最新2020届中考数学专题复习-归纳猜想型问题
2020届中考数学专题复习：归纳猜想型问题（一）
一、中考专题诠释
归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。
二、解题策略和解法精讲
归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。
由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。
三、中考考点精讲
考点一：猜想数式规律
通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。
例1 （2019?沈阳）有一组多项式：a+b2，a2﹣b4，a3+b6，a4﹣b8，…，请观察它们的构成规律，用你发现的规律写出第10个多项式为．
考点：多项式。810360
专题：规律型。
分析：首先观察归纳，可得规律：第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n，然后将n=10代入，即可求得答案．
解答：解：∵第1个多项式为：a1+b2×1，
第2个多项式为：a2﹣b2×2，
第3个多项式为：a3+b2×3，
第4个多项式为：a4﹣b2×4，
…
∴第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n，
∴第10个多项式为：a10﹣b20．
故答案为：a10﹣b20．
点评：此题考查的知识点是多项式，此题难度不大，注意找到规律第n个多项式为：a n+（﹣1）n+1b2n是解此题的关键．
例2 （2019?珠海）观察下列等式：
12×231=132×21，
13×341=143×31，
23×352=253×32，
34×473=374×43，
62×286=682×26，
…
以上每个等式中两边数字是分别对称的，且每个等式中组成两位数与三位数的数字之间具有相同规律，我们称这类等式为“数字对称等式”．
（1）根据上述各式反映的规律填空，使式子称为“数字对称等式”：
①52×=×25；
②×396=693×．
（2）设这类等式左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，且2≤a+b≤9，写出表示“数字对称等式”一般规律的式子（含a、b），并证明．
考点：规律型：数字的变化类。810360
专题：规律型。
分析：（1）观察规律，左边，两位数所乘的数是这个两位数的个位数字变为百位数字，十位数字变为个位数字，两个数字的和放在十位；右边，三位数与左边的三位数字百位与个位数字交换，两位数与左边的两位数十位与个位数字交换然后相乘，根据此规律进行填空即可；
（2）按照（1）中对称等式的方法写出，然后利用多项式的乘法进行证明即可．
解答：解：（1）①∵5+2=7，
∴左边的三位数是275，右边的三位数是572，
∴52×275=572×25，
②∵左边的三位数是396，
∴左边的两位数是63，右边的两位数是36，
63×369=693×36；
故答案为：①275，572；②63，36．
（2）∵左边两位数的十位数字为a，个位数字为b，
∴左边的两位数是10a+b，三位数是100b+10（a+b）+a，
右边的两位数是10b+a，三位数是100a+10（a+b）+b，
∴一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
证明：左边=（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]，
=（10a+b）（100b+10a+10b+a），
=（10a+b）（110b+11a），
=11（10a+b）（10b+a），
右边=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a），
=（100a+10a+10b+b）（10b+a），
=（110a+11b）（10b+a），
=11（10a+b）（10b+a），
左边=右边，
所以“数字对称等式”一般规律的式子为：（10a+b）×[100b+10（a+b）+a]=[100a+10（a+b）+b]×（10b+a）．
点评：本题是对数字变化规律的考查，根据已知信息，理清利用左边的两位数的十位数字与个位数字变化得到其它的三个数字是解题的关键．
考点二：猜想图形规律
根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形
为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。
例3 1．（2019?重庆）下列图形都是由同样大小的五角星按一定的规律组成，其中第①个图形一共有2个五角星，第②个图形一共有8个五角星，第③个图形一共有18个五角星，…，则第⑥个图形中五角星的个数为（）
A．50 B．64 C．68 D．72
考点：规律型：图形的变化类。810360
分析：先根据题意求找出其中的规律，即可求出第⑥个图形中五角星的个数．
解答：解：第①个图形一共有2个五角星，
第②个图形一共有：2+（3×2）=8个五角星，
第③个图形一共有8+（5×2）=18个五角星，
…
第n个图形一共有：
1×2+3×2+5×2+7×2+…+2（2n﹣1）
=2[1+3+5+…+（2n﹣1）]，
=[1+（2n﹣1）]×n
=2n2，
则第（6）个图形一共有：
2×62=72个五角星；
故选D．
点评：本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成三部分进行考虑，并找出第n个图形五角星的个数的表达式是解题的关键．
例4 （2019?绍兴）在一条笔直的公路边，有一些树和路灯，每相邻的两盏灯之间有3棵树，相邻的树与树，树与灯间的距离是10cm，如图，第一棵树左边5cm处有一个路牌，则从此路牌起向右510m～550m之间树与灯的排列顺序是（）
A．B．C．D．
考点：规律型：图形的变化类。810360
分析：根据题意可得，第一个灯的里程数为10米，第二个灯的里程数为50，第三个灯的里程数为90米…第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=40n﹣30米，从而可计算出530米处哪个里程数是灯，也就得出了答案．
解答：解：根据题意得：第一个灯的里程数为10米，
第二个灯的里程数为50，
第三个灯的里程数为90米
…
第n个灯的里程数为10+40（n﹣1）=（40n﹣30）米，
故当n=14时候，40n﹣30=530米处是灯，
则510米、520米、540米处均是树，
故应该是树、树、灯、树，
故选B．
点评：本题考查了图形的变化类问题，解决本题的关键是从原图中找到规律，并利用规律解决问题．
例5 （2019?荆门）已知：顺次连接矩形各边的中点，得到一个菱形，如图①；再顺次连接菱形各边的中点，得到一个新的矩形，如图②；然后顺次连接新的矩形各边的中点，得到一个新的菱形，如图③；如此反复操作下去，则第2019个图形中直角三角形的个数有（）
A．8048个B．4024个C．2019个D．1066个
考点：规律型：图形的变化类。810360
专题：规律型。
分析：写出前几个图形中的直角三角形的个数，并找出规律，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n，根据此规律求解即可．
解答：解：第1个图形，有4个直角三角形，
第2个图形，有4个直角三角形，
第3个图形，有8个直角三角形，
第4个图形，有8个直角三角形，
…，
依次类推，当n为奇数时，三角形的个数是2（n+1），当n为偶数时，三角形的个数是2n 个，
所以，第2019个图形中直角三角形的个数是2×2019=4024．
故选B．
点评：本题主要考查了图形的变化，根据前几个图形的三角形的个数，观察出与序号的关系式解题的关键．
考点三：猜想坐标变化
例6 （2019?德州）如图，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…，都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A1（2，0），A2（1，﹣1），A3（0，0），则依图中所示规律，A2019的坐标为．
考点：等腰直角三角形；点的坐标。810360
专题：规律型。
分析：由于2019是4的倍数，故A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，可见，A2019在x轴上方，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即可解答．
解答：解：∵2019是4的倍数，
∴A1﹣﹣A4；A5﹣﹣﹣A8；…每4个为一组，
∴A2019在x轴上方，横坐标为2，
∵A4、A8、A12的纵坐标分别为2，4，6，
∴A12的纵坐标为2019×=1006．
故答案为（2，1006）．
