与三角形有关角的计算与证明

七年级下与三角形有关的角（2012.4.21）

一、知识要点：

1、三角形的内角和定理：___________________.

2、三角形的一边与另一边的反向延长线的夹角叫做三角形的外角．因此，三角形的任意一个外角与和它相邻的三角形的一个内角互为___ ___．

3、三角形外角的性质：（1）三角形的一个外角与相邻的内角互补;（2）三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和;

（3）三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角.

二：例题精讲：

类型一：有关三角形角度的计算：

1、在ABC ?中，

（1）C B A ∠=∠?=∠,80，则=∠B _____________；

（2）?=∠-∠?=∠-∠20,35A B C A ，则=∠B _____________；(3)∠A:∠B:∠C=1:3:5,则∠B=_____°.

（4）在ABC △中，BC 边不动，点A 竖直向上运动，A ∠越来越小，B C ∠∠，越来越大．若A ∠减少

α度，B ∠增加β度，C ∠增加γ度，则αβγ，，三者之间的等量关系是．

(5) 在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，且CD 、BE 交于一点P ，若∠A=50°，则∠BPC 的度

数是．

2、一个三角形的一个外角是它相邻内角的5.1倍，是不相邻内角的3倍，求这个三角形的各内角.

3、如图，已知?=∠27A ，?=∠96CBE ，?=∠30C . 求：ADE ∠的大小.

4、如图，五角星ABCDE ，求E D C B A ∠+∠+∠+∠+∠的度数.

类型二：有关角平分线角度的计算：

5、已知△ABC ，

①如图1，若P 点是ABC ACB ∠∠和的角平分线的交点，请说明1902

P A ∠=+

∠； ②如图2 ，若P 点是ABC ∠∠和外角ACE 的角平分线的交点,你能说明∠P=2

1∠A 吗? ③如图３，若P 点是外角CBF BCE ∠∠和的角平分线的交点，你能说明1902P A ∠=-∠吗?

6、如图，点M 是△ABC 两个内角平分线的交点，点N 是△ABC 两个外角平分线的交点，

如果∠CMB ∶∠CNB ＝3∶2，求∠CAB 的度数．

类型三：有关角度的证明：

7、已知：如图，在ABC ?中，BC AD ⊥于D ，AE 平分BAC ∠（B C ∠>∠）求证：)(21B

C EA

D ∠-∠=

∠

8、如图，已知：在ABC ?中，AFE AEF AC AB ∠=∠>,，延长EF 与BC 的延长线交于G . 求证：)(2

1B ACB G ∠-∠=∠

三、课堂检测

1、已知：如图，求∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6___________．

2、如图，一个顶角为40的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，

则43∠+∠=______°.

3、把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=_______度．

4、如上图所示，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝______．

5、如图，已知线段AD 、BC 相交于点Q ，DM 平分∠ADC ，BM 平分∠ABC ，且∠A ＝27°，

∠M ＝33°，则∠C = °．

附：2012年4月高新一中期中考试部分试题

17（3分）. 如图所示，把一个三角形纸片ABC 顶角向内折叠3次之后，3个顶点 45 α 30

不重合，那么图∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的度数和是（）°

23（8分）.已知：a

c b a a c b a c b +≠--=-求且,0))(()(412的值.

24（12分）.如图1点D 、点E 分别在△ABC 边AB ，AC 上，∠CBD=∠CDB，DE//BC ，∠CDE 的平分线交AC 于F 点

（1）求证∠DBF+∠DFB=90°；

（2）如图2，如果∠ACD 的平分线与AB 交于G 点，∠BGC=50°，求∠DEC 的度数；

（3）如图3，如果H 点是BC 边上的一个动点（不与B 、C 重合），AH 交DC 于M

点，∠CAH 的平分线AI 交DF 于N 点.当H 点在BC 上运动时，ANF

DMH DEC ∠+∠的值是否发生变化？如果变化，说明理由；如果不变，试求出其值.

各种三角形边长的计算公式

各种三角形边长的计算公式解三角形解直角三角形（斜三角形特殊情况）：勾股定理 ,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”） a^2+b^2=c^2, 其中 a 和 b 分别为直角三角形两直角边,c 为斜边 .勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如：3,4,5. 他们分别是 3,4 和 5 的倍数 .常见的勾股弦数有： 3,4,5 ；6,8,10 ； 5,12,13;10,24,26; 等等 . 解斜三角形：在三角形ABC a/SinA=b/SinB=中 , 角A,B,C c/SinC=2R 的对边分别为a,b,c. 则有 (R 为三角形外接圆半径 ) （ 1 ）正弦定理（ 2 ）余弦定理 a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况（.3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab 斜三角形的解法：已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出 b 与 c,在有解时有一解. 两边和夹角(如 a、b 、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角 ,再由 A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解. 三边 (如 a、 b、 c) 余弦定理由余弦定理求出角 A 、B,再利用 A+B+C=180˙,求出角 C 在有解时只有一解 .

