26.2(1)_特殊二次函数的图像
26.2（1）特殊二次函数的图像
一、教学目标设计
1.理解和掌握二次函数y=ax2的图像，并从图像上观察出二次函数y=ax2的性质.
2.通过观察、实验、猜想、总结和类比，提高归纳问题的能力.
二、教学重点及难点
重点：通过二次函数y=ax2的图像总结出有关性质.
难点：二次函数y=ax2的图像性质的应用.
三、教学用具准备
黑板、直尺、多媒体
四、教学流程设计
一、复习引入
复习提问：
1、二次函数的一般形式、自变量的取值范围；
2、提问：一次函数和反比例函数的图像是什么？
3、思考：二次函数的图像是什么？
二、学习新课
1. 例题分析
（1）研究二次函数y=x2 的图像.先列表，首先要考虑自变量的取值范围，自变量x的取值范围是什么？y的值为什么是非负数？当x取一对相反数，y的值有什么关系？在坐标系内描出这两个点，这两个点有什么关系？
（2）考虑自变量x可以取任意实数，因此以0为中心选取x的值，列出函数对应值表.
（3）然后在坐标平面中描点，在描点过程中分别取x的值和相应的函数值y作为点的坐标.
（4）最后用光滑的曲线顺次联结各点，得到函数y=x2的图像.
观察：二次函数y=x2的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展，它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线，二次函数y=x2的图像就称为抛物线y=x2，观察抛物线y=x2的形状，位置有哪些特征？
归纳：
抛物线y=x2的开口方向向上；它是轴对称图形，对称轴是y轴，即直线x=0.抛物线y=x2与y轴的交点是原点O；除这个交点外，抛物线上所有的点都在x轴的上方，这个交点是抛
物线的最低点.
抛物线与它的对称轴的交点叫抛物线的顶点.抛物线y=x2的顶点是原点O（0，0）. 试一试用上述方法画出二次函数y=-x2的图像，再归纳它的特征.
三、问题拓展
例题1在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数y=1
2
x2和y=2x2的图像.
解（1）列表
议一议：抛物线y=1
2x2和y=2
x2的图像有什么共同特征，又有什么不同？
2、在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数y=-12 x 2和y=-2x 2
的图像.
解（1）列表
归纳
抛物线y=ax2(其中a,是常数,且像a ≠0)的对称轴是y 轴,即直线x=0;顶点坐标是原点，抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当a>0时，它开口向上，顶点
是抛物线的最低点；当a<0时，它开口向下，顶点是抛物线的最高点.
四、巩固练习
1、函数y=2x 2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是 ;
2、函数y=－3x 2的图象的开口 ,对称轴 ,顶点是
3、二次函数y=3x 2与函数y=-3x 2图像的形状 ___，开口方向 _____. 4．已知二次函数y=(1+2k)x2,当k 为何数时，图像的开口向上？当k 为何数时，
图像的开口向下？
五、课堂小结
①函数y=ax2 的图像是一条抛物线，它关于y轴对称，顶点坐标是（0，0）.
