高一数学同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系式及诱导公式
一、基本知识：
（1）同角三角函数的基本关系式：平方关系：sin 2α+cos 2α=1，
1tan sec 22=-αα，
1cot csc 22=-αα，
商式关系：sin α cos α
=tan α， αα
αcot sin cos =， 倒数关系：tan αcot α=1，
α
αcos 1sec = α
αsin 1csc =
（2）诱导公式：函数名称不变，符号看象限。
二、例题分析：
例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α)
． 解 原式=
（-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α)= (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α) = sin α·cos α sin α cos α
=1 ． 例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2
)，求cos θ－sin θ的值．
解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34
． ∵θ∈(π4 ，π2
)，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 32
． 变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值．
变式2 已知cos θ－sin θ= －
32 ， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值．
例3 已知tan θ=3．求（1）
α
αααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值．
例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α=1+ tan α 1－tan α
例5、（1）化简：2cos 2sin 212cos 2sin 21α
α
α
α
++-，⎪⎭
⎫ ⎝⎛
<<20πα （2）已知α是第三象限角，求
α
αααcos 1cos 1cos 1cos 1-+++-的值。
三、练习
1．sin 2150°+sin 2135°+2sin210°+cos 2225°的值是 ( )
A ． 14
B ．34
C ． 114
D ．94
2．已知sin(π+α)=－35
，则 ( ) A ．cos α= 45 B ．tan α= 34 C ．cos α= －45 D ．sin(π－α)=35
3．sin600°的值是 （ ）
A ．12
B ．－ 12
C ．32
D ．－ 32
4．化简1+2sin(π-2)cos(π+2)=．
5、已知()πααα,0,3
2cos sin ∈=+，求αsin 与αcos 及αα33cos sin +的值。 6、求证：α
ααααcos sin 1cos 2tan cot 2-=-.
7、化简： 10cos 10sin 21-.
8、已知αsin 、αcos 是方程012682
=+++k kx x 的两根，求k 的值。
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点
同角三角函数的基本关系与诱导公式知识点 [归纳·知识整合] 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin α cos α . [探究] 1.如何理解基本关系中“同角”的含义？ 提示：只要是同一个角，基本关系就成立，不拘泥于角的形式，如sin 2α3＋cos 2α 3＝1，tan 4α＝sin 4α cos 4α 等都是成立的，而sin 2θ＋cos 2φ＝1就不成立． 2．诱导公式 即α＋k ·2π(k ∈Z )，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号；π 2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值， 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号． [探究] 2.有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z )，你认为正确吗？ 提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α； 当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α)＝sin(π－α)＝sin α. 3．诱导公式的口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的“符号”是否与α的大小有关？ 提示：无关，只是把α从形式上看作锐角，从而2k π＋α(k ∈Z )，π＋α，－α，π－α，π2－ α，π 2 ＋α分别是第一，三，四，二，一，二象限角． [自测·牛刀小试]
1．(教材习题改编)已知cos(π＋α)＝1 2，则sin α的值为( ) A ．±1 2 B.12 C.32 D ．±32 解析：选D cos(π＋α)＝－cos α＝12，∴cos α＝－1 2， ∴sin α＝±1－cos α2＝±3 2. 2．tan 690°的值为( ) A ．－ 3 3 B.33 C. 3 D ．－ 3 解析：选A tan 690°＝tan(－30°＋2×360°) ＝tan(－30°)＝－tan 30°＝－ 3 3 . 3．(教材习题改编)若tan α＝2，则sin α－cos α sin α＋cos α的值为( ) A ．－13 B ．－53 C.13 D.53 解析：选C sin α－cos αsin α＋cos α＝tan α－1tan α＋1＝2－12＋1＝1 3 . 4．(教材习题改编)已知tan α＝3，π＜α＜3 2π，则cos α－sin α＝________. 解析：∵tan α＝3，π＜α＜32π，∴α＝4 3π， ∴cos α－sin α＝cos 43π－sin 4 3π ＝－cos π3＋sin π3＝－12＋3 2＝3－12. 答案： 3－1 2 5．计算sin 10π 3－2cos ⎝⎛⎭⎫－19π4＋tan ⎝⎛⎭⎫－13π3＝________. 解析：原式＝sin ⎝⎛⎭⎫2π＋4π3－2cos ⎝⎛⎭⎫4π＋3π4－tan ⎝ ⎛⎭⎫4π＋π3
同角三角函数基本关系与诱导公式
1. 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2 x ＝1，sin x cos x ＝tan x . 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式， 并能灵活运用． 一、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：sin 2α＋cos 2 α＝1(α∈R) 2．商数关系: tan α＝sin αcos α(α≠k π＋π 2，k ∈Z) 二、六组诱导公式 考纲要求 知识梳理
