变温霍尔效应

实验8.2 变温霍尔效应

前言

美国物理学家霍尔(Edwin Herbert Hall ，1855～1938) 1879年在研究载流导体在磁场中的受力情况时，发现在垂直于磁场和电流的方向上产生了电动势，这种现象称为“霍尔效应”.根据霍尔效应，人们用半导体材料制成霍尔元件，它具有对磁场敏感、结构简单、体积小、频率响应宽、输出电压变化大和使用寿命长等优点，因此在测量、自动化、计算机和信息技术等领域得到广泛的应用.

霍尔效应对于半导体材料和高温超导体的性质测量非常重要.利用霍尔效应，可以确定半导体的导电类型和载流子浓度.利用霍尔系数和电导率的联合测量，可以用来研究半导体的导电机制.测量霍尔系数随温度的变化，可以确定半导体的禁带宽度、杂质电离能及迁移率等的温度特性.另外，应用霍尔效应可以制造精确测量磁感应强度的高斯计，可以制造电磁无损探伤器件以及电学和非电学测量的线性传感器.

实验目的

（1）．了解半导体中霍尔效应的产生机制，霍尔系数表达式的推导及其副效应的产生和消除.

（2）．掌握霍尔系数和电导率的测量方法.通过对测量数据的处理结果判别样品的导电类型，计算室温下所测半导体材料的霍尔系数、电导率、载流子浓度和霍尔迁移率.

（3）．掌握动态法测量霍尔系数及电导率随温度的变化，做出 H R ～1/，T δ～1/曲线,了解霍尔系数和电导率与温度的关系.

T （4）．了解霍尔器件的应用，理解半导体的导电机制.

实验仪器

实验仪器包括电磁铁、变温设备、测量线路、特斯拉计、可自动换向恒流电源、计算 机数据采集系统等.磁场可采用电磁铁或永久磁场.为避免磁阻效应对霍尔测量的影响，必须选用弱磁场，弱磁场条件为，迁移率4

10B μ?<μ的单位为cm 2/V·s ，B 的单位为特斯拉（T ）或高斯（Gs ）.本实验中磁场固定为0.2T （200mT 或2000Gs ）.

测量线路见图8.2-1，数字1、2、3、4为测试样品引出的四个电极,流过样品的电流由恒流源提供，实验中选用1mA ，电流过大会使样品发热，电流过小则检测信号太弱.霍尔电压，测量样品电导率的压降都利用数据采集仪在计算机上显示.样品电流的换向和磁场的换向可由计算机控制自动完成，也可采用手动操作.

12U 34U 变温设备可使样品温度由77K 到420K 范围之间连续变化.把样品架放入紫铜套内，外面包上绝缘材料，再绕以加热用的电阻丝，或在铜套外加热.

在霍尔系数的测量中样品的制备是一个重要环节，样品电极位置的对称性、电极接触电阻的大小等都直接影响到测量结果.此外，为了避免两电流电极的少数载流子注入和短路作用对测量结果的影响，两个端面要磨粗糙，并做成长度比宽度及厚度大得多的矩形样品.实验中把一定厚度的硅、锗单晶片或外延硅薄层（外延层和衬底的掺杂浓度不同）样品采用切割或腐蚀方法做成如图8.2-2的矩（或桥）形样品，在1、2、3、4、5、6电极处用蒸发、光刻、合金化等工艺技术制成欧姆接触电极.对于硅、锗半导体，电极金属材料可用铝、金铟合金（对多晶Si ）、金锑合金（对非晶Si ）、镍等.也有更为简单的四头样品，即纵向有5、6电极，横向只有位于中部的1、3电极.

图8.2-1 测量线路示意图 图8.2-2样品接线结构图 实验原理

1．半导体内的载流子

根据半导体导电理论,半导体内载流子的产生有两种机制：本征激发和杂质电离.

（1）本征激发

半导体材料内共价键上的电子受到热激发后有可能跃迁到导带上，在原来的共价键上留下一个电子缺位——空穴，这个空穴很容易被邻键上的电子跳过来填补，从而空穴转移到了邻键上.由此可以看出，半导体内电子和空穴两种载流子均参与了导电.这种不受外来杂质影响、由半导体本身靠热激发产生电子-空穴的过程，称之为本征激发.显然，导带上每产生一个电子，价带上必然留下一个空穴.因此，本征激发的电子浓度和空穴浓度n p 应相等，并统称为本征浓度.根据经典的玻尔兹曼统计可得

i n 31()exp(/2)'exp(/2)22

i c v g g n n p N N E kT K T E kT ===?=? 式中、分别为导带、价带有效状态密度，c N v N 'K 为常数，T 为温度，g E 为禁带宽度，k 为玻尔兹曼常数.

