逆矩阵与伴随矩阵
伴随矩阵的性质知识讲解
伴随矩阵的性质
编号2009011118 毕业论文（设计） （ 2013 届本科） 论文题目：伴随矩阵的性质 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级：09级本科1班 作者姓名：魏瑞继 指导教师：俱鹏岳职称：副教授 完成日期：2013年 4 月20日
目录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (4) 摘要 (5) 关键词 (5) 0引言 (5) 1主要结论 (6) 1.1伴随矩阵的基本性质 (6) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (9) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (10) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (11) 2应用举例 (12) 例1 (12) 例2 (12) 结束语 (13) 参考文献 (13) 致谢 (14)
陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二〇一二年十二月二十日
伴随矩阵的性质 魏瑞继 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000） 摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1)i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A *= 112111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ???????L L M M O M M 称为矩阵A 的伴随矩阵.
矩阵与它伴随矩阵的关系1
矩阵与它伴随矩阵的关系 摘 要 通过对矩阵和伴随矩阵的学习，本文主要给出了伴随矩阵的定义和总结了它的一 些性质，如伴随矩阵的逆，行列式，转置，秩，矩阵的伴随矩阵的伴随矩阵与矩阵本身的 关系等.以及矩阵与它的伴随矩阵的关系,如两矩阵相似，则它们的伴随矩阵也相似等. 关键词 矩阵；伴随矩阵；转置；可逆；行列式；秩；相似矩阵；正定矩阵 1伴随矩阵的定义 设() n n ij a A ?=,则它的伴随矩阵()n n ij b A ?=* ,其中ji ij A b = (),,,3,2,1,n j i =ij A 为A 中ij a 的代数余子式. 2伴随矩阵的性质以及矩阵与它伴随矩阵的关系 2.1 I A A A AA ==**. 2.2 若A 非奇异，则* 11A A A =-. 2.3 ()()T T A A ** =. 证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且T A 也可逆. 故 ()()1 * -=T T T A A A =() T A A 1- 另一方面， ()()T T A A A 1* -==() T A A 1- 由上两式推出 ()() T T A A ** =. 2.4 ()() 1 ** 1 --=A A . 证 当A 可逆时，1*-=A A A ，且1-A 也可逆. 故 ()()A A A A A 1 1 11* 1= =---- 又由 E A A A A A A =??? ? ??=???? ??* *11 故 *A 也可逆，且()A A A 1 1 *= - 从而 ()() 1 ** 1 --=A A .
2.5 ()*1* A a aA n -= (a 为实数). 证 设()n n ij a A ?=，再设 ()()n n ij b aA ?=* ， 那么ij b 为行列式aA 中划去第j 行和第i 列的代数余子式1-n 阶行列式，其中每行提出公因子a 后，可得 ji n ij A a b 1-= ()n j i ,2,1,= 由此即证()*1* A a aA n -=. 2.6 1 *-=n A A ()2≥n . 证当A 可逆时，由于,1*-=A A A 两边取行列式 得 1 1* --==n n A A A A 当A 不可逆时，,0=A 这时秩1*≤A 所以.0*=A 从而也有 1 * -=n A A 所以对任意n 阶方阵,A 都有.1 *-=n A A 2.7 当秩n A =时，则秩n A =*.当秩1-=n A 时则秩1*=A .，当秩2-≤n A 则秩0*=A . 证 当秩,0≠?=A n A 那么由上面的（1）式有0*≠==n A I A AA 所以 ,0*≠A 即秩n A =* 当秩,01=?-=A n A 0*==I A AA 从而秩,1*≤A 又因秩,1-=n A 所以至少有一个代数余子式,0≠ij A 从而秩,1*≥A 于是秩,1*=A 当秩2-=n A ?0*=A 所以秩0*=A 同理秩2- 一．伴随矩阵的定义及符号 伴随矩阵是在求非奇异矩阵的逆矩阵时提出来的， 1.代数余子式的定义 为了定义伴随矩阵，需要先定义一个矩阵某一元素的代数余子式： 在行列式 11111..................j n i ij in ni nj nn a a a a a a a a a 中划去元素ij a 所在的第i 行与第j 列，剩下的2(1)n -个元素按原来的排法构成一个n-1级的行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij ij A M +=-为元素ij a 的代数余子式。 2.伴随矩阵的定义 设ij A 是矩阵 11111..................j n i ij in ni nj nn a a a A a a a a a a ?????? ??