点评：本题考查了等腰直角三角形、点的坐标，主要是根据坐标变化找到规律，再依据规律解答．
例7 （2019?鸡西）如图，在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形OABC，边OA、OC分别在x轴、y轴上，如果以对角线OB为边作第二个正方形OBB1C1，再以对角线OB1为边作第三个正方形OB1B2C2，照此规律作下去，则点B2019的坐标为．
考点：正方形的性质；坐标与图形性质。810360
专题：规律型。
分析：首先求出B1、B2、B3、B4、B5、B6、B7、B8、B9的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点B2019的坐标．
解答：解：∵正方形OABC边长为1，
∴OB=，
∵正方形OBB1C1是正方形OABC的对角线OB为边，
∴OB1=2，
∴B1点坐标为（0，2），
同理可知OB2=2，B2点坐标为（﹣2，2），
同理可知OB3=4，B3点坐标为（﹣4，0），
B4点坐标为（﹣4，﹣4），B5点坐标为（0，﹣8），
B6（8，﹣8），B7（16，0）
B8（16，16），B9（0，16），
由规律可以发现，每经过9次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，
∵2019÷9=223…5，
∴B2019的纵横坐标符号与点B4的相同，纵横坐标都是负值，
∴B2019的坐标为（﹣21006，﹣21006）．
故答案为（﹣21006，﹣21006）．
点评：本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过9次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大．
四、中考真题演练
一、选择题
1．（2019?烟台）一个由小菱形组成的装饰链，断去了一部分，剩下部分如图所示，则断去部分的小菱形的个数可能是（）
A．3 B．4C．5D．6
考点：规律型：图形的变化类。810360
专题：规律型。
分析：答案中断去的菱形个数均为较小的正整数，由所示的图形规律画出完整的装饰链，可得断去部分的小菱形的个数．
解答：解：
如图所示，断去部分的小菱形的个数为5，
故选C．
点评：考查图形的变化规律；按照图形的变化规律得到完整的装饰链是解决本题的关键．
2．（2019?铜仁地区）如图，第①个图形中一共有1个平行四边形，第②个图形中一共有5个平行四边形，第③个图形中一共有11个平行四边形，…则第⑩个图形中平行四边形的个数是（）
A．54 B．110 C．19 D．109
考点：规律型：图形的变化类。810360
专题：规律型。
分析：得到第n个图形在1的基础上如何增加2的倍数个平行四边形即可．
解答：解：第①个图形中有1个平行四边形；
第②个图形中有1+4=5个平行四边形；
第③个图形中有1+4+6=11个平行四边形；
第④个图形中有1+4+6+8=19个平行四边形；
…
第n个图形中有1+2（2+3+4+…+n）个平行四边形；
第⑩个图形中有1+2（2+3+4+5+6+7+8+9+10）=109个平行四边形；
故选D．
点评：考查图形的变化规律；得到第n个图形中平行四边形的个数在第①个图形中平行四边形的个数1的基础上增加多少个2是解决本题的关键．
4．（2019?永州）如图，一枚棋子放在七角棋盘的第0号角，现依逆时针方向移动这枚棋子，其各步依次移动1，2，3，…，n个角，如第一步从0号角移动到第1号角，第二步从第1号角移动到第3号角，第三步从第3号角移动到第6号角，…．若这枚棋子不停地移动下去，则这枚棋子永远不能到达的角的个数是（）
A．0 B．1C．2D．3
考点：规律型：图形的变化类。810360
分析：因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=k（k+1），然后根据题目中所给的第k次依次移动k个顶点的规则，可得到不等式最后求得解．
解答：解：因棋子移动了k次后走过的总格数是1+2+3+…+k=k（k+1），应停在第k（k+1）﹣7p格，
这时P是整数，且使0≤k（k+1）﹣7p≤6，分别取k=1，2，3，4，5，6，7时，
k（k+1）﹣7p=1，3，6，3，1，0，0，发现第2，4，5格没有停棋，
若7＜k≤10，设k=7+t（t=1，2，3）代入可得，k（k+1）﹣7p=7m+t（t+1），
由此可知，停棋的情形与k=t时相同，
故第2，4，5格没有停棋，
即：这枚棋子永远不能到达的角的个数是3．
故选D．
点评：本题考查理解题意能力，关键是知道棋子所停的规则，找到规律，然后得到不等式求解．
5．（2019?扬州）大于1的正整数m的三次幂可“分裂”成若干个连续奇数的和，如23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，…若m3分裂后，其中有一个奇数是2013，则m的值是（）A．43 B．44 C．45 D．46
考点：规律型：数字的变化类。810360
专题：规律型。
分析：观察规律，分裂成的数都是奇数，且第一个数是底数乘以与底数相邻的前一个数的积再加上1，奇数的个数等于底数，然后找出2013所在的奇数的范围，即可得解．
解答：解：∵23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，
…
∴m3分裂后的第一个数是m（m﹣1）+1，共有m个奇数，
∵45×（45﹣1）+1=1981，46×（46﹣1）+1=2071，
∴第2013个奇数是底数为45的数的立方分裂后的一个奇数，
∴m=45．
故选C．
点评：本题是对数字变化规律的考查，找出分裂后的第一个奇数与底数的变化规律是解题的关键．
6．（2019?盐城）已知整数a1，a2，a3，a4，…满足下列条件：a1=0，a2=﹣|a1+1|，a3=﹣|a2+2|，a4=﹣|a3+3|，…，依次类推，则a2019的值为（）
A．﹣1005 B．﹣1006 C．﹣1007 D．﹣2019
考点：规律型：数字的变化类。810360
专题：规律型。
分析：根据条件求出前几个数的值，再分n是奇数时，结果等于﹣，n是偶数时，
结果等于﹣，然后把n的值代入进行计算即可得解．
解答：解：a1=0，
a2=﹣|a1+1|=﹣|0+1|=﹣1，
a3=﹣|a2+2|=﹣|﹣1+2|=﹣1，
a4=﹣|a3+3|=﹣|﹣1+3|=﹣2，
a5=﹣|a4+4|=﹣|﹣2+4|=﹣2，
…，
所以，n是奇数时，a n=﹣，n是偶数时，a n=﹣，
a2019=﹣=﹣1006．
故选B．
点评：本题是对数字变化规律的考查，根据所求出的数，观察出n为奇数与偶数时的结果的变化规律是解题的关键．
二．填空题
9．（2019?泰州）根据排列规律，在横线上填上合适的代数式：x，3x2，5x3，，9x5，…．
考点：单项式。810360
专题：规律型。
分析：本题规律比较明显，先观察得出系数为7，然后再推算x的次数．
解答：解：由题意得，系数的变化规律为：1、3、5、7、9…；
x的次数的变化规律为：1、2、3、4…；
故可得中间的空需要填：7x4．
故答案为：7x4．
点评：此题考查了单项式的知识，属于基础题，解答本题关键是依次寻找系数及x的次数的变化规律．
10．（2019?肇庆）观察下列一组数：，，，，，…，它们是按一定规律排列的，那么这一组数的第k个数是．
考点：规律型：数字的变化类。810360
分析：根据已知得出数字分母与分子的变化规律，分子是连续的偶数，分母是连续的奇数，进而得出第k个数分子的规律是2k，分母的规律是2k+1，进而得出这一组数的第k个数的值．
解答：解：因为分子的规律是2k，分母的规律是2k+1，
所以第k个数就应该是：，
故答案为：．
点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．解题的关键是把数据的分子分母分别用组数k表示出来．
11．（2019?云南）观察下列图形的排列规律（其中▲、■、★分别表示三角形、正方形、五角星）．若第一个图形是三角形，则第18个图形是．（填图形的名称）
▲■★■▲★▲■★■▲★▲…
考点：规律型：图形的变化类。810360
分析：本题是循环类问题，只要找到所求值在第几个循环，便可找出答案．
解答：解：根据题意可知，每6个图形一个循环，第18个图形经过了3个循环，且是第3个循环中的最后1个，
即第18个图形是五角星．
故答案为：五角星．
点评：此题考查了图形的变化类，是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，主要培养学生的观察能力和归纳总结能力．
12．（2019?岳阳）图中各圆的三个数之间都有相同的规律，据此规律，第n个圆中，m= 用含n的代数式表示）．
考点：规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类。810360
分析：根据8=2×4，5×7=35，8×10=80，得出2，5，8…第n个数为：2+3（n﹣1），4，7，10，…第n个数为：4+3（n﹣1）即可得出第n个圆中，m的值．
