同角三角函数的基本关系与诱导公式(经典)
同角三角函数的基本关系与诱导公式
一、基础知识：
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：sin αcos α
＝tan α. （3）倒数关系：1cot tan =⋅αα
2．诱导公式
公式一：sin(α＋2k π)＝sin α，cos(α＋2k π)＝cos_α，απαtan )2tan(=+k
其中k ∈Z .
公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α.
公式四：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α.
公式五：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝sin α. 公式六：sin ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝cos_α，cos ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2＋α＝－sin_α. 诱导公式可概括为k ·π2
±α的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指π2
的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称变为相应的余名函数；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角．．．．时原．
函数值的符号作为结果的符号． 二、方法与要点
一个口诀
1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
2、四种方法
在求值与化简时，常用方法有：
(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝sin αcos α
化成正、余弦． (2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （ααcos sin +、ααcos sin -、ααcos sin 三个式子知一可求二）
(3)巧用“1”的变换：1＝sin 2θ＋cos 2θ＝cos 2θ(1＋tan 2θ)＝tan π4
＝…. （4）齐次式化切法：已知k =αtan ，则n
mk b ak n m b a n m b a ++=++=++ααααααtan tan cos sin cos sin 三、三个防范
(1)利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负——脱周——化锐． 特别注意函数名称和符号的确定．
(2)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
(3)注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
同角三角函数基本关系式及诱导公式
同角三角函数基本关系式及诱导公式、 两角和与差的正弦、余弦、正切 1． 同角三角函数的基本关系 (1)平方关系： . (2)商数关系：sin αcos α ＝ 2． 下列各角的终边与角α的终边的关系 终边 终边 关于y 轴 关于直线y ＝x 3. cos(α－β)＝ (C α－β) cos(α＋β)＝ (C α＋β) sin(α－β)＝ (S )
sin(α＋β)＝ (S α＋β) tan(α－β)＝ (T α－β) tan(α＋β)＝ (T α＋β) 5． 二倍角公式 sin 2α＝ ； cos 2α＝ ；tan 2α＝ . 6． 在准确熟练地记住公式的基础上，要灵活运用公式解决问题：如公式的正用、逆用和变形用等．如T α±β 可变形为tan α±tan β＝tan(α±β)(1?tan_αtan_β)＝1－tan α＋tan βtan (α＋β)＝tan α－tan βtan (α－β) －1. 7． 函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝ a 2＋ b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)， 其中φ可由a ，b 的值唯一确定． [难点正本 疑点清源] 1． 同角三角函数关系式 (1)利用平方关系解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围进行确定． (2)同角三角函数的基本关系反映了同一个角的不同三角函数之间的必然联系，它为三角函数的化简、求值、证明等又提供了一种重要的方法． 2． 诱导公式 诱导公式可概括为k ·π2 ±α(k ∈Z )的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指π2 的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 3．三角变换中的“三变” (1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等． (3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．
同角三角函数基本关系式、三角函数的诱导公式
一、知识概述 1、同角三角函数的基本关系式 同角三角函数基本关系可概括为平方关系，商数关系和倒数关系，如考虑sinα，cos α，tanα，cotα与secα，cscα六个函数，还可借助如下图表形象记忆： （1）对角线上两个函数的积为1（倒数关系） （2）任一顶点的函数等于与其相邻两个顶点的函数的积（商数关系） （3）阴影部分，顶角两个函数的平方和等于底角函数的平方（平方关系） 由此图可得出公式的变形形式或其他同角函数关系式． 平方关系：sin2α＋cos2α=1，sec2α=1＋tan2α，csc2α=1＋cot2α. 商数关系： 倒数关系：tanα·cotα=1，sinα·cscα=1，cosα·secα=1. 注：课本上只介绍了其中两个重要的关系式，事实上，掌握好其余的五个关系式能在有关解题中节省过程，带来方便. 2、三角函数的诱导公式 公式一：sin(α＋k·)=sinα cos(α＋k·)=cosα tan(α＋k·)=tanα 其中k∈Z． 公式二：sin(＋α)=－sinα cos(＋α)=－cosα tan(＋α)=tanα 公式三：sin(－α)=－sinα cos(－α)=cosα tan(－α)=－tanα 公式四：sin(－α)=sinα cos(－α)=－cosα tan(－α)=－tanα 总结：α＋k·2（k∈Z），－α，±α的三角函数，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号。 公式五：sin(－α)=cosα