对于角“ k π 2 ±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是 说 k π 2 ±α，k ∈Z 的三角函数值等于“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶 数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．” 有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z)，你认为正确吗？ 提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z)时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α＝sin(π－α)＝sin α. 【考点一】 同角三角函数关系式的应用 ★1．（20099）若4 sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . 【答案】35 - 【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查. 由已知，θ在第三象限， ∴3cos 5θ===-，∴应填35-. ★★2.（20119）在ABC ?中。若b=5，4 π = ∠B ，tanA=2，则sinA=____________； a=_______________。 【答案】10 25 5 2 ★★★3．已知sin α－cos α＝1 2 ，则sin α·cos α＝________. 答案：8 3 典型例题 究疑点
三角函数之间的关系公式
三角函数之间的关系公式 1. 同角三角函数的基本关系： 倒数关系：tanα•cotα＝1 sinα•cscα＝1 cosα•secα＝1 商的关系：sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝csc α/secα 平方关系：sin^2(α)＋cos^2(α)＝1 1＋tan^2(α)＝sec^2(α) 1＋cot^2(α)＝csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式：sin²α+cos²α=1 tan α*cot α=1 2. 一个特殊公式：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=sin（a+θ）*sin （a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina+sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 3. 锐角三角函数公式 正弦：sin α=∠α的对边/∠α的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 4. 二倍角公式 正弦sin2A=2sinA•cosA 余弦1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) =2Cos^2(a)-1 =1-2Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a)
3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 正切tan2A=（2tanA）/（1-tan^2(A)） 5. 三倍角公式 sin3α=4sinα•sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα•cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a •tan(π/3+a)•tan(π/3-a) 6. n倍角公式 sin（n a）=Rsina sin（a+π/n）……sin（a+（n-1）π/n）. 其中R=2^（n-1） 7. 半角公式 tan(A/2)=(1-cosA)/sinA=sinA/(1+cosA);cot(A/2)=sinA/(1-cosA )=(1+cosA)/sinA. sin^2(a/2)=(1-cos(a))/2；cos^2(a/2)=(1+cos(a))/2 tan(a/2)=(1-cos(a))/sin(a)=sin(a)/(1+cos(a)) 8. 和差化积 sinθ+sinφ= 2 sin[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] sinθ-sinφ= 2 cos[(θ+φ)/2] sin[(θ-φ)/2] cosθ+cosφ= 2 cos[(θ+φ)/2] cos[(θ-φ)/2] cosθ-cosφ=-2sin[(θ+φ)/2]sin[(θ-φ)/2] tanA+tanB=sin(A+B)/cosAcosB=tan(A+B)(1-tanAtanB) tanA-tanB=sin(A-B)/cosAcosB=tan(A-B)(1+tanAtanB) 9. 两角和公式
高一数学同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系式及诱导公式 一、基本知识： （1）同角三角函数的基本关系式：平方关系：sin 2α+cos 2α=1， 1tan sec 22=-αα， 1cot csc 22=-αα， 商式关系：sin α cos α =tan α， αα αcot sin cos =， 倒数关系：tan αcot α=1， α αcos 1sec = α αsin 1csc = （2）诱导公式：函数名称不变，符号看象限。 二、例题分析： 例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α) ． 解 原式= （-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α)= (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α) = sin α·cos α sin α cos α =1 ． 例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2 )，求cos θ－sin θ的值． 解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34 ． ∵θ∈(π4 ，π2 )，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 32 ． 变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值．
变式2 已知cos θ－sin θ= － 32 ， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值． 例3 已知tan θ=3．求（1） α αααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值． 例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α=1+ tan α 1－tan α
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式 一、基础知识 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin α cos α . 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π 2(k ∈Z)． 2．诱导公式 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π 2＋α(k ∈Z )”中 的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π 2＋α(k ∈Z )”中，将α看 成锐角时，“k ·π 2 ＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限. 二、常用结论 同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α????α≠π 2＋k π，k ∈Z .