解答：解：∵2×4=8，
5×7=35，
8×10=80，
…
∴2，5，8…第n个数为：2+3（n﹣1），
4，7，10，…第n个数为：4+3（n﹣1），
∴第n个圆中，m=[2+3（n﹣1）]×[4+3（n﹣1）]=（3n+1）（3n﹣1）=9n2﹣1．
故答案为：9n2﹣1．
点评：此题主要考查了数字变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
13．（2019?宿迁）按照如图所示的方法排列黑色小正方形地砖，则第14个图案中黑色小正方形地砖的块数是．
考点：规律型：图形的变化类。810360
专题：规律型。
分析：观察图形可知，黑色与白色的地砖的个数的和是连续奇数的平方，而黑色地砖比白色地砖多1个，求出第n个图案中的黑色与白色地砖的和，然后求出黑色地砖的块数，再把n=14代入进行计算即可．
解答：解：第1个图案只有1块黑色地砖，
第2个图案有黑色与白色地砖共32=9，其中黑色的有5块，
第3个图案有黑色与白色地砖共52=25，其中黑色的有13块，
…
第n个图案有黑色与白色地砖共（2n﹣1）2，其中黑色的有[（2n﹣1）2+1]，
当n=14时，黑色地砖的块数有[（2×14﹣1）2+1]=×730=365．
故答案为：365．
点评：本题是对图形变化规律的考查，观察图形找出黑色与白色地砖的总块数与图案序号之间的关系是解题的关键，还要注意奇数块地砖，一种比另一种多一块的求法．
14．（2019?山西）如图，是由形状相同的正六边形和正三角形镶嵌而成的一组有规律的图案，则第n个图案中阴影小三角形的个数是．
考点：规律型：图形的变化类。810360
分析：对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
解答：解：由图可知：第一个图案有阴影小三角形2个．第二图案有阴影小三角形2+4=6个．第三个图案有阴影小三角形2+8=10个，那么第n个就有阴影小三角形2+4（n﹣1）=4n ﹣2个，
故答案为：4n﹣2（或2+4（n﹣1））
点评：本题是一道找规律的题目，注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n
个就有正三角形4n﹣2个．这类题型在中考中经常出现．
15．（2019?三明）填在下列各图形中的三个数之间都有相同的规律，根据此规律，a的值是．
考点：规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类。810360
分析：根据已知数据即可得出，最下面一行数字变化规律，进而得出答案．
解答：解：根据下面一行数字变化规律为：
1×4=4，
4×9=36，
9×16=144，
16×25=400，
25×36=a=900，
故答案为：900．
点评：此题主要考查了数字变化规律，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．
16．（2019?青海）观察下列一组图形：
它们是按一定规律排列的，依照此规律，第n个图形中共有个★．
考点：规律型：图形的变化类。810360
专题：规律型。
分析：把五角星分成两部分，顶点处的一个不变，其它的分三条线，每一条线上后一个图形比前一个图形多一个，根据此规律找出第n个图形中五角星的个数的关系式．
解答：解：观察发现，第1个图形五角星的个数是：1+3=4，
第2个图形五角星的个数是：1+3×2=7，
第3个图形五角星的个数是：1+3×3=10，
第4个图形五角星的个数是：1+3×4=13，
…
依此类推，第n个图形五角星的个数是：1+3×n=3n+1．
故答案为：3n+1．
点评：本题考查了图形变化规律的问题，把五角星分成两部分进行考虑，并找出第n个图形五角星的个数的表达式是解题的关键．
17．（2019?黔东南州）如图，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（1）个图有2个相同的小正方形，第（2）个图有6个相同的小正方形，第（3）个图有12个相同的小正方形，第（4）个图有20个相同的小正方形，…，按此规律，那么第（n）个图有个相同的小正方形．
考点：规律型：图形的变化类。810360
专题：规律型。
分析：观察不难发现，每一个图形中正方形的个数等于图形序号乘以比序号大1的数，根据此规律解答即可．
解答：解：第（1）个图有2个相同的小正方形，2=1×2，
第（2）个图有6个相同的小正方形，6=2×3，
第（3）个图有12个相同的小正方形，12=3×4，
第（4）个图有20个相同的小正方形，20=4×5，
…，
按此规律，第（n）个图有n（n+1）个相同的小正方形．
故答案为：n（n+1）．
点评：本题是对图形变化规律的考查，发现正方形的个数是两个连续整数的乘积是解题的关键，此类题目对同学们的能力要求较高，在平时的学习中要不断积累．18．（2019?潍坊）如图中每一个小方格的面积为1，则可根据面积计算得到如下算式：
1+3+5+7+…+（2n﹣1）=（用n表示，n是正整数）
考点：规律型：图形的变化类；规律型：数字的变化类。810360
专题：数形结合。
分析：根据图形面积得出，第2个图形面积为22，第3个图形面积为32，第4个图形面积为42，…第n个图形面积为n2，即可得出答案．
解答：解：利用每个小方格的面积为1，可以得出：
1+3=4=22，
1+3+5=9=32，
1+3+5+7=16=42，…
1+3+5+7+…+（2n﹣1）=n2．
故答案为：n2．
点评：此题主要考查了数字变化规律以及图形变化规律，根据图形面积得出变化规律是解题关键，这也是中考中考查重点．
19．（2019?南宁）有若干张边长都是2的四边形纸片和三角形纸片，从中取一些纸片按如图所示的顺序拼接起来（排在第一位的是四边形），可以组成一个大的平行四边形或一个大的梯形．如果所取的四边形与三角形纸片数的和是5时，那么组成的大平行四边形或梯形的周长是；如果所取的四边形与三角形纸片数的和是n，那么组成的大平行四边形或梯
形的周长是．
考点：规律型：图形的变化类。810360
分析：第1张纸片的周长为8，由2张纸片所组成的图形的周长比第1张纸片的周长增加了2．由3张纸片所组成的图形的周长比前2张纸片所组成的图形的周长增加了4，按此规律可知：
①纸张张数为1，图片周长为8=3×1+5；纸张张数为3，图片周长为8+2+4=3×3+5；纸张张数为5，图片周长为8+2+4+2+4=3×5+5；…；当n为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+5；
②纸张张数为1，图片周长为8+2=3×2+4；纸张张数为4，图片周长为8+2+4+2=3×4+4；纸张张数为6，图片周长为8+2+4+2+4+2=3×6+4；…；当n为偶数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+4．
解答：解：从图形可推断：
纸张张数为5，图片周长为8+2+4+2+4=3×5+5=20；
当n为奇数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+4+…+2+4=3n+5；
当n为偶数时，组成的大平行四边形或梯形的周长为：8+2+…+4+2=3n+4．
综上，组成的大平行四边形或梯形的周长为3n+5或3n+4．
故答案为：20，3n+5或3n+4．
点评：本题考查了规律型：图形的变化，解题的关键是将纸片的张数分奇偶两种情况进行讨论，得出组成的大平行四边形或梯形的周长．
20．（2019?梅州）如图，连接在一起的两个正方形的边长都为1cm，一个微型机器人由点A 开始按ABCDEFCGA…的顺序沿正方形的边循环移动．①第一次到达G点时移动了
cm；②当微型机器人移动了2019cm时，它停在点．
考点：规律型：图形的变化类。810360
专题：规律型。
分析：①结合图形，找出第一次到达G点时走过的正方形的边长数即可得解；
②根据移动一圈的路程为8cm，用2019除以8，余数是几就落在从A开始所走的距离，然后即可找出最后停的点．
解答：解：①由图可知，从A开始，第一次移动到G点，共经过AB、BC、CD、DE、EF、FC、CG七条边，
所以共移动了7cm；
②∵机器人移动一圈是8cm，
2019÷8=251…4，
∴移动2019cm，是第251圈后再走4cm正好到达E点．
故答案为：7，E．
点评：本题考查的是循环的规律，要注意所求的值经过了几个循环，然后便可得出结论．
21．（2019?娄底）如图，如图所示的图案是按一定规律排列的，照此规律，在第1至第2019个图案中“?”，共个．
考点：规律型：图形的变化类。810360
分析：本题的关键是要找出4个图形一循环，然后再求2019被4整除，从而确定是共第503?．
解答：解：根据题意可知梅花是1，2，3，4即4个一循环．所以2019÷4=503．
所以共有503个?．
故选答案为503．
点评：主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．