cos(－α)=sinα 公式六：sin(＋α)=cosα cos(＋α)=－sinα 总结：±α的正弦（余弦）函数值，分别等于α的余弦（正弦）函数值，前面加上 一个把α看成锐角时原函数值的符号． 二、重、难点知识归纳及讲解 （一）利用诱导公式可以把任意角的三角函数转化为锐角三角函数，即： 例1、求值：. 分析：运用诱导公式，对于cot，可先求出sin，cos，然后由商数关系可求出cot. 解：原式
同角三角函数基本关系与诱导公式
1. 理解同角三角函数的基本关系式：sin 2x ＋cos 2 x ＝1，sin x cos x ＝tan x . 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式， 并能灵活运用． 一、同角三角函数的基本关系式 1．平方关系：sin 2α＋cos 2 α＝1(α∈R) 2．商数关系: tan α＝sin αcos α(α≠k π＋π 2，k ∈Z) 二、六组诱导公式 考纲要求 知识梳理
对于角“ k π 2 ±α”(k ∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是 说 k π 2 ±α，k ∈Z 的三角函数值等于“当k 为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k 为偶 数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．” 有人说sin(k π－α)＝sin(π－α)＝sin α(k ∈Z)，你认为正确吗？ 提示：不正确．当k ＝2n (n ∈Z)时，sin(k π－α)＝sin(2n π－α)＝sin(－α)＝－sin α；当k ＝2n ＋1(n ∈Z)时，sin(k π－α)＝sin[(2n ＋1)·π－α]＝sin(2n π＋π－α＝sin(π－α)＝sin α. 【考点一】 同角三角函数关系式的应用 ★1．（20099）若4 sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ= . 【答案】35 - 【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查. 由已知，θ在第三象限， ∴3cos 5θ===-，∴应填35-. ★★2.（20119）在ABC ?中。若b=5，4 π = ∠B ，tanA=2，则sinA=____________； a=_______________。 【答案】10 25 5 2 ★★★3．已知sin α－cos α＝1 2 ，则sin α·cos α＝________. 答案：8 3 典型例题 究疑点
第二节 同角三角函数的基本关系式及诱导公式(知识梳理)
第二节同角三角函数的基本关系式及诱导公式 复习目标 学法指导 1.同角三角函数的两个基本关系. 2.三角函数的诱导公式 (1)π+α与α的正弦、余弦、正切值的关系. (2)-α与α的正弦、余弦、正切值的关系. (3)π-α与α的正弦、余弦、正切值的关系. (4)π 2 ±α与α的正弦、余弦值的关系. 1.在高考中,常给出角α的一个三角函数值,求其他异名的三角函数值,解题的关键就是灵活地掌握同角三角函数的基本关系的正用、逆用及变形应用. 2.诱导公式的基本作用在于将任意角的三角函数转化为[0,π 2 ]内的三角函数,其解题思路是化负角为正角,化复杂角为简单角. 3.求值问题是三角公式的主要应用,求解时首先根据题目特点选择公式类型,再正确应用. 一、同角三角函数的基本关系式 1.平方关系
sin 2α+cos 2α=1. 2.商数关系 tan α=sin cos α α . 1.公式理解 (1)利用sin 2α+cos 2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用sin cos αα =tan α可以实现弦切互化. (2)只要是同一个角,基本关系式就成立,不要拘泥于角的形式,如 sin 22α+cos 22α=1,sin3cos3x x =tan 3x 都成立. 2.与公式应用相关的结论 (1)1的代换:1=sin 2α+cos 2α=cos 2α(1+tan 2α)=tan π4. (2)弦切互化法:弦切共存的代数式往往利用公式把切化为弦. (3)和积转换法:因为(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,所以对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子可以知一求二,但要注意角的范围. 二、诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 2k π+ α(k ∈Z) π+α -α π-α π 2 -α π2 +α 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α 口诀 函数名不变 函数名改变
2021届高考数学(理)考点复习：同角三角函数基本关系式及诱导公式(含解析)