考点一 三角函数的诱导公式 [典例] (1)已知f (α)＝cos ????π2＋αsin ??? ?3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ????－25π 3的值为________． (2)已知cos ????π6－α＝23，则sin ? ???α－2π 3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ????π2＋αsin ??? ?3π 2－αcos (－π－α)tan (π－α) ＝ －sin α(－cos α) (－cos α)??? ?－sin αcos α＝cos α， 所以f ????－25π3＝cos ????－25π3＝cos π3＝1 2 . (2)sin ????α－2π3＝－sin ????2π3－α＝－sin ????π－????π3＋α＝－sin ????π3＋α＝－sin ??? ?π2－? ???π 6－α＝－cos ????π6－α＝－23 . [答案] (1)12 (2)－23 [题组训练] 1.已知tan α＝1 2，且α∈????π，3π2，则cos ????α－π2＝________. 解析：法一：cos ????α－π2＝sin α，由α∈????π，3π 2知α为第三象限角， 联立????? tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1， 解得5sin 2α＝1，故sin α＝－5 5 . 法二：cos ????α－π2＝sin α，由α∈????π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝1 2，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－ 55 . 答案：－ 55 2. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________. 解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°) sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋1 4＋1＝2. 答案：2
同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1.同角三角函数基本关系式 平方关系:sin 2α+cos 2α=1; 商数关系:tanα= 2.α相关角的表示 (1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α; (2)终边与角α的终边关于x 轴对称的角可以表示为-α(或2π-α); (3)终边与角α的终边关于y 轴对称的角可以表示为π-α; (4)终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角可以表示为 -α. 3.诱导公式 (1)公式一 sin(α+k ·2π)=sinα ,cos(α+k ·2π)=cosα, tan(α+k ·2π)=tanα,其中k ∈Z. (2)公式二 sin(π+α)=-sinα ,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα. (3)公式三 sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα. (4)公式四 sin(π-α)=sinα ,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα. (5)公式五 (6)公式六 即α+k ·2π(k ∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号; ±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指“k · ±α(k ∈Z)”中k 的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角时原函数值的符号 1.cos300°=( ) 解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60° 4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 解析:∵2008°=6×360°-152°,∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0,cos2008°=cos152°<0,∴点P 在第四象限. .sin cos αα,.22sin cos cos sin αππααα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,.22sin cos cos sin αααππα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π()4,543..3432.sin ,ta 4..43n A B C D ααα-±=±若且是第二象限角则 的值等于:,cos t 3,5454.5n 3a 3sin cos αα ααα ==-⎛⎫==-∴==- ⎪⎝⎭∴解析为第二象限角()1,33611..33..333.sin cos A B C D ααππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--已知则的值为,6236231.33:cos cos sin πππαπππααααπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭+∴解析
同角三角函数基本关系式与诱导公式知识点讲解+例题讲解(含解析)