22．（2019?六盘水）如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”．它的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的！“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（a+b）n（n为非负整数）的展开式中a 按次数从大到小排列的项的系数．例如，（a+b）2=a2+2ab+b2展开式中的系数1、2、1恰好对应图中第三行的数字；再如，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3展开式中的系数1、3、3、1恰好对应图中第四行的数字．请认真观察此图，写出（a+b）4的展开式，（a+b）4=．
考点：规律型：数字的变化类；完全平方公式。810360
专题：规律型。
分析：由（a+b）=a+b，（a+b）2=a2+2ab+b2，（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3可得（a+b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a+b）n﹣1的相邻两个系数的和，由此可得（a+b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1．
解答：解：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
故答案为：a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．
点评：本题考查了完全平方公式，学生的观察分析逻辑推理能力，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
三．解答题（共13小题）
23．（2019?益阳）观察图形，解答问题：
（1）按下表已填写的形式填写表中的空格：
图①图②图③
三个角上三个数的积 1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60
三个角上三个数的和 1+（﹣1）+2=2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12
积与和的商﹣2÷2=﹣1，
（2）请用你发现的规律求出图④中的数y和图⑤中的数x．
考点：规律型：数字的变化类。810360
分析：（1）根据图形和表中已填写的形式，即可求出表中的空格；
（2）根据图①②③可知，中间的数是三个角上的数字的乘积与和的商，列出方程，即可求出x、y的值．
解答：解：（1）图②：（﹣60）÷（﹣12）=5，
图③：（﹣2）×（﹣5）×17=170，
（﹣2）+（﹣5）+17=10，
170÷10=17．
图①图②图③
三个角上三个数的积1×（﹣1）×2=﹣2 （﹣3）×（﹣4）×（﹣5）=﹣60 （﹣2）×（﹣5）×17=170
三个角上三个数的和1+（﹣1）+2=2 （﹣3）+（﹣4）+（﹣5）=﹣12 （﹣2）+（﹣5）+17=17
积与和的商﹣2÷2=﹣1，（﹣60）÷（﹣12）=5，170÷10=17
（2）图④：5×（﹣8）×（﹣9）=360，
5+（﹣8）+（﹣9）=﹣1，
y=360÷（﹣12）=﹣30，
图⑤：=﹣3，
解得x=﹣2；．
点评：此题考查了数字的变化类，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．
24．（2019?宁波）用同样大小的黑色棋子按如图所示的规律摆放：
（1）第5个图形有多少黑色棋子？
（2）第几个图形有2013颗黑色棋子？请说明理由．
考点：规律型：图形的变化类。810360
分析：（1）根据图中所给的黑色棋子的颗数，找出其中的规律，即可得出答案；
（2）根据（1）所找出的规律，列出式子，即可求出答案．
解答：解：（1）第一个图需棋子6，
第二个图需棋子9，
第三个图需棋子12，
第四个图需棋子15，
第五个图需棋子18，
…
第n个图需棋子3（n+1）枚．
答：第5个图形有18颗黑色棋子．
（2）设第n个图形有2013颗黑色棋子，
根据（1）得3（n+1）=2013
解得n=670，
所以第670个图形有2013颗黑色棋子．
点评：此题考查了图形的变化类，是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律．
中考数学知识点总结
中考数学知识点总结 一、常用数学公式 公式分类公式表达式 乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 二、基本方法 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理
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2021年中考数学总复习：专题52 中考数学最值问题 在中学数学题中，最值题是常见题型，围绕最大（小）值所出的数学题是各种各样，就其解法，主要分为几何最值和代数最值两大部分。 一、解决几何最值问题的要领 （1）两点之间线段最短； （2）直线外一点与直线上所有点的连线段中，垂线段最短； （3）三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边（重合时取到最值）。 二、解决代数最值问题的方法要领 1.二次函数的最值公式 二次函数y ax bx c =++2 （a 、b 、c 为常数且a ≠0）其性质中有 ①若a >0当x b a =-2时，y 有最小值。y ac b a min =-442； ②若a <0当x b a =-2时，y 有最大值。y ac b a max =-442。 2.一次函数的增减性.一次函数y kx b k =+≠()0的自变量x 的取值范围是全体实数，图象是一条直线，因而没有最大（小）值；但当m x n ≤≤时，则一次函数的图象是一条线段，根据一次函数的增减性，就有最大（小）值。 3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数x 的一元二次方程；再根据x 是实数，推得?≥0，进而求出y 的取值范围，并由此得出y 的最值。 4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程，因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质.在实数范围内，显然有a b k k 22 ++≥，当且仅当a b ==0时，等号成立，即a b k 22++的最小值为k 。 6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数y 中绝对值符号，然后求出y 在各个区间上的最大值，再加以比较，从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解.在不等式x a ≤中，x a =是最大值，在不等式x b ≥中，x b =是最小值。
最新北京市中考数学一模分类汇编 函数操作
函数操作
2018 西城一模 25．如图， P 为⊙ O 的直径 AB 上的一个动点，点 C 在 ?AB 上，连接 PC ，过点 A 作 PC 的
垂线交⊙ O 于点 Q ．已知 AB 5cm ， AC 3cm ．设 A 、 P 两点间的距离为 xcm ， A 、 Q 两点间的距离为 ycm．
A
C
O P
Q
B
某同学根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行探究．
下面是该同学的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量及分析，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：
x (cm)
0
1
2.5
3
3.5
4
5
y (cm)
4.0
4.7
5.0
4.8
4.1
3.7
（说明：补全表格对的相关数值保留一位小数）
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图
象．
（3）结合画出的函数图象，解决问题：当 AQ 2AP 时， AP 的长度均为__________ cm ．
2018 石景山一模
25．如图，半圆 O 的直径 AB 5cm ，点 M 在 AB 上且 AM 1cm ，点 P 是半圆 O 上的 动 点， 过点 B 作 BQ PM 交 PM （或 PM 的 延 长线 ）于点 Q . 设 PM x cm ， BQ y cm .（当点 P 与点 A或点 B 重合时， y 的值为 0 ）
P
AM
O
B
Q
小石根据学习函数的经验，对函数 y 随自变量 x 的变化而变化的规律进行了探究.
