均匀设计方法简介

均匀设计方法简介

在工农业生产和科学研究中，常须做试验，以获得予期目的：改进生产工艺，提高产品收率或质量，合成出某化合物等等。怎样做试验，是大有学问的。本世纪30年代，费歇（R.A.Fisher）在试验设计和统计分析方面做了一系列先驱工作，使试验设计成为统计科学的一个分支。今天，试验设计理论更完善，试验设计应用更广泛。本节着重介绍均匀设计方法。

一、试验设计

对于一项试验，例如用微波加热法通过离子交换制备Cu13X分子筛。我们可以13X分子筛、CuCl2为原料来制备，为寻找最佳条件，应如何设计这个试验呢？若我们已确定了微波加热功率（A）、交换时间（B）、交换液摩尔浓度（C）为三个影响因素，每个因素取五个不同值（即水平：A1，…，A5，B1，…，B5，C1，…，C5）。有两种方法最易想到：

1．全面试验：将每个因素的不同水平组合做同样数目的试验。对上述示例，不计重复试验，共需做5×5×5=125次试验。

2．多次单因素试验：依次考查各因素（考查某因素时，其它因素固定）取最佳值。容易知道，对上示例（不计重复试验）共需做3×5=15次试验。该法在工程和科学试验中常被人们采用，可当考查的因素间有交互作用时，该法所得结论一般不真。

3．正交设计法：利用正交表来安排试验。

本世纪60年代，日本统计学家田口玄一将试验设计中应用最广的正交设计表格化，使正交试验设计得到更广泛的使用。

70年代以来，我国许多统计学家深入工厂、科研单位，与广大工程技术人员、工人一起，广泛开展正交设计的研究、应用，取得了大批成果。该法是目前最流行，效果相当好的方法。

正交表记为：L n(q m)，这里“L”表示正交表，“n”表总共要做的试验次数，“q”

表每个因素都有q个水平，“m”表该表有4列，最多可安排m个因素。常用的二水平正交表为L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)；三水平正交表有L9(34)，L27(313)；四水平正交表L16(45)及五水平正交表L25(56)等。采用拟水平法，人们还得到一系列在实际中很有用的混合水平正交表，例如：L8(4×24)，L12(23×31)，L16(44×23)等，此处L16(44×23)表示要做16次试验，允许最多安排四个“4”水平因素，三个“2”水平因素。在我们的示例中，可取L25(56)。该正交表如下：

6

表1. L

6

十分明显，不计重复试验总共需做52=25次试验。

观察此表，可知有如下特点：1）每个因素的水平都重复了五次试验；2）每两个因素的水平组成了一个全面试验方案。这两个特点反映了试验点在试验范围内排列规则整齐，人们称为“整齐可比”，另一方面，这些试验点在试验范围内散布均匀，人们称此特点为“均匀分散”。正交设计的优点本质上来自“均匀分散，整齐可比”这两个特点。 4．均匀设计法

1978年，我国七机部由于导弹设计的要求，提出了一个五因素的试验，希望每个因素的水平数要多于10，而试验次数又不超过50。为了解决这一问题，我国数学家方开泰和王元教授经过几个月的共同研究，应用数论方法，舍弃正交设计的“整齐可比”性，创造了只考虑试验点在试验范围内的均匀散布的一种试验设计方法，即所谓“均匀设计”，很好地解决了七机部的导弹设计问题。

均匀设计可按均匀设计表及相应的使用表安排试验。所谓均匀设计表是根据均匀设计理论得到的，类比正交设计表，记为U n (q m )，n 总试验次数，q 各因素的水平数，m 可能安排的因素数。例如，我们前面提到的Cu13X 分子筛的制备问题，就可以用如下的U 5(54)表来安排。

4由该表我们可以看到：该法有其独特的布点方式，其特点有： 1） 每个因素的每个水平做一次且仅做一次试验； 2） 任两个因素的试验点点在平面的格子点上，每行每列有且仅有一个试验点； 3） 均匀设计表任两列组成的试验方案一般并不等价。此点要求每个均匀设计表必

须有一个附加的使用表； 4） 当因素的水平数增加时，试验数按水平数的增加量在增加。

二、 均匀设计表的构造

均匀设计表是一个方阵。设方阵有n 行m 列，每一行是{1，2，···,n }的一个置换（即1，2，···,n 的重新排列），表的第一行是{1，2，···,n }的一个子集，但不一定是真子集。

可以用好格子点法来构造符合上述定义的均匀设计表。方法如下： 1. 给定试验次数n ，寻找比n 小的整数h ，且使n 和h 的最大公约数为1，符合这些条件的正整数组成一个向量h =（h 1，h 2，···,h m ） 例如：n=7，h =（1，2，3，4，5，6）；n=9，h =（1，2，4，5，7，8） 2. 均匀设计表的第j 列由下法生成

u ij = ih j [mod n ]

