千题百炼——高中数学100个热点问题(三)：第99炼归纳推理与类比推理

第99炼 归纳推理与类比推理

一、基础知识： （一）归纳推理：

1、归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理（简称归纳），简言之，归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推理

2、处理归纳推理的常见思路：

（1）利用已知条件，多列出（或计算出）几个例子，以便于寻找规律

（2）在寻找规律的过程中，要注意观察哪些地方是不变的（形成通式的结构），哪些地方是变化的（找到变量），如何变化（变量变化的规律）

（3）由具体例子可将猜想的规律推广到一般情形，看是否符合题意 3、常见的归纳推理类型：

（1）函数的迭代：设f 是D D →的函数，对任意x D ∈，记

()()()()()()()()()()()

()0121,,,

n n f x x f x f x f x f f x f x f f x +??====??????，则称函数

(

)

()n f x 为()f x 的n 次迭代；对于一些特殊的函数解析式，其()()n f x 通常具备某些特征

（特征与n ）有关。在处理此类问题时，要注意观察解析式中项的次数，式子结构以及系数的特点，以便于从具体例子中寻找到规律，得到()

()n f

x 的通式

（2）周期性：若寻找的规律呈现周期性，则可利用函数周期性（或数列周期性）的特点求出某项或分组（按周期分组）进行求和。

（3）数列的通项公式（求和公式）：从数列所给的条件中，很难利用所学知识进行变形推导，从而可以考虑利用条件先求出几项，然后找到规律，猜出数列的通项公式（求和公式） （4）数阵：由实数排成一定形状的阵型（如三角形，矩形等），来确定数阵的规律及求某项。对于数阵首先要明确“行”与“列”的概念。横向为“行”，纵向为“列”，在项的表示上通常用二维角标ij a 进行表示，其中i 代表行，j 代表列。例如：34a 表示第3行第4列。在题目中经常会出现关于某个数的位置问题，解决的方法通常为先抓住选取数的特点，确定所求数的序号，再根据每行元素个数的特点（数列的通项），求出前n 行共含有的项的个数，从而确定该数位于第几行，然后再根据数之间的规律确定是该行的第几个，即列。 （二）类比推理：

1、类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，称为类比推理（简称类比）

2、常见的类比类型及处理方法：

（1）运算的类比：通常是运算级数相对应： ① 加法?乘法，

② 数乘（系数与项的乘法）?指数幂 ③ 减法?除法

（2）运算律的类比：在数学中的其它领域，如果满足加法，乘法的交换律，以及乘法的分配律，则代数表达式部分运算公式可推广到该领域中。例如 ①在向量数量积的运算中，满足交换律与分配律，则：

代数中的平方差公式：()()2

2

a b a b a b -=+-，和差完全平方公式：

()

2

222a b a ab b ±=±+ 均可推广到向量数量积中：()()

22

a b a b a b -=+-，

(

)

2

2

2

2a b

a a

b b ±=±?+

②在复数的运算中，满足交换律与分配律，则实数中的运算公式可推广到复数中（甚至是二项式定理）

（3）等差数列与等比数列的类比：等差数列的性质通常伴随着一，二级运算（加减，数乘），等比数列的性质通常伴随着二，三级运算（乘除，乘方）。所以在某些性质中体现出运算上的类比。例如：设{}n a 为等差数列，公差为d ；{}n b 为等比数列，公比为q ，则 ① 递推公式：1

1n n n n

b a a d q b ++-=?

= ② 通项公式：()1

111n n n a a n d b b q

-=+-?=?

③ 双项性质：m n p q m n p q m n p q a a a a m n p q b b b b +=+?+=+?+=+?= ④ 等间隔取项，在数列{}n a ，{}n b 中等间隔的取项： 则12,,

,m k k k a a a 成等差数列12,,,

m k k k b b b ? 成等比数列

（4）维度的类比：平面几何（二维）的结论与立体几何（三维）的结论进行类比，当维度升高时，涉及的要素也将维度升高，例如：

①位置关系：平面中的线的关系?空间中的面的关系，线所成的角?线面角或二面角，

②度量：线段长度?图形的面积，图形面积?几何体体积，点到线的距离?点到平面距离

③衍生图形：内切圆?内切球，外接圆?外接球，面对角线?体对角线

（5）平面坐标与空间坐标的类比：平面直角坐标系坐标(),x y ?空间直角坐标系坐标

(),,x y z ，在有些坐标运算的问题中，只需加上竖坐标的运算即可完成推广，例如：

① 线段中点坐标公式：

平面：设()()1122,,,A x y B x y ，则AB 中点1212,22x x y y M ++??

???

空间：设()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则AB 中点121212,,2

22x x y y z z M +++??

???