②图像特征：当a>0时……当a<0时……
③函数y=ax2性质：当a>0时……当a<0时……
六、布置作业
练习册习题26.2（1）
二次函数的图像教学设计
《二次函数的图像（1）》教学设计 教学目标： 1、经历描点法画函数图像的过程； 2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征； 3、掌握2ax y =型二次函数图像的特征； 4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。 教学重点： 2ax y =型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳 教学难点： 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 教学设计： 一、回顾知识 前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。） 引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即 2ax y =入手。因此本节课要讨论二次函数2ax y =（0≠a ）的图像。 板书课题：二次函数2ax y =（0≠a ）图像 二、探索图像 1、 用描点法画出二次函数2x y =和2x y -=图像 ①无论x 取何值，对于2x y =来说，y 的值有什么特征？对于2x y -=来说，又有什么特征？ ②当x 取 1,2 1 ±±等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征？ （2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）. （3） 连线，用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到
2x y =和2x y -=的图像。 2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数22x y =和22x y -=的图像。 学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评） 3、二次函数2ax y =（0≠a ）的图像 由上面的四个函数图像概括出： （1） 二次函数的2ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线， （2） 这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。 （3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y 轴的交点。 （4） 当o a 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x 轴的上方(除顶点外)；当o a 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x 轴的下方(除顶点外)。 （最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆） 三、 课堂练习 观察二次函数2x y =和2x y -=的图像 (2)在同一坐标系内，抛物线2x y =和抛物线2x y -=的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数2ax y =和2ax y -=的图像怎样画更简便？ (抛物线2x y =与抛物线2x y -=关于x 轴对称，只要画出2ax y =与2 ax y -=中的一条抛物线，另一条可利用关于x 轴对称来画) 四、例题讲解 例题：已知二次函数2ax y =（0≠a ）的图像经过点（-2，-3）。 （1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。 （2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。 练习：（1）课本第31页课内练习第2题。 (2)已知抛物线y=ax2经过点A （-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式；
二次函数的图像与性质知识点及练习
第二节 二次函数的图像与性质 1．能够利用描点法做出函数y ＝ax 2，y=a(x-h)2 ，y ＝a(x-h)2 +k 和c bx ax y ++=2图象，能根据图象认识和理解二次函数的性质； 2．理解二次函数c bx ax y ++=2中a 、b 、c 对函数图象的影响。 一、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定 其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们 选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ， 关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 例1. 在同一平面坐标系中分别画出二次函数y ＝x 2 ，y ＝-x 2 ，y ＝2x 2 ，y ＝-2x 2 ，y ＝2（x-1）2 的图像。 一、二次函数的基本形式 1. y ＝ax 2 的性质：
2. y＝ax2＋k的性质：（k上加下减） 3. y＝a（x-h）2的性质：（h左加右减） 4. y＝a (x－h)2＋k的性质： 5. y＝ax2+bx+c的性质：
二、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左 加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 六、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
1.2 二次函数的图象(1)
1.2 二次函数的图象(1) 二次函数y=ax 2(a≠0)的图象是顶点在原点的一条抛物线，当a>0时，开口向上；当a<0时，开口向下． 1.已知抛物线y=(m-1)x 2经过点(－1，－2)，那么m 的值是(B ). A.1 B.－1 C.2 D.－2 2.抛物线y=ax 2(a ＜0)的图象一定经过(B ). A.第一、二象限 B.第三、四象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限 3.函数y=x a 与y=ax 2(a≠0)在同一平面直角坐标系中的图象可能是(D ). A. B. C. D. 4.在同一平面直角坐标系中作函数y=3x 2，y=-3x 2，y= 3 1x 2的图象，这些图象的共同特点是(B ). A.都是关于x 轴对称，抛物线开口向上 B.都是关于y 轴对称，抛物线的顶点都是原点 C.都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点 D.都是关于y 轴对称，抛物线开口向下 5.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y= 20 1x 2(x ＞0)，若该车某次的刹车距离为5m ，则刹车前的速度为(C ). A.40m/s B.20m/s C.10m/s D.5m/s 6.已知抛物线y=ax 2 (a ＞0)过A(-2，y 1)，B(1，y 2)两点，则下列关系式中,一定正确的是(C ). A.y 1＞0＞y 2 B.y 2＞0＞y 1 C.y 1＞y 2＞0 D.y 2＞y 1＞0 7.若抛物线y=ax 2经过点A(3，-9)，则其函数表达式为 y=-3x 2 ． 8.若抛物线y=(a+1)x a2+a 开口向下，则a= -2 ． 9.已知二次函数y=ax 2 的图象经过点P(-2，5). (1)求a 的值. (2)若点M(4，m)在这个二次函数的图象上，求m 的值.
