第二讲 特殊二次函数的图像
九年级上册数学教案 特殊的二次函数图像
第二讲 特殊二次函数的图像
知识框架
知识点
1、 二次函数2y ax c =+的图像
一般地，二次函数2y ax c =+的图像是抛物线，称为抛物线2y ax c =+，它可以通过将抛物线2y ax =向上（0c >时）或向下（0c <时）平移c 个单位得到．
抛物线2y ax c =+（其中a 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点
2.二次函数()2
y a x m =+的图像
一般地，二次函数()2
y a x m =+的图像是抛物线，称为抛物线()2
y a x m =+，它可以通过将抛物线2y ax =向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位得到．
抛物线()2
y a x m =+（其中a 、m 是常数，且0a ≠）的对称轴是过点（-m ，0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线x = -m ；顶点坐标是（-m ，0）．当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
【例1】 在同一平面直角坐标系中，画出函数21y x =+、2y x =和21y x =-的图像
【例2】 将函数21y x =+、21y x =-与函数2y x =的图像进行比较，函数21y x =+、21y x =-的图像有哪些特征？完成下表．
【例3】 说出下列函数的图像如何由抛物线2
12
y x =
平移得到，
再分别指出图像的开口方向、 对称轴和顶点坐标． （1）2
122
y x =
+； （2）2
112
y x =
-．
【例4】 在函数123y x =；22213y x =
+；325
24
y x =--中，图像开口大小按题号顺序表 示为（ ） A ．1>2>3
B ．1>3>2
C ． 2>3>1
D ．2>1>3
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【例5】 抛物线22y x =，22y x =-，221y x =+共有的性质是（ ）
A ．开口向上
B ．对称轴都是y 轴
C ．都有最高点
D ．顶点相同
【例6】 已知1a <-，点（a – 1，y 1）、（a ，y 2）、（a + 1，y 3）都在函数2
122
y x =
-的图像上， 则（ ） A ．123y y y <<
B ． 132y y y <<
C ．321y y y <<
D ． 213y y y <<
【例7】 将抛物线21y x =+的图像绕原点O 旋转180°，则旋转后的抛物线解析式是
_____________．
【例8】 若函数2y ax b =+的图像经过点（0，1），（1，2），求2a + b 的值．
【例9】 若二次函数228y x =+，当x 取1x ，2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数的值为________．
【例10】
若抛物线()2
43
25m
m y x m --=+-的顶点在x 轴下方，求m 的值．
【例11】 若函数241y x =+的函数值为5，则自变量x 的值为__________．
【例12】
若点P （-1，a ）和点Q （1，b ）都在抛物线21y x =-+上，求线段PQ 的长．
【例13】
如图，已知抛物线21y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ．
（1）求A 、B 、C 三点的坐标；
（2）过点A 作AP ∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积．
【例14】
在同一平面直角坐标系中，画出函数()2
21y x =-+、22y x =-和()2
21y x =--
的图像． 【例15】
将函数()2
21y x =-+、()2
21y x =--与函数22y x =-的图像进行比较，函数
()2
21y x =-+、()221y x =--的图像有哪些特征？完成下表．
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【例16】
说出下列函数的图像如何由抛物线21
3
y x =-平移得到，再分别指出图像的开
口方向、对称轴和顶点坐标． （1）()2
123
y x =-
+； （2）()2
143
y x =-
-．
【例17】
已知函数2
23y x ?
?=+ ??
?，当x = ______时，函数取得最______值，为______；
已知函数()2
3y x =-+，当x = ______时，函数取得最______值，为______．
【例18】
把抛物线21
3
y x =-向左平移2个单位得到抛物线____________；若将它向下
平移2个单位，得到抛物线____________． 【例19】
已知抛物线()2
1y x =--，当x > 1时，y 随着x 的增大而______；当x < 1时，
y 随着x 的增大而______．
【例20】
顶点坐标为（-5，0）且开口方向、形状与函数23
5
y x =-相同的抛物线是
____________．
【例21】
若抛物线()2
y a x m =+的对称轴为直线x = -1，且它与抛物线22y x =-的形状
相同，开口方向相反，则点（a ，m ）关于原点的对称点为______． 【例22】
一台机器，原价50万元，如果每年折旧率为x ，两年后这台机器的价格为y
万元，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．()2
501y x =-
B ．()501y x =-
C ．250y x =-
D ．()2
501y x =+
【例23】 下列命题中，错误的是（ ）
A ．抛物线2
1y =-不与x 轴相交
B ．抛物线21y =
-与)21y x =-形状相同，位置不同
C ．抛物线2
1122y x ??=- ???的顶点坐标为（1
2
，0）
D ．抛物线2
1122y x ??=+ ???的对称轴是直线1
2
x =
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【例24】 已知二次函数图像的顶点在x 轴上，且图像经过点（2，2）与（-1，8），求此
函数解析式． 【例25】
已知二次函数()2y a x m =+的顶点坐标为()1,0-，且过点12,2A ?
