同角三角函数的基本关系及变形
同角三角函数的基本关系及变形
正弦定理是三角函数的基本关系之一，它指出了三角形中两边的长度和对应的角度的关系，即：
$$a\sin A=b\sin B=c\sin C$$
其中，$a,b,c$分别表示三角形的三边长度，$A,B,C$分别表示三角形的三个内角。
正弦定理的变形有两种：
（1）余弦定理：
$$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$$
（2）正切定理：
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}$$
此外，还有一种更加简洁的表达方式，即：
$$\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$$
其中，$R$表示三角形的外接圆半径。
以上就是三角函数的基本关系及变形的内容。
同角三角函数的基本关系式知识讲解
同角三角函数基本关系 【学习目标】 1.借助单位圆,理解同角三角函数的基本关系式: αααααtan cos sin , 1cos sin 22==+，掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值的方法； 2.会运用同角三角函数之间的关系求三角函数值、化简三角式或证明三角恒等式。 【要点梳理】 要点一:同角三角函数的基本关系式 （1)平方关系:22sin cos 1αα+= (２)商数关系：sin tan cos ααα = （3)倒数关系：tan cot 1?=αα,sin csc 1αα?=,cos sec 1αα?= 要点诠释: (1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”,二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立; （２)2sin α是2 (sin )α的简写； (３)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念,应注意“±”的选取。 要点二:同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形： 2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，,212sin cos (sin cos )αααα±?=± ２.商数关系式的变形 sin sin cos tan cos tan αααααα =?= ，。 【典型例题】 类型一:已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1．已知t ａn α＝-2，求ｓi ｎα，cos α的值。 【思路点拨】先利用sin "tan 2"cos ααα ==-,求出si ｎα=－2c ｏｓα,然后结合sin 2α+cos ２α=1,求出sin α，cos α。 【解析】 解法一:∵tan α=-2,∴sin α=-2cos α。 ① 又ｓin 2α+ｃｏs 2α=1, ② 由①②消去si ｎα得(－2ｃo ｓα)2+c ｏs 2α=1,即21cos 5 α=。 当α为第二象限角时,cos α=，代入①得sin α=。
同角三角函数的基本关系式_基础
同角三角函数基本关系 【要点梳理】 要点一：同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：22 sin cos 1αα+= (2)商数关系： sin tan cos ααα = (3)倒数关系：tan cot 1?=αα，sin csc 1αα?=，cos sec 1αα?= 要点诠释： (1)这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个角(使得函数有意义的前提下)关系式都成立； (2)2sin α是2 (sin )α的简写； (3)在应用平方关系时，常用到平方根，算术平方根和绝对值的概念，应注意“±”的选取。 要点二：同角三角函数基本关系式的变形 1．平方关系式的变形： 2222sin 1cos cos 1sin αααα=-=-，，212sin cos (sin cos )αααα±?=± 2．商数关系式的变形 sin sin cos tan cos tan αααααα =?= ，。 【典型例题】 类型一：已知某个三角函数值求其余的三角函数值 例1．若4sin 5 α=-，且α是第三象限角，求cos α，tan α的值。 【总结升华】解答此类题目的关键在于充分借助已知角的三角函数值，缩小角的范围。在解答过程中如果角α所在象限已知，则另两个三角函数值结果唯一；若角α所在象限不确定，则应分类讨论，有两种结果，需特别注意：若已知三角函数值以字母a 给出，应就α所在象限讨论。 举一反三： 【变式1】已知3sin 5 α=- ，求cos α，tan α的值。 类型二：利用同角关系求值
例2．已知：tan cot 2,θθ+=求： （1）sin cos ?θθ的值；（2）sin cos θθ+的值； （3）sin cos θθ-的值；（4）sin θ及cos θ的值 【变式1】已知sin cos αα-= （1）tan α+cot α；（2）sin 3α－cos 3α。 例3．已知：1tan 2θ=- ，求： （1）sin cos sin 3cos θθθθ +-； （2）2212sin cos sin cos θθθθ +-； （3）222sin 3sin cos 5cos θθθθ--。 【总结升华】已知tan α的值，求关于sin α、cos α的齐次式的值问题①如（1）、（2）题，∵cos α≠0，所以可用cos n α（n ∈N*）除之，将被求式转化为关于tan α的表示式，可整体代入tan α=m 的值，从而完成被求式的求值；②在（3）题中，求形如a sin 2α+b sin αcos α+c cos 2α的值，注意将分母的1化为1=sin 2α+cos 2α代入，转化为关于tan α的表达式后再求值。 举一反三： 【变式1】已知 tan 1tan 1 A A =--，求下列各式的值. (1)sin 3cos ;sin 9cos A A A A -+ (2)2 sin sin cos 2A A A ++
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点 [归纳·知识整合] 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin α cos α . [探究] 1.如何理解基本关系中“同角”的含义？ 提示：只要是同一个角，基本关系就成立，不拘泥于角的形式，如sin 2α3＋cos 2α 3＝1，tan 4α＝sin 4α cos 4α 等都是成立的，而sin 2θ＋cos 2φ＝1就不成立． 2．诱导公式 即α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；π 2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． [探究] 2.有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z )，你认为正确吗？ 提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 3．诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？ 