=?????????? 中元素ij a 的代数余子式，矩阵 112111222 2*12.........n n n n nn A A A A A A A A A A ???? ??=?????? 称为A 的伴随矩阵。 二．伴随矩阵的性质 1.伴随矩阵的基本公式：**AA A A A E == 由行列式按一行（列）展开的公式立即得出： **000000d d AA A A A E d ??????===?????? 其中d A =。 这是伴随矩阵的一个基本公式，我们可以从该等式出发推导出一些有关方阵的伴随矩阵的性质，使我们对伴随矩阵有一个更加全面的认识和理解。 2.在公式**AA A A A E ==基础上推导出的其他性质 （1）A 可逆当且仅当* A 可逆。 证明：若A 可逆，则A ≠0.由**AA A A A E ==知 * A A E A ?= 故*1A A A -= 两边取行列式得*1A A A -= 即*11n A A A ??= ? ??? 故*A 0≠，从而*A 可逆 （2）1*n A A -=，其中A 是n ?n 矩阵 证明：由**AA A A A E ==,知*n A A A = ①.当时，有及，故 伴随矩阵 在线性代数中，一个方形矩阵的伴随矩阵是一个类似于逆矩阵的概念。如果矩阵可逆，那么它的逆矩阵和它的伴随矩阵之间只差一个系数。然而，伴随矩阵对不可逆的矩阵也有定义，并且不需要用到除法。 A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 1.把D的各个元素都换成它相应的代数余子式；（代数余子式定义：在一个n级行列式A中,把元所在的第i行和第j列划去后，留下来的阶行列式叫做元的余子式，记为M ij；称（-1）^i+j *M ij为a ij的代数余子式） 2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵， 补充：（实际求解伴随矩阵即A*=adj（A）：去除A的行列式D中元素对应的第i行和第j列得到的新行列式D1代替a ij，这样就不用转置了） 即：n阶方阵的伴随矩阵A*为 A11 A12 (1) A21 A22 (2) 。。。 。。。 An1 An2 ……Ann 例如：A是一个2x2矩阵， a11，a12 a21，a22 则由A可得Aij (I,j=1,2)为代数余子式 此图片为相应代数余子式的计算过程。 则A的伴随矩阵A* 为 A11 A21 A12 A22 即 a22 , -a12 -a21, a11 （余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵） 注意：在matlab中一阶矩阵的伴随矩阵是空矩阵。 原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如 1 2 3 2 2 1 -------> 3 4 3 +2 6 -4 -3 -6 5 2 2 -2 其中1对应5 ；2 2 对应-3；3对应2；等等 基本性质： (1)AA*=A*A=|A|E; (2)|A*|=|A|n-1 具体求法 ①当矩阵是大于等于二阶时： 主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式. 非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的. 主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以(-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。 常用的可以记一下： a b —— 1/(ad-bc) (d -c c d -b a) ②当矩阵的阶数等于一阶时，他的伴随矩阵为一阶单位方阵. 3.二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换，副对角线符号相反 方阵 A 与其伴随矩阵*A 的关系 摘 要 本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵* A 的定义,讨论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵*A 之间的关 系,例如A 与*A 之间的关系，并且给出了相应的证明过程. 关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明 在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。 1．伴随矩阵的定义. 设n 阶方阵 ()?? ??? ? ? ??==?nn n n n n n n ij a a a a a a a a a a A 212221212111.令() ?? ?? ? ? ? ??==?nn n n n n n n ij A A A A A A A A A A A 212221212111 * ,其中ij A 是ij a 的代数余子式.则称*A 为A 的伴随矩阵. 2．矩阵A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证明. 2.1 *AA =A A *=AI det .当A 可逆时,有*1det 1A A A =-,即1* det -=AA A [1]. 证明：因为???≠==+++; ,0, ,det 2211j i j i A A a A a A a jn in j i j i 若若 ? ??≠==+++;,0, ,det 2211j i j i A A a A a A a nj ni j i j i 若若 所以*AA =A A * =????? ? ? ??A A A det 000det 000det =AI det . 