?-- ??
?．
（1）求这个二次函数的解析式； （2）点()2,2B -在这个函数图像上吗？
（3）如何通过左右平移函数图像，使它经过点B ？ 【例26】 已知抛物线()2
2y x =-的顶点为C ，直线y = 2x + 4与抛物线交于A 、B 两点．试
求ABC S ?．
课堂练习
【习题1】 函数21
13y x =-+的图像是________，开口________，对称轴是________，顶
点坐标是________，它的图像有最_________点，这个点的纵坐标是_______，此函数的图
像是由21
23y x =--的图像向________平移________个单位得到的．
【习题2】 函数()2
23y x =-+的图像是________，开口________，对称轴是________，
顶点坐标是________，它的图像有最_________点，这个点的纵坐标是_______，此函数的图像是由()2
21y x =--的图像向________平移________个单位得到的．
【习题3】 已知抛物线()2
2y x =-+，当x ______时，y 随x 的增大而增大；当x ______时，y 随x 的增大而减小．
【习题4】 函数2y ax =与函数23y x =-的图像的形状相同，开口方向相反．将函数2y ax =
图像沿y 轴向上平移2个单位，所得的函数解析式是______． 【习题5】 二次函数()2
13
y x m =-
+的图像关于直线5x =-对称，那么它的解析式是 ______________，图像的顶点坐标是______________．
【习题6】 二次函数2y ax k =+图像经过点（1，2
3
）、（0，1），求此函数解析式，并求出
开口方向、顶点坐标． 【习题7】 抛物线2
12
y x =
绕顶点旋转180°后，再向左平移3个单位得到的抛物线是 _____________．
【习题8】 已知二次函数269y ax ax a =-+，当a 为何值时，图像的顶点在x 轴上．
九年级上册数学教案 特殊的二次函数图像
【习题9】 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，直线y = 3x + 4交y 轴与点A ，在抛物
线221y x =-上能否存在一点P ，使POA ?的面积等于10（平方单位）？若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
课后作业
【作业1】 抛物线21y x =+是由抛物线22y x =-（ ）得到的．
A ．向上平移2个单位
B ．向下平移2个单位
C ．向上平移3个单位
D ．向下平移3个单位
【作业2】 填表：
【作业3】
二次函数2
13y x ?
?=-- ??
?的最大值为______，二次函数213y x =--的最大值为
______．
【作业4】 在平面直角坐标系中，如果抛物线22y x =不动：
（1）把x 轴向上平移2个单位，在新坐标系下抛物线的解析式是_____________； （2）把y 轴向右平移2个单位，在新坐标系下抛物线的解析式是_____________．
【作业5】 任给一些不同的实数n ，得到不同的抛物线22y x n =+，关于这些抛物线有
以下结论，其中判断正确的个数是（ ）
1、开口方向都相同；
2、对称轴都相同；
3、形状都相同；
4、都有最低点．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
【作业6】 抛物线2y ax c =+顶点坐标是（0，2），且形状与21
2
y x =-相同，求抛物线的
解析式．
【作业7】 已知抛物线与x 轴的交点的横坐标分别是-2、2，且与y 轴的交点的纵坐标是
-3，求该抛物线的解析式．
二次函数的图像教学设计
《二次函数的图像（1）》教学设计 教学目标： 1、经历描点法画函数图像的过程； 2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征； 3、掌握2ax y =型二次函数图像的特征； 4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。 教学重点： 2ax y =型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳 教学难点： 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 教学设计： 一、回顾知识 前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。） 引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即 2ax y =入手。因此本节课要讨论二次函数2ax y =（0≠a ）的图像。 板书课题：二次函数2ax y =（0≠a ）图像 二、探索图像 1、 用描点法画出二次函数2x y =和2x y -=图像 ①无论x 取何值，对于2x y =来说，y 的值有什么特征？对于2x y -=来说，又有什么特征？ ②当x 取 1,2 1 ±±等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征？ （2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）. （3） 连线，用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到
2x y =和2x y -=的图像。 2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数22x y =和22x y -=的图像。 学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评） 3、二次函数2ax y =（0≠a ）的图像 由上面的四个函数图像概括出： （1） 二次函数的2ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线， （2） 这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。 （3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y 轴的交点。 （4） 当o a 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x 轴的上方(除顶点外)；当o a 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x 轴的下方(除顶点外)。 （最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆） 三、 课堂练习 观察二次函数2x y =和2x y -=的图像 (2)在同一坐标系内，抛物线2x y =和抛物线2x y -=的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数2ax y =和2ax y -=的图像怎样画更简便？ (抛物线2x y =与抛物线2x y -=关于x 轴对称，只要画出2ax y =与2 ax y -=中的一条抛物线，另一条可利用关于x 轴对称来画) 四、例题讲解 例题：已知二次函数2ax y =（0≠a ）的图像经过点（-2，-3）。 （1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。 （2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。 练习：（1）课本第31页课内练习第2题。 (2)已知抛物线y=ax2经过点A （-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式；
几种特殊的二次函数的图象特征如下
当时开口向上当时开口向下(轴) (轴) (0，) (，0) (，) () 的图象 的解 方程有两个相等实数解 四、规律方法指导 1.求抛物线的顶点、对称轴的方法 (1)公式法：，∴顶点是，对称轴是直线. (2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为的形式，得到顶点为(， )，对称轴是直线.
