当1ξ=时，可知取出的球重量小于号码数；当2ξ=时，则第一次取出的球比号码数大，第二次取出的球比号码数小；当3ξ=时，则前两次取出的球比号码数大（无论第三次如何都终止取球），从而求出概率得到分布列
解：ξ可取的值为1,2,3，由（1）可知取出球重量大于号码的概率()6
7
P A =
()()
611177
P P A ξ∴===-
=
()61627749P ξ==
?=
()6636
37749
P ξ==?= ξ∴的分布列为：
ξ
1 2
3
P
17
6
49
3649
1636127
1237494949
E ξ∴=?+?+?=
三、历年好题精选
1、（2014，福建）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额．
（1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求： ① 顾客所获的奖励额为60元的概率； ② 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望．
（2）商场对奖励总额的预算是60 000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成．为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由．
2、（2014，重庆）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片． (1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列与数学期望． (注：若三个数,,a b c 满足a b c ≤≤，则称b 为这三个数的中位数)
3、袋中共有10个大小相同的编号为1,2,3的球，其中1号球有1个，2号球有3个，3号球有6个
（1）从袋中任意摸出2个球，求恰好是一个2号球和一个3号球的概率
（2）从袋中任意摸出2个球，记得到小球的编号数之和为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望
4、袋中装有标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，现从袋中任意取出3个小球，假设每个小球被取出的可能性都相等
（1）求取出的3个小球上的数字分别是1,2,3的概率 （2）求取出的3个小球上的数字恰有2个相同的概率 （3）用X 表示取出的3个小球上的最大数字，求X 的分布列
习题答案：
1、解析：（1）① 设顾客所获的奖励额为X
()11
13241
602
C C P X C ∴===
（2）X 可取的值为20,60
()1113241602C C P X C === ()23241
202
C P X C ===
X ∴的分布列为
X 20
60
P 0.5 0.5
所以顾客所获的奖励额的期望为40EX =． （2）每个顾客平均奖励额为
60000
601000
=元，可知期望有可能达到60的只有方案()10,10,50,50或()20,20,40,40，分别分析以下两种方案：
方案一：()10,10,50,50，则1X 的取值为20,60,100
()12411206P X C === ()11
2212
42
603
C C P X C ?=== ()124111006P X C === 1121
206010060636
EX ∴=?+?+?=
()()()2221121
160020606060100606363
DX =-?+-?+-?=
方案二：()20,20,40,40，则2X 的取值为40,60,80
()22411406P X C === ()112222
42
603
C C P X C ?=== ()22411806P X C === 2121
40608060636
EX ∴=?+?+?=
()()()2221121
4004060606080606363
DX =-?+-?+-?=
由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.
2、解析：（1）设事件A 为“3张卡片数字完全相同”
()33
433
95
84
C C P A C +∴== （2）X 可取的值为1,2,3
()3214453
93417
18442C C C P X C +==== ()1122133443633
943
284C C C C C C P X C ++=== ()21
273
971
38412
C C P X C ==== X ∴的分布列为：
X 1 2 3
P
1742 4384 112
174314712342841228
EX ∴=?
+?+?= 3、解析：（1）设事件A 为“一个2号球，一个3号球”
()11362
102
5
C C P A C ?∴== （2）ξ可取的值为3,4,5,6
()1321011315C P C ξ?=== ()21362
1011
45C C P C ξ+?=== ()1136210255C C P C ξ=== ()262101
63
C P C ξ===
ξ的分布列为：
ξ 3
4
5
6
P
1
15 15 25 13
1121
3456515553
E ξ∴=?
+?+?+?= 4、解析：（1）设事件A 为“3个小球上的数字分别是1,2,3”
()1112223
101
15
C C C P A C ??== （2）设事件B 为“3个小球上的数字恰有2个相同”
()11583101
3
C C P B C ==
（3）X 可取的值为2,3,4,5
()121
2223
104
2120C C C P X C +=== ()211224243
1016
3120
C C C C P X C +===
()211226263
1036
4120C C C C P X C +=== ()2112
28283
1064
5120
C C C C P X C +=== X 的分布列为：
X 2
3
4
5
P
1
30 215 310 815
1238132345301510153
E ξ∴=?
