八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解141整式的乘法1414整式的乘法14145整式的除法课时作业新版新人
第5课时整式的除法
知识要点基础练
知识点1单项式除以单项式
1.6a5b3c÷M=3a5b,则M=2b2c .
【变式拓展】小亮与小明在做游戏,两人各报一个整式,小明报的被除式是x3y-2xy2,商式必须是2xy,则小亮报的一个除式是x2-y .
2.计算6m6÷(-2m2)3的结果为- .
3.计算:
(1)4a3b2÷2ab;
解:原式=2a2b.
(2)12x5y3z÷3x4y;
解:原式=4xy2z.
(3)(6.8×108)÷(-3.4×105).
解:原式=-2×103.
知识点2多项式除以单项式
4.计算(12x3-8x2+16x)÷(-4x)的结果是(A)
A.-3x2+2x-4
B.-3x2-2x+4
C.-3x2+2x+4
D.3x2-2x+4
5.若多项式M与单项式-的乘积为-4a3b3+3a2b2-,则M=(D)
A.-8a2b+6ab-1
B.2a2b2-ab+
C.-2a2b2+ab+
D.8a2b2-6ab+1
6.计算:
(1)(4x2y-8x3y2)÷(4x2y);
解:原式=1-2xy.
(2)(5x2y3-4x3y2+6x)÷6x;
解:原式=xy3-x2y2+1.
(3)(2a2b-4ab2+6b3)÷.
解:原式=-4a2+8ab-12b2.
2022年人教版八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解教案 整式的乘法(第3课时)
第十四章整式的乘法与因式分解 14.1.4 整式的乘法 第3课时 一、教学目标 【知识与技能】 1.探究同底数幂除法的性质和单项式除以单项式、多项式除以单项式的法则，并会应用法则计算. 2.会进行单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算，理解整式除法运算的原理. 【过程与方法】 1.经历探究整式的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条件的表达能力. 2.体会知识间逻辑关系、类比探究在研究除法问题时的价值，体会转化思想在整式除法中的作用. 【情感、态度与价值观】 感受数学法则、公式的简洁美、和谐美. 二、课型 新授课 三、课时 第3课时
四、教学重难点 【教学重点】 应用整式除法法则进行计算. 【教学难点】 根据乘、除互逆的运算关系得出同底数幂的除法运算法则. 五、课前准备 教师:课件、直尺、计算器等。 学生:练习本、钢笔或圆珠笔。 六、教学过程 （一）导入新课 木星的质量约是1.9×1024吨，地球的质量约是5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗?（出示课件2） 木星的质量约为地球质量的(1.90×1024)÷(5.98×1021)倍. 想一想:上面的式子该如何计算? （二）探索新知 1.师生互动，探究同底数幂的除法法则 教师问1:请完成下面的题目:(出示课件4) (1)25×23；(2)x6×x4；(3)2m×2n.
学生回答:（1）28；（2）x10；（3）2m+n. 教师问2:本题是直接利用什么乘法法则计算的？ 学生回答:同底数幂的乘法法则:底数不变，指数相加. 教师问3:思考下面的题该如何计算？ (1)( )( )×23=28 (2)x6·( )( )=x10 (3)( )( )×2n=2m+n 学生回答:可以把乘法法则反过来利用. 教师问4:反过来就我们今天要学的同底数幂的除法，能不能先试着写成除法形式？ 学生讨论后解答:（1）28÷23=？；（2）x10÷x6=？；（3）2m+n÷2n=？ 教师问5:你是如何计算的呢？ 学生回答:本题逆向利用同底数幂的乘法法则计算. 教师问6:能不能试着完成下列各题: 计算:(1)28÷23；(2)x10÷x6；(3)2 m+n÷2n 学生回答: (1) 28÷23=25； (2) x10÷x6=x4； (3) 2 m+n÷2n =2m 教师问7:观察下面的等式，你能发现什么规律？（出示课件5） (1)28÷23=25=28-3；(2) x10÷x6=x4=x10-6； (3) 2 m+n÷2n =2m =2m-n 学生回答:底数不变，指数相减.