2.直线与抛物线的交点 (1)轴与抛物线得交点为(0，). (2)与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点(，). (3)抛物线与轴的交点 二次函数的图象与轴的两个交点的横坐标、，是对应一元二次方程 的两个实数根.抛物线与轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别 式 判定： ①有两个交点抛物线与轴相交； ②有一个交点(顶点在轴上)抛物线与轴相切； ③没有交点抛物线与轴相离. (4)平行于轴的直线与抛物线的交点 同(3)一样可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 ，则横坐标是的两个实数根. (5)一次函数的图象与二次函数的图象的交点，由方程 组的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时与有两个交点；②方程组只有一组解时与只有一个交点；③方程组无解时与没有交点. (6)抛物线与轴两交点之间的距离：若抛物线与轴两交点为， 由于、是方程的两个根，故 抛物线y=ax2+bx+c中a、b、c的作用
决定对称轴的位置，对称轴是直线 b-4ac<0 抛物线与x轴无公共点 确定二次函数的最大值或最小值，首先先看自变量的取值范围.再分别求出二次函数在顶点处的函数值和在端点处的函数值，比较这些函数值，其中最大的是函数的最大值，最小的是函数的最小值. ①若自变量的取值范围是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示. 图(1)中，抛物线开口向上，有最低点，则当时，函数有最小值是； 图(2)中，抛物线开口向下，有最高点，则当时，函数有最大值是. ②若自变量的取值范围不是全体实数，函数有最大值或最小值，如图所示.
9年级4.3—二次函数背景下的特殊图形问题
二次函数背景下的特殊图形问题 1.如图1，抛物线213442 y x x = --与x 轴交于A 、B 两点（点B 在点A 的右侧），与y 轴交于点C ，连结BC ，以BC 为一边，点O 为对称中心作菱形BDEC ，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为(m , 0)，过点P 作x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ． （1）求点A 、B 、C 的坐标； （2）当点P 在线段OB 上运动时，直线l 分别交BD 、BC 于点M 、N ．试探究m 为何值时，四边形CQMD 是平行四边形，此时，请判断四边形CQBM 的形状，并说明理由； （3）当点P 在线段EB 上运动时，是否存在点Q ，使△BDQ 为直角三角形，若存在，请直接写出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．
2.如图1，抛物线233384 y x x =--+与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ． （1）求点A 、B 的坐标； （2）设D 为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD 的面积等于△ACB 的面积时，求点D 的坐标； （3）若直线l 过点E (4, 0)，M 为直线l 上的动点，当以A 、B 、M 为顶点所作的直角三角形有且只有．．．．三个时，求直线l 的解析式．
作业、在直角坐标平面内，为原点，二次函数的图像经过A （-1，0） 和点B （0，3），顶点为P 。 （1）求二次函数的解析式及点P 的坐标； （2）如果点Q 是x 轴上一点，以点A 、P 、Q 为顶点的三角形是直角三角形，求点Q 的坐标。 O 2y x bx c =-++
1.已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2－(a＋1)x与直线y＝kx的一个公共点为A(4，8)． （1）求此抛物线和直线的解析式； （2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值； （3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积． 备用图
3讲义特殊的二次函数图像三(教师版)
复习引入: （一）在同一直角坐标系中画出二次函数y = x2与y = （X T）2+1与y = （x-1 ）2+1的图像列表（取点原则：取原点及左右对称点） 描点、连线 分 （1）函数y（x 1）2+1与y（x-1 ）2+1的图像与y =x2图像有哪些相同处及不同处 析： （2）产生这三个图像的差异的本质原因是什么平移 （3）这三个二次函数若与坐 总结：y =a（x m）2 k的图像性质（左加右减，上加下减）