+?+?+?=
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第75炼-几何问题的转换
第75炼 几何问题的转换 一、基础知识： 在圆锥曲线问题中，经常会遇到几何条件与代数条件的相互转化，合理的进行几何条件的转化往往可以起到“四两拨千斤”的作用，极大的简化运算的复杂程度，在本节中，将列举常见的一些几何条件的转化。 1、在几何问题的转化中，向量是一个重要的桥梁：一方面，几何图形中的线段变为有向线段后可以承载向量；另一方面，向量在坐标系中能够坐标化，从而将几何图形的要素转化为坐标的运算，与方程和变量找到联系 2、常见几何问题的转化： （1）角度问题： ① 若与直线倾斜角有关，则可以考虑转化为斜率k ② 若需要判断角是锐角还是钝角，则可将此角作为向量的夹角，从而利用向量数量积的符号进行判定 （2）点与圆的位置关系 ① 可以利用圆的定义，转化为点到圆心距离与半径的联系，但需要解出圆的方程，在有些题目中计算量较大 ② 若给出圆的一条直径，则可根据该点与直径端点连线的夹角进行判定：若点在圆内，ACB ∠为钝角 （再转为向量：0CA CB ?<；若点在圆上，则ACB ∠为直角（0CA CB ?=）；若点在圆外，则ACB ∠为锐角（0CA CB ?>） （3）三点共线问题 ① 通过斜率：任取两点求出斜率，若斜率相等，则三点共线 ② 通过向量：任取两点确定向量，若向量共线，则三点共线 （4）直线的平行垂直关系：可转化为对应向量的平行与垂直问题，从而转为坐标运算： ()()1122,,,a x y b x y ==，则,a b 共线1221x y x y ?=；a b ⊥12120x x y y ?+= （5）平行（共线）线段的比例问题：可转化为向量的数乘关系 （6）平行（共线）线段的乘积问题：可将线段变为向量，从而转化为向量数量积问题（注意向量的方向是同向还是反向）
千锤百炼-高考数学100个热点问题——第10炼 函数零点的个数问题
第10炼 函数零点的个数问题 一、知识点讲解与分析： 1、零点的定义：一般地，对于函数()()y f x x D =∈，我们把方程()0f x =的实数根x 称为函数()()y f x x D =∈的零点 2、函数零点存在性定理：设函数()f x 在闭区间[],a b 上连续，且()()0f a f b <，那么在开区间(),a b 内至少有函数()f x 的一个零点，即至少有一点()0,x a b ∈，使得()00f x =。 （1）()f x 在[],a b 上连续是使用零点存在性定理判定零点的前提 （2）零点存在性定理中的几个“不一定”（假设()f x 连续） ① 若()()0f a f b <，则()f x 的零点不一定只有一个，可以有多个 ② 若()()0f a f b >，那么()f x 在[],a b 不一定有零点 ③ 若()f x 在[],a b 有零点，则()()f a f b 不一定必须异号 3、若()f x 在[],a b 上是单调函数且连续，则()()()0f a f b f x < ??? 即可判定
千题百炼——高中数学个热点问题三：第炼取球问题
千题百炼——高中数学个热点问题(三)：第炼-取球问题
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第90炼 取球问题 一、基础知识： 在很多随机变量的题目中，常以“取球”作为故事背景，通过对“取球”提出不同的要求，来考察不同的模型，常见的模型及处理方式如下： 1、独立重复试验模型：关键词“可放回的抽取”，即下一次的取球试验与上一次的相同。 2、超几何分布模型：关键词“不放回的抽取” 3、与条件概率相关：此类问题通常包含一个抽球的规则，并一次次的抽取，要注意前一次的结果对后一步抽球的影响 4、古典概型：要注意虽然题目中会说明“相同的”小球，但是为了能使用古典概型（保证基本事件为等可能事件），通常要将“相同的”小球视为“不同的”元素，在利用排列组合知识进行分子分母的计数。 5、数字问题：在小球上标注数字，所涉及的问题与数字相关（奇，偶，最大，最小等），在解决此类问题时，要将数字模型转化为“怎样取球”的问题，从而转化为前几个类型进行求解。 二、典型例题： 例1：一袋中有6个黑球，4个白球 （1）不放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （2）有放回地依次取出3个球，已知第一次取出的是白球，求第三次取到黑球的概率 （3）有放回的依次取出3个球，求取到白球个数X 的分布列，期望和方差 （1）思路：因为是不放回的取球，所以后面取球的情况受到前面的影响，要使用条件概率相关公式进行计算。第一次已经取到白球，所以剩下6个黑球，3个白球；若第二次取到黑球，则第三次取到黑球的概率为 65 98 ?，若第二次取到白球，则第三次取到黑球的概率为36 98 ?，从而能够得到第三次取到黑球的概率 解：设事件A 为“不放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球” ()65364829898723 P A ∴= ?+?== （2）思路：因为是有放回的取球，所以每次取球的结果互不影响，属于独立重复试验模型，所以第三次取球时依然是6个黑球，3个白球，取得黑球的概率为 69 解：设事件B 为“有放回取球，第一次取出白球时，第三次取到黑球”
千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第47炼 多变量表达式范围——放缩消元法