提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α，π2－ α，π 2 ＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限角． [自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)已知cos(π＋α)＝1 2，则sin α的值为( ) A ．±1 2 B.12 C.32 D ．±32 解析：选D cos(π＋α)＝－cos α＝12，∴cos α＝－1 2， ∴sin α＝±1－cos α2＝±3 2. 2．tan 690°的值为( ) A ．－ 3 3 B.33 C. 3 D ．－ 3 解析：选A tan 690°＝tan(－30°＋2×360°) ＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－ 3 3 . 3．(教材习题改编)若tan α＝2，则sin α－cos α sin α＋cos α的值为( ) A ．－13 B ．－53 C.13 D.53 解析：选C sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝2－12＋1＝1 3 . 4．(教材习题改编)已知tan α＝3，π＜α＜3 2π，则cos α－sin α＝________. 解析：∵tan α＝3，π＜α＜32π，∴α＝4 3π， ∴cos α－sin α＝cos 43π－sin 4 3π ＝－cos π3＋sin π3＝－12＋3 2＝3－12. 答案： 3－1 2 5．计算sin 10π 3－2cos ⎝⎛⎭⎫－19π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－13π3＝________. 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋4π3－2cos ⎝⎛⎭⎫4π＋3π4－tan ⎝ ⎛⎭⎫4π＋π3
同角三角函数间的基本关系式总结
同角三角函数间的基本关系式总结·平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan^2(α)+1=sec^2(α) cot^2(α)+1=csc^2(α) ·积的关系： sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα ·倒数关系： tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 直角三角形ABC中, 角A的正弦值就等于角A的对边比斜边, 余弦等于角A的邻边比斜边 正切等于对边比邻边, ·三角函数恒等变形公式
·两角和与差的三角函数： cos(α+β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ cos(α-β)=cosα·cosβ+sinα·sinβ sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ tan(α+β)=(tanα+tanβ)/(1-tanα·tanβ) tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1+tanα·ta nβ) ·三角和的三角函数： sin(α+β+γ)=sinα·cosβ·cosγ+cosα·sinβ·cosγ+cosα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·sinγ cos(α+β+γ)=cosα·cosβ·cosγ-cosα·sinβ·sinγ-sinα·cosβ·sinγ-sinα·sinβ·cosγ tan(α+β+γ)=(tanα+tanβ+tanγ-tanα·tanβ·tanγ)/(1-tanα·tanβ-tanβ·ta nγ-tanγ·tanα) ·辅助角公式： Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B ·倍角公式： sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα+cotα)
同角三角函数基本关系
同角三角函数基本关系 ⒈同角三角函数的基本关系式商的关系： sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα 平方关系： sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 两角和差公式 ⒉两角和与差的三角函数公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα?tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα?tanβ 倍角公式 ⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式） sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α) 2tanα tan2α＝————— 1－tan^2(α) 半角公式 ⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式） 1－cosα sin^2(α/2)＝—————
2 1＋cosα cos^2(α/2)＝————— 2 1－cosα tan^2(α/2)＝————— 1＋cosα 万能公式 ⒌万能公式 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 1－tan^2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan^2(α/2) 和差化积公式 ⒎三角函数的和差化积公式 α＋βα－β sinα＋sinβ＝2sin—----?cos—--- 2 2 α＋βα－β sinα－sinβ＝2cos—----?sin—---- 2 2 α＋βα－β cosα＋cosβ＝2cos—-----?cos—----- 2 2 α＋βα－β
同角三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα ·cotα＝1 sinα ·cscα＝1 cosα ·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscα cosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 诱导公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋tanβ tan（α＋β）＝—————— 1－tanα ·tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα ·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan2(α/2) 二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 2tanα tan2α＝————— 1－tan2α sin3α＝3sinα－4sin3α cos3α＝4cos3α－3cosα 3tanα－tan3α tan3α＝—————— 1－3tan2α
三角函数公式同角三角函数的基本关系