a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 a >0 向上 (-m,k) 直线 x = _m x > —m 时，y 随x 的增大而增大；x ￡ —m 时， y 随x 的增大而减小；x = -m 时，y 有最小值 k . a cO 向下 (-m, k) 直线 x = -m x > —m 时，y 随x 的增大而减小；x ￡ —m 时， y 随x 的增大而增大；x = -m 时，y 有最大值 k . 1 ?平移步骤: ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a(x m)2 k ，确定其顶点坐标(-m,k); ⑵ 保持抛物线y 二ax 2的形状不变，将其顶点平移到(-m,k)处，具体平移方法如下: 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减，上加下减”. 例题分析 1. 填表 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 2 y = -(x -2) +4 下 直线X=2 (2,4) 1 2 厂尹3)2_5 上 直线X=-3 (-3,-5) 2,1 y = —3(x —2) + — 3 下 直线X=2 (2,1/3) —3、2 7 y = ——(x —一) 一 — 12 4 12 下 直线X=3/4 (3/4,-7/12) 向左平移1个单位，再向下平移 3个单位，得到的抛物线的表达式为 y=-5(x+1) 2-3 ___________ 3. 抛物线y =2x 2沿x 轴向 _______ 左 ___ 平移_2 ____ 单位，再沿y 轴向 _______ 下 _______ 移 ￥ y=a(x-h)2 y=ax 2+k ! 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移KI 个单位 y=a(x-h)2+k 向上(k>0)【或向下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】平移|k|个单位 向上(k>0)【或下(k<0)】 平移|k 个单位 向右(h>0)【或左(h<0)】 平移|k|个单位 向右(h>0)【或左 (h<0)】 平移kl 个单位
二次函数图像过定点的研究
函数图像过定点的研究 二、方法剖析与提炼 例1.求证：拋物线y ＝(3－ 2定点，并求出定点的坐标． y ＝(3－k)x 2＋(k －2)x ＝3x 2－2x －1－kx 2＋kx ＋2k ＝3x 2－2x －1－k( )(k≠3)， 上式中令 ＝0，得x 1＝ ，x 2＝ . 将它们分别代入y ＝3x 2－2x －1－k(x 2－x －2)， 解得y 1＝ ，y 2＝ ， 把点(－1，4)、(2，7)分别代入y ＝3x 2－2x －1－k(x 2－x －2)， 无论k 取何值，等式总成立， 即点 、 总在抛物线y ＝(3－k)x 2＋(k － 2)x ＋2k －1(k≠3)上， 即拋物线y ＝(3－k)x 2＋(k －2)x ＋2k －1(k≠3)过定点(－1，4)、(2，7)． 【解析】因为不论k 取何值，函数均过某定点，所以思考的方向是将k 前面的系数化为零，从而得到本题的解法。另外，本题也可以任意取两个K 的值，然后列方程组，求解即可。
例2．（北京市西城区）无论m 为任何实数，二次函数 的图像总过的点是（ ） A. （1，3） B. （1，0） C. （－1，3） D. （－1，0） 【解答】解法一、特殊值法：任意给m 妨设m=0和m=2。 则函数解析式变为： 联立方程组 解得 把 中，无论m 为何值，等式总成立。 所以，抛物线群 中所有的抛物线恒经过定点（1，3）。 故应选A 。 ① 令???==???=-+=-310 2012y x y x x x 解得， 所以，无论m 为何值时， 恒满足①式，故该二次函数的图像恒过定点（1，3）。 故应选A 。 【解析】图像总过定点说明函数的取值与m 的取值无关，所
沪教版(上海)初中数学九年级第一学期26.2(1)特殊二次函数的图像(二次函数 的图像) 教案
如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。——高斯 §26.2（1）特殊二次函数的图像（二次函数2 y ax =的图像） 【教学目的】 (1)了解二次函数2 y ax =的图像是抛物线，会用描点法画二次函数2 y ax =的图像． (2)借助二次函数2 y ax =的图像归纳二次函数2 y ax =的基本性质并加以直观描述．（主要讨论顶点坐标、开口方向、对称性）． (3) 在运用图像研究二次函数性质的过程中，领会和运用数形结合的思想方法． (4) 培养学生通过独立思考，归纳、概括、提炼数学知识的方法. 【教学重点】会用描点法画出二次函数2 ax y =的图像，概括出图象的特点及函数的性质． 【教学难点】会用描点法画二次函数2 ax y =的图像. 【教学过程】一、复习导入 问题 1.二次函数的一般式及定义域； 2.一次函数的特殊函数是什么函数？它的解析式及图像分别是什么？ 二、探究新课 用描点法画出函数2 x y =的图像 （1）描点法画函数2 x y =的图像前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？（由解析式可以看出x 可以取任意实数，不妨以0为中心，均匀选取一些便于计算的x 的值，看看画出来的图形的大致形状，如有问题再加以修正或补充．） 步骤：1）列表： x … -2 23- -1 21 - 0 21 1 23 2 … 2x y = … 4 4 9 1 4 1 0 4 1 1 4 9 2 … 2） 描点： 3） 连接成光滑曲线： 说明：画图时曲线不能画到端点为止，必须超过端点，表示可以向上（或向下）无限延伸．顶点处要画得光滑，不能画成尖端． （2）观察函数2 x y =的图象，它的形状、位置有哪些特征？（引导学生观察列表中的数据） 函数2 x y =的图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把这种图像叫做抛物线。
二次函数二次函数的概念及特殊二次函数的图像
二次函数二次函数的概念 及特殊二次函数的图像 The pony was revised in January 2021