（2）杂质电离

在纯净的第IV 族元素半导体材料中，掺入微量III 或V 族元素杂质，这称为半导体掺杂.掺杂后的半导体在室温下的导电性能主要由浅杂质决定.

如果在硅材料中掺入微量III 族元素（比如B、Al 等），这些第III 族原子在晶体中取代部分硅原子组成共价键时，会从邻近Si-Si 共价健上夺取一个电子成为负离子，而邻近的

Si-Si 共价健由于失去一个电子就会产生一个空穴.这样满带中的电子就激发到禁带中的杂质能级上，使硼原子电离成硼离子，而在满带中留下空穴参与导电，这种过程称为杂质电离.产生一个空穴所需的能量称为杂质电离能，这样的杂质叫做受主杂质.由受主杂质电离而提供空穴导电为主的半导体材料称为p 型半导体.当温度较高时，浅受主杂质几乎完全电离，这时价带中的空穴浓度接近受主杂质浓度.

同样，在第IV 族元素半导体（如Si、Ge等）中，掺入微量第V 族元素，例如P、As等，那么杂质原子与硅原子形成共价键时，多余的一个价电子只受到磷离子P +微弱的束缚，在室温下这个电子可以脱离束缚使磷原子成为正离子，并向半导体材料提供一个自由电子.通常把这种向半导体材料提供一个自由电子而本身成为正离子的杂质称为施主杂质.以施主杂质电离提供电子导电为主的半导体材料叫做n 型半导体.

2．霍尔效应和霍尔系数

设一块半导体在x 方向上有均匀的电流x I 流过，在z 方向上加有磁场z B ，则在这块半导体的y 方向上出现一横向电势差H U ，这种现象被称为“霍尔效应”，H U 称为“霍尔电压”，所对应的横向电场H E 称为“霍尔电场”，如图8.2-3所示.

霍尔电场强度H E 的大小与流经样品的电流密度x J 和磁感应强度z B 的乘积成正比

H H x E R J B z =?? （8.2-1）

式中比例系数H R 称为“霍尔系数”.

下面以p 型半导体样品为例，讨论霍尔效应的产生原理并推导霍尔系数的表达式. 半导体样品的长、宽、厚分别为L 、a 、b ，半导体载流子（空穴）的浓度为，它们 p 在电场x E 作用下，以平均漂移速度x v 沿x 方向运动，形成电流x I .在垂直于电场x E 方向

图8.2-3 霍尔效应示意图

上加一磁场z B ，则运动着的载流子要受到洛仑兹力的作用

F qv B =×

（8.2-2） 式中为空穴电荷电量.该洛仑兹力指向-y 方向，因此载流子向-y 方向偏转，这样在样品的左侧面就积累了空穴，从而产生了一个指向+y 方向的电场——霍尔电场q y E .当该电场对空穴的作用力y qE 与洛仑兹力相平衡时，空穴在y 方向上所受的合力为零，达到稳态.稳态时

电流仍沿x 方向不变，但合成电场x y E E E =+J K 不再沿x 方向，

E J K 与x 轴的夹角称“霍尔角”.在稳态时，有

y x z qE qv B = （8.2-3）

若y E 是均匀的，则在样品左、右两侧面间的电位差

H y x z U E a v B a =?=? （8.2-4）

而x 方向的电流强度

x x I q p v ab =??? （8.2-5）

将（5）式的x v 代入（4）式得霍尔电压

1(

)x z H I B U qp b

=? （8.2-6） 由（1）、（3）、（5）式得霍尔系数 1H R qp

= （8.2-7） 对于n 型样品，载流子（电子）浓度为，霍尔系数为

n 1H R qn =?

