千题百炼高中数学100个热点问题三第100炼利用同构特点解决问题
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文案大全第100炼利用同构特点解决问题
一、基础知识：
1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式
2、同构式的应用：
（1）在方程中的应用：如果方程??0fa?和??0fb?呈现同构特征，则,ab可视为方
程??0fx?的两个根
（2）在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式
（3）在解析几何中的应用：如果????1122,,,AxyBxy满足的方程为同构式，则,AB 为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即为直线AB的方程
（4）在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于??,n an与??1,1n an??的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解
二、典型例题：
例1：（2015天津十二校联考）设,xyR?，满足
????????5512sin1312sin11xxxyyy???????????????，则xy??（）A. 0 B. 2 C. 4 D. 6
思路：本题研究对象并非,xy，而是????1,1xy??，进而可变形为????????????55121sin11121sin11xxxyyy??????????????????，观察上下式子左边结构相同，进而可将相同的结构视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性质求解
解：
????????5512sin1312sin11xxxyyy????????????????????????????5 5121sin11121sin11xxxyyy??????????????????
设??52sinftttt???，可得??ft为奇函数，由题意可得：
????1111fxfy??????????????11fxfy?????
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文案大全??112xyxy????????
答案：B
例2：若函数??1fxxm???在区间??,ab上的值域为??,122abba????????，则实数m的取值范围是_____________
思路：注意到??fx是增函数，从而得到????,22abfafb??，即1212aambbm?????????????，发现两个式子为,ab的同构式，进而将同构式视为
一个方程，而,ab为该方程的两个根，m的取值只需要保证方程有两根即可解：??f x为增函数
????,22abfafb????1212aambbm?????????????
,ab?为方程12xxm???在??1,??上的两个根，即12xmx???有两个不同的根
令??2101txtxt??????
所以方程变形为：????221112122mtttt??????，结合图像可得：10,2m???????答案：10,2m???????
例3：设,abR?，则|“ab>”是“aabb>”的（）
A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充要又不必要条件
思路：观察aabb>可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数??fxxx?，分析其单调性。??22,0,0xxfxxxxx??????????可得??fx为增函数。所以
()()abfafb>?，
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文案大全即abaabb>?，所以是充要条件
答案：C
例4：若1201xx???，则（）
A. 2121lnln xx eexx???
B. 1221lnln xx eexx???
C. 1221xx xexe?
D. 1221xx xexe?
答案：C
思路：本题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将12,xx分居在不等式两侧后
都具备同构的特点，所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在??0,1的单调性即可
解：A选项：21212121lnlnlnln xxxx eexxexex???????，设??ln x fxex??
??'11xx xefxexx?????，设??1x gxxe??，则有????'10x gxxe???恒
成立，所以??gx在??0,1单调递增，所以????010,110gge??????，从而存在??00,1x?，使得??00gx?，由单调性可判断出： ????????????''''000,,00,,1,00xxgxfxxxgxfx????????，所以??fx 在??0,1不单调，不等式不会恒成立
B选项：12122112lnlnlnln xxxx eexxexex???????，设??ln x fxex??可知??fx单调递增。所以应该????12fxfx?，B错误
C选项：12122112xxxx eexexexx???，构造函数??x efxx?，???
?'21x xefxx??，则??'0fx?在??0,1x?恒成立。所以??fx在??0,1单调递减，所以????12fxfx?成立
D选项：12122112xxxx eexexexx???，同样构造??x efxx?，由C选项分析可知D错误
答案：C
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??fx是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实文案大全例5：已知函数
数x都有??????11xfxxfx???，则20152f??????的值是（）
A. 0
B. 12
C. 1
D. 52
思路：观察条件可变形为：????11fxfxxx???，从而得到等式左右的结构均为??ftt的形式，且括号内的数间隔为1。
所以201520131122
2220152013112222ffff??????????????????????????????。
因为??fx为偶函数，所以1122ff??????????????，由11221122
f f???????????????可得11022ff???????????????，进而20152015200201522ff???????????????