同角三角函数基本关系式与诱导公式 一、知识梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：sin α cos α＝tanα. 2.三角函数的诱导公式 总结： 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍，变与不 变指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 二、例题精讲 + 随堂练习 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.() (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.() (3)若α∈R，则tan α＝sin α cos α恒成立.()
(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝1 3.( ) 解析 (1)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝1 3， 当k 为偶数时，sin α＝－1 3. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.已知tan α＝－3，则cos 2α－sin 2α＝( ) A.45 B.－45 C.35 D.－35 解析 由同角三角函数关系得 cos 2 α－sin 2 α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－91＋9 ＝－4 5. 答案 B 3.已知α为锐角，且sin α＝4 5，则cos (π＋α)＝( ) A.－35 B.35 C.－45 D.45 解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝3 5， 故cos(π＋α)＝－cos α＝－3 5. 答案 A 4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝4 3 ，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－29 C.29 D.79 解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ 432 ＝－79. 答案 A
同角三角函数基本关系式以及诱导公式
第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式[考纲] 1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin α cos α＝tan α. 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 知识梳理 1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：sin α cos α＝tan α. 2．三角函数的诱导公式 一二三四五六 角2kπ＋α (k∈Z) π＋α－απ－α π 2－α π 2＋α 正弦sin α－sinα－sinαsinαcosαcosα 余弦cos α－cosαcosα－cosαsinα－sinα 正切tan αtanα－tanα－tanα 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限 3.特殊角的三角函数值 角α0°30°45°60°90°120°150°180° 角α的弧度 数0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 5π 6π sin α01 2 2 2 3 2 1 3 2 1 20 cos α1 3 2 2 2 1 20－ 1 2－ 3 2 －1 tan α0 3 3 13－3－ 3 3
辨 析 感 悟 1．对三角函数关系式的理解 (1)若α，β为锐角，sin 2 α＋cos 2β＝1. ( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin α cos α恒成立． ( ) (3)(教材练习改编)已知sin α＝45，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π2，π，则cos α＝35.( ) 2．对诱导公式的认识 (4)六组诱导公式中的角α可以是任意角． ( ) (5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍， 变与不变指函数名称的变化． ( ) (6)角π＋α和α终边关于y 轴对称．( ) 3．诱导公式的应用 (7)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝1 3. ( ) (8)(2013·广东卷改编)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝1 5，则cos α＝－15.( ) [感悟·提升] 1．一点提醒 平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠π 2＋k π，k ∈Z ，如(1)、(2)． 2．两个防范 一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如(3)；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定． 考点一 同角三角函数基本关系式的应用
同角三角函数的基本关系及诱导公式
同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．理解同角三角函数的基本关系式：sin2x +cos2x = 1,sin tan. cos x x x = 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出 2αα π ±π± ，的正弦、余弦、正切的诱导公式. 本知识点在高考中一般不单独命题，但它是三角函数的基础，常以诱导公式作为基础内容，综合同角关系式及三角恒等变换进行考查，解题时要熟练灵活运用公式及变形进行求解与化简. 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin2α＋cos2α＝1． （2）商数关系：sin cos α α ＝tanα． 2．三角函数的诱导公式 3．必记结论——特殊角的三角函数值