当 A 是可逆矩阵时, 0det ≠A ,所以由上式得 ??? ??*det 1A A A =A A A ?? ? ??*det 1=I 即 伴随矩阵的若干性质及应用 摘要 矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n 阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单. 关键词 矩阵 伴随矩阵 特征值 引言 因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的 伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题. 本文出现的矩阵A 和B 均为n 阶方阵. 1.一般n 阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用 1.1 E A A A AA ==**,在求解A 与*A 的乘积，*A 和1-A 的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下： ()1当A 为可逆矩阵时，*A 也为可逆矩阵，由E A A A AA = =**可得()A A A = -1 *； ()2当A 为可逆矩阵时，由E A A A AA = =**可得1*-=A A A ； 例1、已知A 为一三阶矩阵，且??? ? ? ??=100310241A ，求() 1 * -A . 解 经计算可得1=A ，所以() ? ??? ? ??===-1003102411 *A A A A . 例2、已知A 为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为*A ，且4 1= A ，求()*1 32A A --. 解 ()1 111* 14 32132132------=-= -A A A A A A A 1611 4141413 131-=? ?? ??-=??? ??-=-=--A A A . 例3、已知A 和 B 均为n 阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为*A 和*B ，分块矩阵 ? ?? ? ??=B O O A C ，求C 的伴随矩阵* C . 解 由E C C C CC ==**得， ???? ??=???? ? ?=??? ? ??==------11 11 1 1 * B B A O O A B A B O O A B A B O O A B O O A C C C . 1.2 当A 为可逆矩阵时，有() () * 11 * --=A A 证明 因为 () E A A A E A AA 1 * 11 * ,---==故有，A A A * 1 =-；又因为A A 11=- 从而 () () E A E A A A A A A 1 1* 1 ** 11 = ==----，因0≠A ，故() E A A =-* 1*, 所以 () () * 11 * --=A A . 例4、已知A 为一三阶可逆矩阵，且???? ? ??=-2311123211 A ， 求*A 的逆矩阵. ㈠解 因为E A AA A A ==**，且A 为可逆矩阵，可得 () A A A A A 11 * --== ， 而2 311123 211=-A =8，() ???? ? ??------==--315513151811 1A A ,所以() ???? ? ??------=-3155131511 *A . 伴随矩阵的性质及其应用 摘要：在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它我们可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。伴随矩阵不仅仅可以求矩阵的逆，它还有很多重要的性质。本文介绍了伴随矩阵的十四条性质，每一条都给出了详细的证明，同时也给出了应用伴随矩阵性质的例子。伴随矩阵是矩阵学习中的重点和难点，它的性质及其应用更是学习中的重中之重，掌握这些性质、证明及其应用将有利于我们今后的数学学习. 关键词：伴随矩阵可逆矩阵方阵性质 Adjoint matrices properties and applications Abstract Adjoint matrices is matrix and linear algebra, is an important concept of an important branch of mathematics study many tools, through which we can deduce that the inverse matrix calculation formula of inverse square, is the problem can be solved, the status of adjoint matrix in the matrix, it is special the properties and application has unique characteristics. In university mathematics study, adjoint matrices is only used for the inverse matrix solution, not too deep understanding of adjoint matrix, actually there are many important properties, this paper