人教版数学八年级上册暑假预习 第十四章《整式的乘法与因式分解》知识梳理附全章节练习题(图片版)
暑假预习人教版数学八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》知识梳理知识结构图： 一、整式的有关概念 1．整式 整式是单项式与多项式的统称． 2．单项式 单项式是指由数字或字母的乘积组成的式子；单项式中的数字因数叫做单项式的系数；单项式中所有字母指数的和叫做单项式的次数．3．多项式 几个单项式的和叫做多项式；多项式中，每一个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项；多项式中次数最高项的次数就是这个多项式的次数． 二、整数指数幂的运算
1、同底数幂乘法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 2、同底数幂除法：同底数幂相除，底数不变，指数相减。 3、幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘。 4、积的乘方：积的乘方等于各因式乘方的积。 注：（1）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于1； （2）任何一个不等于零的数的-p（p为正整数）指数幂， 等于这个数的p指数幂的倒数。 （3）科学记数法：或 绝对值小于1的数可记成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个有效数字前面的零的个数（包括小数点前面的一个零）。 三、同类项与合并同类项 1．所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项． 2．把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变．四、求代数式的值
1．一般地，用数值代替代数式里的字母，按照代数式指明的运算关系计算出的结果就叫做代数式的值． 2．求代数式的值的基本步骤： (1)代入：一般情况下，先对代数式进行化简，再将数值代入； (2)计算：按代数式指明的运算关系计算出结果． 五、整式的运算 1．整式的加减 (1)整式的加减实质就是合并同类项； (2)整式加减的步骤：有括号，先去括号；有同类项，再合并同类项．注意去括号时，如果括号前面是负号，括号里各项的符号要变号．2．整式的乘除 (1)整式的乘法 ①单项式与单项式相乘：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ②单项式与多项式相乘：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc． ③多项式与多项式相乘：(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb． (2)整式的除法 ①单项式除以单项式：把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于
人教版八年级上册数学 14章小结与复习第十四章整式的乘法与因式分解教案
第十四章整式的乘法与因式分解 14.1.1 同底数幂的乘法 教学目的： 1、能归纳同底数幂的乘法法则，并正确理解其意义； 2、会运用同底数幂的乘法公式进行计算，对公式中字母所表示“数”的各种可能情形应有充分的认识，并能与加减运算加以区分；了解公式的逆向运用； 教学重点：同底数幂的乘法法则 难点：底数的不同情形，尤其是底数为多项式时的变号过程 一、创设情境，激发求知欲 课本第页的引例 二、复习提问 1．乘方的意义：求n个相同因数a的积的运算叫乘方 2.指出下列各式的底数与指数： (1)34；(2)a3；(3)(a+b)2；(4)(-2)3；(5)-23． 其中，(-2)3与-23的含义是否相同？结果是否相等？(-2)4与-24呢？三、讲授新课 1．（课本页问题）利用乘方概念计算：1014×103． 2、计算观察，探索规律：完成课本第141页的“探索”，学生“概括” a m×a n=…=a m+n； 3、观察上式，找出其中包含的特征：左边的底数相同，进行乘法运算； 右边的底数与左边相同，指数 相加 4、归纳法则：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加。 三、实践应用，巩固创新 例1、计算： (1)x2·x5 (2)a·a6 (3) 2×24×23 (4) x m·x3m + 1
练习： 1．课本第页：(学生板演过程，写出中间步骤以体现应用法则）2．随堂巩固：下面计算否正确？若不正确请加以纠正。 ①a6·a6＝2a6②a2+a4＝a6③ a2·a4 =a8 例2、计算： 要点指导：底数中负号的处理；能化为同底数幂的数字底数的处理；多项式底数及符号的处理。 例3、（1）填空：⑴若x m+n×x m-n=x9；则m= ； ⑵2m=16，2n=8，则2m+n = 。 四、归纳小结，布置作业 小结：1、同底数幂相乘的法则； 2、法则适用于三个以上的同底数幂相乘的情形； 3、相同的底数可以是单项式，也可以是多项式； 4、要注意与加减运算的区别。 教学反思
最新人教版八年级数学上册第14章《整式的乘除与因式分解》全章教案及含反思