已知α是第二象限角，5 sin 13 α= ，则cos α= A ．5 13 - B ．12 13- C ． 5 13 D ． 1213 【答案】B 【解析】因为α是第二象限角，由22sin +cos =1αα， 得12 cos 13 α==-． 故选B ． 【考点定位】同角三角函数的基本关系 【名师点睛】1.利用22sin +cos =1αα，可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用sin cos α α =tan α可以实现角α的弦切互化． 2.注意公式逆用及变形应用：1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. . 【考点定位】诱导公式 【名师点睛】（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负号—脱周期—化锐角．特别注意函数名称和符号的确定． （2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
同角三角函数的基本关系与诱导公式
6、 2、 A 、 3、 4、 5、 ［课本改编］已知 是第二象限角，sin 12 13 5 13 ［2013 •广东高考］已知sin 下列各数中与 1 2 sin 2011 、2 [2015 [2015 12 13 -桂林检测］cos 5 n ~2 + a 5 … a = 13，贝U cos a=( 5 、13 的值最接近的是（ 1 2 20 n 〒=( -衡水模拟］已知△ ABC 中, 5 13 7t 已知 sin( a +12) COS a 等于（ 5 tanA = —12，贝U cosA =( 5 13 + £ n ）的值为（ ） 12 13 12 13 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 I 、知识点梳理 一、同角三角函数的基本关系式 1.平方关系： 2 •商数关系: 、六组诱导公式 K II 、教材回归
7 、已知cosA + sinA = —13, A 为第四象限角，贝U tan a 等于( ) 8、(2 3 4。。9 •陕西)若tan a= 2则；驚二囂：的值为() III 、基本例题 一、同角三角函数基本关系式的应用 3 例 1(1)［2015 •杭州模拟］已知 cos( n + x) = 5, x € ( n, 2n )，贝U tanx = _______ 、利用诱导公式化简求值 例2(1)［2015 •哈师大附中模拟］设tan( n+ a ) = 2,则也 ---------- ) ------------ ) 等于 sin( ) cos( ) 1 A 3 B 、3 C 、1 D 、— 1 ,. n 2 2 n (2)已知 cos — — a = 3,贝U sin a —-^ = ___________ . ［奇思妙想］在本例⑵ 的条件下，求cos 5亍+ a • sin a +扌 的值. 三、诱导公式在三角形中的应用 2A + B 2C 例 3(1)［2014 •长沙月考］(1)在厶ABC 中，求证：cos —2 + cos?= 1. 2 2 -保定模拟］已知 tan 0 = 2,贝U sin 0 + sin 0 cos 0 — 2cos 0 等于( 4 ⑵ 已知在△ ABC 中, sin A + cosA = 5. 5 12 ~5 5 12 12 "5 sin 9、 ［课本改编］ 已知tan 0 n ~2 + 0 — cos n — 0 =2,则—— ---------------------- sin — — 0 — sin n — 0 ⑵ ［2015
同角三角函数的基本关系及诱导公式
4．2同角三角函数的基本关系及诱导公式 1．同角三角函数的基本关系 (1)由三角函数的定义，同角三角函数间有以下两个等式： ①____________________； ② ． (2)同角三角函数的关系式的基本用途：①根据一个角的某一三角函数值，求出该角的其他三角函数值；②化简同角的三角函数式；③证明同角的三角恒等式． 2．三角函数的诱导公式 (1)诱导公式的内容： (2)诱导公式的规律： 三角函数的诱导公式可概括为：奇变偶不变，符号看象限．其中“奇变偶不变”中的奇、偶分别是指π 2的奇数 倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则正、余弦互变，正、余切互变；若是偶数倍，则函数名称________．“符号看象限”是把α当成________时，原三角函数式中的角⎝⎛⎭⎫如π 2＋α 所在________原三角函数值的符号．注意：把α当成锐角是指α不一定是锐角，如sin(360°＋120°)＝sin120°， sin(270°＋120°)＝－cos120°，此时把120°当成了锐角来处理．“原三角函数”是指等号左边的函数． (3)诱导公式的作用： 诱导公式可以将任意角的三角函数转化为________三角函数，因此常用于化简和求值，其一般步骤是： 任意负角的三角函数 ――→ 去负（化负角为正角） 任意正角的三角函数――→脱周 脱去k · 360°0°到360°的三角函数――→化锐 （把角化为锐角 ） 锐角三角函数 3．sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α三者之间的关系 (sin α＋cos α)2＝________________； (sin α－cos α)2＝________________； (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝________________； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝________________. 自 查 自 纠： 1．(1)①sin 2α＋cos 2α＝1②sin α cos α＝tan α 2．(1)