二次函数图像问题及答案(难题)
二次函数图像性质 1、二次函数c bx ax y ++=2 的图像如图所示，OA ＝OC ，则下列结论： ①abc ＜0；②24b ac <；③1-=-b ac ； ④02<+b a ；⑤a c OB OA - =?； ⑥024<+-c b a 。其中正确的有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 2、抛物线y=ax 2+bx+c 的图象如图，OA=OC ，则（ ） （A ） ac+1=b; （B ） ab+1=c; （C ）bc+1=a; （D ）以上都不是 3，已知二次函数y ＝ax 2+bx +c (a ≠0)的图象如图2所示，给出以下结论：① a +b +c ＜0；② a －b +c ＜0；③ b +2a ＜0；④ abc ＞0 .其中所有正确结论的序号是（ ） A. ③④ B. ②③ C. ①④ D. ①②③ 4．如图是二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象的一部分；图象过点A (－3，0)，对称轴为x ＝－1， 给出四个结论：①b 2＞4ac ；②2a ＋b ＝0；③a －b ＋c ＝0；④5a ＜b ．其中正确的是________________．(填序号)
5．y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象如下图所示，那么下面六个代数式：abc ，b 2－4ac ，a －b ＋c ，a ＋b ＋c ，2a －b ，9a －4b 中，值小于0的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6.已知二次函数2y ax bx c =++(0a ≠)的图象如图所示，有下列结论： ①240b ac ->； ②0abc >； ③80a c +>； ④930a b c ++<． 其中，正确结论的个数是 （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 7.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图像与x 轴交于点（-2，0）（x 1，0），且1＜x 1＜2，与y 轴正半轴的交点在（0，2）下方。下列结论：（1）4a-2b+c=0.(2)a ＜b ＜0.（3）2a+c ＞0.（4）2a-b+1＞0.其中正确的序号是 . 8.二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图， 下列结论中，不正确的是 （1）c ＜0. （2）b ＞0 （3）4a+2b+c ＞0 （4）（a+c ）2 ＜b 2 第（10）题
几种特殊的二次函数的图象特征如下
当时开口向上当时开口向下(轴) (轴) (0，) (，0) (，) () 的图象 的解 方程有两个相等实数解 四、规律方法指导 1.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线. (2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(， )，对称轴是直线.
2.直线与抛物线的交点 (1)轴与抛物线得交点为(0，). (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(，). (3)抛物线与轴的交点 二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别 式 判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. (4)平行于轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是的两个实数根. (5)一次函数的图象与二次函数的图象的交点，由方程 组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点；②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点. (6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为， 由于、是方程的两个根，故 抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用
决定对称轴的位置，对称轴是直线 b-4ac<0 抛物线与x轴无公共点 确定二次函数的最大值或最小值，首先先看自变量的取值范围.再分别求出二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值，比较这些函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值. ①若自变量的取值范围是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示. 图(1)中，抛物线开口向上，有最低点，则当时，函数有最小值是； 图(2)中，抛物线开口向下，有最高点，则当时，函数有最大值是. ②若自变量的取值范围不是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示.
二次函数的图像与性质专项练习