三角函数公式同角三角函数的基本关系倒数关系：tanα ·cotα=1sinα ·cscα=1cosα·secα=1 商的关系：sinα/cosα=tanα=secα/cscα 平方关系平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ）证明：（sina+si nθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ) /2]=sin（a+θ）*sin（a-θ） 二倍角公式 正弦sin2A=2sinA·cosA 余弦1.Cos2a=Cosa^2-Sina^2=[1-tana^2]/[1+tana^2] 2.Cos2a=1-2Sina^2 3.Cos2a=2Cosa^2-1 正切 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 三倍角公式sin(3α) = 3sinα-4sin^3α = 4sinα·sin(60°+α)sin(60°-α) cos(3α) = 4cos^3α-3cosα = 4cosα·cos(60°+α)cos(60°-α) tan(3α) = (3tanα-tan^3α)/(1-3tan^2α) = tanαtan(π/3+α)tan(π/3-α) 半角公式sin^2(α/2)=(1-cosα)/2cos^2(α/2)=(1+cosα)/2tan^2(α/2)= (1-cosα)/(1+cosα)tan(α/2)=sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα 万能公式sinα=2tan(α/2)/[1+tan(α/2)] cosα=[1-tan(α/2)]/[1+tan^2(α/2)] tanα=2tan(α/2)/[1-tan&s(α/2)]其他sinα+sin(α+2π/n)+sin(α+2π*2/n)+sin(α+2π*3/n)+……+sin[α+2π*(n-1)/n]=0 cosα+cos(α+2π/n)+cos(α+2π*2/n)+cos(α+2π*3/n)+……+cos[α+2π*(n-1)/ n]=0 sin^2(α)+sin^2(α-2π/3)+sin^2(α+2π/3)=3/2tanAtanBtan(A+B)+ta nA+tanB-tan(A+B)=0 四倍角公式 sin4A=-4*(cosA*sinA*(2*sinA^2-1))cos4A=1+(-8*cosA^2+8*cosA^ 4) tan4A=(4*tanA-4*tanA^3)/(1-6*tanA^2+tanA^4) 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2
三角函数之间的关系公式
三角函数之间的关系公式 1. 同角三角函数的基本关系： 倒数关系：tanα•cotα＝1 sinα•cscα＝1 cosα•secα＝1 商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝csc α/secα 平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式：sin²α+cos²α=1 tan α*cot α=1 2. 一个特殊公式：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin （a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 3. 锐角三角函数公式 正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 4. 二倍角公式 正弦sin2A=2sinA•cosA 余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a)
3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 5. 三倍角公式 sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a) 6. n倍角公式 sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）. 其中R=2^（n-1） 7. 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA )=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2；cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 8. 和差化积 sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 9. 两角和公式
(完整)同角三角函数的基本关系式
同角三角函数的基本关系式 诱导公式 sin(－α）＝－sinαcos（－α）＝cosαtan（－α)＝－ tanα cot（－α）＝－ cotα 两角和与差的三角函数公式万能公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β)＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβcos(α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tanα＋ tanβ tan(α＋β）＝—————- 1－ tanα ·tanβ tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋ tanα ·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2（α/2） 1－tan2(α/2）cosα＝—————- 1＋tan2(α/2） 2tan（α/2) tanα＝—————— 1－tan2（α/2) 半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式 sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 2tanα tan2α＝--——— 1－tan2αsin3α＝3sinα－4sin3α cos3α＝4cos3α－3cosα 3tanα－tan3αtan3α＝—————— 1－3tan2α 三角函数的和差化积公式三角函数的积化和差公式 α＋βα－β sinα＋sinβ＝2sin-－－·cos-－—sinα·cosβ=（1/2）[sin （α+β)+sin（α-β)]
2 2 α＋βα－β sinα－sinβ＝2cos—－－·sin—－— 2 2 α＋βα－β c osα＋cosβ＝2cos—－－·cos—－— 2 2 α＋βα－β cosα－cosβ＝－2sin—－－·sin—－— 2 2 cosα·sinβ=（1/2)［sin （α+β)—sin(α-β)] cosα·cosβ=(1/2)［cos（α+β）+cos（α—β）］ sinα·sinβ=—(1/2）［cos （α+β)—cos（α-β)］ 化asinα ±bcosα为一个角的一个三角函数的形式(辅助角的三角函数的公式） 直角三角定义 它有六种基本函数（初等基本表示）： 三角函数数值表 （斜边为r，对边为y，邻边为x。） 在平面直角坐标系xOy中，从点O引出一条射线OP，设旋转角为θ，设OP=r,P点的坐标为（x，y）有正弦函数sinθ=y/r 正弦（sin):角α的对边比斜边 余弦函数cosθ=x/r 余弦(cos):角α的邻边比斜边 正切函数tanθ=y/x 正切(tan）：角α的对边比邻边 余切函数cotθ=x/y 余切（cot）：角α的邻边比对边