第十四章整式的乘法与因式分解 14．1整式的乘法 14．1.1同底数幂的乘法 1．理解同底数幂的乘法法则． 2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题． 重点 正确理解同底数幂的乘法法则． 难点 正确理解和应用同底数幂的乘法法则． 一、提出问题，创设情境 复习a n的意义： a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数． (出示投影片) 提出问题： (出示投影片) 问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？ [生]运算次数＝运算速度×工作时间， 所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103. [师]1015×103如何计算呢？ [生]根据乘方的意义可知 1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018. [师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法． 二、探究新知 1．做一做 (出示投影片) 计算下列各式： (1)25×22； (2)a3·a2； (3)5m·5n.(m，n都是正整数) 你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述． [师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题． [生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2)
＝27＝25＋2. 因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得 a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2. 5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5m＋n. [生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？ (1)这三个式子都是底数相同的幂相乘； (2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和． 2．议一议 (出示投影片) [师生共析] a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得： a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m＋n)个a＝a m＋n 于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为： “同底数幂相乘，底数不变，指数相加”． [师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．
初二数学八上第十四章整式乘法与因式分解知识点总结温习和常考题型练习
第十四章 整式的乘除与分解因式 一、知识框架: 二、知识概念： 1.大体运算： ⑴同底数幂的乘法：m n m n a a a +⨯= ⑵幂的乘方：()n m mn a a = ⑶积的乘方： ()n n n ab a b = 2.整式的乘法： ⑴单项式⨯单项式：系数⨯系数，同字母⨯同字母，不同字母为积的因式. ⑵单项式⨯多项式：用单项式乘以多项式的每一个项后相加. ⑶多项式⨯多项式：用一个多项式每一个项乘以另一个多项式每一个项后相加. 3.计算公式： ⑴平方差公式：()()22 a b a b a b -⨯+=- ⑵完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；()2 222a b a ab b -=-+ 4.整式的除法： ⑴同底数幂的除法：m n m n a a a -÷= ⑵单项式÷单项式：系数÷系数，同字母÷同字母，不同字母作为商的因式. ⑶多项式÷单项式：用多项式每一个项除以单项式后相加. ⑷多项式÷多项式：用竖式. 5.因式分解：把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把这个式子因式分解. 6.因式分解方式： ⑴提公因式法：找出最大公因式. ⑵公式法： ①平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ②完全平方公式：()2222a ab b a b ±+=± ③立方和： 3322()()a b a b a ab b +=+-+ ④立方差：3322 ()()a b a b a ab b -=-++ ⑶十字相乘法：()()()2x p q x pq x p x q +++=++ ⑷拆项法 ⑸添项法
常考例题精选 1.(2021·襄阳中考)下列运算正确的是( ) A.4a-a=3 ·a2=a3 C.(-a3)2=a5÷a2=a3 2.(2021·烟台中考)下列运算中正确的是( ) A.3a+2a=5a2 B.(-3a3)2=9a6÷a2=a3 D.(a+2)2=a2+4 3.(2021·遵义中考)计算(−1 2ab2) 3 的结果是( ) 3 23 2 5 1 8 1 8 4.(2021·沈阳中考)下面的计算必然正确的是( ) +b3=2b6 B.(-3pq)2=-9p2q2 ·3y5=15y8÷b3=b3 5.(2021·凉山州中考)下列各式正确的是( ) =(−a)2=(−a)3 =|−a2|=|a3| 6.(2021·长春中考)计算：7a2·5a3= . 7.(2021·广州中考)分解因式：x2+xy= . 8.(2021·东营中考)分解因式2a2-8b2= .