（8.2-8）

上述模型过于简单.根据半导体输运理论，考虑到载流子速度的统计分布以及载流子

在运动中受到散射等因素，在霍尔系数的表达式中还应引入一个霍尔因子A ，则（8.2-7）

、 （8.2-８）式应修正为

p 型： 1H R A qp

= （8.2-9）

n 型： 1H R A qn

=? （8.2-10） A 的大小与散射机理及能带结构有关.由理论算得，在弱磁场条件下，对球形等能面 的非简并半导体，在较高温度（此时晶格散射起主要作用）情况下，

3 1.188

A π== 一般地，Si 、Ge 等常用半导体在室温下属于此种情况，A 取为1.18.在较低温度（此时电离杂质散射起主要作用）情况下，

315 1.93512

A π== 对于高载流子浓度的简并半导体以及强磁场条件，A ＝1；对于晶格和电离杂质混合散 射情况，一般取文献报道的实验值.

上面讨论的是只有电子或只有空穴导电的情况.对于电子、空穴混合导电的情况，在计 算H R 时应同时考虑两种载流子在磁场下偏转的效果.对于球形等能面的半导体材料，可以证明： 22'22()

()()(p n H p n A p n '2

)A p nb R q p n q p nb μμμμ??==++ (8.2-11） 式中'n p b μμ=，n μ、p μ为电子和空穴的迁移率.

从霍尔系数的表达式可以看出：由H R 的符号（也即H U 的符号）可以判断载流子的类型，正为p 型，负为n 型（注意，所谓正、负是指在x 、y 、z 坐标系中相对于y 轴方向而言，见图8.2-3.I 、B 的正方向分别为x 轴、z 轴的正方向，则霍尔电场方向为y 轴方向.当霍尔电场方向的指向与y 正向相同时，则H U 为正）；H R 的大小可确定载流子的浓度；还可以结合测得的电导率σ算出如下定义的霍尔迁移率H μ H H R μσ=? （8.2-12）

H μ的量纲与载流子的迁移率相同，通常为cm 2/V·s ，它的大小与载流子的电导迁移率有密切的关系.

霍尔系数H R 可以在实验中测量出来，若采用国际单位制，由（8.2-6）

、（8.2-7）式可得

H H x z

U b R I B = (m 3／Ｃ） （8.2-13）

但在半导体学科中习惯采用实用单位制（其中，b ：厘米，z B ：高斯），则 H H x z

U b R I B =

×108 (cm 3／Ｃ）

3．霍尔系数与温度的关系

图8.2-4霍尔系数与温度的关系

H R 与载流子浓度之间有反比关系，因此当温度不变时，H R 不会变化；而当温度改变时，载流子浓度发生变化，H R 也随之变化.图8.2-4是H R 随温度T 变化的关系图,图中纵坐标为H R 的绝对值，曲线A 、B 分别表示n 型和p 型半导体的霍尔系数随温度的变化曲线.

下面简要地讨论曲线B ：

（1）杂质电离饱和区.在曲线(a)段，所有的杂质都已电离，载流子浓度保持不变.p 型

半导体中p n ，

（8.2-11）式中可忽略，可简化为 'nb 110H A

R A

A qp qN ==> 式中为受主杂质浓度. A N （2）温度逐渐升高，价带上的电子开始激发到导带，由于n p μμ>，所以，当温度升到使'1b >'2

p nb =时，，出现了图中(b)段.

0H R = （3）温度再升高时，更多的电子从价带激发到导带，'2p nb <而使，（8.2-11）式中分母增大，0H R

A p n N =+，将它代入（8.2-11）式，并对求微商，可以得到当 n '1

A N n b =

? 时，H R 达到极值HM R ： 11HM A

R A A qp qN == (8.2-14) 由此式可见，当测得HM R 和杂质电离饱和区的H R ，就可定出b ′的大小.

（4）当温度继续升高，达到本征范围时，半导体中载流子浓度大大超过受主杂质浓度， 所以H R 随温度上升而呈指数下降，H R 则由本征载流子浓度来决定，此时杂质含量不同或杂质类型不同的曲线都将趋聚在一起，见图8.2-4中(d)段.

i N 4．半导体的电导率

在半导体中若有两种载流子同时存在，则其电导率σ为

p qp qn n σμμ=+

（8.2-15）

图8.2-5 电导率σ与温度T 的关系

实验得出σ与温度T 的关系曲线如图8.2-5所示.

现以p 型半导体为例分析：

(1) 低温区.在低温区杂质部分电离，杂质电离产生的载流子浓度随温度升高而增 加，而且p μ在低温下主要取决于杂质散射，它也随温度升高而增加.因此，σ随的增加 T 而增加，见图8.2-5的（a ）段.