下面是小石的探究过程，请补充完整：
（1）通过取点、画图、测量，得到了 x 与 y 的几组值，如下表：
x / cm
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
y / cm
0
3.7
3.8 3.3 2.5
（2）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数
的图象；
（3）结合画出的函数图象，解决问题：
当 BQ 与直径 AB 所夹的锐角为 60 时， PM 的长度约为
cm .
归纳猜想型测试题及答案
2014年中考数学二轮复习精品资料 归纳猜想型问题 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是． 思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n． 解：第八项为-27a8=-128a8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 对应训练 1．（2013?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n 考点二：猜想图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例2 （2013?牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是． 思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1
中考数学要点难点分析整理复习总结
初一上册 有理数、整式的加减、一元一次方程、图形的初步认识。 （1）有理数：是初中数学的基础内容，中考试题中分值约为3-6分，多以选择题，填空题，计算题的形式出现，难易度属于简单。 考察内容：复数以及混合运算（期中、期末必考计算）数轴、相反数、绝对值和倒数（选择、填空）。 （2）整式的加减：中考试题中分值约为4分，题型以选择和填空题为主，难易度属于易。 考察内容： ①整式的概念和简单的运算，主要是同类项的概念和化简求值 ②完全平方公式，平方差公式的几何意义 ③利用提公因式发和公式法分解因式。 （3）一元一次方程：是初一学习重点内容，主要学习内容有（归纳、总结、延伸）应用题思维、步骤、文字题，根据已知条件求未知。中考分值约为1-3分，题型主要以选择和填空题为主，极少出现简答题，难易度为易。 考察内容： ①方程及方程解的概念 ②根据题意列一元一次方程 ③解一元一次方程。题型：追击、相遇、时间速度路程的关系、打折销售、利润公式。 （4）几何：角和线段，为下册学三角形打基础 初一下册
相交线和平行线、实数、平面直角坐标系、二元一次方程组、不等式和不等式组和数据库的收集整理与描述。 （1）相交线和平行线：相交线和平行线是历年中考中常见的考点。通常以填空，选择题形式出现。分值为3-4分，难易度为易。 考察内容： ①平行线的性质（公理） ②平行线的判别方法 ③构造平行线，利用平行线的性质解决问题。 （2）平面直角坐标系：中考试题中分值约为3-4分，题型以选择，填空为主，难易度属于易。 考察主要内容： ①考察平面直角坐标系内点的坐标特征 ②函数自变量的取值范围和球函数的值 ③考察结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。 （3）二元一次方程组：中考分值约为3-6分，题型主要以选择，解答为主，难易度为中。 考察内容：①方程组的解法，解方程组②根据题意列二元一次方程组解经济问题。 （4）不等式和不等式组：中考试题中分值约为3-8分，选择，填空，解答题为主。 主要考察内容： ①一元一次不等式（组）的解法，不等式（组）解集的数轴表示，不等式（组）的整数解等，题型以选择，填空为主。 ②列不等式（组）解决经济问题，调配问题等，主要以解答题为主。 ③留意不等式（组）和函数图像的结合问题。
中考数学专题复习最值问题
两点之间线段最短关系密切．在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法． 类型1 利用“垂线段最短”求最短路径问题 如图所示，AB 是一条河流，要铺设管道将河水引到C ，D 两个用水点，现有两种铺设管道的方案．方案一：分别过C ，D 作AB 的垂线，垂足分别为E ，F ，沿CE ，DF 铺设管道；方案二：连接CD 交AB 于点P ，沿PC 、PD 铺设管道．问：这两种铺设管道的方案中哪一种更节省材料，为什么？ 【思路点拨】 方案一管道长为CE ＋DF ，方案二管道长为PC ＋PD ，利用垂线段最短即可比较出大小． 本题易错误的利用两点之间线段最短解决，解答时需要准确识图，找到图形对应的知识点． 1．如下左图，点A 的坐标为(－1，0)，点B(a ，a)，当线段AB 最短时，点B 的坐标为( ) A ．(0，0) B ．(22，－22) C ．(－22，－22) D ．(－12，－12 ) 2．在直角坐标系中，点P 落在直线x －2y ＋6＝0上，O 为坐标原点，则|OP|的最小值为( ) A.352 B ．3 5 C.655 D.10 3．如上中图，在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为圆心的圆过点A(13，0)，直线y ＝kx －3k ＋4与⊙O 交于B 、C 两点，则弦BC 的长的最小值为________． 4．如上右图，平原上有A ，B ，C ，D 四个村庄，为解决缺水问题，政府准备投资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池H 点的位置，使它到四个村庄距离之和最小； (2)计划把河水引入蓄水池H 中，怎样开渠最短并说明根据． 类型2 利用“两点之间线段最短”求最短路径问题 (1)如图1，直线同侧有两点A ，B ，在直线MN 上求一点C ，使它到A 、B 之和最小；(保留作图痕迹不写作法) (2)知识拓展：如图2，点P 在∠AOB 内部，试在OA 、OB 上分别找出两点E 、F ，使△PEF 周长最短；(保留作图痕迹不写作法) (3)解决问题：①如图3，在五边形ABCDE 中，在BC ，DE 上分别找一点M ，N ，使得△AMN 周长最小；(保留作图痕迹不写作法)
北京各区2021年中考模拟分类汇编之填空题(数学)
y x A 3 A 2 A 1 P 2 P 3P 1 O 北京各区2021年中考模拟分类汇编 填空题（数学） 1.（2021昌平一模）1 2.已知：四边形ABCD 的面积为1. 如图1，取四边形ABCD 各边中点，则图中阴影部分的面积为 ；如图2，取四边形ABCD 各边三等分点，则图中阴影部分的面积为 ；如 图3，取四边形ABCD 各边的n （n 为大于1的整数）等分点，则图中阴影部分的面积为 . A 3 B 3 C 3 D 3 A A 1 A 2 B B 1 B 2 C C 1 C 2 D D 1 D 2 A 2 B 2 C 2 D 2 A 1 B 1 C 1 D 1 D 1 C 1 B 1 图3 图2 图1 C D A B C D A 1B A 2.（2021东城一模）12. 在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 如图放置，动点P 从（0，3）出发，沿所示方 向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P 第5次碰到矩形的边时，点P 的坐标为 ；当点P 第2014次碰到矩形的边时，点P 的坐标为____________. 3.（2021房山一模）12．如图，点P 1（x 1，y 1），点P 2（x 2，y 2），…，点P n （x n ，y n ）都在函数k y x （x ＞0）的图象上，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…，△P n A n ﹣1A n 都是等腰直角三角形，斜边OA 1，A 1A 2，A 2A 3，…，A n ﹣1A n 都在x 轴上（n 是大于或等于2的正整数），已知点A 1的坐标为（2，0），则点P 1的坐标为 ；点P 2的坐标为 ；点P n 的坐标为 （用含n 的式子表示）．