2021届高考数学（理）考点复习 同角三角函数基本关系式及诱导公式 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1. (2)商数关系：sin α cos α＝tan α????α≠π2＋k π，k ∈Z . 2．三角函数的诱导公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π＋α(k ∈Z ) π＋α －α π－α π2－α π2＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α －cos α cos α －cos α sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α －tan α 口诀 函数名改变，符号看象限 函数名不变，符号看象限 概念方法微思考 1．使用平方关系求三角函数值时，怎样确定三角函数值的符号？ 提示 根据角所在象限确定三角函数值的符号． 2．诱导公式记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”中的奇、偶是何意义？ 提示 所有诱导公式均可看作k ·π 2±α(k ∈Z )和α的三角函数值之间的关系，口诀中的奇、偶指的是此 处的k 是奇数还是偶数． 1．（2018?全国）已知α为第二象限的角，且3 tan 4α=-，则sin cos (αα+= ) A ．75 - B ．34 - C ．15 - D ．15 【答案】C 【解析】sin 3 tan cos 4 ααα= =-，①，22sin cos 1αα+=，②， 又α为第二象限的角， sin 0α∴>，cos 0α<，
联立①②，解得3sin 5α=，4cos 5 α=-， 则1 sin cos 5 αα+=-． 故选C ． 2．（2019?新课标Ⅰ）tan 255(?= ) A ．23--B ．23-+C ．23D ．23 【答案】D 【解析】tan 255tan(18075)tan75tan(4530)?=?+?=?=?+? 231tan 45tan 3033 (33)1263 3 231tan 45tan 30333 11+ ?+? +++======+-?? --? 故选D ． 3．（2015?全国）sin 225(?= ) A ．2 B 2 C ．12 - D ． 12 【答案】A 【解析】2sin 225sin(18045)sin 45?=?+?=-?=． 故选A ． 4．（2015?福建）若5 sin 13α=-，则α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A ． 12 5 B ．125 - C ． 512 D ．512 - 【答案】D 【解析】5sin 13α=-，则α为第四象限角，212cos 1sin 13 αα-=， sin 5tan cos 12 ααα= =-． 故选D ． 5．（2017?上海）若1cos 3 α=，则sin()2π α-=__________． 【答案】1 3 - 【解析】 1 cos 3 α= ，
高一数学同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系式及诱导公式 一、基本知识： （1）同角三角函数的基本关系式：平方关系：sin 2α+cos 2α=1， 1tan sec 22=-αα， 1cot csc 22=-αα， 商式关系：sin α cos α =tan α， αα αcot sin cos =， 倒数关系：tan αcot α=1， α αcos 1sec = α αsin 1csc = （2）诱导公式：函数名称不变，符号看象限。 二、例题分析： 例1 化简 sin(2π-α)tan(π+α)cot(-α-π) cos(π-α)tan(3π-α) ． 解 原式= （-sin α）tan α［-cot(α+π) ］ (-cos α)tan(π-α)= (-sin α)tan α(-cot α) (-cos α)(-tan α) = sin α·cos α sin α cos α =1 ． 例2 若sin θcos θ= 18 ，θ∈(π4 ，π2 )，求cos θ－sin θ的值． 解 (cos θ－sin θ)2=cos 2θ+sin 2θ－2sin θcos θ=1－ 14 = 34 ． ∵θ∈(π4 ，π2 )，∴ cos θ＜sin θ． ∴cos θ－sin θ= － 32 ． 变式1 条件同例， 求cos θ+sin θ的值．
变式2 已知cos θ－sin θ= － 32 ， 求sin θcos θ，sin θ+cos θ的值． 例3 已知tan θ=3．求（1） α αααsin 3cos 5cos 2sin 4+-；（2）cos 2θ+sin θcos θ的值． 例4、证明：1+2sin αcos α cos 2α－sin 2α=1+ tan α 1－tan α
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式 一、基础知识 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1； (2)商数关系：tan α＝sin α cos α . 平方关系对任意角都成立，而商数关系中α≠k π＋π 2(k ∈Z)． 2．诱导公式 诱导公式可简记为：奇变偶不变，符号看象限.“奇”“偶”指的是“k ·π 2＋α(k ∈Z )”中 的k 是奇数还是偶数.“变”与“不变”是指函数的名称的变化，若k 是奇数，则正、余弦互变；若k 为偶数，则函数名称不变.“符号看象限”指的是在“k ·π 2＋α(k ∈Z )”中，将α看 成锐角时，“k ·π 2 ＋α(k ∈Z )”的终边所在的象限. 二、常用结论 同角三角函数的基本关系式的几种变形 (1)sin 2α＝1－cos 2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos 2α＝1－sin 2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (2)sin α＝tan αcos α????α≠π 2＋k π，k ∈Z .