(2) 室温附近.此时，杂质已全部电离，载流子浓度基本不变，这时晶格散射起主要作用，使p μ随T 的升高而下降，导致σ随T 的升高而下降，见图8.2-5的（b ）段.

(3) 高温区.在这区域中，本征激发产生的载流子浓度随温度升高而指数地剧增，远远

超过p μ的下降作用，致使σ随T 而迅速增加，见图8.2-5的（c ）段.

实验中电导率σ可由下式计算出：

1

I l U ab

σσρ?==? (8.2-16） 式中ρ为电阻率，I 为流过样品的电流，U σ、l 分别为两测量点间的电压降和长度. 对于不规则形状的半导体样品，常用范德堡(Van der Pauw)法测量，它对电极对称性 的要求较低，在半导体新材料的研究中用得较多.

5．霍尔效应中的副效应

在霍尔系数的测量中，会伴随一些由热磁副效应、电极不对称等因素引起的附加电压叠 加在霍尔电压H U 上，下面作些简要说明：

（1）爱廷豪森(Ettinghausen)效应.在样品x 方向通电流x I ，由于载流子速度分布的统计性，大于和小于平均速度的载流子在洛仑兹力和霍尔电场力的作用下，沿y 轴的相反两侧偏转，其动能将转化为热能，使两侧产生温差.由于电极和样品不是同一种材料，电极和样品形成热电偶，这一温差将产生温差电动势，而且有

E U E x U I B z ∝?

这就是爱廷豪森效应.方向与电流E U I 及磁场B 的方向有关.

（2）能斯脱(Nernst)效应.如果在x 方向存在热流x Q （往往由于x 方向通以电流，两端电极与样品的接触电阻不同而产生不同的焦耳热，致使x 方向两端温度不同），沿温度梯度方向扩散的载流子将受到z B 作用而偏转，在y 方向上建立电势差，有

N U N x U Q B z ∝?

这就是能斯脱效应.方向只与N U B 方向有关.

（3）里纪-勒杜克(Righi-Ledue)效应.当有热流x Q 沿x 方向流过样品，载流子将

倾向于由热端扩散到冷端，与爱廷豪森效应相仿，在y 方向产生温差，这温差将产生 温差电势，这一效应称里纪-勒杜克效应.

RL U RL x z U Q B ∝?

RL U 的方向只与B 的方向有关.

(4) 电极位置不对称产生的电压降.在制备霍尔样品时，y 方向的测量电极很难 0U 做到处于理想的等位面上，见图8.2-6.即使在未加磁场时，在A 、B 两电极间也存在一个由于不等位电势引起的欧姆压降

0U 00x U I R =?

其中0R 为A 、Ｂ两电极所在的两等位面之间的电阻，方向只与0U x I 方向有关.

图8.2-6 电极位置不对称产生的电压降

0U 样品所在空间如果沿y 方向有温度梯度，则在此方向上产生的温差电势也将叠加在T U H U 中，与T U I 、B 方向无关.

6.副效应引起的系统误差的消除

综上所述，在确定的磁场B 和电流I 下，

实际测出的电压是H U 、、、和这5种电压的代数和.根据副效应的性质，可以通过改变实验条件，消除它们的影响. E U N U RL U 0U 上述5种电势差与B 和I 方向的关系如表8.2.1所示.

