“五羊杯”初中数学竞赛初三试题(含答案).

第十二届“五羊杯”初中数学竞赛试题初三试题

(考试时间：90分钟 满分：100分)

一、选择题(4选l 型，选对得5分，否则得0分．本大题满分50分．)

1．方程x ＝3-55

35x

3++ 的根是x ＝( )． (A)4-15 (B)4+15 (C)15-4 (1))3-5

2．设x ＝2-3，则x 7+3x 6-10x 5-29x 4++x 3-2x 2

+x －l 的值为( )． (A)610-2-323+ (B) 6102323+++ (C) 6102-327-++ (D) 6102327+++

3．若32x ＝6222x -526x

，则( )．

(A)2x >3x (B)2x <3x ， (C)2x >3x 或2x <3x 都有可能 (D)以上三者都不对

4．如图，两条平行直线m ，n 上各有4个点和5个点．任选这9个点中的两个连一条直线，则一共可以连( )条直线．

(A)20 (B)36 (C)34 (D)22

5．图中一共可以数出( )个锐角．

(A)22 (B)20 (C)18 (D)15

6．设[x]表示不大于x 的最大整数，例如[3．15]＝3，[3．7]＝3，

E 3]＝3，则

]200220012000[...5]43[]432[]321[3333??++??+??+??=( )．

(A)2 000 000 (B)2 001 000 (C)2 002 000 (D)2 003 001

7．如图，长方形图中有许多三角形．如果要找全等的三角形，一共可

以找出( )对．

(A)8 (B)7 (C)6 (D)4

8．设A 2＝0．012 345 678 987 654 3213(1+2+3 +……+9+……+3+2+1)，

B 2＝0，012 345 679，则92109(1-｜A ｜)B ＝ ( )．

(A)10 (B)±10 (C)l (D)±l

9．如图，正方形ABCD 外有一点P ，P 在BC 外侧，并夹在平行线AB

与CD 之间．若PA ＝17，PB ＝2 ，PC ＝5 ，则PD ＝( )， (A)25 (B)19 (C)32 (D)17

10．如图，D 是△ ABC 的边AB 延长线上一点，DE ∥BC ，E 在AC 延长线

上，EF ∥AB ，F 在BC 延长线上，已知S △ADE ＝m ，S △EFC ＝n ，则S 四边形BFED

＝( )． (A)4mn (B)3mn (C)2mn (D) mn

二、填空题(每小题填对得5分，不填、多填、少填、填错、仅部分填对均得0分．本大题满分50分)

1．分解因式：(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3)+10＝ ．

2.已知

4a -3c 32c -b 2b a ==+ ，则9b

8a 7c -6b 5a ++= ．(abc ≠0) 3.方程2x -92x -112x -172x -192x -152x -172x -112x -13+=+ 的解是x ＝ ． 4．已知：4zx z x 3zx -z x 3yz z y 2yz -z y 2xy y x xy -y x +++=+++=+++ ，且z

1-y 3x 2=，则 x= ,y= ，Z=

5，一个多边形的每个外角都等于10°，则它有 条对角线．

6．设a ，b ，c ，d 为正实数，aad ．有一个三角形的三边长分别为22c a +,22d b +,22c)-(d a)-(b +，则此三角形的面积为

7.如图，设P 为△ ABC 外一点，P 在边AC 之外，在∠B 之内．S △PBC ：

S △ PCA ：S △ PAB ＝4：2：3．又知△ ABC 三边a ，b ，c 上的高为ha ＝3，

h b ＝5，hc ＝6，则P 到三边的距离之和为 ．

8.已知5 =2．236，那么56-14253-95

-3+=

9．在三边长为自然数、周长不超过30、最大边与最小边之和恰好等于第三边的2倍的不等边三角形中，互不全等的三角形有 个．

10．如图，已知凸四边形ABCD 的两对角线BD 与AC 之比为k ，菱

形EFGH 各顶点位于四边形ABCD 的顺次四边之上，且EF ∥AC ，FG

∥BD ，则四边形ABCD 与菱形EFGH 的面积之比为 ．

答案

一、1．B． 2．A．3．D．

4．D．任选两点都在m(或n)上，只能连出直线m(或n)．若任选两点分别在m，n上，则可连435=2O条．所以一共可以连2 2条直线．

5．C．如图，以A为顶点的锐角总共有1+2+3=6个，以B为顶点的锐角也有6个，以C，D，F为顶点的锐角各有2个，所以图中一共可以数出1 8个锐角．

6．B．设n(n≥2)为自然数，有n-1<

5．5 94．设该多边形有n条边，则其n个外角之和为3 60°，即n21 0°一3 6 0°，n=3 6．此3 6边形的每个顶点都可向其他3 3个顶点(除了2个相邻顶点)连一条对角线，