考点一 三角函数的诱导公式 [典例] (1)已知f (α)＝cos ????π2＋αsin ??? ?3π2－αcos (－π－α)tan (π－α)，则f ????－25π 3的值为________． (2)已知cos ????π6－α＝23，则sin ? ???α－2π 3＝________. [解析] (1)因为f (α)＝cos ????π2＋αsin ??? ?3π 2－αcos (－π－α)tan (π－α) ＝ －sin α(－cos α) (－cos α)??? ?－sin αcos α＝cos α， 所以f ????－25π3＝cos ????－25π3＝cos π3＝1 2 . (2)sin ????α－2π3＝－sin ????2π3－α＝－sin ????π－????π3＋α＝－sin ????π3＋α＝－sin ??? ?π2－? ???π 6－α＝－cos ????π6－α＝－23 . [答案] (1)12 (2)－23 [题组训练] 1.已知tan α＝1 2，且α∈????π，3π2，则cos ????α－π2＝________. 解析：法一：cos ????α－π2＝sin α，由α∈????π，3π 2知α为第三象限角， 联立????? tan α＝sin αcos α＝12，sin 2α＋cos 2α＝1， 解得5sin 2α＝1，故sin α＝－5 5 . 法二：cos ????α－π2＝sin α，由α∈????π，3π2知α为第三象限角，由tan α＝1 2，可知点(－2，－1)为α终边上一点，由任意角的三角函数公式可得sin α＝－ 55 . 答案：－ 55 2. sin(－1 200°)·cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＋tan 945°＝________. 解析：原式＝sin(－3×360°－120°)cos(3×360°＋180°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°) sin(－3×360°＋30°)＋tan(2×360°＋180°＋45°)＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30°＋tan 45°＝34＋1 4＋1＝2. 答案：2
同角三角函数基本关系式与诱导公式知识点讲解+例题讲解(含解析)
同角三角函数基本关系式与诱导公式 一、知识梳理 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：sin α cos α＝tanα. 2.三角函数的诱导公式 总结： 1.同角三角函数关系式的常用变形 (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α. 2.诱导公式的记忆口诀 “奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍，变与不 变指函数名称的变化. 3.在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号. 二、例题精讲 + 随堂练习 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)sin(π＋α)＝－sin α成立的条件是α为锐角.() (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.() (3)若α∈R，则tan α＝sin α cos α恒成立.()
(4)若sin(k π－α)＝13(k ∈Z )，则sin α＝1 3.( ) 解析 (1)中对于任意α∈R ，恒有sin(π＋α)＝－sin α. (3)中当α的终边落在y 轴，商数关系不成立. (4)当k 为奇数时，sin α＝1 3， 当k 为偶数时，sin α＝－1 3. 答案 (1)× (2)√ (3)× (4)× 2.已知tan α＝－3，则cos 2α－sin 2α＝( ) A.45 B.－45 C.35 D.－35 解析 由同角三角函数关系得 cos 2 α－sin 2 α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α＝1－91＋9 ＝－4 5. 答案 B 3.已知α为锐角，且sin α＝4 5，则cos (π＋α)＝( ) A.－35 B.35 C.－45 D.45 解析 因为α为锐角，所以cos α＝1－sin 2α＝3 5， 故cos(π＋α)＝－cos α＝－3 5. 答案 A 4.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝4 3 ，则sin 2α＝( ) A.－79 B.－29 C.29 D.79 解析 ∵(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1－sin 2α， ∴sin 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫ 432 ＝－79. 答案 A
同角三角函数的基本关系式及诱导公式
同角三角函数的基本关系式及诱导公式 1.同角三角函数基本关系式 平方关系:sin 2α+cos 2α=1; 商数关系:tanα= 2.α相关角的表示 (1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α; (2)终边与角α的终边关于x 轴对称的角可以表示为-α(或2π-α); (3)终边与角α的终边关于y 轴对称的角可以表示为π-α; (4)终边与角α的终边关于直线y=x 对称的角可以表示为 -α. 3.诱导公式 (1)公式一 sin(α+k ·2π)=sinα ,cos(α+k ·2π)=cosα, tan(α+k ·2π)=tanα,其中k ∈Z. (2)公式二 sin(π+α)=-sinα ,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα. (3)公式三 sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα. (4)公式四 sin(π-α)=sinα ,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα. (5)公式五 (6)公式六 即α+k ·2π(k ∈Z),-α,π±α的三角函数值,等于α的同名函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号; ±α的正弦(余弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号. 