专题七归纳猜想型问题MicrosoftWord文档分析
专题七归纳猜想型问题 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是． 思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n． 解：第八项为-27a8=-128a8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 对应训练 1．（2013?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n 考点二：猜想图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例2 （2013?牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是． 思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1个；第3个图形共有三角形5+3×3-1个；第4个图形共有三角形5+3×4-1个；…；则第n 个图形共有三角形5+3n-1=3n+4个；
中考数学公式总结
2019年中考数学公式总结 圆与弧的公式： 正n边形的每个内角都等于(n-2)180/n 弧长计算公式：L=n兀R/180 扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2 内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r) ①两圆外离dR+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-rr)④两圆内切d=R-r(Rr)⑤两圆内含dr) 定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 定理把圆分成n(n3)：⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360，因此k(n-2)180/n=360化为(n-2)(k-2)=4 弧长计算公式：L=n兀R/180 因式分解公式： 公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) 平方差公式：a平方-b平方=(a+b)(a-b) 完全平方和公式：(a+b)平方=a平方+2ab+b平方 完全平方差公式：(a-b)平方=a平方-2ab+b平方
两根式： ax^2+bx+c=a[x-(-b+(b^2-4ac))/2a][x-(-b-(b^2-4ac))/2 a]两根式 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 完全立方公式：a^33a^2b+3ab^2b^3=(ab)^3. 扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r) 一元二次方程公式与判别式： 一元二次方程的解 -b+(b2-4ac)/2a -b-(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理
初中数学最值问题典型例题(含解答分析)
中考数学最值问题总结 考查知识点：1、“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 （2、代数计算最值问题3、二次函数中最值问题） 问题原型：饮马问题造桥选址问题（完全平方公式配方求多项式取值二次函数顶点）出题背景变式：角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直” 几何基本模型： 条件：如下左图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使PA PB +的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点A'，连结A B'交l于 点P，则PA PB A B' +=的值最小 例1、如图，四边形ABCD是正方形，△ABE是等边三 角形，M为对角线BD（不含B点）上任意一点，将BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连接EN、AM、CM． （1）求证：△AMB≌△ENB； （2）①当M点在何处时，AM+CM的值最小； ②当M点在何处时，AM+BM+CM的值最小，并说明理由； （3）当AM+BM+CM的最小值为时，求正方形的边长。 A B A'′P l
例2、如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0） （1）求抛物线的解析式 （2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由. （3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.
35、2020年北京初三数学二模分类汇编：几何综合(教师版)
2020年北京初三数学二模分类汇编： 几何综合 【题1】（2020·东城27二模） 27．在△ABC中AB=AC，BACα ∠=，D是△ABC外一点，点D与点C在直线AB的异侧，且点D,A,E不共线，连接AD,BD，CD． （1）如图1，当60 α=?，∠ADB=30°时，画出图形，直接写出AD，BD，CD之间的数量关系； （2）当90 α=?，∠ADB=45°时，利用图2，继续探究AD，BD，CD之间的数量关系并证明； （提示：尝试运用图形变换，将要研究的有关线段尽可能转移到一个三角形中） （3）当 1 2 ADBα ∠=时，进一步探究AD，BD，CD之间的数量关系，并用含α的等式直接表示出它们之 间的关系．
【题2】（2020·西城27二模） 27. 在正方形ABCD中，E是CD边上一点（CE >DE），AE，BD交于点F. （1）如图1，过点F作GH⊥AE，分别交边AD，BC于点G，H. 求证：∠EAB =∠GHC； （2）AE的垂直平分线分别与AD，AE，BD交于点P，M，N，连接CN. ①依题意补全图形； ②用等式表示线段AE与CN之间的数量关系，并证明． 图1 备用图27．（1）证明：在正方形ABCD中，AD∥BC，∠BAD = 90°， ∴∠AGH =∠GHC． ∵GH⊥AE， ∴∠EAB =∠AGH． ∴∠EAB =∠GHC． （2）①补全图形，如图所示． ② AE ． 证明：连接AN，连接EN并延长，交AB边于点Q． ∵四边形ABCD是正方形， ∴点A，点C关于BD对称． ∴NA =NC，∠1=∠2． ∵PN垂直平分AE， ∴NA =NE． ∴NC =NE． ∴∠3=∠4． 在正方形ABCD中，BA∥CE，∠BCD = 90°， ∴∠AQE =∠4． ∴∠1+∠AQE =∠2+∠3=90°． ∴∠ANE =∠ANQ =90°． 在Rt△ANE中， A F D C E B G H A F D C E B G H A F D C E B E C