答案：A 例6：如果????5533cossin7sincos,0,2??????????，那么?的取值范围是________
思路：本题很难直接去解不等式，观察式子特点可发现若将关于sin,cos??的项分居在不等号两侧：5353cos7cossin7sin???????，则左右呈现同构的特点，将相同的结构设为函数??537fxxx??，能够判断??fx是奇函数且单调递增。所以
不等式????cos sinff???等价于cossin???，即sin cos02sin04?? ?????????????，所以??224kkkZ??????????，结合??0,2???，可得544??????????，
答案：544????????，
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??00,Pxy在直线??,01,xmymmm?????且为常数上，文案大全例7：如图，设点
过点P作双曲线221xy??的两条切线,PAPB，切点为,AB，求证：直线AB过某一个定点
解：设????1122,,,AxyBxy，PA的斜率为k
则??11:PAyykxx???，联立方程??11221yykxxxy??????????消去y可得： ??22111xkxkxy?????????，整理可得：
??????22211111210kxkykxxykx???????，因为PA与双曲线相切
??????222221111441410kykxkykxk?????????
所以??
????22114410ykxk?????
????2222222111111112101210kxkxyykxkkxyy???????????
22111xy??222211111,1xyyx?????代入可得：
??2110ykx??
222111120ykxykx???即
即11xky???111111:1xPAyyxxyyxxy???????
同理，切线PB的方程为211yyxx??
??0,Pm y在切线,PAPB上，所以有01102211yymxyymx???????
,AB?满足直线方程01yymx??，而两点唯一确定一条直线
0:1AByymx???所以当10xmy???????时，无论0y为何值，等式均成立
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文案大全?点1,0m??????恒在直线AB上，故无论P在何处，AB恒过定点1,0m??????
例8：已知椭圆C中心在原点，焦点在x轴上，它的一个顶点为??0,1，离心率为255
（1）求椭圆C的方程
（2）过右焦点F作直线l交椭圆于,AB，交y轴于R，若,RAAFRBBF???
?，求???
解：（1）25cea??1b?
2221acb???解得5,2ac??
22:15xCy???
（2）思路：本题肯定从,RAAFRBBF????入手，将向
量关系翻译成坐标的方程，但观察发现两个等式除了,AB不同，系数,??不同，其余字母均相同。且????1122,,,AxyBxy也仅是角标不同。所以可推断
由,RAAFRBBF????列出的方程是同构的，而,AB在
同一椭圆上，所以如果用,??表示1212,,,xxyy，代入椭圆方程中也可能是同构的。通
过计算可得：2222105200105200kk?????????????????，所以,??为方程22105200xxk????的两个不同根，进而利用韦达定理即可得到10?????
解：由（1）得??2,0F，设直线??:2lykx??，可得??0,2Rk?，设????1122,,,AxyBxy
可得：????1111,2,2,RAxykAFxy?????，由RAAF??可得：
??111111221221xxxkykyy??????????????????????????①
因为A在椭圆上，221155xy???，将①代入可得：
??2222222+5=54205111kk????????????????????????
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文案大全22105200k???????
对于?，????2222,2,2,RBxykBFxy?????，RBBF??
同理可得：22105200k???????
,???为方程22105200xxk????的两个不同根
10??????
例9：已知函数??1axx???，a为正常数，若????lngxxx???，且对任意??1212,0,2,xxxx??，都有????21211gxgxxx????，求a的取值范围．
思路：观察到已知不等式为轮换对称式，所以考虑定序以便于化简，令21xx?，则不等式变形为????2112gxgxxx???，将相同变量放置一侧，可发现左右具备同构特点，所以将相同结构视为函数????hxgxx??，从而由21xx?且????21hxhx?可知只需??hx为增函数即可。从而只需不等式??'0hx?恒成立即可，从而求出a的范围解：??ln1agxxx???，不妨设12xx?，则恒成立不等式转化为： ????????21122211gxgxxxgxxgxx???????
设????ln1ahxgxxxxx??????，则由????21hxhx?恒成立和12xx?可得：只需??hx在??0,2单调递增即可
??'0hx??恒成立
????'2111ahxxx?????
?21101axx?????
即????2211xaxx????恒成立所以只需???
?22min11xaxx????????????
令??????2211xpxxx????
???????????
?22'2221112121xxxxxpxxxx??????????
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文案大全??px?在10,2??????单调递减，在1,22??????单调递增
??min12722pxp?????????
2702a???
例10：已知数列??n a满足123at????,1tRt???，且
????112321121nnnnnn tattaat?????????
求数列??n a的通项公式