二次函数的图像与性质专项练习 【知识要点】 1．二次函数：形如 的函数叫做二次函数. 2．二次函数的图像性质：（1）二次函数的图像是 ；（2）二次 函 数 ) ,,,0(2为常数c b a a c bx ax y ≠++=通过配方可得 c b a a a b a c a b x a y ,,,0(44)2(2 2≠-++=为常数），其顶点坐标为 。 （3）当0>a 时，抛物线开口 ，并向上无限延伸；在对称轴左侧)2(a b x -<即时，y 随x 的增大而减小；在对称轴右侧)2(a b x ->即时，y 随x 的增 大而增大；当a b x 2-=时，函数有 . 当0即时，y 随着x 的增大而减小； 当,2时a b x -=函数有 。 3．二次函数的图像平移： （1）二次函数k h x a y h x a y ax y +-=-==222)(,)(,的图像都是抛物线，并且形状相同，只是位置不同（a 的取值决定抛物线的形状）.将2ax y =的图像向右（h>0）、向左（h<0）平移h 个单位，就得到函数2)(h x a y -=的图像；再将此抛物线向上(k>0)、向下(k<0)平移k 个单位得到函数k h x a y +-=2)(的图像.上述平移的规律是：“h 值正、负、右、左移；k 值正、负、上、下移.” 4.抛物线与坐标轴的交点： （1）抛物线).,0(2c y c bx ax y 轴交于点与++= （2）若方)0,)(0,(,,0212212x x x c bx ax y x x c bx ax 轴点交则抛物线有两根++==++ 核心考点突破 考点㈠二次函数的图像性质 例1定义[,,a b c ]为函数2 y ax bx c =++的特征数, 下面给出特征数为 [2m ，1 – m , –1– m ] 的函数的一些结论： ① 当m = – 3时，函数图象的顶点坐标是( 31，3 8 )； ② 当m > 0时，函数图象截x 轴所得的线段长度大于 2 3 ；
9年级4.3—二次函数背景下的特殊图形问题
二次函数背景下的特殊图形问题 1.如图1，抛物线213442 y x x = --与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求点A 、B 、C 的坐标； （2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由； （3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图1，抛物线233384 y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标； （2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标； （3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．
作业、在直角坐标平面内，为原点，二次函数的图像经过A （-1，0） 和点B （0，3），顶点为P 。 （1）求二次函数的解析式及点P 的坐标； （2）如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形，求点Q 的坐标。 O 2y x bx c =-++
1.已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－(a＋1)x与直线y＝kx的一个公共点为A(4，8)． （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积． 备用图
二次函数及其图像
二次函数y=ax2的图象 一、教学目的 1．使学生初步理解二次函数的概念。 2．使学生会用描点法画二次函数y=ax2的图象。 3．使学生结合y=ax2的图象初步理解抛物线及其有关的概念。 二、教学重点、难点 重点：对二次函数概念的初步理解。 难点：会用描点法画二次函数y=ax2的图象。 三、教学过程 复习提问 1．在下列函数中，哪些是一次函数？哪些是正比例函数？ （1）y=x/4；（2）y=4/x；（3）y=2x-5；（4）y=x2 - 2。 2．什么是一无二次方程？ 3．怎样用找点法画函数的图象？ 新课 1．由具体问题引出二次函数的定义。 （1）已知圆的面积是Scm2，圆的半径是Rcm，写出空上圆的面积S与半径R之间的函数关系式。 （2）已知一个矩形的周长是60m，一边长是Lm，写出这个矩形的面积S（m2）与这个矩形的一边长L之间的函数关系式。 （3）农机厂第一个月水泵的产量为50台，第三个月的产量y（台）与月平均增长率x之间的函数关系如何表示？ 解：（1）函数解析式是S=πR2； （2）函数析式是S=30L—L2； （3）函数解析式是y=50（1+x）2，即 y=50x2+100x+50。 由以上三例启发学生归纳出： （1）函数解析式均为整式； （2）处变量的最高次数是2。 我们说三个式子都表示的是二次函数。 一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c没有限制而a≠0），那么y叫做x的二次函数，请注意这里b，c没有限制，而a≠0。 2．画二次函数y=x2的图象。 按照描点法分三步画图： （1）列表∵x可取任意实数，∴以0为中心选取x值，以1为间距取值，且取整数值，便于计算，又x取相反数时，相应的y值相同； （2）描点按照表中所列出的函数对应值，在平面直角坐标系中描出相应的7个点；（3）边线用平滑曲线顺次连接各点，即得所求y=x2的图象。 注意两点：
二次函数图像与性质总结
二次函数的图像与性质 一、二次函数的基本形式 1.二次函数基本形式：2 =的性质： y ax 2.2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。
4.()2 y a x h k =-+的性质： 1.平移步骤： 方法一：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2.平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．
概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 三、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 四、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确 定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我 们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对 称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 五、二次函数2y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2.当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 六、二次函数解析式的表示方法 1.一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2.顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