第47炼 多变量表达式的范围——放缩消元法 一、基础知识： 在有些多变量表达式的题目中，所提供的条件为不等关系，则也可根据不等关系进行消元，从而将多变量表达式转化为一元表达式，便于求得最值 1、放缩法求最值的理论基础： 不等式的传递性：若()()(),,f x y g x g x m ≥≥，则(),f x y m ≥ 2、常见的放缩消元手段： （1）抓住题目中的不等关系，若含有两个变量间的不等关系，则可利用这个关系进行放缩消元 （2）配方法：通过利用“完全平方式非负”的特性，在式子中构造出完全平方式，然后令其等于0，达到消元的效果 （3）均值不等式：构造能使用均值不等式的条件，利用均值不等式达到消元的效果 （4）主元法：将多元表达式视为某个变量（即主元）的函数，剩下的变量视为常数，然后利用常规方法求得最值从而消去主元，达到消元的效果。 3、放缩消元过程中要注意的地方： （1）在放缩过程中应注意所求最值与不等号方向的对应关系，例如：若求最小值，则对应的不等号为“≥”；若求最大值，则对应的不等号为“≤”。放缩的方向应与不等号的方向一致 （2）对进行放缩消元后的式子，要明确是求其最大值还是最小值。放缩法求最值的基础是不等式的传递性，所以在求最值时要满足其不等号的方向一致。若将关于,x y 的表达式 (),f x y 进行放缩消去y ，得到()g x ，例如()(),f x y g x ≥，则下一步需要求出()g x 的 最小值（记为m ），即()(),f x y g x m ≥≥，通过不等式的传递性即可得到(),f x y m ≥。同理，若放缩后得到：()(),f x y g x ≤，则需要求出()g x 的最大值（记为M ），即 ()(),f x y g x M ≤≤，然后通过不等式的传递性得到(),f x y M ≤ （3）在放缩的过程中，要注意每次放缩时等号成立的条件能够同时成立，从而保证在不等式中等号能够一直传递下去
最新千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第33炼-向量的模长问题代数法(含模长习题)
第33炼 向量的模长问题——代数法 一、基础知识： 利用代数方法处理向量的模长问题，主要采取模长平方——数量积和坐标两种方式 1、模长平方：通过22cos0a a a a =?=r r r r 可得：22 a a =r r ，将模长问题转化为数量积问题， 从而能够与条件中的已知向量（已知模长，夹角的基向量）找到联系。要注意计算完向量数量积后别忘记开方 2、坐标运算：若(),a x y =r ， 则a =r 某些题目如果能把几何图形放入坐标系中， 则只要确定所求向量的坐标，即可求出（或表示）出模长 3、有关模长的不等问题：通常考虑利用“模长平方”或“坐标化”得到模长与某个变量间的函数关系，从而将问题转化为求函数最值问题 二、典型例题 例1：在ABC V 中，O 为BC 中点，若1,3,60AB AC A ==∠=o ，则OA =u u u r _____ 思路：题目条件有1,3,60AB AC A ==∠=o ，进而AB AC ?u u u r u u u r 可 求，且OA u u u r 可用,AB AC u u u r u u u r 表示，所以考虑模长平方转化为数量积 问题 解：O Q 为BC 中点 ∴可得：() 12 AO AB AC =+u u u r u u u r u u u r () () 22222 11224 AO AO AB AC AB AB AC AC ??∴==+=+?+????u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 3cos 2 AB AC AB AC A ?=?=u u u r u u u r u u u r u u u r 代入可求出：213=4 AO u u u r AO ∴=u u u r 例2：若,,a b c r r r 均为单位向量，且()() 0,0a b a c b c ?=-?-≤r r r r r r ，则a b c +-r r r 的最大值为 （ ） A. 1- B. 1 C. D. 2
千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第7炼分段函数的性质与应用
第7炼分段函数的性质与应用 分段函数是函数中比较复杂的一种函数，其要点在于自变量取不同范围的值时所使用的 解析式不同，所以在解决分段函数的问题时要时刻盯着自变量的范围是否在发生变化。即“分段函数一一分段看” 一、基础知识： 1、分段函数的定义域与值域一一各段的并集 2、分段函数单调性的判断：先判断每段的单调性，如果单调性相同，则需判断函数是连续 的还是断开的，如果函数连续，则单调区间可以合在一起，如果函数不连续，则要根据函数 在两段分界点出的函数值（和临界值）的大小确定能否将单调区间并在一起。 3、分段函数对称性的判断：如果能够将每段的图像作出，则优先采用图像法，通过观察图 像判断分段函数奇偶性。如果不便作出，则只能通过代数方法比较 f X ,f -X的关系， 要注意X, -X的范围以代入到正确的解析式。 4、分段函数分析要注意的几个问题 （1）分段函数在图像上分为两类，连续型与断开型，判断的方法为将边界值代入每一段函 数（其中一段是函数值，另外一段是临界值），若两个值相等，那么分段函数是连续的。否 「2x—1,x 兰3 则是断开的。例如：f X ，将x = 3代入两段解析式，计算结果相同，那 X2-4,x>3 f2x — 1,xM3 么此分段函数图像即为一条连续的曲线，其性质便于分析。再比如 f x ' 2 l x2-1,x>3 中，两段解析式结果不同，进而分段函数的图像是断开的两段。 （2 ）每一个含绝对值的函数，都可以通过绝对值内部的符号讨论，将其转化为分段函数。 「X—1 + 3,x ±1 例如：f（x）=x-1+3，可转化为：f（x）=2 J 一x + 3,x c l 5、遇到分段函数要时刻盯住变量的范围，并根据变量的范围选择合适的解析式代入，若变 量的范围并不完全在某一段中，要注意进行分类讨论 6、如果分段函数每一段的解析式便于作图，则在解题时建议将分段函数的图像作出，以便 必要时进行数形结合。