【新知归纳与梳理】 【主要结论归纳】 【例题分析】 【例1】判断下列函数中，哪些是二次函数？ （1）22y x =-++（2）21y x =+（3）212y x x =+ +（4）2(2)23y a x x =--++ 【例2】函数33222)1(---=k k x k y 的图像是抛物线，求k 的值。 【例3】二次函数2223m m x mx y -+-=的图像过原点，求m 的值。 【例4】若抛物线m x x y ++=62的顶点在x 轴上，求m 的值。 【例5】在二次函数n mx x y ++=2中，如果0=-n m ，那么它的图像一定经过点_________。 【例6】抛物线3212+= x y 的对称轴是__________，顶点坐标是__________，它与抛物线22 1x y =的形状___________。 【例7】把抛物线22x y -=向_______平移________个单位，就得到函数622--=x y 的图像。 【例8】把函数22x y -=的图像_________________________就会得到函数22x y =的图像。 【例9】已知抛物线的顶点为原点，对称轴是y 轴，且经过点（2，-2），求此抛物线的表达式_。 【例10】二次函数2ax y =与一次函数43-=x y 的图像都经过点A )2,(b ，求a ，b 的值。 【例11】如图所示，直线AB 过x 轴上的点A （2，0），且与抛物线2ax y =交于B 、C 两点，已知B （1， 1）。
第二讲 特殊二次函数的图像
九年级上册数学教案 特殊的二次函数图像 第二讲 特殊二次函数的图像 知识框架 知识点 1、 二次函数2y ax c =+的图像 一般地，二次函数2y ax c =+的图像是抛物线，称为抛物线2y ax c =+，它可以通过将抛物线2y ax =向上（0c >时）或向下（0c <时）平移c 个单位得到． 抛物线2y ax c =+（其中a 、c 是常数，且0a ≠）的对称轴是y 轴，即直线x = 0；顶点坐标是（0，c ）．抛物线的开口方向由a 所取值的符号决定，当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点 2.二次函数()2 y a x m =+的图像 一般地，二次函数()2 y a x m =+的图像是抛物线，称为抛物线()2 y a x m =+，它可以通过将抛物线2y ax =向左（0m >时）或向右（0m <时）平移m 个单位得到． 抛物线()2 y a x m =+（其中a 、m 是常数，且0a ≠）的对称轴是过点（-m ，0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线x = -m ；顶点坐标是（-m ，0）．当0a >时，开口向上，顶点是抛物线的最低点；当0a <时，开口向下，顶点是抛物线的最高点．
【例1】 在同一平面直角坐标系中，画出函数21y x =+、2y x =和21y x =-的图像 【例2】 将函数21y x =+、21y x =-与函数2y x =的图像进行比较，函数21y x =+、21y x =-的图像有哪些特征？完成下表． 【例3】 说出下列函数的图像如何由抛物线2 12 y x = 平移得到， 再分别指出图像的开口方向、 对称轴和顶点坐标． （1）2 122 y x = +； （2）2 112 y x = -． 【例4】 在函数123y x =；22213y x = +；325 24 y x =--中，图像开口大小按题号顺序表 示为（ ） A ．1>2>3 B ．1>3>2 C ． 2>3>1 D ．2>1>3
26.2(1)_特殊二次函数的图像
26.2（1）特殊二次函数的图像 一、教学目标设计 1.理解和掌握二次函数y=ax2的图像，并从图像上观察出二次函数y=ax2的性质. 2.通过观察、实验、猜想、总结和类比，提高归纳问题的能力. 二、教学重点及难点 重点：通过二次函数y=ax2的图像总结出有关性质. 难点：二次函数y=ax2的图像性质的应用. 三、教学用具准备 黑板、直尺、多媒体 四、教学流程设计 一、复习引入 复习提问： 1、二次函数的一般形式、自变量的取值范围； 2、提问：一次函数和反比例函数的图像是什么？ 3、思考：二次函数的图像是什么？
二、学习新课 1. 例题分析 （1）研究二次函数y=x2 的图像.先列表，首先要考虑自变量的取值范围，自变量x的取值范围是什么？y的值为什么是非负数？当x取一对相反数，y的值有什么关系？在坐标系内描出这两个点，这两个点有什么关系？ （2）考虑自变量x可以取任意实数，因此以0为中心选取x的值，列出函数对应值表. （3）然后在坐标平面中描点，在描点过程中分别取x的值和相应的函数值y作为点的坐标. （4）最后用光滑的曲线顺次联结各点，得到函数y=x2的图像. 观察：二次函数y=x2的图像是一条曲线，分别向左上方和右上方无限伸展，它属于一类特殊的曲线，这类曲线称为抛物线，二次函数y=x2的图像就称为抛物线y=x2，观察抛物线y=x2的形状，位置有哪些特征？ 归纳： 抛物线y=x2的开口方向向上；它是轴对称图形，对称轴是y轴，即直线x=0.抛物线y=x2与y轴的交点是原点O；除这个交点外，抛物线上所有的点都在x轴的上方，这个交点是抛
物线的最低点. 抛物线与它的对称轴的交点叫抛物线的顶点.抛物线y=x2的顶点是原点O（0，0）. 试一试用上述方法画出二次函数y=-x2的图像，再归纳它的特征. 三、问题拓展 例题1在同一平面直角坐标系中，分别画出二次函数y=1 2 x2和y=2x2的图像. 解（1）列表 议一议：抛物线y=1 2x2和y=2 x2的图像有什么共同特征，又有什么不同？
二次函数图像性质----特殊代数式专项练习