② 两点间距离公式：

平面：设()()1122,,,A x y B x y ，则()

()2

2

1212AB x x y y =

-+-

空间：设()()111222,,,,,A x y z B x y z ，则()()()2

22

121212AB x x y y z z =-+-+-

3、同一个命题，不同的角度类比得到的结论可能不同，通常类比只是提供一个思路与方向，猜想出一个命题后通过证明才能保证其正确。在有关类比的题目中通常选择正确的命题作为类比的结论 二、典型例题：

例1：已知()x x f x e =

，定义()()()()()()'''

1211,,,n n f x f x f x f x f x f x +===???????? ，

经计算()()()123123,,,,x x x

x x x

f x f x f x e e e

---=== 照此规律，则()20151f =（ ） A. 2015- B. 2015 C. 2014e D. 2014

e

-

思路：由定义可知：()n f x 即为()1n f x -的导函数，通过所给例子的结果可以推断出

()()

1n

n x x n f x e -=-，从而()20152015x

x f x e -=，所以()20152014

1f e

= 答案：C

例2：蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似的看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图，其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，第六幅图的蜂巢总数为（ ）

A. 61

B. 90

C. 91

D. 127

思路：从所给图中可发现第n 个图可以视为在前一个图的基础上，外面围上一个正六边形，且这个正六边形的每条边有n 个小正方形，设第n 个图的蜂巢总数为()f n ，则可知()f n 比()1f n -多的蜂巢数即为外围的蜂巢数。

即66n - （每条边n 个，其中顶点被计算了两次，所以要减6），所以有()()()161f n f n n --=-，联想到数列中用到的累加法，从而由

()()()()2

1612133f n f n n n n -=?-+-++=-????

，且()11f = 则 ()2331f n n n =-+。代入6n =可得()263636191f =?-?+=

答案：C

例3：将正整数排成数阵（如图所示），则数表中的数字2014出现在（ ） A. 第44行第78列 B. 第45行第78列 C. 第44行第77列 D. 第45行第77列

思路：从数阵中可发现每一行的末尾均为一个完全平方数，即第

k 行最后一个数为2k ，所以考虑离2014较近的完全平方数：22441936,452025==，所

以2014位于第45行，因为1936是第44行的最后一个数，所以2014为第45行中第

()2014193678-=个数，即位于第45行第78列

答案：B

例4：已知结论：“在ABC 中，各边和它所对角的正弦比相等，即

sin sin sin a b c

A B C

==

”，若把该结论推广到空间，则结论为：“在三棱锥A BCD -中，侧棱AB 与平面ACD ，平面

BCD 所成的角为,αβ，则有（ ）

A.

sin sin BC AD αβ= B. sin sin AD BC

αβ= C.

sin sin BCD ACD S S αβ= D. sin sin ACD BCD

S S αβ

= 思路：本题为维度推广题，平面中的线段所成的夹角推广为线面角，所以可将正弦定理的边长（一维度量）类比推广为面积（二维度量），正弦定理中为角所对的边长，则在三棱锥中推广为线面角所对的侧面面积，即α所对的侧面为平面BCD ，β所对的侧面为平面ACD ，

所以猜测

sin sin BCD ACD

S S αβ

=，再考虑证明其正确性。证明过程如下： 证明：分别过,B A 作平面ACD ，平面BCD 的垂线，垂足分别为,E F 由线面角的定义可知：,BAE ABF αβ∠=∠=

11

sin 3

3

B ACD ACD

ACD V S

BE S AB α-∴=??=??? 同理：11

sin 33

A BCD BCD BCD V S AE S A

B β-∴=??=???

11

sin sin sin sin 33

ACD BCD ACD BCD

S AB S AB S S αβαβ∴???=?????=?

sin sin BCD ACD

S S αβ

∴

=得证 答案：C

例5：三角形的面积()1

2

S a b c r =

++?，其中,,a b c 为其边长，r 为内切圆半径，利用类比法可以得出四面体的体积为（ ） A. ()12341

2

V S S S S r =

+++?（其中1234S S S S +++分别为四个面的面积，r 为内切球的半径）

B. 1

3V S h =?（S 为底面面积，h 为四面体的高） C. ()12341

3

V S S S S r =+++?（其中1234S S S S +++分别为四个面的面积，r 为内切球

的半径） D. ()1

3

V ab bc ac h =

++?（,,a b c 为底面边长，h 为四面体的高） 思路：本题为维度题，在三角形中，面积依靠内切圆半径与边长求解。则在四面体中，内切圆类比成内切球，边长类比为面积。所以四面体的体积与内切球半径与各面面积相关，即在A ，C 中挑选。考虑在三角形中，可通过连接内心与各顶点，将三角形分割为三个小三角形，底边为各边边长，高均为半径r ，所以面积()12S a b c r =

++?，其中系数12

来源于三角形面积公式。进而类比到四面体中，可通过连接内切球的球心与各顶点，将四面体分割为4个小四面体，以各面为底面，内切球半径为高。从而()123413V S S S S r =+++?。系数1