专题四_二次函数的图像与性质
专题四 二次函数的图像与性质（一） 【知识梳理】 1．一般地，形如_______的函数叫做二次函数，当a_______ ，b________时，是一次函数． 2．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象是_______，对称轴是_______，顶点坐标是_______． 3．抛物线的开口方向由a 确定，当a>0时，开口_______；当a<0时，开口_______；越大，开口越_______． 4．抛物线与y 轴的交点坐标为_______．当c>0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c<0时，与y 轴的_______半轴有交点；当c ＝0时，抛物线过________． 5．若a_______0，当x ＝2b a - 时，y 有最小值，为_______； 若a_______0，当x ＝2b a -时，y 有最大值，为_______． 6．当a>0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧，y 随x 的增大而_______；当a<0时，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而_______，在对称轴的右侧．y 随x 的增大而_______． 7．当m>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝a （x ＋m)2的图象；当k>0时，二次函数y ＝ax 2的图象向_______平移_______个单位得到二次函数y ＝ax 2＋k 的图象．平移的口诀：左“＋”右 “－”；上“＋”下“－”． 【考点例析】 考点一 二次函数的有关概念 例1已知二次函数y ＝x 2－4x ＋5的顶点坐标为 ( ) A ．(－2，－1) B ．(2，1) C ．(2，－1) D （－2，1） 考点二 抛物线的平移 例2 将抛物线y ＝3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为 ( ) A ．y ＝3(x ＋2)2＋3 B ．y ＝3(x －2)2＋3 C ．y ＝3(x ＋2)2－3 D ．y ＝3(x －2)2－3 考点三 同一坐标系下二次函数与其他函数图象的共存问题 例3 在同一坐标系中°一次函数y ＝ax ＋1与二次函数y ＝x 2＋a 的图象可能是
3讲义特殊的二次函数图像三(教师版)
复习引入: （一）在同一直角坐标系中画出二次函数y = x2与y = （X T）2+1与y = （x-1 ）2+1的图像列表（取点原则：取原点及左右对称点） 描点、连线 分 （1）函数y（x 1）2+1与y（x-1 ）2+1的图像与y =x2图像有哪些相同处及不同处 析： （2）产生这三个图像的差异的本质原因是什么平移 （3）这三个二次函数若与坐 总结：y =a（x m）2 k的图像性质（左加右减，上加下减）
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a >0 向上 (-m,k) 直线 x = _m x > —m 时，y 随x 的增大而增大；x ￡ —m 时， y 随x 的增大而减小；x = -m 时，y 有最小值 k . a cO 向下 (-m, k) 直线 x = -m x > —m 时，y 随x 的增大而减小；x ￡ —m 时， y 随x 的增大而增大；x = -m 时，y 有最大值 k . 1 ?平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a(x m)2 k ，确定其顶点坐标(-m,k); ⑵ 保持抛物线y 二ax 2的形状不变，将其顶点平移到(-m,k)处，具体平移方法如下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”. 例题分析 1. 填表 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 2 y = -(x -2) +4 下 直线X=2 (2,4) 1 2 厂尹3)2_5 上 直线X=-3 (-3,-5) 2,1 y = —3(x —2) + — 3 下 直线X=2 (2,1/3) —3、2 7 y = ——(x —一) 一 — 12 4 12 下 直线X=3/4 (3/4,-7/12) 向左平移1个单位，再向下平移 3个单位，得到的抛物线的表达式为 y=-5(x+1) 2-3 ___________ 3. 抛物线y =2x 2沿x 轴向 _______ 左 ___ 平移_2 ____ 单位，再沿y 轴向 _______ 下 _______ 移 ￥ y=a(x-h)2 y=ax 2+k ! 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移KI 个单位 y=a(x-h)2+k 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k 个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左 (h<0)】 平移kl 个单位
26[1].1二次函数及其图像(A)