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第97炼 不等式选讲
第97炼 不等式选讲 一、基础知识： （一）不等式的形式与常见不等式： 1、不等式的基本性质： （1）a b b a >?< （2）,a b b c a c >>?>（不等式的传递性） 注：,a b b c a c ≥≥?≥，a c ≥等号成立当且仅当前两个等号同时成立 （3）a b a c b c >?+>+ （4）,0;,0a b c ac bc a b c ac bc >>?>>>?>≥∈ （6 ）)02,a b n n N >>>≥∈ 2、绝对值不等式：a b a b a b -≤+≤+ （1）a b a b +≤+等号成立条件当且仅当0ab ≥ （2）a b a b -≤+等号成立条件当且仅当0ab ≤ （3）a b b c a c -+-≥-：此性质可用于求含绝对值函数的最小值，其中等号成立当且仅当()()0a b b c --≥ 3、均值不等式 （1）涉及的几个平均数： ① 调和平均数：12 111n n n H a a a = + ++ ② 几何平均数：n G = ③ 代数平均数：12n n a a a A n ++ += ④ 平方平均数：2n n a Q + += （2）均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===
（3）三项均值不等式： ① a b c ++≥ 222 3a b c abc ++≥ ② 3 3a b c abc ++?? ≤ ??? ③ a b c ++≤4、柯西不等式：( )()()2 22 2222 12121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥++ + 等号成立条件当且仅当 12 12 n n a a a b b b === 或120n b b b ==== （1）二元柯西不等式：( )()()2 22 2 2a b c d ac bd ++≥+，等号成立当且仅当ad bc = （2）柯西不等式的几个常用变形 ① 柯西不等式的三角公式： () ()()2 2 2 22 2 121122n n n b b b a b a b a b +++ +≥ ±+±+ +± ② ()2 22 2 1 21212 12n n n n a a a a a a b b b b b b +++++ +≥++ + ()()22 2 2 12121212n n n n a a a b b b a a a b b b ???++ ++++≥+++ ??? ②式体现的是当各项2 2 212,, ,n a a a 系数不同时，其“平方和”与“项的和”之间的不等关系， 刚好是均值不等式的一个补充。 ③ ()2 121212 1122n n n n n a a a a a a b b b a b a b a b +++++ +≥+++ 5、排序不等式：设1212,n n a a a b b b ≤≤ ≤≤≤ ≤为两组实数，12,, ,n c c c 是 12,,,n b b b 的任一排列，则有： 121111221122n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -++ +≤++ +≤++ + 即“反序和≤乱序和≤顺序和” （二）不等式选讲的考察内容： 1、利用不等式的变形与常见不等式证明不等式成立
千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第34炼 向量的模长问题几何法
第34炼 向量的模长问题——几何法 一、基础知识： 1、向量和差的几何意义：已知向量,a b ，则有： （1）若,a b 共起点，则利用平行四边形法则求a b + ，可得a b + 是以,a b 为邻边的平行四 边形的对角线 （2）若,a b 首尾相接，则利用三角形法则求出a b + ，可得a b + ，,a b 围成一个三角形 2、向量数乘的几何意义：对于a λ （1）共线（平行）特点：a λ 与a 为共线向量，其中0λ>时，a λ 与a 同向；0λ<时，a λ 与a 反向 （2）模长关系：a a λλ=? 3、与向量模长问题相关的定理： （1）三角形中的相关定理：设ABC 三个内角,,A B C 所对的边为,,a b c ① 正弦定理： sin sin sin a b c A B C == ② 余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- （2）菱形：对角线垂直平分，且为内角的角平分线 特别的，对于底角60 的菱形，其中一条对角线将此菱形分割为两个全等的等边三角形。 （3）矩形：若四边形ABCD 的平行四边形，则对角线相等是该四边形为矩形的充要条件 4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可构成特殊的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段相关，则可考虑利用条件中的几何知识处理模长 二、典型例题： 例1：（2015届北京市重点中学高三8月开学测试数学试卷）已知向量,a b 的夹角为45 ， 且1,2a a b =-= b = （ ） 2 C. 思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出如下图形：可知