表8.2.1 电势差与B 和I 方向的关系 H U

E U N U RL U 0U I

B I B I B I B I B 有关

有关有关 有关无关有关无关有关

有关 无关 这些副效应引起的附加电压的正负与电流或磁场的方向有关，我们可以通过改变电流和磁场的方向，来消除、、，具体做法如下：

N V R V 0V ① 给样品加（＋B、＋I）时，测得3、4两端横向电压为

Ｕ1＝＋ＵH ＋ＵE ＋ＵN ＋ＵRL ＋Ｕ0＋ＵT

② 给样品加（＋B、－I）时，测得3、4两端横向电压为

Ｕ2＝－ＵH －ＵE ＋ＵN ＋ＵRL －Ｕ0＋ＵT

③ 给样品加（－B、－I）时，测得3、4两端横向电压为

Ｕ3＝＋ＵH ＋ＵE －ＵN －ＵRL －Ｕ0＋ＵT

④ 给样品加（－B、＋I）时，测得3、4两端横向电压为

Ｕ4＝－ＵH －ＵE －ＵN －ＵRL ＋Ｕ0＋ＵT

由以上四式可得 1234

H E H U -U +U -U U +U U =4? (8.2-17）

将实验时测得的Ｕ1、Ｕ2、Ｕ3和Ｕ4代入上式，就可消除ＵN、ＵRL、Ｕ0、ＵT 等附加电压引入的误差.通常

比E U H U 小得多，可以略去不计. 若要消除的影响，可将霍尔片置于恒温槽中，也可将工作电流改为交流电.因为的建立需要一定的时间，而交变电流来回换向，使

始终来不及建立. E U E

U E U 实验内容

1．测量室温下锗样品的霍尔系数和电导率

首先熟悉样品架、磁场、测量线路，仪器和软件.把样品（商品化的四头样品）置于电磁铁两磁极间的中心，样品与磁场方向垂直，B 固定为0.2T .样品电流定为1mA （3、4两电极间）.测1、2电极间的电压，改变磁场和电流方向，共测四次；求的平均值得到霍尔电压12U 12U H U .测，不加磁场,电流换向后再测一次,取两次的平均值，得平均值得U 34U σ.

2．变温霍尔系数及电导率的测量

把样品连同样品架放入装有液氮的杜瓦瓶内，冷到77K 后将样品架放入磁场中固定，由计算机控制，自动测量随样品自动升温的霍尔系数，并测量高温霍尔系数.测完后再放入液氮中降温，动态测量电导率随温度的变化.

3．数据处理

（1）判断样品的导电类型.

（2）计算室温下的霍尔系数及电导率，并计算样品的载流子浓度和霍尔迁移率. （3）由变温测量的数据，做出以下几条随温度变化的曲线

1T ρ∝；1T σ∝；1H T

μ∝； 并定性解释，由曲线求出禁带宽度g E .

实验步骤

（1）打开实验仪器及电脑程序，单击“数据采集”.

（2）将样品放入机座，对好槽口固定.

（3）将“测量方式”拨至“稳态”，样品“电流换向方式”拨至“手动”，磁场测量和控制仪换向转换开关拨至“手动”，调节电流至磁场为设定值（200mT ）.

（4）“测量选择”拨至“H R ”测得分别正向磁场B +，样品正向电流I +时霍尔电压，1U B +，I ?时，2U B ?，I ?时，3U B ?，I +时.

4U （5）将电磁铁电流调到零，测量选择拨至“δ”测得I +时，5U I ?时值.

6U （6）将样品架拿出放入液氮中（装有液氮的保温杯或杜瓦瓶）降温.

（7）“测量选择”拨至“H R ”

，“样品电流”换至“自动”，“测量方式”换至“动态”，“磁场控制”换至“自动”并调节电流至磁场设定值（200mT ）（如无电流按“复位”按钮后调节）温度显示为77K 时，将样品架放回电磁铁中，单击“数据采集”和“电压曲线”，可看到测量数据，随着样品自然升温，可测得四条曲线.当温度接近室温时，调节温度设定至加热指示灯亮，并继续调大，升温至420K 时，保存数据.

(8) 将调节温度设定调至最小（逆时针）将样品再放入液氮中降温.

(9) 测量选择拨至“δ”，单击“数据采集”和“电压曲线”，可看到测量数据，当温度降至77K 时拿出，随着样品自然升温，可测得二条曲线.当温度接近室温时，调节温度设定至加热指示灯亮，并继续调大，升温至420K 时，保存数据.将调节温度设定调至最小（逆时针）.

(10) 打开保存的霍尔数据，单击霍尔曲线可得霍尔系数随温度变化的曲线.

(11) 打开保存的电导率数据，单击电导曲线可得电导率随温度变化的曲线.

思考题

１．分别以p 型、n 型半导体样品为例，说明如何确定霍尔电场的方向.

２．霍尔系数的定义及其数学表达式是什么？从霍尔系数中可以求出哪些重要参数？ ３．霍尔系数测量中有哪些副效应，通过什么方式消除它们？你能想出消除爱廷豪森效应的方法吗？ 4.定性说明曲线T 1=ρ；T

1=σ. 参考文献

[1] 黄昆，谢希德.半导体物理学.北京：科学出版社，1958

[2] 刘恩科，朱秉升，罗晋生.半导体物理学.北京：国防工业出版社，1994

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[4] 中科院理化测试中心.半导体检测与分析.北京：科学出版社，1984

[5] 南京大学科教仪器厂. HT-648型变温霍尔效应实验仪使用说明书，2007