二次函数图像---2 1、（2016?常德）二次函数y=ax 2 +bx+c （a≠0）的图象 如图所示，下列结论： ①b ＜0；②c ＞0；③a+c ＜b ；④b 2 ﹣4ac ＞0， 其中正确的个数是（ ） 2、（2011甘肃兰州）如图所示的二次函数2 y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面四条信息： （1）2 40b ac ->；（2）c >1；（3）2a －b <0；（4）a +b +c <0。 （2）你认为其中错误．． 的有 A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．1个 3、（2009年黄石市）已知二次函数2 y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a -> 其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ． ①③④ C ．①②③⑤ D ．①②③④⑤ 4、（2011黑龙江绥化，19，3分）已知二次函数()02 ≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，现有下列结论：①240b ac -> ②0a > ③0b > ④0c > ⑤930a b c ++<， 则其中结论正确的个数是（ ）个. A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 5．（2017四川省广安市）如图所示，抛物线c bx ax y ++=2 的顶点为B （﹣1，3），与x 轴的交点 A 在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论： ①042 =-ac b ；②a +b +c ＞0；③2a ﹣b =0；④c ﹣a =3 其中正确的有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 6．（2016?巴中）如图是二次函数y=ax 2 +bx+c 图象的一部分，图象过点A （﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论： ①c ＞0； ②若点B （ ﹣，y 1）、C （ ﹣ ，y 2）为函数图象上的两点，则y 1＜y 2； ③2a ﹣b=0； ④ ＜0， 其中，正确结论的个数是（ ） 7．（2017四川省南充市）二次函数2 y ax bx c =++（a 、b 、c 是常数，且a ≠0）的图象如图 所示，下列结论错误的是（ ） A ．4ac ＜b 2 B ．abc ＜0 C ．b+c ＞3a D ．a ＜b 5、（2017贵州遵义）如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过点（﹣1，0）， 对称轴l 如图所示，则下列结论： ①abc ＞0；②a ﹣b+c=0；③2a+c ＜0；④a+b ＜0， 其中所有正确的结论是（ ） A ．①③ B ．②③ C ．②④ D ．②③④ 9.（2017贵州安顺）二次函数y=ax 2 +bx+c （≠0）的图象如图，给出下列四个结论： ①4ac ﹣b 2 ＜0；②3b+2c ＜0；③4a+c ＜2b ；④m （am+b ）+b ＜a-b （m ≠-1）， 其中结论正确的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
二次函数的定义、图像及性质
二次函数的定义、图像及性质 一、基本概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c a≠）的函数，叫做二次函 ，，是常数，0 数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 =+的性质：（上加下减） y ax c
3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法1：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ， ； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下：
2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法2： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数 ()2 y a x h k =-+与2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得 到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数 2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开 口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点 为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ， （若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数 2 y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
二次函数的定义、图像及性质
二次函数的定义、图像及性质 一、基本概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质：（上加下减）