总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇､偶”是指“k · ±α(k ∈Z)”中k 的奇偶性;“符号”是把任意角α看作锐角时原函数值的符号 1.cos300°=( ) 解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60° 4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( ) A.第二象限 B.第一象限 C.第四象限 D.第三象限 解析:∵2008°=6×360°-152°,∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0,cos2008°=cos152°<0,∴点P 在第四象限. .sin cos αα,.22sin cos cos sin αππααα⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,.22sin cos cos sin αααππα⎛⎫⎛⎫+=+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2π()4,543..3432.sin ,ta 4..43n A B C D ααα-±=±若且是第二象限角则 的值等于:,cos t 3,5454.5n 3a 3sin cos αα ααα ==-⎛⎫==-∴==- ⎪⎝⎭∴解析为第二象限角()1,33611..33..333.sin cos A B C D ααππ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--已知则的值为,6236231.33:cos cos sin πππαπππααααπ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭+∴解析
同角三角函数的基本关系诱导公式
二、同角三角函数的基本关系及引诱公式 1 ．理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x+cos 2 x=1, sinx tanx. cosx 2 ．能利用单位圆中的三角函数线推导出 ， 的正弦、余弦、正切的引诱公式. 2 本知识点在高考中一般不单独命题，但它是三角函数的基础，常以引诱公式作为基础内容，综合同角 关系式及三角恒等变换进行观察，解题时要熟练灵便运用公式及变形进行求解与化简. 1．同角三角函数的基本关系 （1）平方关系：sin 2α＋cos 2α＝1． （2）商数关系： sin ＝tan α． cos 2．三角函数的引诱公式 公式 一 二 三 四 五 六 角 2k π+α π+α -α -α +α π-α （k ∈Z ） 2 2 正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α 余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α -tan α 口诀 函数名改变， 函数名不变，符号看象限 符号看象限
3．必记结论——特别角的三角函数值 角 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150°180° 角的 0 π ππ π 2π3π5π π 弧度数 6 4 3 2 3 4 6 sin 0 1 2 3 1 3 2 1 0 2 2 2 2 2 2 cos 1 3 2 1 0 1 2 3 1 2 2 2 2 2 2 tan 3 1 3 — 3 1 3 0 3 3 已知 是第二象限角，sin 5 ，则cos 13 5 12 5 D ． 12 A ． B ． C ． 13 13 13 13 【答案】B 【解析】因为 是第二象限角，由sin 2 +cos 2 =1，得cos 1sin 2 1(5)2 12．故 13 13 选B ． 【考点定位】同角三角函数的基本关系 【名师点睛】 1.利用 sin 2 +cos 2 可以实现角 的正弦、余弦的互化，利用 sin =tan 可以实现 =1， cos 角的弦切互化． 2.注意公式逆用及变形应用： 1＝sin 2α＋cos 2α，sin 2α＝1－cos 2α，cos 2α＝1－sin 2α. 已知sin( )cos( 4 ) 1 ，求cos( )的值. cos 2 2 【答案】 1 2 【解析】由 sin( )cos( 4 ) 1 ，得 sincos 1 ，即sin 1 ， cos 1 2 cos 2 2 ∴cos( ) sin . 2 2 【考点定位】引诱公式 【名师点睛】（1）利用引诱公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其
高考数学同角三角函数的基本关系与诱导公式
2019高考数学同角三角函数的基本关系与 诱导公式 2019高考各科复习资料 2019年高三开学已经有一段时间了，高三的同学们是不是已经投入了紧张的高考一轮复习中，数学网高考频道从高三开学季开始为大家系列准备了2019年高考复习，2019年高考一轮复习，2019年高考二轮复习，2019年高考三轮复习都将持续系统的为大家推出。 1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x+cos2x=1，=tan x. 2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 1.同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α+cos2α=1. (2)商数关系：tan α=. 2.三角函数的诱导公式 公式一：sin(α+2kπ)=sin α，cos(α+2kπ)=cos_α，tan(α+2kπ)=tan α，其中k∈Z. 公式二：sin(π+α)=-sin_α，cos(π+α)=-cos_α，tan(π+α)=tan α.公式三：sin(-α)=-sin_α，cos(-α)=cos_α，tan(-α)=-tan α. 我国古代的读书人，从上学之日起，就日诵不辍，一般在几年内就能识记几千个汉字，熟记几百篇文章，写出的诗文也是字斟句酌，琅琅上口，成为满腹经纶的文人。为什么在现