2023年新高考数学一轮复习5-2 同角三角函数的基本关系与诱导公式(知识点讲解)含详解
专题5.2 同角三角函数的基本关系与诱导公式（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】 1．利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 2．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 【知识点展示】 （一）同角三角函数 1.同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1(α∈R )． (2)商数关系：tan α＝sin αcos α⎝⎛ ⎭⎫α≠k π＋π2，k ∈Z . 2.三角函数求值与化简必会的三种方法 (1)弦切互化法:主要利用公式tan α=sinαcosα;形如asinx+bcosx csinx+dcosx ,22asin x bsinxcosx ccos x ++等类型可进行弦化切. (2)“1”的灵活代换法: ()2 22124 sin cos sin cos sin cos tan π θθθθθθ=+=+-=等. (3)和积转换法:利用()()2 2 212,()2sin cos sin cos sin cos sin cos θθθθθθθθ±=±++-=的关系进行变形、转化. （二）诱导公式 六组诱导公式
对于角“k π 2±α”(k ∈Z )的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k 为奇数时， 正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号” 【常考题型剖析】 题型一：同角三角函数的基本关系式 例1.（2022·浙江·高考真题）设x ∈R ，则“sin 1x =”是“cos 0x =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 例2．（2021·湖南·高考真题）已知tan α=α为第四象限角，则cos α=____________ 例3.（2020·金华市江南中学高一月考）已知sin cos sin cos x x x x +-=2，则tan x =____，sin x cos x =____. 例 4.（2021·江苏·高一课时练习）已知tan α＝2，求sin α和cos α的值． 【规律方法】 1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法” (1)利用sin 2 α＋cos 2 α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意 ()2 22124 sin cos sin cos sin cos tan π θθθθθθ=+=+-=等； (2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论． 2. 利用sin αcos α ＝tan α可以实现角α的弦切互化． （1）若已知tan α＝m ，求形如a sin α＋b cos αc sin α＋d cos α(或a sin 2α＋b cos 2α c sin 2α＋ d cos 2α)的值，其方法是将分子、分母同除以cos α(或 cos 2α)转化为tan α的代数式，再求值，如果先求出sin α和cos α的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐． （2）形如a sin 2α＋b sin αcos α＋c cos 2α通常把分母看作1，然后用sin 2α＋cos 2α代换，分子、分母同除以cos 2α再求解． 题型二：sin α±cos α与sin αcos α的关系及应用 例5.（2022·浙江温州·高二期末）已知1 sin cos 5 θθ+=-，(0,)θπ∈，则sin cos θθ-=（ ） A ．15 B ．15- C ．75 D ．7 5 -例6. （2022·辽宁沈阳·高一期中）已知π02α-<<，且函数
同角三角函数的基本关系与诱导公式
第二节同角三角函数的基本关系与诱导 公式 [最新考纲]1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋cos2α＝1，sin α cos α＝ tan α；2.能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2±α，π±α的正弦、余弦、正切的 诱导公式． 1．同角三角函数的基本关系式 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin αcos α． 2．诱导公式 1．同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α．2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化． 一、思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若α，β为锐角，则sin 2α＋cos 2β＝1.( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin α cos α恒成立．( ) (3)sin (π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角．( ) (4)若sin(k π－α)＝23(k ∈Z )，则sin α＝2 3.( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)× 二、教材改编 1．化简sin 690°的值是( ) A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 B [sin 690°＝sin(720°－30°)＝－sin 30°＝－1 2.选B.] 2．若sin α＝55，π 2＜α＜π，则tan α＝________． －12 [∵π 2＜α＜π， ∴cos α＝－ 1－sin 2α＝－25 5， ∴tan α＝sin αcos α＝－1 2.] 3．已知tan α＝2，则 sin α＋cos α sin α－cos α 的值为________． 3 [原式＝tan α＋1tan α－1＝2＋1 2－1 ＝3.] 4．化简 cos （α－π 2） sin （5 2π＋α） ·sin(α－π)·cos (2π－α)的结果为________．