又因为一条对角线有2个顶点，因此，对角线数目1 8 X 3 3=594．

第十三届“五羊杯”初中数学竞赛试题初三试题

(考试时间：90分钟 满分：100分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．)

1.方程2-7x

227x)

(17+++=0的根是x=( )， (A)97-14 (B)914-7 (C)311497-+ (D) 31

1497+

2.设x ＝3-2，则x 6+3x 5+11x 3

+2x+1＝( )． (A)143 +24 (B)143 -24 (C)143－32 (D)32－143 3．要使分式|

4-x ||

8-x |3-3-x 有意义，则x 的取值范围是( )． (A)x ≥12 (B)x ≥12或x ＝3，6，7，8，9，10

(C)x ≥3且x ≠4，5，11 (D)x ≥3

4.如图，∠AOB 的两边分别有5个点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5和4个点B 1,B 2，

B 3，B 4，线段AiB j (1≤i ≤5, 1≤j ≤4) 之中，在∠AOB

内及其边上不相交的一对线段称为“和睦线对”(不分顺序)，例如

A 5

B 4和A 4B 3便是和睦线对，那么图中一共有 ( )个“和睦线对”．

(A)100 (B)90 (C)66 (D)60

5．一块木板上钉有9枚铁钉，钉尖向上(如图)．用橡皮筋套住其中4枚铁钉，构成一个

平行四边形，共有( )种套法．

(A)82 (B)40 (C)22 (D)21

6．如图，按给定的点和边，一共可以数出( )个多边形，

(A)24 (B)30 (C)36 (D)40

7．设 x 表示不大于x 的最大整数， x ?表示不小于x 的最小整数, x ?

表示最接近x 的整数(x≠n+0．5，n 为整数)．例如 3.4 =3， 3.4?=4，

3.4?=3,则方程3 x +2 x ? +[ x ?=8的解为( )．

(A)满足l

(B)满足l

(C)满足l

(D)以上答案都不对

8．设[x]表示最接近x 的整数(x ≠n+0．5，n 为整数)，则

]36[]3[]2[]1[+???+++＝( )，

(A)131 (B)146 (C)161 (D)666

9．如图，梯形ABCD 两腰DA ，CB 的延长线交于O ．已知S △AOB ＝4，S △

AOC ＝9，则S 梯形ABCD ＝( )．

（A ）25（B ）16．25（C ）16（D ）15．25

10．如图，设梯形两对角线交于 M ，且 S △AOB=c 2,S △AMB=a 2,c>a>0,

则S 梯形ABCD =( )

（A ）22242)(4a c c a +（B ）22224a c c a +（C ）2224

2)

(4a c c a -（D ）22224a c c a -

二、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)

1．分解因式：(x 4-4x 2+1)(x 4+3x 2+1)+10x 4＝

2． 已知42b 3a c 33c 2c -b 23c -2b a ++=+=+,则2c

-3b a 3c 2b -a ++= ．(a ≠0) 3．不等式3

-4x 2-x -1-4x x 1-4x x -34x 2x >++的解是 4．设4

1y 3-x 2=，x ，y 都是正整数，则方程有 组正整数解．

5．一个多边形一共有14条对角线，则它的内角和为

6．上图是一个不规则的五角星，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E ＝ ．(用

度数表示)

7．把7个两两不同的球分给两个人，使得每人至少分得2个球，则不同

的分法共有 种．

8．如图，∠AOB ＝45°，角内有点P ，PO ＝10．在两边上有点Q ，R(均

不同于O)，则△ PQR 的周长的最小值为 ．

9．在三边长为自然数、周长不超过100、最长边与最短边之差不大于2

的三角形中，互不全等的三角形共有 个．

10．如图，△ ABC 的面积为S ，在BC 上有点A'，且BA'：A'C ＝m(m>0)；

在CA 的延长线有点B ’，且CB'：AB'＝n(n>1)；在AB 的延长线有点C'，

且AC'，BC ’＝k(k>1)．则S △A ’B ’C ’＝

初三答案

7．1 1 2．因为把7件彼此相异的物件分给两个人，每件物件都有2种分法，故不同的分法共有27=1 2 8种．其中，使得有一个人没有分得物件的分法有2种，使得有一个人恰好分得一件物件的分法有2 37=1 4种，故使得每人至少分得2件物件的分法共有1 2 8—2—1 4=112种．