代化教学的今天，我们念了十几年书的高中毕业生甚至大学生，竟提起作文就头疼，写不出像样的文章呢?吕叔湘先生早在1978年就尖锐地提出:“中小学语文教学效果差，中学语文毕业生语文水平低，……十几年上课总时数是9160课时，语文是2749课时，恰好是30%，十年的时间，二千七百多课时，用来学本国语文，却是大多数不过关，岂非咄咄怪事!”寻根究底，其主要原因就是腹中无物。特别是写议论文，初中水平以上的学生都知道议论文的“三要素”是论点、论据、论证，也通晓议论文的基本结构:提出问题――分析问题――解决问题，但真正动起笔来就犯难了。知道“是这样”，就是讲不出“为什么”。根本原因还是无“米”下“锅”。于是便翻开作文集锦之类的书大段抄起来，抄人家的名言警句，抄人家的事例，不参考作文书就很难写出像样的文章。所以，词汇贫乏、内容空洞、千篇一律便成了中学生作文的通病。要解决这个问题，不能单在布局谋篇等写作技方面下功夫，必须认识到“死记硬背”的重要性，让学生积累足够的“米”。 公式四：sin(π-α)=sin α，cos(π-α)=-cos_α，tan(π-α)=-tan α.公式五：sin=cos_α，cos=sin α. 宋以后，京师所设小学馆和武学堂中的教师称谓皆称之为“教谕”。至元明清之县学一律循之不变。明朝入选翰林院的进士之师称“教习”。到清末，学堂兴起，各科教师仍沿用“教习”一称。其实“教谕”在明清时还有学官一意，即主管县一级的
同角三角函数的基本关系及诱导公式
同角三角函数的基本关系及诱导公式 一、知识要点 1．同角公式： (1) 平方关系：22sin cos a a += ，(2) 商数关系：tan α＝ ， 2．诱导公式： 3．同角三角函数的关系式的基本用途： 根据一个角的某一个三角函数值，求出该角的其他三角函数值；化简同角三角函数式；证明同角的三角恒等式． 4．诱导公式的作用： 诱导公式可以将求任意角的三角函数值转化为0°~90º角的三角函数值． 二、基础训练题 1. 已知,25 24 cos ),0,2 (= - ∈x x π 则tan x 等于 ( ) A ． 24 7 B ．7 24 C ．－7 24 D ．－ 24 7 2. 化简︒-1180 sin 12的结果是 ( ) A ．cos100° B ．cos80° C ．sin80° D ．cos10° 3. tan 600°的值是 ( ) A ．－ 3 3 B ． 3 3 C ．－ 3 D ． 3 4. 若△ABC 的内角A 满足1 sin 2 A =，则sinA ＋cosA ＝ 三、例题精选 例1、化简：α α αααααcos 1sin )tan (sin )sin (cos tan +⋅++- 例2、 已知53)7cos(,2- =-<<παπαπ，求)2 cos(απ +的值．
例题3 已知 11tan tan -=-αα ，求下列各式的值： （1）ααααcos sin cos 3sin +-；（2）2cos sin sin 2 ++ααα。 四、巩固训练题 5. o sin480的值是 ( ) A ．21- B.23- C.21 D.23 6. 已知2tan =θ，则=-----+) sin()2 sin() cos()2sin(θπθπ θπθπ （ ） (A)2 (B)－2 (C)0 (D)3 2 7. 已知A ＝ )(cos ) cos(sin )sin(Z k k k ∈+++α απααπ则 A 构成的集合是 ( ) A ．{－1, 1, －2, 2} B ．{1, －1} C ．{2, －2} D ．{－2, －1, 0，1, 2} 8. 如果A 为锐角，2 1 )sin(-=+A π，那么=-)cos(A π A 、21- B 、21 C 、23- D 、2 3 9. 0tan 420=_________;=π3 11 cos ___________; 10. 若α是三角形的一个内角,53 cos =α,则； ______tan _______;sin ==αα 11. 已知αsin 和αcos 是方程052=+-m x x 的两实根，求：（1）m 的值；（2）当) ,0(πα∈时，求)3tan( απ-的值； 五、小结
三角函数基本关系式与诱导公式
三角函数基本关系式与诱导公式 一、知识导学 1．同角三角函数的基本关系式 平方关系：1cos sin 22=+αα；商数关系：α α αcos sin tan = ；倒数关系：1cot tan =⋅αα 同角三角函数的基本关系式可用图表示 （1）三个阴影部分三角形上底边平方和等于1的平方； （2）对角为倒数关系； （3）每个三角函数为相邻两函数的积. 诱导公式可将“负角正化，大角小化，钝角锐化”. 3．诱导公式解决常见题型 （1）求值：已知一个角的某个三角函数，求这个角其他三角函数； （2）化简：要求是能求值则求值，次数、种类尽量少，尽量化去根式，尽可能不含分母. 二、疑难知识 1．三角变换的常见技巧 “1”的代换；ααcos sin +，ααcos sin -，ααcos sin ⋅三个式子，据方程思想 知一可求其二（因为其间隐含着平方关系式1cos sin 2 2 =+αα）； 2．在进行三角函数化简和三角等式证明时，细心观察题目的特征，灵活恰当地选用公式，一般思路是将切割化弦.尽量化同名，同次，同角； 3．已知角α的某个三角函数值，求角α的其余5种三角函数值时，要注意公式的合理选择.在利用同角公式中的平方关系并要开方时，要根据角的范围来确定符号，常要对角的范围进行讨论.解决此类问题时，要细心求证角的范围.
4．三角函数值的符号：各三角函数值在第个象限的符号如图所示（各象限注明的函数为正，其余为负值） 可以简记为“一全、二正、三切、四余”为正. 例 若角α满足条件0sin cos ,02sin <-<ααα，则α在第（ ）象限 A.一 B.二 C.三 D.四 【知识梳理】 1.公式(一) =∙+)sin(πα2k =∙+)cos(πα2k =∙+)tan(πα2k 2．公式（二）: ()=-α0180sin ()=-α0180cos () =-α0180tan 3.公式(三) ( )=+α0180sin ()=+α0180cos () =+α0180tan 4.公式(四) =-）αsin( =-）αcos( =-）αtan( 【典型例题】 例1．下列三角函数值： （1）cos210º； (2)sin 4 5π 例2．求下列各式的值： （1）sin(－3 4π )； (2)cos(－60º)－sin(－210º) 例3．化简 ) 180sin()180cos() 1080cos()1440sin(︒--⋅-︒-︒-⋅+︒αααα