introduces the properties of adjoint matrix 12 is given, every single detail of the proof and the partial nature, and introduces the application of the development process, along with matrix matrix was the key and difficult point matrix learning, it is also learning the properties and applications of priority, master these properties, proof and application will benefit our future mathematics learning. Keywords Adjoint matrix Reversible matrix The phalanx Properties 矩阵是高等数学中非常重要的一个概念，而且应用相当广泛，它是线性代数的核心，矩阵的运算、概念和理论贯穿整个线性代数的学习中。伴随矩阵是一种特殊矩阵，它和矩阵的逆矩阵有着紧密的联系，方阵的伴随矩阵是在求可逆矩阵的逆矩阵时提出 编号2009011118 毕业论文（设计） （ 2013 届本科） 论文题目：伴随矩阵的性质 学院：数学与统计学院 专业：数学与应用数学 班级：09级本科1班 作者姓名：魏瑞继 指导教师：俱鹏岳职称：副教授 完成日期：2013年 4 月20日 目录 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 (3) 摘要 (4) 关键词 (4) 0引言 (4) 1主要结论 (4) 1.1伴随矩阵的基本性质 (4) 1.2伴随矩阵的特征值与特征向量的性质 (8) 1.3矩阵与其伴随矩阵的关联性质 (9) 1.4两伴随矩阵间的关系性质 (10) 2应用举例 (11) 例1 (11) 例2 (11) 结束语 (12) 参考文献 (12) 致谢 (13) 陇东学院本科生毕业论文（设计）诚信声明 本人郑重声明：所呈交的本科毕业论文（设计），是本人在指导老师的指导下独立进行研究工作所取得的成果，成果不存在知识产权争议，除文中已经注明应用的内容外，本论文不含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 作者签名： 二〇一二年十二月二十日 伴随矩阵的性质 魏瑞继 （陇东学院 数学与统计学院 甘肃 庆阳 745000） 摘要：伴随矩阵是矩阵理论中一个重要的基本概念，我们对几类矩阵的伴随矩阵进行了研究，得到了一些有价值的结论，并给出了部分应用举例. 关键词：伴随矩阵；分块矩阵；正交矩阵；相似矩阵 0引言 伴随矩阵在高等代数中的作用是极其重要的，在关于伴随矩阵的一些性质可以应用到其他矩阵的计算证明中，在这时候就更需要这一方面的知识了，伴随矩阵的内容深入不仅增加了矩阵的内容，也补充了矩阵计算的不足，在矩阵的证明与应用中也得到广泛的推广. 定义1[1] 设矩阵()ij n n A a ?=,将矩阵A 的元素ij a 所在的第i 行第j 列元素划去后，剩余的 2(1)n -个元素按原来的排列顺序组成的1n -阶矩阵所确定的行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称(1)i j ij M +-为元素ij a 的代数余子式，记为ij A ，即 ij A = (1) i j ij M +-(i ,j=1,2,……,n). 定义2[2] 方阵()ij n n A a ?=的各元素的代数余子式ij A 所构成的如下矩阵 A * = 11 2111222212n n n n nn A A A A A A A A A ????? ??? ?? ?? 称为矩阵A 的伴随矩阵. 1主要结论 1.1伴随矩阵的基本性质 性质1 若A 是n 阶方阵(2)n ≥,那么 矩阵的伴随矩阵的性质 数学计算机学院数学与应用数学（师范）2011届方娜 摘要:本文首先回顾了伴随矩阵的定义，讨论了伴随矩阵的秩、可逆性、特征值及一些特殊矩阵的伴随矩阵，并加以证明.最后给出了某些性质的简单应用. 关键词:伴随矩阵;矩阵的秩; 矩阵的逆; 性质 中图分类号：O151.21 The properties of Adjoint Matrix Abstract:The concept of the adjoint matrix was firstly reviewed, then the rank, the reversibility, the eigenvalue of the adjoint matrix and adjoint matrices of some special matrices were discussed, with proofs of the properties being given out. Lastly, the simple applications of the properties about adjoint matrix were given out. Key words:adjoint matrix；the rank of the matrix；inverse matrix；property 目录 1 前言 (1) 2 伴随矩阵的定义 0 3 伴随矩阵的性质 0 3.1 伴随矩阵的基本性质 0 3.2 伴随矩阵秩的性质 (3) 3.3 伴随矩阵特征值的性质 (4) 3.4 特殊矩阵的伴随矩阵的性质 (4) 4 伴随矩阵的性质的简单应用 (7) 结束语 (8) 参考文献 (9) 致谢 (9) 方阵A 与其伴随矩阵* A 的关系 摘 要 本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵* A 的定义,讨论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵*A 之间的关系,例如A 与*A 之间的关系，并且给出了相应的证明过程. 