学科教师辅导讲义讲义编号：____________ 学员编号：年级：课时数：学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题26.1二次函数及其图像（1） 授课日期及时段 教学目的1：熟悉掌握几种形式的二次函数的图像及性质（重点）2：用待定系数法求二次函数的解析式（难点） 教学内容 考点一：二次函数的概念 （1）一般的，形式如2 y ax bx c =++(,, a b c是常数，0 a≠)的函数，叫做二次函数。 例如：,等都是x的二次函数 （2）等号左边是y，右边是x的二次多项式，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数，一次项系数和常数项。 （3）任何一个二次函数的解析式都可以化成2 y ax bx c =++(,, a b c是常数，0 a≠)的形式，因此我们也把这个 2 y ax bx c =++(,, a b c是常数，0 a≠)叫做二次函数的一般式 注1：二次函数的概念及列函数关系式是中考的必考内容，也是重点考查内容。二次函数的概念在中考题中一般出现在选择题和填空题中，难度较小，只要把握x的最高次数是2，0 a≠这两个隐含条件即可。 注2：列二次函数关系式多出现在解答题中，难度适中，而近年的中考中还出现了一些关于二次函数的实际问题，常需要列二次函数关系式，难度较大。列二次函数关系式时，需考虑自变量取值应使实际问题有意义 考查题目1：下列函数,,,,,,中是二次函数的是__________. 考点二：二次函数的图像及性质 （1）图像：二次函数的图像是一条抛物线，其对称轴是y轴，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点，顶点坐标是（0,0） （2）性质：当a>0时，函数的开口方向向上，在对称轴的左边y随x的增大而减小，在对称轴的右边y随x的增大而增大；当a<0时，函数的开口方向向下，在对称轴的左边y随x的增大而增大，在对称轴的右边y随x的增大而减小 （3）抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄，|a|越大，抛物线的开口越大 注1：二次函数的图像及其性质是中考的重点考查内容之一，所涉及的内容包括开口，顶点，对称轴，最大（小）值，以及求二次函数的关系式，近几年的中考中常出现利用二次函数的图书图像解决实际问题的题目。 注2：利用函数的增减性进行函数值的大小比较也是重点考查内容之一，此类问题先画出二次函数的草图，在尽享分析，利用了数形结合的思想 考查题目2：已知（2，（-1）两点都在函数的函数图像上，试比较,的大小 考查题目3：已知函数是关于x的二次函数，求： （1）满足条件的n的值
二次函数的图像与系数的关系
二次函数的图像与系数的关系 1．已知二次函数y=ax 2 +bx+c （a ≠0）的图象如图，有下列5个结论：①abc ＜0；②3a+c ＞0；③4a+2b+c ＞0；④2a+b=0；⑤b 2 ＞4ac.其中正确的结论的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2．如图，二次函数y =ax 2 +bx +c （a ≠0）的大致图象，关于该二次函数下列说确的是（ ） A. a ＞0，b ＜0，c ＞0 B. b 2 ﹣4ac ＜0 C. 当﹣1＜x ＜2时，y ＞0 D. 当x >2时，y 随x 的增大而增大 3．如图，二次函数 图象，过点A （3，0），二次函数图象的对称轴是直线 x=1，下列结论正确的是（ ） A. 2a+b=0 B. ac>0 C. D. 4．已知函数y=mx 2 －6x+1（m 是常数），若该函数的图象与x 轴只有一个交点，则m 的值为（ ） A. 9 B. 0 C. 9或0 D. 9或1 5．如图，二次函数2 y ax bx c =++的图象的对称轴是直线1x =，则下列理论：①0a <， 0b <②20a b ->，③0a b c ++>，④0a b c -+<，⑤当1x >时， y 随x 的增大
而减小，其中正确的是（）． A. ①②③ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①③④ 6．已知y=ax+b的图象如图所示，则y=ax2+bx的图象有可能是（） A. B. C. D. 7．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x=2，下列结论： ①4a+b=0； ②9a+c＜3b； ③25a+5b+c=0； ④当x＞2时，y随x的增大而减小． 其中正确的结论有（） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8．如下图，已知经过原点的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线x=-1，下列结论中①ab>0，②a+b+c＞0，?③当-2＜x＜0时，y＜0．正确的个数是（）
《二次函数的图象》典型例题1
《二次函数y=ax^2+bx+c的图象》典型例题 例1 已知二次函数，当x＝4时有最小值-3，且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式。 例2 如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax2+bx+c的图象如图13-25所示，那么代数式b+c-a与零的关系是（） A．b+c-a=0； B．b+c-a＞0； C．b+c-a＜0；D．不能确定。 例3 二次函数y=ax2+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是（） 例4 如果抛物线y=-x2+2(m-1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b。 (1)求m的取值范围； (2)若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式； (3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是 否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由。
例5 已知二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴相交于点)0,6(A ，顶点B 的纵坐标是－3. （1）求此二次函数的解析式； （2）若一次函数m kx y +=的图像与x 的轴相交于)0,(1x D ， 且经过此二次函数的图像的顶点B ，当62 3≤≤m 时， （ⅰ）求1x 的取值范围； （ⅱ）求BOD ?（O 为坐标原点）面积的最小值与最大值. 例6 求函数解析式的题目 (1) 已知二次函数的图像经过点（-1，-6），（1，-2）和（2，3），求这个二次函数的解析式. (2) 已知抛物线的顶点为)3,1(--，与y 轴交点为)5,0(-，求此抛物线的解析式. (3) 已知抛物线与x 轴交于)0,1(-A ，)0,1(B ，并经过点)1,0(M ，求抛物线的解析式.