2002年第1 4届“五羊杯”数学竞赛初三试题

一、选择题(4选1型，每小题选对得5分，否则得0分．本大题满分50分)

1．方程的根是x= ( )

2．设x 3-33 x 2+6x-22 -8=O ，则x 5-41x 2

+1的值为 ( ) A ．13-2 B ．-13+2 C.13 D ．1 3

3．绝对值方程|(x-2)(x+3)|=4+| x-1|的不同实数解共有 ( )

A ．1个

B 2个 C,3个D ．4个

4．设 x 表示不大于x 的最大整数， x ?表示不小于x 的最小整数, x ?表示最接近x 的整数(x≠n+0．5，n 为整数)．例如 3.4 =3， 3.4?=4， 3.4?=3．，则不等式8≤2x+ x +3 x ?+4 x ?≤14的解为 ( )

A ．0．5≤x≤2 B．0．5

C ．O ．5

D ．1．5

5．设 x ?表示最接近x 的整数(x ≠n+O ．5，n 为整数)，则

21?? + 32??+ 43??+…+ 101100??的值为 ( )

A 51 51 B.5150 C 5050 D. 5049

6．图中，按给定的点和边，可以数出的多边形共有 ( )

A ．31个B. 48个 C. 63个D ．1 5个

7．如图在等边△ABC 中，D 、E 、F 是三边中点．在图中可以数出的三角形

中，任选一对三角形(不计顺序)，如果这2个三角形至少有一条边相等，

便称之为一对“友好三角形”．那么，从图中选出“友好三角形”共有

( )

A ．120对 B.240对 C .234对 D ．114对

8．图中正方形ABCD 边长为2，从各边往外作等边三角形ABE 、BCF 、CDG 、

DAH ，则四边形AFGD 的周长为 ( ) A.4+26+22 B. 2+26+22 C. 4+23 +42 D ．4+23+42

9．如图，已知凸四边形ABCD 的面积为S ，四边AB ，BC ，CD,DA 的第1

个三等分点是E 、F 、G 、H ，连AF 、BG 、CH 、DE ，相邻两连线交于I 、．J 、

K 、L ，又△AEL，、△BFI、△CGJ、△DHK 的面积分别为a 、b 、c 、d ，

S 1=a+b+c+d ，则四边形IJKL 的面积为 ( ) A.194S S - B. 195S S - C. 192S S + D ．13

1S S +

10．设S=+，则S —T= ( )

二、填空题(每小题答对得5分，否则得O 分，本大题满分共50分．)

11．在实数范围内的分解因式：x 8-1=

1 2．已知

，a 、b,c≠0，a≠b,b≠c,c≠a，则

= ．(5a ≠2b+9c)

13．不等式的满足x>O 的解是 ． 14．5位数n ，满足以下4个条件：

1.n 是回文数(数字逆排仍等于自身的正整数称为回文数，例如33，252，10601);

2．n 是完全平方数；

3．n 的各位数字之和k 也是完全平方数；

4．k 是2位数，k 的2位数字之和r 也是完全平方数．那么，n= ．

15．平面上n 条直线，它们恰有2002个交点，n 的最小值是 ．

16．三边长为整数、周长等于20的互不全等的锐角三角形共有 个．

17．五羊大学建立分校，校本部与分校隔着两条平行的小河．如图

l1∥l2表示小河甲，l3∥l4表示小河乙，A为校本部大门，B为分校大

门．为方便人员来往，要在两条小河上各建一条桥，桥面垂直于河

岸．图中的尺寸是：甲河宽8米，乙河宽10米，A到甲河垂直距离

40米，B到乙河垂直距离20米，两河距离100米，A．B两点水平距

离(与小河平行方向)120米．为使A、B两点间来往路程最短，两条

桥都按这个目标而建，那么，此时A、B两点间来往的路程是米．

18．把7本不同的书分给甲、乙两人，甲至少要分到2 本，乙至少要分到1本，两人的本数不能只相差1，则不同的分法共有种．

19．已知正整数n大于30，且使得4n-1整除2002n，则n等于．

20．设2002!=13233343…32002，那么计算2002!的得数末尾有个0．

2002年第14届“五羊杯’’数学竞赛初三

一、选择题：1．B 2．C 3．D 4．C 5．C 6．A 7．D 8．A 9．D 10．B

2003年第15届“五羊杯”初中数学竞赛初三试题

一、选择题(4选1型，每小题选对得5分，否则得O 分．本大题满分50分)