这里[mod n ]表示同余运算，若ih j 超过n ，则用它减去n 的一个适当倍数，使差落

在[1，n ]之中。 ih j 可以递推生成： u ij = h j u i+1，j = u ij +h j 若u ij +h j ≤n u i+1，j = u ij +h j -n 若u ij +h j >n i = 1，2，···,n -1 例如，对于n=7，h=（1，2，3，4，5，6）而言，有： 若h 4=4，则u 14=4，u 24= u 14+ h 4-n=8-7=1，u 34=u 24+h 4=5 [mod n ] u 44=u 34+h 4-n=9-7=2，u 54=u 44+h 4=6，u 64=u 54+h 4-n=10-7=3 [mod n ] u 74=u 64+h 4=7 [mod n ] 依此类推，易得u ij （i=1，···，n ；j=1，2，3，4，5，6） ，於是得U 7(76)如下：

6

这样生成的均匀设计表特记作U n (n )，向量h 称为该均匀设计表的生成向量，有时为强调h 的作用，将U n (n m )记成U n (h )。给定n ，相应的h 可如上述方便地求得，从而m 也即确定，故m 是n 的一个函数，其曾由欧拉研究过，称为欧拉函数，记为E(n)。由数论得出下列结论： 1） 当n 为素数（一个正整数，它与其所有比它小的正整数的最大公约数均为1）时，

E （n -1）=n -1。 2） 当n 为素数幂时，即n 可表成n=p L ，p 素数，L 正整数，有 E （n ）=n （1-p 1）

例，n=9，可表为n=32，于是E （9）=9（1-31）=6

3） 若n 不属于上述两种情况，n 一定可表为不同素数的方幂积，即 n=s l

s l

l

p p p ???2121

这里s p p p ???,,21为不同素数，s l l l ???,,21为正整数。这时

E （n ）=n （1-

1

1p ）（1-

2

1

p ） (1)

s

p 1）

例如，n=12，可表为n=22×3，于是

E （12）=12（1-21）（1-31）=4，即U 12最多只可能有4列。

上述三种情形中，以素数情形为最好，最多可能获得n -1列；非素数情形，上述表的结

构中永远不可能有n -1列。王元，方开泰（1981年）建议，对n=偶数情形，均匀设计表由n+1的U 表去掉最后一行来构造。例如，可将U 7(76)表的最后一行去掉构造U 6表如下：

6

为和由好格子点法构造的U 6表[即U 6（66

）

]相区别，上述方法构造的U 6表记为)6(66*U ，两者关系和各自特点如下：

1） 所有*

n U 表是由U n+1表中划去最后一行而得

2） U n 表的最后一行全部由水平n 组成，*

n U 表的最后一行则不然 3） 若n 为偶数，*

n U 表比U n 表有更多的列 4） 若n 为奇数，则*n U 表的列数通常少于U n 表 5） *

n U 表比U n 表有更好的均匀性，应优先采用*

n U 表 6） 若将U n 或*

n U 的元素组成一个矩阵的秩最多分别为

21)(+n E 及2

1

)1(++n E 。 三、 均匀性准则和使用表的产生

1、 均匀性准则—偏差（略）

2、 均匀设计使用表的产生——整数同余幂法

我们已经知道，产生均匀设计使用表，实际上就是从U n （n m ）中选出S 列，使其相应

的均匀设计有最小的偏差。当m 和S 较大时，从m 列中取出S 列的数目有)(m

s 之多，要比

较这么多组点集的均匀性，工作量很大。故需有简化计算和近似求解的方法，这里介绍整数同余幂法。

令a 为小于n 的整数，且a ，a 2（mod n ），…，a t （mod n ）互不相同，a t+1=1（mod n ），则称a 对n 的次数为t 。例如：

21=2，22=4，23=3，24=1 （mod 5） 则2对5的次数为3。

31=3，32=9，33=5，34=4，35=1 （mod 11） 则3对11的次数为4。 一般若a 对n 的次数大于或等于S -1，且（a ，n ）=1，则可用 （a 0，a ，a 2，…，a S-1） (mod n)

作为生成向量，故a 称为均匀设计的生成元。

在一切可能的a （最多n -1个）中去比较相应实验点的均匀性，工作量则大大减少，理论和实践都证明，这种方法获得的均匀设计使用表仍能保证设计的均匀性。于是，只要求得最优的a ，给定n 和S ，便可获得生成向量，从而获得相应的均匀设计表及使用表。附录1给出了奇数n （5≤n ≤31及n=37）的U n 表生成元及其相应均匀设计的偏差。同时对偶数n （6≤n ≤30）给出了*

n U 表的生成元和相应均匀设计的偏差。附录2给出了奇数n 的*

n U 表的生成向量和相应均匀设计表的偏差。由附录1和附录2，我们即可获得一系列均匀设计表

*n U 或U n 及其使用表。例如由试验需要构造U 9(95)均匀设计表及使用表，则根据附录1示知：

n=9，m=4，a=2，故U 9(95)的第一行元素为1，2，4，8，7；按升幂排列成1，2，4，7，8。利用前已述及的求U ij 的递推公式求算U ij ，即得到如下U 9(95)表:

5

综合考虑m=2，a=4及m=3，a=4的情况，易得到下列的相应使用表及偏差 5四、在多因素试验中，由于试验精度的限制，很多情况下各因素允许的水平数不同，有的因素水平多，有的少。例如；微波加热离子交换法制备Cu13X 分子筛，微波加热功率，交换时间可以取8水平，而交换液浓度，在试验范围内，取8水平难于精确控制，所以取4水平，这时如何进行均匀设计呢？我们可以采用拟水平法，即在安排交换液浓度这个因素时，令1

，2水平为1水平；3，4为2；5，6为3；7，8为4（也有不少人令1，5为1；2，6为2；3，7为3；4，8为4），这样形成一个混合水平的均匀设计表： 2可见，通过拟水平法，可以由*

n U 或U n 表得到相应的混合水平表，只是通常偏差比原*

n

U 或U n 表的略大。 五、 均匀设计的数据分析

均匀设计的数据分析需要用回归分析。回归分析是数据分析的有力工具，它能揭示变量

之间的相互关系，其方法和理论十分丰富，请参考有关书籍。如参考文献24，25，26。

在此不再祥述。

六、均匀设计的应用

当我们的试验是为了揭示变量Y（通常称为目标函数）与各因素之间的定性关系及寻求最优工艺条件时，即可考虑应用均匀设计，特别是各因素的水平较多时。应用均匀设计的一般步骤如下：

1.根据试验目的，选择合适的因素和相应的水平；

2.选择适合该试验的均匀设计表；

3.根据该均匀设计表的使用表从中选出列号，将因素分别安排到这些列号上，并将这些

因素的水平按所在列的指示分别对号，则试验就安排好了；

4.按试验安排进行试验；

5.将所得试验结果进行回归分析，找出变量Y与各因素间的函数关系；

6.根据5.函数关系，即可求出最优条件；

7.进行最优条件的验证试验。

例如，我们前面述及的制备Cu13X分子筛的例子。根据揭示变量Y（交换度）与各因素间定性关系及寻求最优工艺条件的目的，确定因素及各因素的水平如下：

A：1，2，3，4分别为0.04015，0.0803，0.12045，0.1606

于是，选择U8(82×4)表安排试验后，进行试验。试验安排及结果如表8所示：

表8. 实验安排及结果

根据表8所得结果，进行回归分析，得回归方程及有关参数为：

Y=8.998078+3.59272E-03X1X2+703.3843X3-1738. 756X32

R2=0.9917402 E=2.955602

B1=3.59272E-03 t1=3.39357

B2=703.3843 t2=5.278871

B3=–1738.756 t3=–2.651528

在实验范围内，利用计算机对上述方程寻优可得：当微波加热功率为520瓦，交换时间为12分钟，交换液摩尔浓度为0. 1606摩尔/升时，预测的交换度已达99.44%，实际上，目前交换度达95 以上已足可满足实际需要，从节能考虑可将微波交换功率或交换时间取低一个水平为优化条件，就是说，微波交换功率取455瓦或交换时间取10分钟，而交换液摩尔浓度取最大水平值0. 1606摩尔/升。在上述优化条件下作验证实验所得结果及回归方程预测值列于表9。

由表9可知，10, 11, 13三次实验结果与预测值的偏差都小于剩余标准差E (2.955); 9,12两次实验结果与预测值的偏差较大，分别为4. 51和-5.23，但二者绝对值都小于5.91(2E)，而除11号实验外，另外四次验证实验结果的平均值为96.64，与回归方程预测值偏差仅为-0.09。总之，预测值和实验值符合较好。

这时我们可以得出如下结论：

1．在实验考查范围内，影响Cu2+与13X中的Na+离子交换反应的主要因素是：微波加热功率和交换时间的交互作用，交换液浓度。而交换液浓度影响呈二次函数关系。

2．较优的交换条件为：微波加热功率为455或520瓦，交换时间为10～12分钟，交换液浓度为0.1606摩尔/升。在此条件下铜离子交换度可达96%以上。

3．均匀设计可以成功地应用于研究微波加热离子交换反应，是个获得寻找优化条件的好方法。

七、参考文献

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八、 附录

附录1: U n 和*

n U 的生成元和相应设计的偏差

说明：表中的U n 和*

n U 是由生成元法生成的，其生成向量具（a 0，a ，a 2，…，a S-1） (modn)的结构。

附录2: 奇数n 的*

n U 表的生成向量和相应设计的偏差

说明：表中的

n U 是考虑从U n+1表中选出S 列的一切可能的组合，生成向量中不定包含1，当然也不具有（a 0，a ，a 2，…，a S-1） (modn)的结构。