高中三角函数公式及诱导公式大全
高中三角函数公式及诱导公式大全 以下是高中三角函数公式及诱导公式的大全： 1.三角函数的基本关系： •正弦函数（sin）：sinθ = 对边/斜边 •余弦函数（cos）：cosθ = 邻边/斜边 •正切函数（tan）：tanθ = 对边/邻边 2.三角函数的诱导公式： •正弦函数的诱导公式：sin(-θ) = -sinθ •余弦函数的诱导公式：cos(-θ) = cosθ •正切函数的诱导公式：tan(-θ) = -tanθ •正弦函数的互余公式：sin(π/2 - θ) = cosθ •余弦函数的互余公式：cos(π/2 - θ) = sinθ •正切函数的互余公式：tan(π/2 - θ) = 1/tanθ 3.三角函数的和差公式： •正弦函数的和差公式：sin(θ ± φ) = sinθcosφ ± cosθsinφ •余弦函数的和差公式：cos(θ ± φ) = cosθcosφ ∓ sinθsinφ •正切函数的和差公式：tan(θ ± φ) = (tanθ ± tanφ) / (1 ∓tanθtanφ) 4.三角函数的倍角公式： •正弦函数的倍角公式：sin2θ = 2sinθcosθ •余弦函数的倍角公式：cos2θ = cos^2θ - sin^2θ •正切函数的倍角公式：tan2θ = (2tanθ) / (1 - tan^2θ)
5.三角函数的半角公式： •正弦函数的半角公式：sin(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / 2] •余弦函数的半角公式：cos(θ/2) = ±√[(1 + cosθ) / 2] •正切函数的半角公式：tan(θ/2) = ±√[(1 - cosθ) / (1 + cosθ)] 6.三角函数的和的积公式： •正弦函数的和的积公式：sinθ + sinφ = 2sin((θ + φ)/2)cos((θ - φ)/2) •余弦函数的和的积公式：cosθ + cosφ = 2cos((θ + φ)/2)cos((θ - φ)/2) •正弦函数的差的积公式：sinθ - sinφ = 2cos((θ + φ)/2)sin((θ - φ)/2) •余弦函数的差的积公式：cosθ - cosφ = -2sin((θ + φ)/2)sin((θ - φ)/2) 这些公式是三角函数中常见的重要公式，掌握它们能够帮助解决各种三角函数相关的数学问题，并在数学推导和计算中提供便利。在学习过程中，理解公式的来源和应用背后的数学原理也是很重要的。
高一数学诱导公式汇总
高一数学诱导公式汇总 学习数学需要讲究方法和技巧，更要学会对知识点进行归纳整理。下面是店铺为大家整理的高一数学诱导公式大全，希望对大家有所帮助! 高一数学诱导公式总结 诱导公式公式一： 设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin(2kπ+α)=sinα cos(2kπ+α)=cosα tan(2kπ+α)=tanα cot(2kπ+α)=cotα 诱导公式公式二： 设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：sin(π+α)=-sinα cos(π+α)=-cosα tan(π+α)=tanα cot(π+α)=cotα 诱导公式公式三： 任意角α与-α的三角函数值之间的关系： sin(-α)=-sinα cos(-α)=cosα tan(-α)=-tanα cot(-α)=-cotα 诱导公式公式四： 利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：sin(π-α)=sinα cos(π-α)=-cosα tan(π-α)=-tanα cot(π-α)=-cotα
诱导公式公式五： 利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系： sin(2π-α)=-sinα cos(2π-α)=cosα tan(2π-α)=-tanα cot(2π-α)=-cotα 诱导公式公式六： π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系： sin(π/2+α)=cosα cos(π/2+α)=-sinα tan(π/2+α)=-cotα cot(π/2+α)=-tanα sin(π/2-α)=cosα cos(π/2-α)=sinα tan(π/2-α)=cotα cot(π/2-α)=tanα sin(3π/2+α)=-cosα cos(3π/2+α)=sinα tan(3π/2+α)=-cotα cot(3π/2+α)=-tanα sin(3π/2-α)=-cosα cos(3π/2-α)=-sinα tan(3π/2-α)=cotα cot(3π/2-α)=tanα (以上k∈Z)
三角同角三角函数的关系式及诱导公式