关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明 在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。它们之间有很好的联系， 对我们以后的学习中有很大的用处。 1．伴随矩阵的定义. 设n 阶方阵 ()?? ?? ? ? ? ??==?nn n n n n n n ij a a a a a a a a a a A 2122212 12111 .令 () ?? ?? ? ?? ??==?nn n n n n n n ij A A A A A A A A A A A 2122212 12111 *,其中ij A 是ij a 的代数余子式.则称* A 为A 的伴随矩阵. 2．矩阵A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证明. 2.1 *AA =A A *= AI det .当A 可逆时,有*1 det 1 A A A = -,即1*det -=AA A [1]. 证明： 因为? ??≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a jn in j i j i 若若 ???≠==+++;,0, ,det 2211j i j i A A a A a A a nj ni j i j i 若若 所以*AA =A A * =????? ? ? ??A A A det 000det 000det = AI det . 当 A 是可逆矩阵时, 0det ≠A ,所以由上式得 ??? ??*det 1A A A =A A A ?? ? ??*det 1=I 即 *1det 1 A A A = -. 证毕. 2.2 ()* T A =()T A *.(显然) 2.3 若A 可逆，则()*1-A =() 1 *-A .(显然) 2.4 设A 为n 阶方阵()2≥n ，则 () ()()()?? ???=-=-<=n A r n n A r n A r A r 1110* [2]. 引理1.若()2≥?n n n 矩阵A ,B 满足0=AB ,则()()n B r A r ≤+. 证明: 因为0=AB ,所以B 的列向量是以A 为系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若()n A r =,则0det ≠A .由克拉默法则知,方程只有零解,从而0=B ,进而 ()0=B r ; 若()n r A r <=,则方程组的基础解系中含r n -个向量,于是()r n B r -≤, 因此有()()n B r A r ≤+. 证毕. 下面证明2.4. ⑴当()1- 伴随矩阵的性质及其应用 摘要： 伴随矩阵是矩阵理论及线性代数中的一个基本概念,是许多数学分支研究的重要工具。伴随矩阵作为矩阵中较为特殊的一类,其理论和应用有自身的特点.而在大学的学习中,伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现的,并没有深入的研究.本文分类研究伴随矩阵的性质,并讨论其证明过程,得到一系列有意义的结论。 (1)介绍伴随矩阵在其行列式、秩等方面的基本性质; (2)研究数乘矩阵、乘积矩阵、分块矩阵的伴随矩阵的运算性质及伴随矩阵在逆等方面的运算性质; (3)研究矩阵与其伴随矩阵的关联性质,主要介绍由矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性推出伴随矩阵的对称性、正定性、奇异性、正交性; (4)研究伴随矩阵间的关系性质,主要研究由两矩阵的相似、合同等关系推出对应的两伴随矩阵之间的关系; (5)研究伴随矩阵在特征值与特征向量等方面的性质; (6)给出m 重伴随矩阵的定义及其一般形式,研究m 重伴随矩阵的相应的性质。 本文的主要创新点在于研究了一类分块矩阵的伴随矩阵的性质。 矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。在天体物理、量子力学等领域，也会出现无穷维的矩阵，是矩阵的一种推广。 然而伴随矩阵在矩阵中占据着比较特殊的位置，通过它可以推导出逆矩阵的计算公式，使方阵求逆的问题得到解决，伴随矩阵的性质和应用有着与众不同的特点。在矩阵计算及讨论中, 常常会遇到伴随矩阵,但对伴随矩阵的一些性质进行系统讨论的却很少, 以下将主要针对伴随矩阵的各种性质及应用讨论。 关键词：伴随矩阵 可逆矩阵 方阵性质 1、 伴随矩阵的定义 定义 1.设ij A 是矩阵A =????? ?? ???? ?????nn n n n n a a a a a a a a a Λ Λ M O M M M O M M ΛΛΛΛ21222 2111211中元素ij a 的代数余子式，则矩阵A *=????? ?? ? ??? ?????nn n n n n A A A A A A A A A Λ Λ M O M M M O M M ΛΛΛΛ 2 122221112 11称为A 的伴随矩阵。 定义2.设A 为n 阶方阵，如果有矩阵B 满足AB=BA=E,则B 就称为A 的逆矩阵，记为B=1-A 。 *注意：只有方阵才有伴随矩阵和逆矩阵。 2、伴随矩阵的性质 性质1.设A 为n 阶方阵，AA * =A *A=A E . 