同角的三角函数的基本关系
同角的三角函数的基本关系 [基础知识归纳] 1．同角三角函数的基本关系式包括： 平方关系式：sin 2α＋cos 2α＝1； 商数关系式：tan α＝sin αcos α . 2．商数关系tan α＝sin αcos α成立的角α的范围是{α|α≠kπ＋π2 ，k ∈Z}． 知识要点一：公式的推导 （1）．设P(x ，y)是角α的终边与单位圆的交点，由三角函数的定义：x ＝cos α，y ＝sin α，y x ＝tan α，及单位圆上的点到原点的距离为1，可知x 2＋y 2＝1，即cos 2α＋sin 2α＝1，且y x ＝sin αcos α ＝tan α. （2）．由任意角的三角函数的定义也可求得． 设P(x ，y)为角α终边上的任一点，|OP|＝r. 则sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 易知sin 2α＋cos 2α＝x 2＋y 2r 2＝1，tan α＝y x ＝sin αcos α . 知识要点二：公式应用时注意的问题 （1）．公式成立的条件 sin 2α＋cos 2α＝1对一切α∈R 均成立，tan α＝sin αcos α仅在α≠kπ＋π2 (k ∈Z)时成立． （2）．同角三角函数的基本关系式揭示了“同角不同名”的三角函数的运算规律，它的精髓在“同 角”二字上，如sin 22α＋cos 22α＝1，sin 8αcos 8α ＝tan 8α等都成立，理由是式子中的角为“同角”． （3）．使用平方关系sin α＝±1－cos 2α， c os α＝±1－sin 2α，“±”由角α所在象限来确定． （4）．对于同角三角函数的基本关系式应注意变用及逆用． 如：sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α，1＝sin 2α＋cos 2α，sin α＝tan α·cos α，cos α＝ sin αtan α，sin αcos α ＝tan α 等． [例题与练习] 【例1】 已知cos α＝－35 ，求sin α，tan α的值． 答案： 当α为第二象限角时，sin α＝45，tan α＝－43. 当α为第三象限角时，sin α＝－45，tan α＝43 .
同角三角函数的基本关系
1．2.2 同角三角函数的基本关系 学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明． 知识点 同角三角函数的基本关系式 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：tan α＝sin αcos α ⎝⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2．同角三角函数基本关系式的变形 (1)sin 2α＋cos 2α＝1的变形公式 sin 2α＝1－cos 2α；cos 2α＝1－sin 2α. (2)tan α＝sin αcos α⎝ ⎛⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z 的变形公式 sin α＝cos αtan α；cos α＝sin αtan α . 1．sin 2α＋cos 2β＝1.( × ) 提示 在同角三角函数的基本关系式中要注意是“同角”才成立，即sin 2α＋cos 2α＝1. 2．sin 2θ2＋cos 2θ2 ＝1.( √ ) 提示 在sin 2α＋cos 2α＝1中，令α＝θ2可得sin 2θ2＋cos 2θ2 ＝1. 3．对任意的角α，都有tan α＝sin αcos α 成立．( × ) 提示 当α＝π2 ＋k π，k ∈Z 时就不成立． 4．若cos α＝0，则sin α＝1.( × ) 题型一 利用同角三角函数的关系式求值
命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值 例1 (1)若sin α＝－513 ，且α为第四象限角，则tan α的值为( ) A.125 B ．－125 C.512 D ．－512 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 D 解析 ∵sin α＝－513，且α为第四象限角，∴cos α＝1213 ， ∴tan α＝sin αcos α＝－512 ，故选D. (2)已知sin α＋cos α＝713 ，α∈(0，π)，则tan α＝ . 考点 运用基本关系式求三角函数值 题点 运用基本关系式求三角函数值 答案 －125 解析 ∵sin α＋cos α＝713 ， ∴(sin α＋cos α)2＝49169 ， 即2sin αcos α＝－120169 <0， 又α∈(0，π)，则sin α>0，cos α<0， ∴α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， 故sin α－cos α＝(sin α＋cos α)2－4sin αcos α＝1713 ， 可得sin α＝1213，cos α＝－513，tan α＝－125 . 反思感悟 (1)同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负． (2)已知三角函数值之间的关系式求其它三角函数值的问题，我们可利用平方关系或商数关系求解，其关键在于运用方程的思想及(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α的等价转化，找到解决问题
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系 倒数关系：tanα²cotα=1 sinα²cscα=1 cosα²secα=1商的关系：sinα/cosα=tanα=sec α/cscαcosα/sinα=cotα=cscα/secα平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α*cot α=1 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a- θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin （a-θ） 坡度公式 我们通常把坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即i=h / l,坡度的一般形式写成l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作a(叫做坡角）， 那么i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cos α=∠ α的邻边/∠α的斜边正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦sin2A=2sinA²cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2 (a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 正 切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 三倍角公式
同角三角函数间的基本关系-高中数学知识点讲解