3

来源于棱锥体积公式 答案：C

例6：若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列()n b n N *=

∈也是等比数

列.若数列{}n a 是等差数列，可类比得到关于等差数列的一个性质为（ ） A. 12n n a a a b n ??=

是等差数列 B. 1

2n

n a a a b n

++

+=是等差数列

C. n b =

D. n

n a b +

+=

是等差数列

思路：考虑在等比数列中，很多性质为应用二三级运算（乘除法，乘方开方），到了等差数列中，很多性质可类比为一二级运算（加减，数乘）。在本题中所给等比数列用到了乘法与开方，所以可联想到类比等差数列，乘法运算对应类比为加法，开方运算对应类比为除法。所以该性质为：若数列{}n a 是等差数列，则12n

n a a a b n

++

+=是等差数列。这个命题

是正确的，证明如下：

证明：设等差数列{}n a 的公差为d ，则 1211211n n n

n n a a a a a a a b b n n

++++

++++

+-=-

+

()()()

()1211211n n n n a a a a n a a a n n +++++-+++

+=

+

()

()()()()

()

112111111n n n n n n na a a a a a a a a a n n n n +++-++

+-+-+

+-=

=

++

{}n a 为等差数列 ()()11,1,2,

,n i a a n i d i n +∴-=+-= ()()()()()

()1111221112

n n n n d nd n d d d n d b b n n n n n n ++?

+-+

++++∴-=

===+++

{}n b ∴为公差是

2

d

的等差数列 答案：B

例7：对于大于1的自然数m 的三次幂可用奇数进行一下方式的“分裂”：3

2=35+，

337911=++，3413151719=+++，…，仿此，若3m 的“分裂数”中有一个是61，

则m 的值是（ ）

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

思路：观察这几个等式不难发现以下特征：（1）3

n 可分解为n 个连续奇数的和，（2）从32开

始这些奇数是按3,5,7,9, 顺次排列的。所以在第n 个数时，所用的奇数的总数为()()

21232

n n n +-+++=

个。从3开始算起，61是第

613

1302

-+=个奇数。当7n =，可知所用的奇数总数为27个，当8n =，可知所用的奇数总数为35个。所以8m =

答案：C

例8：从1开始的自然数按如图所示的规则排列，现有一个三角形框架在图中上下或左右移动，使每次恰有九个数在此三角形内，则这九个数的和可以为（ ） A. 2097 B. 2112 C. 2012 D. 2090

思路：当三角形在移动时，观察其规律，内部的数如果设第一行的数为a N *

∈，则第二行的数为

7,8,9a a a +++，其和为()38a +，第三行的数为

14,15,16,17,18a a a a a +++++，其和为()516a +，所以这九个数的和为

()()385169104S a a a a =++++=+，代入到各个选项中看能否算出a 即可。通过计算

可得：91042012a +=时，212a =符合题意 答案：C

例9：某种游戏中，黑，白两个“电子狗”从棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的顶点A 出发，沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”，黑“电子狗”爬行的路线是

111AA A D →→，白“电子狗”爬行的路线是1AB BB →→

，它们都遵循如下规则：

所爬行的第2i +段与第i 段所在直线必须是异面直线（其中i N *

∈），设黑“电子狗”爬完2012段，白“电子狗”爬完2011段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、白“电子狗”间的距离是_____________

A B 1

C 1

D 1

1

D

C 1

B 1

A

A

思路：首先根据题目中所给规则，观察“电子狗”所走路径的规律。会发现黑“电子狗”所走的路线为111111AA A D D C C C CB BA →→→→→，然后周而复始，以6为周期；白“电子狗”所走的路线为111111AB BB B C C D D D DA →→→→→，也是以6为周期。从而由周期性的规律可得：20126335

2÷=，

则黑电子狗到达1D ；201163351÷=，所以白电子狗到达B ，所以只需计算1BD 即可，由正方体性质可知13BD = 答案：3

例10：把正整数按一定的规律排成了如图所示的三角形数阵，设

(),ij a i j N *∈是位于这个三角形数中从上往下数第i 行，从左往右

数第j 列的数，如325,a = 若2015ij a =，则i j += ( )

A. 111

B. 110

C. 108

D. 105 思路：观察三角形数阵可知奇数行中的数均为奇数，偶数行均为偶数。所以可知2015ij a =一定在奇数行中，先确定i 的值，因为奇数构成首项为1，公差为2的等差数列，所以第k 个奇数()112k a k =+-?，因为()20051210081=+-，所以可得2015为第1008个奇数，考虑2015前面的奇数共占了多少行。由第i 行由i 个奇数可得：前31个奇数行内奇数共有

()

313113119612

?-?+

=，前31个奇数行内奇数共有()

3232132110242

?-?+

=，而

96110081024<<，所以2015在第32个奇数行中，即63i =，再考虑j 的值，第31个

奇数行最后一个奇数为961211921?-=，因为

20151921

472

-=，所以2015为第32个

奇数行的第47个数，即47j =，从而110i j += 答案：C