中山大学 本科毕业论文（设计） （2016届） 题目：伴随矩阵及其应用 姓名： 学号： 学院：数学学院 专业： 指导老师： 申请学位： 摘要 伴随矩阵是高等代数中的一个重要概念，由它可以推导出求逆矩阵的计算公式，从而解决了矩阵求逆的问题.同时关于矩阵A 的伴随矩阵A* 的性质也是非常重要的. 在目前的高等数学教材中，伴随矩阵只是作为求解逆矩阵的工具出现，涉及内容较少，并没有深入的研究探讨.因此本文主要研究了伴随矩阵在对称性、合同性、正定性、正交性、特征多项式，特征值等方面的性质，并给出伴随矩阵在实际问题中的综合应用实例. 关键词：伴随矩阵，正交矩阵，正定矩阵，可逆矩阵，特征多项式，特征值 I Abstract Adjoint matrix is an important concept in higher algebra, it can derive inverse matrix calculation formula, so as to solve the inverse problem of matrix inversion. At the same time on matrix A with the nature of the matrix A is also very important. In the current teaching of higher mathematics, adjoint matrix is only for solving inverse matrix appeared, less involved in the content, and no in-depth study. Therefore, this paper mainly studies the properties of adjoint matrix in symmetry, contract, positive definite, orthogonal and characteristic polynomial, characteristic value, and given with with matrix in the practical problems in comprehensive application examples. Key words:adjoint matrix, orthogonal matrix, positive definite matrix, reversible matrix, characteristic polynomial, eigenvalue. II 方阵A 与其伴随矩阵*A 的关系 摘 要 本文给出了n 阶方阵A 的伴随矩阵*A 的定义,讨论了n 阶方阵A 与其伴随矩阵*A 之间的关系,例如A 与*A 之间的关系，并且给出了相应的证明过程. 关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明 在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。 1．伴随矩阵的定义. 设n 阶方阵 ()?????? ? ??==?nn n n n n n n ij a a a a a a a a a a A Λ M M M ΛΛ2122212 12111.令() ???? ?? ? ??==?nn n n n n n n ij A A A A A A A A A A A ΛM M M ΛΛ 212221212111* ,其中ij A 是ij a 的代数余子式.则称* A 为A 的伴随矩阵. 2．矩阵A 与其伴随矩阵*A 的关系及其证明. 2.1*AA =A A * =AI det .当A 可逆时,有*1det 1A A A = -,即1 *det -=AA A [1]. 证明：因为? ??≠==+++;,0,,det 2211j i j i A A a A a A a jn in j i j i 若若Λ ? ??≠==+++;,0, ,det 2211j i j i A A a A a A a nj ni j i j i 若若Λ 所以*AA =A A * =???? ?? ? ? ?A A A det 000det 000det ΛM M M ΛΛ=AI det . 当A 是可逆矩阵时, 0det ≠A ,所以由上式得 ??? ??*det 1A A A =A A A ?? ? ??*det 1=I 即 伴随矩阵 定义 A的伴随矩阵可按如下步骤定义： 1.把A的每个元素都换成它的代数余子式； （代数余子式定义：在一个n级行列式D中,把元素第i行第j列元素 aij (i,j=1,2,.....n)所在的行与列划去后，剩下 为aij的代数余子式,记作Aij=(-1)^(i+j) Mij. ） 2.将所得到的矩阵转置便得到A的伴随矩阵， 即：n阶方阵的伴随矩阵A*为 A11 A21 A31....An1 A12.................. An2 A13 ..................An3 .... ..... A1n................ Ann 例如：A是一个2x2矩阵， a11，a12 a21，a22 则A的伴随矩阵A* 为 a22,-a12 -a21, a11 （余子式定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j 列之后得到的(m -1)×(n - 1)矩阵的行列式。特殊规定：一阶矩阵的伴随矩阵为一阶单位方阵） 伴随矩阵的性质： 原矩阵中的值与伴随矩阵中的值一一映射，例如 1 2 3 2 2 1 -------> 3 4 3 +2 6 -4 -3 -6 5 2 2 -2 其中1对应5 ；2 2 对应-3；3对应2；等等 伴随矩阵的求法: ①当矩阵是大于等于二阶时： 主对角元素是将原矩阵该元素所在行列去掉再求行列式. 