第14章 《整式的乘法与因式分解》知识点及考点典例
第十四章 《整式的乘法与因式分解》知识点及考点典例 重点知识回顾： 一、整式的乘法： ),(都是正整数n m a a a n m n m +=• ),(都是正整数）（n m a a mn n m = )()(都是正整数n b a ab n n n = 2 2))((b a b a b a -=-+ 2222)(b ab a b a ++=+ 2222)(b ab a b a +-=- 注意：（1）单项式乘单项式的结果仍然是单项式。 （2）单项式与多项式相乘，结果是一个_______，其项数与因式中多项式的项数______。 （3）计算时要注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号。 （4）多项式与多项式相乘的展开式中，有同类项的要合并同类项。 （5）公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式或多项式。 二、整式的除法： n m n m a a a -=÷ ()0≠a 10=a ()0≠a 单项式÷单项式 多项式÷单项式 三、因式分解 1、把一个多项式化成几个_________的形式，叫做把这个多项式因式分解。 2、因式分解的常用方法 （1）提公因式法：)(c b a ac ab +=+ （2）运用公式法：))((2 2b a b a b a -+=- 222)(2b a b ab a +=++ 222)(2b a b ab a -=+- （3）分组分解法：))(()()(d c b a d c b d c a bd bc ad ac ++=+++=+++ （4）十字相乘法：))(()(2q a p a pq a q p a ++=+++ 3、因式分解的一般步骤： （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式。 （2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：二项式可以尝试运用________公式分解因式；三项式可以尝试运用______________、__________分解因式；四项式及四项式以上的可以尝试______________分解因式 （3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解为止。 四、几个重要公式变形
人教版八年级上册数学第十四章 整式的乘法与因式分解含答案
人教版八年级上册数学第十四章整式的乘法与因式分解含答案 一、单选题(共15题，共计45分) 1、下列运算正确的是（） A.（a﹣3）2=a 2﹣9 B.a 2•a 4=a 8 C. =±3 D. =﹣2 2、下列计算正确的是 ( ) A.a 3 · a 2 = a 5 B.（﹣2a 2） 3 = 8a 6 C.2a 2+a 2 = 3a 4 D.（a﹣b） 2 = a 2﹣b 2 3、小明在抄分解因式的题目时，不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于10的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，他抄在作业本上的式子是x □﹣4y2（“□”表示漏抄的指数），则这个指数可能的结果共有（） A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 4、计算a2a3，正确的结果是( ) A.2a 6 B.2a 5 C.a 6 D.a 5 5、下列各式能用完全平方公式进行分解因式的是（ ) A.x 2+1 B.x 2+2x－1 C.x 2＋x＋1 D.x 2＋4x＋4 6、若，则（） A. ， B. ， C. ， D. ，
7、计算(－2)2019＋22018的结果是（） A.－2 2018 B.2 2018 C.2 2019 D.－2 8、利用因式分解简便计算57×99+44×99－99正确的是（） A.99×（57+44）=99×101=9999 B.99×（57+44－1）=99× 100=9900 C.99×（57+44+1）=99×102=10096 D.99×（57+44－99）=99×2=198 9、因式分解：=（） A. B. C. D. 10、下列运算正确的是（） A. B. C. D. 11、下列四个选项中为多项式的因式是（） A. B. C. D. 12、分解因式:16-x2=( ) A.(4+x)(4-x) B.(x-4)(x+4) C.(8+x)(8-x) D.(4-x) 2 13、请你观察图形，依据图形面积之间的关系，不需要添加辅助线，便可以得到一个你熟悉的公式，这个公式是（）
人教版初中数学第十四章整式的乘法与因式分解知识点