2,,4 AB B AC π == =BC 即可。 解：如图可得：b BC = ，在ABC 中，有：222 2cos AC AB BC AB BC B =+- 即：2 10422cos 4 BC BC π =+-?? 2 60BC ?--=解得BC =或 BC = 所以b = 答案：选D 例2：若平面向量,,a b c 两两所成的角相等，且1,3a b c === ，则a b c ++ 等于（ ） A. 2 B. 5 C. 2或5思路：首先由,,a b c 两两所成的角相等可判断出存在两种情况：一是,,a b c 同向（如图1， 此时夹角均为0），则a b c ++ 为5 ，另一种情况为两两夹角23 π （如图2），以1 a b == 为突破口，由平行四边形法则作图得到a b + 与,a b 夹角相等，1a b a +== （底角为60 的菱形性质），且与c 反向，进而由图得到2a b c ++= ，选C 答案：C 例3：已知向量,a b ，且1,2a b == ，则2b a - 的取值范围是（ ） A. []1,3 B. []2,4 C. []3,5 D. []4,6 思路：先作出a ，即有向线段AB ，考虑2b a - ，将2b 的起点与A 重合，终点C 绕A 旋转 且24AC b == ，则2b a - 即为BC 的长度，通过观察可得C 与,A B 共线时2b a - 达 到最值。所以max min 25,23b a b a -=-= ，且2b a - 连续变化，所以2b a - 的取值范
千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第48炼多变量表达式范围数形结合
第48炼多变量表达式的范围——数形结合 一、基础知识： 1、数形结合的适用范围： （1）题目条件中含有多个不等关系，经过分析后可得到关于两个变量的不等式组 （2）所求的表达式具备一定的几何意义（截距，斜率，距离等） 2、如果满足以上情况，则可以考虑利用数形结合的方式进行解决 3、高中知识中的“线性规划”即为数形结合求多变量表达式范围的一种特殊情形，其条件与所求为双变量的一次表达式 4、有些利用数形结合解决的题目也可以使用放缩消元的方式进行处理，这要看所给的不等条件（尤其是不等号方向）是否有利于进行放缩。 二、典型例题 例1：三次函数 在区间 上是减函数，那么 的取值范围是（） A. B.
C. D. 思路：先由减函数的条件得到 的关系， ，所以 时， 恒成立，通过二次函数图像可知： ，由关于 的不等式组可想到利用线性规划求得 的取值范围，通过作图可得 答案：D 例2：设 是定义在 上的增函数，且对于任意的 都有
恒成立，如果实数 满足不等式组 ，那么 的取值范围是（） A. B. C. D. 思路：首先考虑变形 ，若想得到 的关系，那么需要利用函数的单调性将函数值的大小转变为括号内式子的大小。由 可得： ，所以 关于 中心对称，即 ，所以：
单调递增可得： ，所以 满足的条件为 ①，所求 可视为点 到原点距离的平方，考虑数形结合。将①作出可行域，为以 为圆心，半径为 的圆的右边部分（内部），观察图像可得该右半圆距离原点的距离范围是 ，所以 答案：C 例3：已知函数 是 上的减函数，函数 的图像关于点 对称，若实数 满足不等式
，则 的取值范围是_____ 思路：从所求出发可联想到 与 连线的斜率，先分析已知条件，由 对称性可知 为奇函数，再结合单调递减的性质可将所解不等式进行变形： ，即 ，所以有 。再结合 可作出可行域（如图），数形结合可知 的范围是
千题百炼——高考数学100个热点问题(一)：第27炼-三角函数的值域-Word版含解析
第27炼 三角函数的值域与最值 一、基础知识 1、形如()sin y A x ω?=+解析式的求解：详见“函数()sin y A x ω?=+解析式的求解”一节，本节只列出所需用到的三角公式 （1）降幂公式：2 21cos21cos2cos ,sin 22 αα αα+-= = （2）2sin cos sin2ααα= （3）两角和差的正余弦公式 ()sin sin cos sin cos αβαββα+=+ ()sin sin cos sin cos αβαββα-=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=- ()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+ （4）合角公式：()22sin cos a b a b ααα?+=++，其中tan b a ?= 2、常见三角函数的值域类型： （1）形如()sin y A x ω?=+的值域：使用换元法，设t x ω?=+，根据x 的范围确定t 的范围，然后再利用三角函数图像或单位圆求出x ω?+的三角函数值，进而得到值域 例：求()2sin 2,,444f x x x πππ?? ??=- ∈- ???? ??? 的值域 解：设24 t x π =- 当,44x ππ?? ∈- ???? 时，32,444t x πππ??=-∈-???? 22sin 22t ?∴∈-??? ()2,2f x ??∴∈-?? （2）形如()sin y f x =的形式，即()y f t =与sin t x =的复合函数：通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式，然后将此三角函数视为一个整体，通过换元解析式转变为熟悉的 函数，再求出值域即可 例：求()2 2sin cos 2,,63f x x x x ππ?? =-+∈- ???? 的值域 解：()() 2 2 sin 1sin 2sin sin 1f x x x x x =--+=++