中考数学题型及方法总结
初中数学中的固定题型及惯性思维 一、角平分线的考点 1.定义 2.性质（垂直于角的两边） 3.对称性（垂直于角 平分线，构造全等，得到中点） 二、中点的三个考点 1.斜边中线（直角与中点） 2.三线合一（等腰与中点） 3.中位线（两个中点） 附注：中点常见作辅助线方法：过其中一个端点作另一个端点所在直线的平行线交延长线与一点。如果其中一个端点所在直线有多条，要结合题目已知条件进行判断，一般以已知线段长度的为主。 三、等腰三角形的考点 1.等角对等边 2.等边对等角 3.三线合一 四、全等三角形 1.五个全等三角形的判定定理 2.对应边对应角相等 五、轴对称图形 1.角的对称性（性质） 2.线段的对称性（性质） 3.等腰三角形的对称性（三线合一） 附注：对称轴是直线，轴对称图形既可以是一个图形本身，比如等腰三角形是轴对称图形，也可以说两个图形关于某条直线呈轴对称图形。 六、勾股定理 1.勾股定理的公式 2.勾股定理的逆定理（可以用来证明直角或者一个三角形是直角三角形） 附注：利用图形证明勾股定理一般都是利用部分面积之和等于整体面积，另外记住几组常见的勾股数，3,4,5；6,8,10; 5,12,13; 7,24,25 七、平面直角坐标系 1.平面直角坐标系是用来确定点及图像的位置的 2.坐标轴及象限的划分
附注：如果题目说不经过第二象限，应该有两种情况，一是经过一三四象限，二是经过一三象限，做此类题目不要思维定势。 八、二次根式 1.二次根式的非负性 2.同类二次根式 3.最简二次根式 4.二次根式的比较大小 5.二次根式的加减乘除 附注：如果题目的计算结果包含根式，一定要习惯性地判断是否是最简二次根式，切记因为细节问题失分；另外代数式有意义也要注意开方数大于等于0,千万不要漏掉等号。 九、一元二次方程 1.定义（二次项系数不为0） 2.四种解法（优先考虑因式分解法，主要是十字相乘） 3.一元二次方程根的个数的判别式 4.一元二次方程根与系数的关系，即韦达定理 附注：只要一个题目是求解有关一元二次方程的根的代数式的值的题目，只有两种方法，代入法与韦达定理，如果满足韦达定理的形式就用韦达定理，除此之外，一律使用代入法。 十、二次函数 1.定义（最高次为2，二次项系数不为0） 2.二次函数的图像（开口、与X轴的交点、对称轴、顶点坐标、与Y轴的交点位置） 3.二次函数的增减性 4.二次函数的动点问题 附注：初中阶段所有函数的知识点都比较少，更多的是知识点的迁移变化与综合应用。 十一、分式方程 1.分式方程的定义（有可能考选择题） 2.分式方程的解的情况 3.已知分式方程的解的情况，求未知实数的取值范围 附注：1.增根是分式方程无解的特殊情况 2.如果告诉分式方程的解为负数，解出X之后，一方面x<0,另外千万不要忘记x不能等于增根，这个是比较容易出错的一个点。 十二、圆 1.相关定义，比如直径、圆心、弦、切线、弧、圆周角、圆心角等等 2.切线长定理 3.垂径定理 直径：直径所对圆周角是90度
中考数学二轮复习精品资料(归纳猜想型问题)附解析
中考数学二轮复习精品资料 归纳猜想型问题 一、中考专题诠释 归纳猜想型问题在中考中越来越被命题者所注重。这类题要求根据题目中的图形或者数字，分析归纳，直观地发现共同特征，或者发展变化的趋势，据此去预测估计它的规律或者其他相关结论，使带有猜想性质的推断尽可能与现实情况相吻合，必要时可以进行验证或者证明，依此体现出猜想的实际意义。 二、解题策略和解法精讲 归纳猜想型问题对考生的观察分析能力要求较高，经常以填空等形式出现，解题时要善于从所提供的数字或图形信息中，寻找其共同之处，这个存在于个例中的共性，就是规律。其中蕴含着“特殊——一般——特殊”的常用模式，体现了总结归纳的数学思想，这也正是人类认识新生事物的一般过程。相对而言，猜想结论型问题的难度较大些，具体题目往往是直观猜想与科学论证、具体应用的结合，解题的方法也更为灵活多样：计算、验证、类比、比较、测量、绘图、移动等等，都能用到。 由于猜想本身就是一种重要的数学方法，也是人们探索发现新知的重要手段，非常有利于培养创造性思维能力，所以备受命题专家的青睐，逐步成为中考的持续热点。 三、中考考点精讲 考点一：猜想数式规律 通常给定一些数字、代数式、等式或者不等式，然后猜想其中蕴含的规律。一般解法是先写出数式的基本结构，然后通过横比（比较同一等式中不同部分的数量关系）或纵比（比较不同等式间相同位置的数量关系）找出各部分的特征，改写成要求的格式。 例1 （2013?巴中）观察下面的单项式：a，-2a2，4a3，-8a4，…根据你发现的规律，第8个式子是． 思路分析：根据单项式可知n为双数时a的前面要加上负号，而a的系数为2（n-1），a的指数为n． 解：第八项为-27a8=-128a8． 点评：本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 对应训练 1．（2013?株洲）一组数据为：x，-2x2，4x3，-8x4，…观察其规律，推断第n个数据应为．1．（-2）n-1x n 考点二：猜想图形规律 根据一组相关图形的变化规律，从中总结通过图形的变化所反映的规律。其中，以图形为载体的数字规律最为常见。猜想这种规律，需要把图形中的有关数量关系列式表达出来，再对所列式进行对照，仿照猜想数式规律的方法得到最终结论。 例2 （2013?牡丹江）用大小相同的小三角形摆成如图所示的图案，按照这样的规律摆放，则第n个图案中共有小三角形的个数是． 思路分析：观察图形可知，第1个图形共有三角形5+2个；第2个图形共有三角形5+3×2-1
中考数学动点问题最值基本题型汇总
中考数学动点问题最值基本题型汇总 一、最值类型 1.饮马型：即将军饮马型，通常为两条线段之和的最值问题，利用对称性质将其中一条线段进行转换，再利用两点之间线段最短（或三角形三边关系）得到结果。 2.小垂型：即小垂回家型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为直线，利用垂线段最短的性质得到结果。 3.穿心型：即一箭穿心型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为圆或弧，利用点与圆的位置关系得到结果。 4.转换型：即一加半型，通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题，即将那半条线段利用三角形中位线或30°的对边等知识进行转换，再利用饮马或小垂或穿心。 5.三边型：即三角形三边关系关系型，通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第三边求其最大（小）值。 6.结合型：即以上类型的综合运用，大多为饮马+小垂、小垂+穿心、饮马+穿心饮马+转换等 ※二、分类例析 一、饮马型 例1：如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，CE=3, DE=1, 点P在AC上，则PE+PD 的最小值是_____ . 解析：如图 例2：如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为____.