3. ()2 y a x h =-的性质：（左加右减） 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法1：⑴将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加
下减”． 方法2： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数 ()2 y a x h k =-+与 2 y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到 前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中2424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数 2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开 口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点 为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ， ，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数 2 y ax bx c =++的性质 1.当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，．当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a =-时，y 有最大值2 44ac b a -． 七、二次函数解析式的表示方法 1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）； 2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；
(精品)初中数学讲义7特殊二次函数图像与性质二(教师版)
第7课时特殊二次函数的图像与性质（二） 课时目标 1、会画特殊二次函数的图像，掌握特殊函数的图象与性质 2、能判断一个函数的开口方向、对称轴、顶点和y 随x 的变化趋势 知识精要 一、复习 1、形如2 ax y =（0≠a ）的二次函数的图像特征 （1）二次函数的2 ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线。 （2）这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴，即直线x =0。 （3）对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点，顶点是原点。注意：顶点不是与y 轴的交点(顶点纵坐标不是截距)。 （4）抛物线的开口方向（由a 所取值的符号决定）： 当0a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点； 当0a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 2、形如c ax y +=2 （0≠a ）的二次函数的图像特征 （1）对称轴是y 轴，即直线x =0。 （2）顶点坐标是（0，c ）。 （3）抛物线的开口方向（由a 所取值的符号决定）： 当o a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点； 当o a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 （4）函数2 ax y =（0≠a ）的图像个单位时，向下平移当个单位 时，向上平移当c c c c 00<>?? ?????→?函数c ax y +=2（0≠a ）的图像
二、新授课 3、形如()2 m x a y +=（0≠a ）的二次函数的图像特征 （1）函数2 )(m x a y +=的图像的对称轴是过点（-m ,0）且平行（或重合）于y 轴的直线，即直线m x -=； （2）函数2 )(m x a y +=的图像的顶点坐标是（-m ,0） （3）抛物线的开口方向（由a 所取值的符号决定）： 当o a >时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点； 当o a <时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点。 （4）函数2ax y =（0≠a ）的图像个单位 时，向右平移当个单位时，向左平移当m m m m 00<>???????→?函数2 )(m x a y +=的图像 热身练习 1、二次函数2 2 1x y =的顶点坐标是 （0，0） ，对称轴是直线0=x 。 2、在函数2 22)1(,32 1,,4,-=+=-===x y x y x y x y x y 中，其图像的对称轴是y 轴的有（ B ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 3、抛物线2 2 1x y -=不具有的性质是（ D ） A ．开口向下； B ．对称轴是y 轴； C ．当x ＞ 0时，y 随x 的增大而减小； D ．函数有最小值 4、抛物线322 --=x y 的开口 向下 ，对称轴是直线 0=x ，顶点坐标是（0，-3）， 当0
二次函数二次函数的概念及特殊二次函数的图像