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第99炼归纳推理与类比推理
第99炼 归纳推理与类比推理 一、基础知识： （一）归纳推理： 1、归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理 2、处理归纳推理的常见思路： （1）利用已知条件，多列出（或计算出）几个例子，以便于寻找规律 （2）在寻找规律的过程中，要注意观察哪些地方是不变的（形成通式的结构），哪些地方是变化的（找到变量），如何变化（变量变化的规律） （3）由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形，看是否符合题意 3、常见的归纳推理类型： （1）函数的迭代：设f 是D D →的函数，对任意x D ∈，记 ()()()()()()()()()()() ()0121,,, n n f x x f x f x f x f f x f x f f x +??====??????，则称函数 ( ) ()n f x 为()f x 的n 次迭代；对于一些特殊的函数解析式，其()()n f x 通常具备某些特征 （特征与n ）有关。在处理此类问题时，要注意观察解析式中项的次数，式子结构以及系数的特点，以便于从具体例子中寻找到规律，得到() ()n f x 的通式 （2）周期性：若寻找的规律呈现周期性，则可利用函数周期性（或数列周期性）的特点求出某项或分组（按周期分组）进行求和。 （3）数列的通项公式（求和公式）：从数列所给的条件中，很难利用所学知识进行变形推导，从而可以考虑利用条件先求出几项，然后找到规律，猜出数列的通项公式（求和公式） （4）数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项。对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标ij a 进行表示，其中i 代表行，j 代表列。例如：34a 表示第3行第4列。在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n 行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列。 （二）类比推理：
高考数学千锤百炼 (2)
2020.4.26 题1：,0))(2(),2(,1=---⊥==b c a c b a a b a c 的最大值为c 的最小值为题2：已知函数)0)(sin(2)(>+=ω?ωx x f 的图像关于直线2π= x 对称，且.1)8 3(=πf 若)(x f 在区间]4,83[ππ--上单调，则ω的可取数值的个数为____________. 题3：已知函数()() R a a ax x a ax x f ∈-+-+=213423（1）当1=a 时，判断()x f 的单调性 （2）当[]1,0∈x 时，恒有()()1f x f ≤，求a 的取值范围
解法一：0,cos 11212)2(2>==<∴b a 60,>=千锤百炼-高考数学100个热点问题——第96炼 平面几何
第96炼 平面几何 一、基础知识： 1、相似三角形的判定与性质 （1）相似三角形的判定 ① 三个角：若两个三角形对应角都相等，则这两个三角形相似 注：由三角形内角和为180可知，三角形只需两个内角对应相等即可 ② 两边及一夹角：若两个三角形的两条边对应成比例，且所夹的角相等，则这两个三角形相似 ③ 三边：若两个三角形三边对应成比例，则这两个三角形相似 ④（直角三角形）若两个直角三角形有两组对应边成比例，则这两个直角三角形相似 （2）相似三角形性质：若两个三角形相似，这它们的对应角相等，对应边成比例即相似比（主要体现出“对应”两字），例如：若'''ABC A B C ，则有： ''',,,A A B B C C ∠=∠∠=∠∠=∠ '''' '' A B A C B C A B A C B C == 2、平行线分线段成比例：如图：已知123l l l ∥∥，且直线,m n 与平行线交于,,,,,A B C D E F ，则以下线段成比例： （1） AB DE BC EF = （上比下） （2）AB DE AC DF =（上比全） （3）BC EF AC DF =（下比全） 3、常见线段比例模型： （1）“A ”字形：在ABC 中，平行BC 的直线交三角形另两边于,D E ，即形成一个“A ”字，在“A ”字形中，可得ABC ADE ，进而有以下线段成比例： ① AD AE DB EC = ② DB CE AB AC = ③ AD AE DE AB AC BC == （2）“8”字形：已知AB CD ∥，连结,AD BC 相交于O ，即形成一个“8”字，在“8”字
形中，有： AOB DOC ，从而 AO BO AB OD CO CD == 4、圆的几何性质： （1）与角相关的性质 ① 直径所对的圆周角是直角 ② 弦切角与其夹的弧所对的圆周角相等 ③ 同弧（或等弧）所对的圆周角是圆心角的一半 ④ 圆内接四边形，其外角等于内对角 （2）与线段相关的性质： ① 等弧所对的弦长相等 ② 过圆心作圆上一条弦的垂线，则直线垂直平分该弦 ③ 若一条直线与圆相切，则圆心与切点的连线与该直线垂直 5、与圆相关的定理 （1）切割线定理：设PA 是O 的切线，PBC 为割线，则有：2 PA PB PC =? （2）相交弦定理：设,AB CD 是圆内的两条弦，且,AB CD 相交于P ，则有AP BP CP DP ?=? （3）切线长定理：过圆外一点P 可作圆的两条切线，且这两条切线的长度相等 6、射影定理：已知在直角三角形ABC 中，90BCA ∠=，CD 为斜边AB 上的高（双垂直特点），则以下等式成立： 2BC BD BA =? 2A C A D A B =? 2C D B D A D =? 注：射影定理结合勾股定理，以及等面积法。在直角三角形ABC 中的边,,,,AC BC BD DA CD 这五条线段中，可做到已知两条边的长度，即可求出所有边的长度 7、平面几何中线段长度的求法： （1）观察所求线段是否是某个定理的一部分，从而凑齐该定理的其他条件即可求出该线段 （2）考虑所求线段是否与其它线段存在比例关系 C
