专题三 与三角形有关的计算与证明

专题三与三角形有关的计算与证明

1.已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，AE∥BC，CE⊥AE，垂足为E. (1)求证：△ABD≌△CAE；

(2)连结DE，线段DE与AB之间有怎样的位置和数量关系？请证明你的结论．

【简析】(1)由AB＝AC及AE∥BC易得∠B＝∠CAE，然后由AD是中线可得∠ADB＝∠CEA，由AAS证明两个三角形全等；(2)由(1)可得AE＝BD，结合已知条件AE∥BC可得四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得出DE与AB平行且相等．

变式：如图，△ABC中，A B＝AC，E在BA的延长线上，AD平分∠CAE.

(1)求证：AD∥BC；

(2)过点C作CG⊥AD于点F，交AE于点G，若AF＝4，求BC的长．

2.如图，在四边形ABCD，∠ABC＝90°，AC＝AD，M、N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN.

(1)求证：BM＝MN；

(2)若∠BAD＝60°，AC平分∠BAD，AC＝2，求BN的长．

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【简析】(1)由M 是Rt △ABC 中AC 的中点，BM ＝12

AC ，又M ，N 分别是AC 、CD 的中点，MN ＝12AD ，从而得证；（2）由（1）知，BM ＝12AC ＝AM ＝MC ，则60BMC ??,又

30,90,CMN BMN BN ?靶=?故所以。

变式：如图，在ABC ?中，AD BC ⊥于D ，BD AD =，DG DC =，E ，F 分别是BG ，AC 的中点．

（1）求证：DE DF =，DE DF ⊥；

（2）连接EF ，若10AC =，求EF 的长．

3. 在Rt △ABC 中，∠C ＝90°,AM 为△ABC 的角平分线,将线段BM 绕点B 顺时针方向旋转使点M 刚好落在AM 的延长线上的点N 处,此时作ND ⊥BC 于点D.

(1)求证：∠ABN ＝90°；

(2)求证：CM ＝BD ；

(3)若BD ＝32

DM ，AB ＝10，求线段BN 的长．

【简析】（1）由BM ＝BN ，则∠CMA ＝∠BMN ＝∠BNM ，又AM 平分∠BAC ，则∠CAM ＝∠BAM.从而∠ABN ＝∠C ＝90°；（2）过点M 作ME ⊥AB 于点E.易证△MEB ≌△BDN ，从而MC ME BD ==；（3）设DM ＝2x ，则CM ＝BD ＝3x ，BN ＝BM ＝BD ＋DM ＝5x.则

DN ＝BN 2－BD 2＝4x.易得∠BAM ＝∠CAM ＝∠MND.那么tan ∠BAM ＝tan ∠MN D ＝12

.在Rt △ABN 中，BN ＝AB·tan ∠BAM ＝10×12

＝5.

变式：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D 在边AC 上，且AD=2CD ，DE ⊥AB ，垂足为点E ，联结CE ，求：

（1）线段BE 的长；

（2）∠ECB 的余切值．

4.如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，BC=3，D 为AC 延长线上一点，AC=3CD ，过点D 作DH ∥AB ，交BC 的延长线于点H ．

(1）求BD ?cos ∠HBD 的值；

(2）若∠CBD=∠A ，求AB 的长．

【简析】（1）根据DH ∥AB ，易知△ABC ∽△DHC ，由条件AC ＝3CD ．则CH=1，从而求得BH 的长。（2）由（1）中△ABC ∽△DHC 得AB ＝3DH ，由条件∠A ＝∠CBD ，∠ABC ＝∠BHD ，易知△ABC ∽△BHD ，可得BC HD ＝AB BH

，把BC ＝3，AB ＝3DH ，BH ＝4，代入可求出DH=2，从而求得AB=6.

变式：如图，已知：四边形ABCD 是平行四边形，点E 在边BA 的延长线上，CE 交AD 于点F ，∠ECA=∠D.

（1）求证：△EAC ∽△ECB ；

（2）若DF=AF ，求AC ：

BC 的值．

5. 如图，Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=15，BC=9，点P ，Q 分别在BC ，AC 上，CP=3x ，CQ=4x （0＜x ＜3）．把△PCQ 绕点P 旋转，得到△PDE ，点D 落在线段PQ 上．

（1）求证：PQ ∥AB ；

（2）若点D 在∠BAC 的平分线上，求CP 的长；

【简析】（1）易知AC=12，再由CQ CP CA CB

=,得出△PQC ∽△BAC ，故∠CPQ=∠B ，所以PQ ∥AB ；（2）连接AD ，根据PQ ∥AB 可知∠ADQ=∠DAB ，由点D 在∠BAC 的平分线上，得出∠DAQ=∠DAB=∠ADQ ，因而12412AQ DQ x PQ x ===-﹣，,在Rt △CPQ

中,5PQ x =,则125x x -=，故2,36x CP x ===.

变式：如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，点D 为边CB 上的一个动点（点D 不与点B 重合），过D 作DO ⊥AB ，垂足为O ，点B ′在边AB 上，且与点B 关于直线DO 对称，连接DB ′，AD ．

（1）求证：△DOB ∽△ACB ；

（2）若AD 平分∠CAB ，求线段BD 的长；

（3）当△AB ′D 为等腰三角形时，求线段BD 的长．

【参考答案：（2）BD=5;(3)提示：当△AB ′D 为等腰三角形时，AB ′=DB ′，设BD=5x ，则AB ′=DB ′=5x ，BO=B ′O=4x ，根据AB ′+B ′O+BO=AB 求解，BD=5013.】