三角函数诱导公式及经典记忆方法
三角函数诱导公式及记忆方法 一、同角三角函数的基本关系式 （一）基本关系 1、倒数关系 tanα ·cotα=1 sinα ·cscα=1 cosα ·secα=1 2、商的关系 sinα/cosα=tanαsecα/cscα=tanα cosα/sinα=cotαcscα/secα=cotα 3、平方关系 sin2α+cos2α=1 1+tan2α=sec2α 1+cot2α=csc2α （二）同角三角函数关系六角形记忆法 构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。 1、倒数关系 对角线上两个函数互为倒数； 2、商数关系 六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。 （主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积，下面4个也存在这种关系。）。由此，可得商数关系式。 3、平方关系 在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。 二、诱导公式的本质 所谓三角函数诱导公式，就是将角n·(π/2)±α的三角函数转化为角α的三角函数。 （一）常用的诱导公式 1、公式一：设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等： sin（2kπ+α）=sinα，k∈z cos（2kπ+α）=cosα，k∈z tan（2kπ+α）=tanα，k∈z cot（2kπ+α）=cotα，k∈z sec（2kπ+α）=secα，k∈z csc（2kπ+α）=cscα，k∈z 2、公式二：α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系： sin（π+α）=－sinα cos（π+α）=－cosα tan（π+α）= tanα cot（π+α）= cotα sec (π+α) =—secα csc (π+α) =—cscα 3、公式三：任意角α与 -α的三角函数值之间的关系： sin（－α）=－sinα cos（－α）= cosα tan（－α）=－tanα cot（－α）=－cotα sec (—α) = secα csc (—α) =—cscα 4、公式四：利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系： sin（π－α）= sinα cos（π－α）=－cosα tan（π－α）=－tanα cot（π－α）=－cotα sec (π—α) =—secα csc (π—α) = cscα
同角三角函数的基本关系与诱导公式
6、 2、 A 、 3、 4、 5、 ［课本改编］已知 是第二象限角，sin 12 13 5 13 ［2013 •广东高考］已知sin 下列各数中与 1 2 sin 2011 、2 [2015 [2015 12 13 -桂林检测］cos 5 n ~2 + a 5 … a = 13，贝U cos a=( 5 、13 的值最接近的是（ 1 2 20 n 〒=( -衡水模拟］已知△ ABC 中, 5 13 7t 已知 sin( a +12) COS a 等于（ 5 tanA = —12，贝U cosA =( 5 13 + £ n ）的值为（ ） 12 13 12 13 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 I 、知识点梳理 一、同角三角函数的基本关系式 1.平方关系： 2 •商数关系: 、六组诱导公式 K II 、教材回归
7 、已知cosA + sinA = —13, A 为第四象限角，贝U tan a 等于( ) 8、(2 3 4。。9 •陕西)若tan a= 2则；驚二囂：的值为() III 、基本例题 一、同角三角函数基本关系式的应用 3 例 1(1)［2015 •杭州模拟］已知 cos( n + x) = 5, x € ( n, 2n )，贝U tanx = _______ 、利用诱导公式化简求值 例2(1)［2015 •哈师大附中模拟］设tan( n+ a ) = 2,则也 ---------- ) ------------ ) 等于 sin( ) cos( ) 1 A 3 B 、3 C 、1 D 、— 1 ,. n 2 2 n (2)已知 cos — — a = 3,贝U sin a —-^ = ___________ . ［奇思妙想］在本例⑵ 的条件下，求cos 5亍+ a • sin a +扌 的值. 三、诱导公式在三角形中的应用 2A + B 2C 例 3(1)［2014 •长沙月考］(1)在厶ABC 中，求证：cos —2 + cos?= 1. 2 2 -保定模拟］已知 tan 0 = 2,贝U sin 0 + sin 0 cos 0 — 2cos 0 等于( 4 ⑵ 已知在△ ABC 中, sin A + cosA = 5. 5 12 ~5 5 12 12 "5 sin 9、 ［课本改编］ 已知tan 0 n ~2 + 0 — cos n — 0 =2,则—— ---------------------- sin — — 0 — sin n — 0 ⑵ ［2015
同角三角函数基本关系式以及诱导公式
第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式[考纲] 1．理解同角三角函数的基本关系式：sin 2α＋cos 2α＝1，sin α cos α＝tan α. 2．能利用单位圆中的三角函数线推导出π 2±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式. 知识梳理 1．同角三角函数的基本关系(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1. (2)商数关系：sin α cos α＝tan α. 2．三角函数的诱导公式 一二三四五六 角2kπ＋α (k∈Z) π＋α－απ－α π 2－α π 2＋α 正弦sin α－sinα－sinαsinαcosαcosα 余弦cos α－cosαcosα－cosαsinα－sinα 正切tan αtanα－tanα－tanα 口诀函数名不变，符号看象限函数名改变，符号看象限 3.特殊角的三角函数值 角α0°30°45°60°90°120°150°180° 角α的弧度 数0 π 6 π 4 π 3 π 2 2π 3 5π 6π sin α01 2 2 2 3 2 1 3 2 1 20 cos α1 3 2 2 2 1 20－ 1 2－ 3 2 －1 tan α0 3 3 13－3－ 3 3