第十四章 整式乘除与因式分解 14.1 整式的乘法 14.1.1 同底数幂的乘法 同底数幂的乘法法则：m n m n a a a +⋅=（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加.注意底数可以是多项式或单项式. 例1．在横线上填入适当的代数式：614_____x x ⋅=，2 6_____x x =÷. 【答案】8x ，4x 【解析】 试题分析：根据同底数幂的乘除法法则即可得到结果. 6814x x x ⋅=，.246x x x =÷ 考点：本题考查的是同底数幂的乘法，同底数幂的除法 点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 例2．计算：743a a a ⋅⋅； 【答案】14a 【解析】 试题分析：根据同底数幂的乘法法则即可得到结果. 743a a a ⋅⋅=.14a 考点：本题考查的是同底数幂的乘法 点评：解答本题的关键是熟练掌握同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 14.1.2 幂的乘方 幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘. 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 例1．对于非零实数m ，下列式子运算正确的是（ ） A ．9 23)(m m = B ．623m m m =⋅ C ．532m m m =+ D ．426m m m =÷ 【答案】D
【解析】 试题分析：根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则依次分析各项即可得到结果. A ．()632m m =， B ．523m m m =⋅， C ．32m m 与无法合并，故错误； D ．426m m m =÷，本选项正确. 考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法 点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 例2 【答案】12a - 【解析】 试题分析：先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可. 32236612()()().a a a a a -⋅-=⋅-=- 考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法 点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 例3．计算：9543()a a a ⋅÷； 【答案】2a 【解析】 试题分析：根据幂的乘方法则，同底数幂的乘除法法则即可得到结果. 954314122().a a a a a a ⋅÷=÷= 考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法 点评：解答本题的关键是熟练掌握幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减；同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 例4．计算： n m a a ⋅3)(； 【答案】n m a +3 【解析】 试题分析：先计算幂的乘方，再计算同底数幂的乘法即可. n m a a ⋅3)(=⋅=n m a a 3.3n m a + 考点：本题考查的是幂的乘方，同底数幂的乘法
精编人教版数学八年级上册第十四章整式的乘法与因式分解
八年级数学·上新课标[人] 第十四章整式的乘法与因式分解 1.了解幂的意义,并学会简单的同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及同底数幂的除法的运算,能根据幂的各种运算性质解决数学问题和简单的实际问题. 2.了解零指数幂的意义;探索整式乘除法的法则,会进行简单的乘除法运算. 3.要求学生说出平方差公式和完全平方式的特点,能正确地利用平方差公式和完全平方式进行多项式的乘法. 4.了解因式分解的意义及其与整式乘法之间的关系,从中体会事物之间可以相互转化的思想,学会用提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式分解(指数是正整数). 让学生主动参与到一些探索过程中来,逐步形成独立思考、主动探索的习惯,培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的能力. 通过本章中一些生活实例的学习,体会数学与生活之间的密切联系,在一定程度上了解数学的应用价值,提高学生学习的兴趣. 本章是整式的加减的后续学习,首先,从幂的运算开始入手,逐步展开整式的乘除法运算;接着,在整式的乘法中提炼出两种特殊的乘法运算,即两个乘法公式;最后,从整式乘法的逆过程出发,引入因式分解的相关知识. 本章主要有如下特点: 1.注重知识形成的探索过程,让学生在探索过程中领悟知识,在领悟的过程中建构体系,从而更好地实现知识体系的更新和知识的正向迁移. 2.知识内容的呈现方式力求与学生已有的知识结构相联系,同时兼顾学生的思维水平和心理特征. 3.让学生掌握基本的数学事实与数学活动经验,减轻不必要的记忆负担. 4.注意从生活中选取素材,给学生提供一些交流、讨论的空间,让学生从中体会数学的应用价值,逐步养成谈数学、想数学、做数学的良好习惯. 5.教材的安排、例题的讲解与习题的处理都给教师留有较大的余地与足够的空间,教师能根据各地学生的实际情况,充分发挥自己的教学主动性和积极性,创造性地进行教学.