同角三角函数间的基本关系1．同角三角函数间的基本关系 【知识点的认识】 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α+cos2α＝1． 푠푖 푛훼（2）商数关系： 푐표푠훼= tanα． 2．诱导公式 公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z． 公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α． 公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α． 휋휋 公式五：sin（2―α）＝cosα，cos（ 2―α）＝sinα． 휋 휋公式六：sin（ 2+α）＝cosα，cos（2+α）＝﹣sinα 3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 （1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ； （2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ； （3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ； （4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ； （5）T（α+β）：tan（α+β）= 푡푎푛훼+ 푡푎푛훽 1― 푡푎푛훼푡푎푛훽． （6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）= 푡푎푛훼― 푡푎푛훽 1+ 푡푎푛훼푡푎푛훽． 4．二倍角的正弦、余弦、正切公式（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
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（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α； （3）T2α：tan 2α= 2푡푎푛훼1― 푡푎푛2훼． 【解题方法点拨】 诱导公式记忆口诀： 푘휋 对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇2 数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”． 2/ 2
同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1.同角三角函数基本关系式 平方关系:sin 2α+cos 2α=1; 商数关系:tanα= 2.α相关角的表示 (1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α; (2)终边与角α的终边关于x 轴对称的角可以表示为-α(或2π-α); (3)终边与角α的终边关于y 轴对称的角可以表示为π-α; (4)终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角可以表示为 -α. 3.诱导公式 (1)公式一 sin(α+k ·2π)=sinα ,cos(α+k ·2π)=cosα, tan(α+k ·2π)=tanα,其中k ∈Z. (2)公式二 sin(π+α)=-sinα ,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα. (3)公式三 sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα. (4)公式四 sin(π-α)=sinα ,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα. (5)公式五 (6)公式六 即α+k ·2π(k ∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号; ±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指“k · ±α(k ∈Z)”中k 的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角时原函数值的符号 1.cos300°=( ) 解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60° 4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 解析:∵2008°=6×360°-152°,∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0,cos2008°=cos152°<0,∴点P 在第四象限. .sin cos αα,.22sin cos cos sin αππααα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,.22sin cos cos sin αααππα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π()4,543..3432.sin ,ta 4..43n A B C D ααα-±=±若且是第二象限角则 的值等于:,cos t 3,5454.5n 3a 3sin cos αα ααα ==-⎛⎫==-∴==- ⎪⎝⎭∴解析为第二象限角()1,33611..33..333.sin cos A B C D ααππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--已知则的值为,6236231.33:cos cos sin πππαπππααααπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭+∴解析
三角函数及变形公式
三角函数及变形公式汇总 一、任意角的三角函数 在角α的终边上任取．． 一点),(y x P ，记：22y x r +=， 正弦：r y = αsin 余弦：r x =αcos 正切：x y = αtan 余切：y x =αcot 正割：x r =αsec 余割：y r =αcsc 注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与单位圆有关的有向．． 线段MP 、OM 、AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线。 二、同角三角函数的基本关系式 倒数关系：1csc sin =⋅αα，1sec cos =⋅αα，1cot tan =⋅αα。 商数关系：αααcos sin tan =，α ααsin cos cot =。 平方关系：1cos sin 22=+αα，αα22sec tan 1=+，αα22csc cot 1=+。 三、诱导公式 ⑴παk 2+)(Z k ∈、α-、απ+、απ-、απ-2的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成．． 锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名不变，符号看象限） ⑵απ +2、απ -2、απ+23、απ-2 3的三角函数值，等于α的异名函数值，前面加上一个把α看成．． 锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看象限） 四、和角公式和差角公式
βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅+⋅=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(⋅-⋅=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅-⋅=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(⋅+⋅=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(⋅+-=- 五、二倍角公式 αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-=…)(* α αα2tan 1tan 22tan -= 二倍角的余弦公式)(*有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角） αα2cos 22cos 1=+ αα2sin 22cos 1=- 2)cos (sin 2sin 1ααα+=+ 2)cos (sin 2sin 1ααα-=- 六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式） ααα2tan 1tan 22sin +=，α αα22tan 1tan 12cos +-=，ααα2tan 1tan 22tan -=。 万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切．． 来表示。 七、和差化积公式 2cos 2sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ …⑴ 2 sin 2cos 2sin sin β αβ αβα-+=- …⑵
同角三角函数的基本关系
同角三角函数的基本关系 tan α=sin α/cos α 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin αˇ2+cos αˇ2=1 tan α *tan α的邻角=1 锐角三角函数公式 正弦： sin α=∠α的对边/∠α的斜边余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 sin2A=2sinA?cosA cos2A=cos^A-sin^A=1-2sin^A=2cos^A-1 tan2A=（2tanA）/（1-tan^2A） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a =sin(2a+a)
=sin2acosa+cos2asina =2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina =3sina-4sin^3a cos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina =(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^a)cosa=4cos^3a-3cosa sin3a=3sina-4sin^3a =4sina(3/4-sin^2a) =4sina[(√3/2)^2-sin^2a] =4sina(sin^260°-sin^2a) =4sina(sin60+sina)(sin60-sina) =4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[(60°-a)/2] =4sinasin(60°+a)sin(60°-a) cos3a=4cos^3a-3cosa =4cosa(cos^2a-3/4) =4cosa[cos^2a-(√3/2)^2] =4cosa(cos^2a-cos^230°) =4cosa(cosa+cos30°)(cosa-cos30°) =4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°) /2]sin [(a-30°)/2]} =-4cosasin(a+30°)sin(a-30°) =-4cosasin[90-(60-a)]sin[-90+(60+a)] =-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)] =4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
同角三角函数的基本关系诱导公式
二、同角三角函数的基本关系及引诱公式 1 ．理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x+cos 2 x=1, sinx tanx. cosx 2 ．能利用单位圆中的三角函数线推导出 ， 的正弦、余弦、正切的引诱公式. 2 本知识点在高考中一般不单独命题，但它是三角函数的基础，常以引诱公式作为基础内容，综合同角 关系式及三角恒等变换进行观察，解题时要熟练灵便运用公式及变形进行求解与化简. 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． （2）商数关系： sin ＝tan α． cos 2．三角函数的引诱公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π+α π+α -α -α +α π-α （k ∈Z ） 2 2 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α 口诀 函数名改变， 函数名不变，符号看象限 符号看象限
3．必记结论——特别角的三角函数值 角 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°180° 角的 0 π ππ π 2π3π5π π 弧度数 6 4 3 2 3 4 6 sin 0 1 2 3 1 3 2 1 0 2 2 2 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 1 2 3 1 2 2 2 2 2 2 tan 3 1 3 — 3 1 3 0 3 3 已知 是第二象限角，sin 5 ，则cos 13 5 12 5 D ． 12 A ． B ． C ． 13 13 13 13 【答案】B 【解析】因为 是第二象限角，由sin 2 +cos 2 =1，得cos 1sin 2 1(5)2 12．故 13 13 选B ． 【考点定位】同角三角函数的基本关系 【名师点睛】 1.利用 sin 2 +cos 2 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用 sin =tan 可以实现 =1， cos 角的弦切互化． 2.注意公式逆用及变形应用： 1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 已知sin( )cos( 4 ) 1 ，求cos( )的值. cos 2 2 【答案】 1 2 【解析】由 sin( )cos( 4 ) 1 ，得 sincos 1 ，即sin 1 ， cos 1 2 cos 2 2 ∴cos( ) sin . 2 2 【考点定位】引诱公式 【名师点睛】（1）利用引诱公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其