辨 析 感 悟 1．对三角函数关系式的理解 (1)若α，β为锐角，sin 2 α＋cos 2β＝1. ( ) (2)若α∈R ，则tan α＝sin α cos α恒成立． ( ) (3)(教材练习改编)已知sin α＝45，α∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤ π2，π，则cos α＝35.( ) 2．对诱导公式的认识 (4)六组诱导公式中的角α可以是任意角． ( ) (5)诱导公式的记忆口诀中“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指π 2的奇数倍和偶数倍， 变与不变指函数名称的变化． ( ) (6)角π＋α和α终边关于y 轴对称．( ) 3．诱导公式的应用 (7)若cos(n π－θ)＝13(n ∈Z )，则cos θ＝1 3. ( ) (8)(2013·广东卷改编)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2＋α＝1 5，则cos α＝－15.( ) [感悟·提升] 1．一点提醒 平方关系和商数关系式中的角都是同一个角，且商数关系式中α≠π 2＋k π，k ∈Z ，如(1)、(2)． 2．两个防范 一是利用平方关系式解决问题时，要注意开方运算结果的符号，需要根据角α的范围确定，如(3)；二是利用诱导公式化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负—脱周—化锐，特别注意函数名称和符号的确定． 考点一 同角三角函数基本关系式的应用
同角三角函数的基本关系与诱导公式
同角三角函数的基本关系与诱导公式 主要知识： 1．同角三角函数的基本关系式： （ 1）倒数关系： tan α·cot α＝ 1； （ 2）商数关系： tan α＝ sin ， cot α＝ cos ； cos sin （3）平方关系： sin 2α＋ cos 2 α＝ 1． 2．诱导公式 奇变偶不变，符号看象限 α +2 k π（ k ∈ Z ）、－ α、π± α、 2π－ α 的三角函数值，等于 α的同名函数值，前面加上一个把 α看成锐角时原函数值的符号． ●点击双基 1． sin 600o tan 240o = ． 2．设 cos α=t ，则 tan （π－ α ） = ． 3．计算 sin 7 πcos(－ 23 π)＋ tan(－ 11 π)cos 13 π＝ ． 3 6 4 3 4．已知 是第二象限的角， tan 1 ． ，则 cos 2 5．已知 cos31o m, 则 sin 239o tan149 o = ． 6．已知 为钝角， sin 1 ． ，则 tan 3 π π 7． sin( α－ 4 ) ＋ cos( α＋ 4)= ． 8. 已知 cos( ) 3 , 且 ，则 tan ． 2 2 2 例题分析： 题型一：直接应用，知一求二 例1． 已知 sin 5 ，求 cos , tan ． 13 第 1页共6页
例 2．已知tan m,( m 0) ，求 cos,sin 题型二： sin cos与sin cos的相互转化 1π π 例 3．若 sinθcosθ＝，θ∈ ( ， )，求 cosθ－ sinθ的值． 8 4 2 变式 1 ：条件同例，求cosθ＋sinθ的值． 变式 2 ：已知 cosθ－ sinθ＝－3 ，求 sinθcosθ，sin θ＋ cosθ的值．2 例 4．已知 sinθ－cosθ＝1 2，求： （1） sinθcosθ；（ 2） sin3θ－ cos3θ；（3） sin4θ＋ cos4θ. 第2页共6页
同角三角函数与诱导公式
同角三角函数与诱导公式 同角三角函数是指角度相等的两个三角函数值相等的关系。在三角函数中，正弦函数、余弦函数和正切函数都存在同角关系。 首先，我们来看正弦函数和余弦函数的同角关系。在一个单位圆上，取一个角度θ，将其对应的弧长作为一个新的线段，分别与x轴、y轴相交。这样就得到一个角度为θ的直角三角形。我们定义这个三角形上的三个边与θ的函数关系，分别为sinθ和cosθ，分别表示θ的对边和邻边的比值。 根据三角函数的定义，我们可以得到如下的同角关系： sinθ = y / r cosθ = x / r 其中，x表示邻边的长度，y表示对边的长度，r表示斜边即半径的长度。 接下来，我们来看正切函数的同角关系。正切函数tanθ定义为对边与邻边的比值，即： tanθ = y / x 正弦函数和余弦函数之间的同角关系可以通过勾股定理推导得出。根据勾股定理，我们有： r^2=x^2+y^2 将x和y用sinθ和cosθ表示，我们有： r^2 = (r * cosθ)^2 + (r * sinθ)^2
整理得： 1 = cos^2θ + sin^2θ 因此，我们有著名的三角恒等式： sin^2θ + cos^2θ = 1 接下来，我们来看一下诱导公式，它是指由一个三角函数的导出另一个三角函数的关系。我们知道，正弦函数和余弦函数是同角的，因此它们之间存在一种导数的关系。 根据导数的定义，我们有： (sinθ)' = lim(Δθ->0) (sin(θ + Δθ) - sinθ) / Δθ 将sin(θ + Δθ)写成两个三角函数的和，有： sin(θ + Δθ) = sinθ cosΔθ + cosθ sinΔθ 代入上式，我们得到： (sinθ)' = lim(Δθ->0) (sinθ cosΔθ + cosθ sinΔθ - sinθ) / Δθ 整理得： (sinθ)' = lim(Δθ->0) sinθ (cosΔθ - 1) / Δθ + lim(Δθ->0) cosθ sinΔθ / Δθ 根据求极限的定义，我们得到： (sinθ)' = cosθ 这就是诱导公式，它表明sinθ的导数等于cosθ。