1．方程223232323=+-+-+x

x

的根是 ( ) A.-3 B. 2 C.-1 D ．0。

2．设3x 3+(4—37)x 2一37x —7=O ，则x 4+7x 3一7x 2

一37x+2的值为 ( ) A ．307 B. 30 C. 7 D. 0

3．方程组?????=+=+0

|x ||y |4-y 0|y ||x |4-x 22在实数范围内( ) A.有1组解 B.有2组解 C.有4组解 D.有多于4组的解

4．设 x 表示不大于x 的最大整数， x ?表示不小于x 的最小整数, x ?表示最接近x 的整数(x≠n+0．5，n 为整数)．例如 3.4 =3， 3.4?=4， 3.4?=3．，则不等式组 23．2≤4 x +3 x ?+2 x ?+x ≤35．6

24．3≤4 x ?+3 x +2 x ?+x ≤37．7 的解为 ( )

A ．2．3≤x≤3．6，x≠2．5，3．5 B. 2≤x ≤4，x≠2．5，3.5

C. 2．3≤x≤3．6 D ．x=2，3

5．作自然数带余除法，有算式A÷B=C…27．如果B<100，且A-80B+21C+524=O ，则A=( )

A ．2003 B.3004 C ．4005 D ．4359

6．图由12个相同的菱形组成，其中的阴影部分(小菱形)的面积为1，那

么图中所有能够数得出来的平行四边形的面积之和为 ( )

A ．400 B.300 C 200 D ．150．

7．在1，2，3，…，200中既与96互质，又与75互质，而且与80也互质的所有整数的总和为 ( )

A 5468

B 6028

C 5828

D ．5058

8．图中，BP ：PQ ：QC=1：2：1，CG ：AG=1:2，则BE ：EF ：FG= ( )

A 12：17：7 B.11：16：6 C. 10：15：6 D ．9：14：5

9.设S=99

9795297527532531248

32??+??+??+??+??

T=99

97275253231148

2?+??+?+?+?，则12S-3T= ( ) A ．96032149- B. 9603249- C. 3201

2149- D ．3201249

- 10．设n=99…9(100个9)，则n 3

的10进位制表示中，含有的数字9的个数是 ( )

A ．201 B.200 C.100 D ．199

二、填空题(每小题答对得5分，否则得0分．本大题满分共50分)

11．在实数范围内分解因式：x 4-3x 2+4= ．

12．已知

13．不等式

的解是 ．

14．要使分式

和

都有意义，则x 的取值范围是 15．设，x ，y 是整数，则方程的非零整数解有 组． 16．如图，护城河在CC'处直角转弯，宽度保持为4米．从A 处往B

处，经过2座桥：DD'，EE'．设护城河是东西一南北方向的，A 、B 在

东西方向上相距64米，南北方向上相距84米．恰当地架桥可使AD 、

D'E’、EB 的路程最短．这个最短路程为 米．

17．四边形ABCD 的四边长为AB=34，BC=1m)-(72+，CD=22n)-(6m +，DA=16n 2+，一条对角线BD=22n)-(57+，其中m ，n 为常数，且0

18．设x≠0，x≠1，P=x 2-1，Q=2x 2x 1-，R=2

x)-(1x)-x(2，且AP+BQ+CR=s 对任意的x 都成立，其中A ，B ，c 为常数，s=2

24

2x)-(1x x x 5x 41-+-．则AQ+BR+CP= (x≠0，1)．

19．利用不等式3ABC 3

C B A ≥++，A ，B ，c>0，等号成立当且仅当A=B=C”解决以下问题：把长为8dm 宽为3dm 的长方形铁

片的四角各剪去一个边长相同的正方形小铁片，折成一个无盖长方体盒子(折缝不计)，要使所得到的盒子容积最大，剪去的4个正方形小铁片的边长应是x= dm．

20．以下算式中，每个汉字代表一个数字，不同的汉字代表不同的数字．那么这个算式的结果，非典不可怕”=．

可怕非典3抗3抗3抗3抗=非典不可怕

2003年第15届“五羊杯"初中数学竞赛初三

一、选择题：1．C 2．B 3．D 4．A 5．D 6．C 7．A 8．B 9．C 10．D