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第76炼 存在性问题
千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第76炼存在性问题
圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标() ,x y 00 （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。
（3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 例1：已知椭圆 ()22 22:10x y C a b a b +=>>，过 右焦点F 的直线l 与C 相交于,A B 两点，当l 的斜率为 1 时，坐标原点O 到l 的距离为 2 。 （1）求,a b 的值 （2）C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的 P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由 解：（1） ::3 c e a b c a ==?= 则 ,a b ==，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1 时 :0 l y x c x y c =-?--= 2 O l d -∴= = 解得：1c = a b ∴== 椭圆方程为： 22 132 x y +=
(公用)【全优推荐】千题百炼——高考数学100个热点问题(一重点
例如：（1）222222 sin sin sin sin sin A B A B C a b ab c +-=?+-= （2）cos cos sin cos sin cos sin b C c B a B C C B A +=?+=（恒等式） （3） 22 sin sin sin bc B C a A = 2、余弦定理：2 2 2 2cos a b c bc A =+- 变式：()()2 2 21cos a b c bc A =+-+ 此公式在已知,a A 的情况下，配合均值不等式可得到 b c +和bc 的最值 3、三角形面积公式： （1）1 2S a h = ? （a 为三角形的底，h 为对应的高） （2）111 sin sin sin 222S ab C bc A ac B === （3）2 11sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22 S ab C R A R B C R A B C ==??=（其中R 为外接圆 半径） 4、三角形内角和：A B C π++=，从而可得到： （1)B C + ()B C + （2 5(sin A (cos sin sin B A B 6)cos b B = ，其中tan b a ?= 7 （1 （2 sin sin cos cos a b A B A B A B >?>?>?< 其中由cos cos A B A B >?<利用的是余弦函数单调性，而sin sin A B A B >?>仅在一个三角形内有效。 8、解三角形中处理不等关系的几种方法 （1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域 （2）利用均值不等式求得最值 二、例题精析：
千题百炼——高考数学100个热点问题(二)：第58炼 数学归纳法
第58炼 数学归纳法 一、基础知识： 1、数学归纳法适用的范围：关于正整数n 的命题（例如数列，不等式，整除问题等），则可以考虑使用数学归纳法进行证明 2、第一数学归纳法：通过假设n k =成立，再结合其它条件去证1n k =+成立即可。证明的步骤如下： （1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立 （2）归纳假设：假设()0,n k k n n N =≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立 3、第一归纳法要注意的地方： （1）数学归纳法所证命题不一定从1n =开始成立，可从任意一个正整数0n 开始，此时归纳验证从0n n =开始 （2）归纳假设中，要注意0k n ≥，保证递推的连续性 （3）归纳假设中的n k =，命题成立，是证明1n k =+命题成立的重要条件。在证明的过程中要注意寻找1n k =+与n k =的联系 4、第二数学归纳法：在第一数学归纳法中有一个细节，就是在假设n k =命题成立时，可用的条件只有n k =，而不能默认其它n k ≤的时依然成立。第二数学归纳法是对第一归纳法的补充，将归纳假设扩充为假设n k ≤，命题均成立，然后证明1n k =+命题成立。可使用的条件要比第一归纳法多，证明的步骤如下： （1）归纳验证：验证0n n =（0n 是满足条件的最小整数）时，命题成立 （2）归纳假设：假设()0,n k k n n N ≤≥∈成立，证明当1n k =+时，命题也成立 （3）归纳结论：得到结论：0,n n n N ≥∈时，命题均成立