精心整理 精心整理 【新知归纳与梳理】 【主要结论归纳】 【例题分析】 【例1】判断下列函数中，哪些是二次函数？ （1）222y x x =-++（2）21y x x =++（3）21 2y x x =++（4）2(2)23y a x x =--++ 【例2】函数33222)1(---=k k x k y 的图像是抛物线，求k 的值。 【例3】二次函数2223m m x mx y -+-=的图像过原点，求m 的值。 【例4】若抛物线m x x y ++=62的顶点在x 轴上，求m 的值。 【例5】在二次函数n mx x y ++=2中，如果0=-n m ，那么它的图像一定经过点_________。 【例6】抛物线321 2+=x y 的对称轴是__________，顶点坐标是__________，它与抛物线221x y =的形 ___________。 【例7】把抛物线22x y -=向_______平移________个单位，就得到函数622--=x y 的图像。 【例8】把函数22x y -=的图像_________________________就会得到函数22x y =的图像。 【例9】已知抛物线的顶点为原点，对称轴是y 轴，且经过点（2，-2），求此抛物线的表达式_。 【例10】二次函数2ax y =与一次函数43-=x y 的图像都经过点A )2,(b ，求a ，b 的值。 【例11】如图所示，直线AB 过x 轴上的点A （2，0），且与抛物线2ax y =交于B 、C 两点，已知B （ 1）。 （1）求直线AB 和抛物线2ax y =的表达式； （2）如果抛物线上有一点D ，使OBC OAD S S ??=，求D 点的坐标。 【同步练习】 【拓展练习】 21．如图，二次函数m mx y 42+-=的顶点坐标为（0，2），矩形ABCD 在抛物线与x 轴所围成的图形内 （1）求此二次函数的解析式； （2）设点A 的坐标为（y x ，），试求矩形ABCD 的周长P 关于自变量x 的函数解析式，并求出自变量的取值范围； （3）是否存在这样的矩形ABCD ，使它的周长为9？试证明你的结论。
26.2(1)-特殊二次函数的图像
（1）特殊二次函数的图像 上海市北初级中学 徐琴芬 一、教学内容分析 正确作出二次函数y=ax 2 的图像,并从图像上观察出二次函数y=ax 2 的性质 二、教学目标设计 1.理解和掌握二次函数 y=ax 2 的图像，并从图像上观察出 二次函数y=ax 2 的性质. 2.通过观察、实验、猜想、总结和类比，提高归纳问题的能力. 三、教学重点及难点 重点：通过二次函数y=ax 2 的图像总结出有关性质. \ 难点：二次函数y=ax 2 的图像性质的应用. 四、教学用具准备 黑板、直尺、多媒体设备 五、教学流程设计 六、教学过程设计 一、 情景引入 1．观察 函数y=x 2 的图像的形状，位置有什么 特征 学习新课 课堂小结 问题拓展 情景引入 } 作业布置
2．思考 上述函数图像与我们过去所学的函数图像有什么不同 3．讨论 想一想：怎样将上述的图像画出 ` 二、学习新课 1．概念辨析 复习(1)二次函数的定义、一般形式、自变量的取值范围； (2) 函数y=x 2与一般式的区别. 2. 例题分析 （1）研究二次函数y=x 2 的图像.先列表，首先要考虑自变量的取值范围，自变量x 的取值范围是什么y 的值为什么是非负数 当x 取一对相反数，y 的值有什么关系在坐标系内描出这两个点，这两个点有什么关系 （2）考虑自变量x 可以取任意实数，因此以0为中心选取x 的值，列出函数对应值表. x … -2 -11 2 ' -1 -1 2 0 12 1 112 2 … y=x 2 … 4 ) 214 1 14 0 14 1 214 4 … （3）然后在坐标平面中描点，在描点过程中分别取x 的值和相应的函数值y 作为点的坐标.
3讲义特殊的二次函数图像三
匚J 源于名校，成就所托 复习引入: （一）在同一直角坐标系中画出二次函数y = x2与y = （X T）2+1与y = （x-1 ）2+1的图像列表（取点原则：取原点及左右对称点） 描点、连线 分 （1）函数y（x 1）2+1与y（x-1 ）2+1的图像与y =x2图像有哪些相同处及不同处 析： （2）产生这三个图像的差异的本质原因是什么 （3）这三个二次函数若与坐标轴有交点，交点坐标是
匚J ‘me源于名校，成就所托总结：y =a（x m）2 k的图像性质（左加右减，上加下减） a 的符号开口方向 顶点坐标对称轴性质 a >0向上(-m,k) 直线 x = -m XA—m时，y随x的增大而增大；XV—m时，y 随x的增大而减小；x —-m时，y有最小值 k. a cO向下(-m, k) 直线 x = -m x > —m时，y随x的增大而减小；x ￡—m时，y 随x的增大而增大；x _ -m时，y有最大值 k. 1 ?平移步骤： ⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式y =a（x m）2 k，确定其顶点坐标（-m,k）； ⑵ 保持抛物线y=ax2的形状不变，将其顶点平移到（-m,k）处，具体平移方法如下: 2.平移规律 在原有函数的基础上“ m值正左移，m负右移；k值正上移，负下移”. 概括成八个字 “左加右减，上加下减” ? 例题分析 1.填表 抛物线开口方向对称轴顶点坐标 2 y = -(x -2) +4 1 2 厂尹3)2_5 2,1 y = —3(x—2) + — 3 —3、2 7 y = ——(x —一) 一— 12 4 12 2?抛物线y=-5x向左平移1个单位，再向下平移3个单位，得到的抛物线的表达式为 轡立方教月 L y=ax2 2 y=ax +k(c) 2 y=a(x+m) +k 2 y=a(x+m)