1.2二次函数的图象与性质(1)
第1章二次函数 1.1 二次函数 1. 理解具体情景中二次函数的意义，理解二次函数的概念 2. 能够表示简单变量之间的二次函数关系式 ，并能根据实际问题确定 自变量的取值范围 ? 阅读教材第2至3页，理解二次函数的概念及意义 ? 自学反馈学生独立完成后集体订正 ① 一般地，形如 y=ax 2+bx+c(a,b,c 是常数，且a 丰0)的函数叫做二次函数，其中二次项系数、一次项系数和常数项 分别为a 、b 、c. ② 现在我们已学过的函数有一次函数、反比例函数、二次函数，它们的表达式分别是 y=ax+b(a 、b 为常数，且 a k 2 工 0)、y= (k 为常数，且 k 丰 0)、y=ax+bx+c(a 、b 、c 为常数，且 0). x ③ 下列函数中，不是二次函数的是 (D ) 2 2 1 2 2 A.y=1-、. 2x B.y=(x-1) -1 C.y= (x+1)(x-1) D.y=(x-2) -x 2 ④ 二次函数y=x 2+4x 中，二次项系数是 1，一次项系数是4,常数项是0. ⑤ 一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积 S 与半径r 之间的关系式. 2 解: S 表=4 n r ⑥ n 支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛，写出比赛的场次数 m 与球队数n 之间的关系式. & 1 2 1 解：m= _ n - _ n 2 2 艸师■-总判断二次函数关系要紧扣定义 . 活动1小组讨论 2 例1若y=(b-1)x+3是二次函数，则 b ^1. 二次项系数不为0. 2 例2 —个正方形的边长是 12 cm ，若从中挖去一个长为 2x cm,宽为(x+1)cm 的小长方形，剩余部分的面积为 y cm . ① 写出y 与x 之间的关系表达式，并指出 y 是x 的什么函数？ ② 当小长方形中x 的值分别为2和4时，相应的剩余部分的面积是什么？ 2 2 解:①y=12 -2x(x+1)，即 y=-2x -2x+144. A y 是 x 的二次函数； ②当x=2和4时，相应的y 的值分别为132和104. O?髓几何图形的面积一般需画图分析，相关线段必须先用 x 的代数式表示出来. 活动2跟踪训练(独立完成后展示学习成果) 解：k=2 不要忽视k+2工0. 1 2. 设 y=y 1-y 2, 若y 1与x 2成正比例，y 2与一成反比例，则y 与x 的函数关系是(C ) x A.正比例函数 B.一次函数 C 二次函数 D.反比例函数 ,掌握二次函数的一般形式 1.如果函数y=(k+2)x k 2 丄是y 关于x 的二次函数，则 k 的值为多少?