二、典型例题 例1：已知等比数列{}n a 的首项12a =，公比3q =，设n S 是它的前n 项和，求证： 131 n n S n S n ++≤ 思路：根据等比数列求和公式可化简所证不等式：321n n ≥+，n k =时，不等式为 321k k ≥+； 当1n k =+时，所证不等式为1 323k k +≥+，可明显看到n k =与1n k =+中，两个不等式的联系，从而想到利用数学归纳法进行证明 证明：()11311 n n n a q S q -= =--，所证不等式为：13131 31n n n n +-+≤- ()()()1313131n n n n +∴-≤+- 1133331n n n n n n n ++??-≤?+-- 321n n ?≥+，下面用数学归纳法证明： （1）验证：1n =时，左边=右边，不等式成立 （2）假设()1,n k k k N =≥∈时，不等式成立，则1n k =+时， ()()133332163211k k k k k +=?≥+=+>++ 所以1n k =+时，不等式成立 n N *∴?∈，均有 131 n n S n S n ++≤ 小炼有话说：数学归纳法的证明过程，关键的地方在于寻找所证1n k =+与条件n k =之间的联系，一旦找到联系，则数学归纳法即可使用 例2（2015，和平模拟）：已知数列{}n a 满足0n a >，其前n 项和1n S >，且 ()()1 12,6 n n n S a a n N *= ++∈ （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）设21log 1n n b a ?? =+ ??? ，并记n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：
千题百炼高中数学100个热点问题第76炼存在性问题
圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素（点，线，图形或是参数）存在，并用代数形式进行表示。再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素，则假设成立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 （1）点：坐标()00,x y （2）直线：斜截式或点斜式（通常以斜率为未知量） （3）曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件及辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参及到条件中，列出关于该变量及辅助变量的方程（组），运用方程思想求解。 二、典型例题： 例1：已知椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>过右焦点F 的直
线l及C相交于,A B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l 的距离为 。 （1）求,a b的值 （2）C上是否存在点P，使得当l绕F旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立？若存在，求出所有的P的坐标和l的方程，若不存在，说明理由 解：（1 ）:: 3 c e a b c a ==?= 则, a b ==，依题意可得：(),0 F c，当l的斜率为1时:0 l y x c x y c =-?--= 2 O l d - ∴==解得：1 c= a b ∴==椭圆方程为： 22 1 32 x y += （2）设() 00 , P x y，()() 1122 ,,, A x y B x y 当l斜率存在时，设() :1 l y k x =- OP OA OB =+012 012 x x x y y y =+ ? ∴? =+ ? 联立直线及椭圆方程： () 22 1 236 y k x x y =- ?? ? += ?? 消去y可得：()2 22 2316 x k x +-=，整理可得： () 2222 326360 k x k x k +-+-= 2 122 6 32 k x x k ∴+= + ()3 121222 64 22 3232 k k y y k x x k k k k +=+-=-=- ++
高考数学千锤百炼 (6)
2020.5.4 题1：已知0>a ，函数x ax x f -=331 )(，若)(x f 存在极小值点m ，且)()(n f m f =，且n m ≠，则=m n _____.题2：如图，在ABC ?中，AB AD 21=，3 1=，CD 与BE 交于点P ，1=AP ，4=BC ，2=?BC AP ，则AC AB ?的值为________. 题3：已知数列}{ n a 满足,31=a 且).(432 1*+∈+-=N n a a a n n n )(I 试用数学归纳法证明：); (3*∈≥N n a n )(II 证明：); (1*+∈>N n a a n n )(III 设数列}11{n a +的前n 项和为,n S 证明：)(141*∈<≤N n S n
解法一： 解： )0( 31)(3>-=a x ax x f ，∴1)(2'-=ax x f 令0)('=x f ，则a a x ± =2,1∴当a a x -<和a a x >时，0)('>x f ，则)(x f 单调递增当a a x a a <<-时，0)('