解析：如下图 二、小垂型 例3：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，点P是AB上的任意一点，作PD⊥AC于点D，PE⊥CB于点E，连接DE，则DE的最小值为_________. 解析：如下图 三、穿心型 例4：如图，在边长为4的菱形ABCD中，∠ABC=120°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN翻折得到△A′MN，连接A’C，则A’C长度的最小值是____. 解析：如下图
2008-2019年北京中考数学分类汇编：圆(pdf版)
2008～2019北京中考数学分类(圆) 一．解答题（共12小题） 1．在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，∠ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD． （1）求证：AD＝CD； （2）过点D作DE⊥BA，垂足为E，作DF⊥BC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM．若AD＝CM，求直线DE与图形G的公共点个数． 2．如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD． （1）求证：OP⊥CD； （2）连接AD，BC，若∠DAB＝50°，∠CBA＝70°，OA＝2，求OP的长．
3．如图，AB是⊙O的一条弦，E是AB的中点，过点E作EC⊥OA于点C，过点B作⊙O 的切线交CE的延长线于点D． （1）求证：DB＝DE； （2）若AB＝12，BD＝5，求⊙O的半径． 4．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E． （1）求证：AC∥DE； （2）连接CD，若OA＝AE＝a，写出求四边形ACDE面积的思路． 5．如图，AB是⊙O的直径，过点B作⊙O的切线BM，弦CD∥BM，交AB于点F，且＝，连接AC，AD，延长AD交BM于点E． （1）求证：△ACD是等边三角形； （2）连接OE，若DE＝2，求OE的长． 6．如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，⊙O的切线BD交AC的延长线于点D，E是
OB的中点，CE的延长线交切线BD于点F，AF交⊙O于点H，连接BH． （1）求证：AC＝CD； （2）若OB＝2，求BH的长． 7．如图AB是⊙O的直径，PA，PC与⊙O分别相切于点A，C，PC交AB的延长线于点D，DE⊥PO交PO的延长线于点E． （1）求证：∠EPD＝∠EDO； （2）若PC＝6，tan∠PDA＝，求OE的长． 8．已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连接BE． （1）求证：BE与⊙O相切； （2）连接AD并延长交BE于点F，若OB＝9，sin∠ABC＝，求BF的长． 9．如图，在△ABC，AB＝AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，点F在AC
中考数学知识点总结(完整版)
中考数学总复习资料 代数部分 第一章：实数 基础知识点： 一、实数的分类： ?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成 q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数： （1）实数a （a ≠0）的倒数是a 1；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值： （1）一个数a 的绝对值有以下三种情况：
?????-==0,0, 00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n 次方根 （1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。 （4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。 四、实数大小的比较 1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。 2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。 五、实数的运算 1、加法： （1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。 2、减法： 减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法： （1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。
北京中考数学试题分类汇编
目录 北京中考数学试题分类汇编 (2) 一、实数（共18小题） (2) 二、代数式（共2小题） (4) 三、整式与分式（共14小题） (5) 四、方程与方程组（共11小题） (6) 五、不等式与不等式组（共6小题） (8) 六、图形与坐标（共4小题） (9) 七、一次函数（共11小题） (11) 八、反比例函数（共5小题） (16) 九、二次函数（共10小题） (18) 一十、图形的认识（共11小题） (23) 一十一、图形与证明（共33小题） (26) 一十二、图形与变换（共12小题） (37) 一十三、统计（共15小题） (41) 一十四、概率（共6小题） (50) 北京中考数学试题分类汇编（答案） (52) 一、实数（共18小题） (52) 二、代数式（共2小题） (60) 三、整式与分式（共14小题） (62) 四、方程与方程组（共11小题） (68) 五、不等式与不等式组（共6小题） (75) 六、图形与坐标（共4小题） (78) 七、一次函数（共11小题） (83) 八、反比例函数（共5小题） (99) 九、二次函数（共10小题） (106) 一十、图形的认识（共11小题） (122) 一十一、图形与证明（共33小题） (130) 一十二、图形与变换（共12小题） (178) 一十三、统计（共15小题） (190) 一十四、概率（共6小题） (206)
2011-2016年北京中考数学试题分类汇编 本套试卷汇编了11-16年北京市中考数学试题真题，将真题按照知识点内容重新进行编排，通过试卷可看出北京中考数学学科各知识点所占整套试卷的百分比，知识点所对应的出题类型。学生可通过试卷针对自己薄弱知识点进行加强练习，通过真题感受中考题目的难易程度，有效的节省复习时间，省时高效地进行数学中考冲刺。 一、实数（共18小题） 【命题方向】实数这部分在初中数学中属于基础知识，课程标准对这部分知识点的要求都比较低，在各地中考中多以选择题、填空题的形式出现，也有少量计算题。 【备考攻略】这部分的主要任务是:了解有理数、无理数、实数的概念；会比较实数的大小，知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数；理解相反数和绝对值的概念及意义。进一步，对上述知识理解程度的评价既可以用纯粹数学语言、符号的方式，呈现试题，也可以建立在应用知识解决实际问题的基础之上，即将考查的知识、方法融于不同的情境之中，通过解决问题而考查学生对相应知识、方法的理解情况。了解乘方与开方的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解整数指数幂的意义和基本性质。 1．2的相反数是（） A．2 B．﹣2 C．﹣ D． 2．﹣9的相反数是（） A．﹣ B．C．﹣9 D．9 3．﹣的绝对值是（） A．﹣ B．C．﹣ D． 4．﹣的倒数是（） A．B．C．﹣ D．﹣ 5．神舟十号飞船是我国“神州”系列飞船之一，每小时飞行约28000公里，将28000用科学记数法表示应为（） A．2.8×103B．28×103 C．2.8×104D．0.28×105
中考必备：中考数学公式大全
1过两点有且只有一条直线 2两点之间线段最短 3同角或等角的补角相等 4同角或等角的余角相等 5过一点有且只有一条直线和已知直线垂直 6直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 7平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行8如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行 9同位角相等，两直线平行 10内错角相等，两直线平行 11同旁内角互补，两直线平行 12两直线平行，同位角相等 13两直线平行，内错角相等 14两直线平行，同旁内角互补 15定理三角形两边的和大于第三边 16推论三角形两边的差小于第三边 17三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180° 18推论 1 直角三角形的两个锐角互余 19推论 2 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 20推论 3 三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角
21全等三角形的对应边、对应角相等 22边角边公理（SAS）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 23角边角公理（ASA）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 24推论（AAS）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 25边边边公理（SSS）有三边对应相等的两个三角形全等 26斜边、直角边公理（HL）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等 27定理 1 在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等28 定理 2 到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上 29角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合 30等腰三角形的性质定理等腰三角形的两个底角相等（即等边对等角） 31推论 1 等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边 32等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合 33推论 3 等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60° 34等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边） 35推论 1 三个角都相等的三角形是等边三角形 36推论 2 有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形 37在直角三角形中，如果一个锐角等于30°那么它所对的直角边等于斜边的一半 38直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半
北京市2018年中考数学一模分类汇编(Word版)
代几综合 2018西城一模 28．对于平面内的⊙C 和⊙C 外一点Q ，给出如下定义：若过点Q 的直线与⊙C 存在公共点，记为点A ，B ，设A Q B Q k CQ += ，则称点A （或点B ）是⊙C 的“k 相关依附点”，特别地，当点A 和点B 重合时，规定AQ BQ =，2AQ k CQ = （或2BQ CQ ）． 已知在平面直角坐标系xOy 中，(1,0)Q -，(1,0)C ，⊙C 的半径为r ． （1）如图1 ，当r = ①若1(0,1)A 是⊙C 的“k 相关依附点”，则k 的值为__________． ②2(1A +是否为⊙C 的“2相关依附点”．答：__________（填“是”或“否”）． （2）若⊙C 上存在“k 相关依附点”点M ， ①当1r =，直线QM 与⊙C 相切时，求k 的值． ②当k =r 的取值范围． （3）若存在r 的值使得直线y b =+与⊙C 有公共点，且公共点时⊙C 附点”，直接写出b 的取值范围． x
2018平谷一模 28. 在平面直角坐标系xOy 中，点M 的坐标为()11,x y ，点N 的坐标为()22,x y ，且12x x ≠， 12y y ≠，以MN 为边构造菱形，若该菱形的两条对角线分别平行于x 轴，y 轴，则称该菱形 为边的“坐标菱形”. （1）已知点A （2,0），B （，则以AB 为边的“坐标菱形”的最小内角为_______； （2）若点C （1,2），点D 在直线y =5上，以CD 为边的“坐标菱形”为正方形，求直线CD 表达式； （3）⊙O ，点P 的坐标为(3,m ) .若在⊙O 上存在一点Q ，使得以QP 为边的“坐标菱形”为正方形，求m 的取值范围．