非主对角元素是原矩阵该元素的共轭位置的元素去掉所在行列求行列式乘以(-1)^(x+y) x,y为该元素的共轭位置的元素的行和列的序号，序号从1开始的. 主对角元素实际上是非主对角元素的特殊情况，因为x=y,所以 (-1)^(x+y)=(-1)^(2x)=1,一直是正数，没必要考虑主对角元素的符号问题。 常用的可以记一下： a b —— 1/(ad-bc) (d -c c d -b a) ②当矩阵的阶数等于一阶时，他的伴随矩阵为一阶单位方阵. 3.二阶矩阵的求法口诀:主对角线对换，副对角线符号相反 伴随矩阵相关问题求解方法小结（1） 来源：文都教育 考研数学试题中有不少与伴随矩阵相结合进行考查的题目，这类题目有的与行列式相结合，有的与矩阵的运算相结合，还有的与线性方程组相结合，更有甚者将多种因素综合起来进行考查. 本文通过总结历年考研题型，对与伴随矩阵有关这类试题进行总结，帮助考生进行系统复习. 首先，伴随矩阵的概念是在求矩阵的逆矩阵的概念中引入的. 几乎所有与伴随矩阵相关的试题都可通过下述公式推导出来，因而求解或证明伴随矩阵的有关问题常通过下述基本公式：** AA A A A E ==,其中A 为n 阶矩阵，这个公式是讨论与伴随矩阵有关的各种问题的基础. 当然，伴随矩阵的定义同样非常重要，它也是很多题目的考点之一. 它的定义如下： 设A 为n 阶矩阵，ij A 为矩阵A 中元素ij a (i , j =1, 2, …, n )的代数余子式，称矩阵 1121112222*12n n ji n n n n nn A A A A A A A A A A A ?????????==????????L L M M M L 为矩阵A 的伴随矩阵. 此外，与伴随矩阵相关的一些性质如下： 设A 为n 阶矩阵，则 (1) *1*()n kA k A -=（k 为常数）； (2) 2**()n A A A -=; (3) **()()T T A A =; (4) ***()A B A B =; (5) 若A 可逆，则*1A A A -=, *11*()()A A A A --==. 例 设A 为n 阶可逆矩阵，且2A A E =，则伴随矩阵*A = . 解 因为*A A A E =，所以*2 A A A =，又因为A 为n 阶可逆矩阵，故 摘要 伴随矩阵是高等代数中不可缺少的一部分内容，如果能深入的学习和探讨伴随矩阵，那将充分的充实高等代数中矩阵的内容，则对高等代数的理解、学习、应用起到良好的作用。本文开始详细的阐述了伴随矩阵的定义与基本性质为下面探讨做准备，接着进入伴随矩阵的计算，这是内容的重点和数学思想方法。伴随矩阵与原矩阵的关系，这有利于培养数学思想，提高数学思维。伴随矩阵的证明与转化的应用这是对基础性质和内容的巩固。通过对上面的探讨、进一步深入学习、推广、探索研究，从而丰富伴随矩阵的内容，掌握伴随矩阵的计算方法及数学思想，增强辩证思维，提高学习效率与能力，充实知识与内容。 关键词：伴随矩阵原矩阵性质计算 Abstract Adjoint matrix is an indispensable part of the higher mathematics. To study and explore further of adjoint matrix will not only enrich the knowledge of matrix, but also contribute to the study and understanding of higher mathematics. This thesis will give an elaboration of the definition and properties of adjoint matrix at the beginning, and focus on the calculation of adjoint matrix in the following chapter, which is the emphasis of the thesis and the thought and method of mathematics. Also, the study of the relationship between adjoint matrix and original matrix is helpful for the cultivation of thinking method on mathematics. The justification and transform of adjoint matrix consolidate the properties and content of adjoint matrix. the thesis try to enrich the adjoint matrix through further study and exploration step by step, and make the readers understand and master the calculation of adjoint matrix and the thinking method of mathematics, and also influence their dialectical thinking, study effect and ability. Key words: adjoint matrix original matrix properties calculation伴随矩阵的性质及应用
伴随矩阵
最新矩阵与伴随矩阵的关系
伴随矩阵的若干性质及应用
伴随矩阵的性质及其应用
伴随矩阵的性质
矩阵的伴随矩阵的性质
矩阵与伴随矩阵的关系
伴随矩阵的性质和应用
伴随矩阵的性质及应用汇总
矩阵与伴随矩阵的关系
伴随矩阵
伴随矩阵相关问题求解方法小结(1)
浅谈伴随矩阵的若干计算