同角三角函数的关系式及诱导公式 一、基础知识 （一） 同角三角函数的基本关系式：①平方关系1cos sin 22=+αα；②商式关系 αα αtan cos sin =；③倒数关系1cot tan =αα; （二） 正弦余弦的诱导公式：απ ±⋅2k )(Z k ∈与α的三角函数关系是“奇变偶不变,符 号看象限”; 注：1、诱导公式的主要作用是将任意角的三角函数转化为 0~ 90角的三角函数; 2、主要用途： a) 已知一个角的三角函数值,求此角的其他三角函数值①要注意题设中角的范围,②用三角函数的定义求解会更方便； b) 化简同角三角函数式； 证明同角的三角恒等式; 二、题型剖析 1、化简求值 例1：化简1()) cos(])1sin[(])1cos[(sin απαπαπαπ+⋅++--⋅-k k k k Z k ∈ 2α ααα4266sin sin cos sin 1--- 解：1当k 为偶数时,原式=α αααcos sin )cos (sin --⋅-=－1；当k 为奇数时同理可得,原式=－1,故当Z k ∈时,原式=-1; 2原式=()()()αααααααα22222 2222sin 1sin ]cos sin 3cos sin [cos sin 1-⋅-++-=3 思维点拨1分清k 的奇偶,决定函数值符号是关键； 2平方降次是化简的重要手段之一; 练习：变式2()z n n n ∈⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛--απαπ414cos 414sin 化简 解：原式=⎥⎦⎤⎢⎣ ⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-αππαππ4cos 4sin n n 1当n 为奇数时,设()z k k n ∈+=12, 则原式=⎥⎦⎤⎢⎣ ⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+απππαπππ42cos 42sin k k =04cos 4cos 4cos 4sin =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+απαπαπαπ;
高一三角函数公式及诱导公式习题附答案
三角函数公式 1．同角三角函数基本关系式 sin2α＋cos2α=1 错误!=tanα tanαcotα=1 2．诱导公式奇变偶不变,符号看象限 （一）sinπ－α＝sinαsinπ+α＝-sinα cosπ－α＝-cosαcosπ+α＝-cosα tanπ－α＝-tanαtanπ+α＝tanα sin2π－α＝-sinαsin2π+α＝sinα cos2π－α＝cosαcos2π+α＝cosα tan2π－α＝-tanαtan2π+α＝tanα 二sin错误!－α＝cosαsin错误!+α＝cosα cos错误!－α＝sinαcos错误!+α＝- sinα tan错误!－α＝cotαtan错误!+α＝-cotα sin错误!－α＝-cosαsin错误!+α＝-cosα cos错误!－α＝-sinαcos错误!+α＝sinα tan错误!－α＝cotαtan错误!+α＝-cotα sin－α＝－sinαcos－α=cosαtan－α=－tanα3．两角和与差的三角函数 cosα+β=cosαcosβ－sinαsinβ cosα－β=cosαcosβ＋sinαsinβ sin α+β=sinαcosβ＋cosαsinβ sin α－β=sinαcosβ－cosαsinβ tanα+β= 错误! tanα－β= 错误! 4．二倍角公式 sin2α=2sinαcosα cos2α=cos2α－sin2α＝2 cos2α－1＝1－2 sin2α tan2α=错误! 5．公式的变形 （1）升幂公式：1＋cos2α＝2cos2α1—cos2α＝2sin2α（2）降幂公式：cos2α＝错误! sin2α＝错误! （3）正切公式变形：tanα+tanβ＝tanα+β1－tanαtanβ tanα－tanβ＝tanα－β1＋tanαtanβ（4）万能公式用tanα表示其他三角函数值 sin2α＝错误! cos2α＝错误! tan2α＝错误! 6．插入辅助角公式 asinx＋bcosx=错误!sinx+φtanφ= 错误! 特殊地：sinx±cosx＝错误!sinx±错误! 7．熟悉形式的变形如何变形 1±sinx±cosx 1±sinx 1±cosx tanx＋cotx 若A、B是锐角,A+B＝错误!,则1＋tanA1+tanB=2
高一三角函数公式及诱导公式习题(附答案)
三角函数公式 1． 同角三角函数根本关系式 sin 2α＋cos 2α=1 sin α cos α =tan α tan αcot α=1 2． 诱导公式 (奇变偶不变，符号看象限) （一） sin(π－α)＝sin α sin(π+α)＝-sin α cos(π－α)＝-cos α cos(π+α)＝-cos α tan(π－α)＝-tan α tan(π+α)＝tan α sin(2π－α)＝-sin α sin(2π+α)＝sin α cos(2π－α)＝cos α cos(2π+α)＝cos α tan(2π－α)＝-tan α tan(2π+α)＝tan α 〔二〕 sin(π2 －α)＝cos α sin(π 2 +α)＝cos α cos(π2 －α)＝sin α cos(π 2 +α)＝- sin α tan(π2 －α)＝cot α tan(π 2 +α)＝-cot α sin(3π2 －α)＝-cos α sin(3π 2 +α)＝-cos α cos(3π2 －α)＝-sin α cos(3π 2 +α)＝sin α tan(3π2 －α)＝cot α tan(3π 2 +α)＝-cot α sin(－α)＝－sin α cos(－α)=cos α tan(－α)=－tan α 3． 两角和与差的三角函数 cos(α+β)=cos αcos β－sin αsin β cos(α－β)=cos αcos β＋sin αsin β sin (α+β)=sin αcos β＋cos αsin β sin (α－β)=sin αcos β－cos αsin β tan(α+β)= tan α+tan β 1－tan αtan β tan(α－β)= tan α－tan β 1＋tan αtan β 4． 二倍角公式 sin2α=2sin αcos α cos2α=cos 2α－sin 2α＝2 cos 2α－1＝1－2 sin 2α tan2α=2tan α 1－tan 2α