二次函数图像过定点的研究
函数图像过定点的研究 二、方法剖析与提炼 例1.求证：拋物线y ＝(3－ 2定点，并求出定点的坐标． y ＝(3－k)x 2＋(k －2)x ＝3x 2－2x －1－kx 2＋kx ＋2k ＝3x 2－2x －1－k( )(k≠3)， 上式中令 ＝0，得x 1＝ ，x 2＝ . 将它们分别代入y ＝3x 2－2x －1－k(x 2－x －2)， 解得y 1＝ ，y 2＝ ， 把点(－1，4)、(2，7)分别代入y ＝3x 2－2x －1－k(x 2－x －2)， 无论k 取何值，等式总成立， 即点 、 总在抛物线y ＝(3－k)x 2＋(k － 2)x ＋2k －1(k≠3)上， 即拋物线y ＝(3－k)x 2＋(k －2)x ＋2k －1(k≠3)过定点(－1，4)、(2，7)． 【解析】因为不论k 取何值，函数均过某定点，所以思考的方向是将k 前面的系数化为零，从而得到本题的解法。另外，本题也可以任意取两个K 的值，然后列方程组，求解即可。
例2．（北京市西城区）无论m 为任何实数，二次函数 的图像总过的点是（ ） A. （1，3） B. （1，0） C. （－1，3） D. （－1，0） 【解答】解法一、特殊值法：任意给m 妨设m=0和m=2。 则函数解析式变为： 联立方程组 解得 把 中，无论m 为何值，等式总成立。 所以，抛物线群 中所有的抛物线恒经过定点（1，3）。 故应选A 。 ① 令???==???=-+=-310 2012y x y x x x 解得， 所以，无论m 为何值时， 恒满足①式，故该二次函数的图像恒过定点（1，3）。 故应选A 。 【解析】图像总过定点说明函数的取值与m 的取值无关，所
二次函数的图像和性质总结
二次函数的图像和性质 1.二次函数的图像与性质： 解析式 a 的取值 开口方向 函数值的增减 顶点坐标 对称轴 图像与y 轴的交点 时当0>a ；开口向上；在对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，在对称轴的 右侧y 随x 的增大而增大。 时当0k 时向上平移；当0>k 时向下平移。 （2）抛物线2 )(h x a y +=的图像是由抛物线2 y ax =的图像平移h 个单位而得到 的。当0>h 时向左平移；当0 3.二次函数的最值公式： 形如 c bx ax y ++=2 的二次函数。时当0>a ，图像有最低点，函数有最小值 a b ac y 442-= 最小值 ；时当0?时抛物线与x 轴有两个交点；当0=?抛物线与x 轴有一个交点；当 0 B.最小值-3 D.最小值1 面积为y.则当y 最 二次函数及其图像练习题 1. 二次函数y=2 （x-3）之+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（） A. 开口向上,对称轴x=3,顶点坐标为（3, 5） B. 开口向下,对称轴x=3,顶点坐标为（3, 5） C. 开口向上，对称轴炉-3,顶点坐标为（-3, 5） D. 开口向上,对称轴x=-3,顶点坐标为（-3, -5） 2. 与y 二2 (x-1T+3形状相同的抛物线解析式为( ) A. y=l + -x 2 B. y=(2x+l)2 2 C. y=(x-l)2 D. y=2x 2 3. 把 y 二-X 2-4X +2 化成 y=a(x+m)2+n 的形式是( ) A. y=- (x-2)吭2 B. y=- (x-2) 2+6 C. y=-(x+2)2-2 D. y 二-(x+2)々6 4. 如图所示，抛物线的顶点P 的坐标是（1, -3）,则此抛物线对应的二次函数有 （） A.最大值1 C.最大值-3 5. 函数y.二x?+px+q 的图象是（3, 2）为顶点的抛物线，则这个函数的解析式是（） A. y=x 2+6x+l 1 B. y=x 2-6x-ll C. y=x 2-6x+l 1 D. y=x 2-6x+7 6. 如图所示，把■段长l.6m 的铁丝围长方形ABCD,设宽为x, 大时，x 所取的值是（） A. 0. 5 B. 0. 4 C. 0. 3 D. 0.6 7. 一次函数y 二x'+4x+a 的最小值是2,则a 的值是（） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 D A B 8.二次函数y=x2+2x-5取最小值时，自变量x的值是（） A. 2 B. -2 C. 1 D.-1 9.抛物线y-2（x-l）2的对称轴是，顶点坐标是，图象开口向 10.函数y=2x2-8x+l,当户时，函数有最值,是 二次函数的图像与性质 一、知识点梳理 二次函数的概念： 一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ， ，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ， ，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二次函数各种形式之间的变换 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成：()k h x a y +-=2 的形式，其中 a b a c k a b h 4422 -=-=，. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2ax y =；②k ax y +=2；③()2 h x a y -=； ④()k h x a y +-=2 ；⑤c bx ax y ++=2. 抛物线2y ax bx c =++的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a 的符号决定抛物线的开口方向：当0>a 时，开口向上；当0二次函数及其图像专项_练习题.doc
二次函数图像与性质