两边和其中一边的对角( 如 a 、 b 、 A)正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解. 勾股定理（毕达哥拉斯定理）内容：在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.几何语言：若△ABC 满足∠ABC=90 °,则 AB2+BC 2=AC 2 勾股定理的逆定理也成立 ,即两条边长的平方之和等于第三边长的平方 ,则这个三角形是直角三角形几何语言：若△ABC 满足 ,则∠ABC=90 °. [3] 射影定理（欧几里得定理）内容：在任何一个直角三角形中 ,作出斜边上的高 ,则斜边上的高的平方等于高所在斜边上的点到不是两直角边垂足的另外两顶点的线段长度的乘积 .几何语言：若△ABC 满足∠ABC=90 °,作 BD ⊥AC,则 BD2 ＝AD ×DC 射影定理的拓展：若△ ABC满足∠ABC=90°,作BD ⊥ AC,(1)AB 2 =BD ·BC(2)AC 2 ;=CD ·BC (3)ABXAC=BCXAD 正弦定理内容：在任何一个三角形中,每个角的正弦与对边之比等于三角形面积的两倍与三边边长和的乘积之比几何语言：在△ABC 中,sinA/a=sinB/b=sinC/c=2S三角形 /abc结合三角形面积公式,可以变形为a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R是外接圆半径）余弦定理内容：在任何一个三角形中,任意一边的平方等于另外两边的平方和减去这两边的 2 倍乘以它们夹角的余弦几何语言：在△ABC中,a2=b 2+c 2-2bc×cosA此定理可以变形为： cosA= （ b 2+c 2-a 2 ）÷2bc

沪科版数学八年级上册专题：三角形的有关计算与证明

专题：三角形的有关计算与证明三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一，这类试题解法比较灵活，通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点，以计算题、证明题的形式出现，解答这类问题时，不仅要熟练掌握有关的公式定理，更要注意它们之间的相互联系. 例如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB 交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG. 求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE. 【思路点拨】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到； (2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF=BG，则只要证明BG=2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE，故证明DG=BG即可. 【解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC. ∴∠BCG＝∠CAB＝45°. 又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC， ∴△ACF≌△CBG(ASA), ∴CF＝BG，AF＝CG. (2)延长CG交AB于点H. ∵AC＝BC，CG平分∠ACB， ∴CH⊥AB，H为AB中点. 又∵AD⊥AB，∴CH∥AD, ∴G为BD中点，∠D＝∠EGC. ∵E为AC中点，∴AE＝EC. 又∵∠AED＝∠CEG， ∴△AED≌△CEG(AAS), ∴DE＝EG,∴DG＝2DE,∴BG＝DG＝2DE. 由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE. 方法归纳：解答与线段或角相等的有关问题时，通常将它转化为全等三角形问题来求解. 1.如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.

2020年全国各地中考数学压轴题按题型(几何综合)汇编(一)三角形中的计算和证明综合(原卷版)

2020全国各地中考数学压轴题按题型（几何综合）汇编一、三角形中的计算和证明综合题 1.（2020贵州黔东南州）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形．探究发现（1）△BCD与△ACE是否全等？若全等，加以证明；若不全等，请说明理由．拓展运用（2）若B、C、E三点不在一条直线上，∠ADC＝30°，AD＝3，CD＝2，求BD的长．（3）若B、C、E三点在一条直线上（如图2），且△ABC和△DCE的边长分别为1和2，求△ACD的面积及AD的长． 2.（2020黑龙江牡丹江）在等腰△ABC中，AB＝BC，点D，E在射线BA上，BD＝DE，过点E作EF∥BC，交射线CA于点F．请解答下列问题：

（1）当点E 在线段AB 上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图①，求证：AE +BC ＝CF ；（提示：延长CD ，FE 交于点M ．）（2）当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图②；当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE ，BC ，CF 之间的数量关系，不需要证明；（3）在（1）、（2）的条件下，若DE ＝2AE ＝6，则CF ＝． 3.（2020武汉）问题背景：如图（1），已知△ABC ∽△ADE ，求证：△ABD ∽△ACE ；尝试应用：如图（2），在△ABC 和△ADE 中，∠BAC ＝∠DAE ＝90°，∠ABC ＝∠ADE ＝30°，AC 与DE 相交于点F ，点D 在BC 边上， AD BD = √3，求 DF CF 的值；拓展创新如图（3），D 是△ABC 内一点，∠BAD ＝∠CBD ＝30°，∠BDC ＝90°，AB ＝4，AC ＝2√3，直接写出AD 的长． 4.（2020湖南常德）已知D 是Rt △ABC 斜边AB 的中点，∠ACB ＝90°，∠ABC ＝30°，过点D 作Rt △DEF 使∠DEF ＝90°，∠DFE ＝30°，连接CE 并延长CE 到P ，使EP ＝CE ，连接BE ，FP ，BP ，设BC 与DE 交于M ，PB 与EF 交于N ．（1）如图1，当D ，B ，F 共线时，求证： ①EB ＝EP ； ②∠EFP ＝30°；（2）如图2，当D ，B ，F 不共线时，连接BF ，求证：∠BFD +∠EFP ＝30°．

等腰三角形计算和证明题集锦(全)

一、计算题： 1. 如图，△ABC 中，AB=AC,BC=BD,AD=DE=EB 求∠A 的度数 2.如图，CA=CB,DF=DB,AE=AD 求∠A 的度数 3. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上， DE ⊥AB 于E ，DF ⊥BC 交AC 于点F ，若∠EDF=70°，求∠AFD 的度数 4. 如图，△ABC 中， AB=AC,BC=BD=ED=EA 求∠A 的度数 5. 如图，△ABC 中，AB=AC ，D 在BC 上, ∠BAD=30°,在AC 上取点E ，使AE=AD, 求∠EDC 的度数 6. 如图，△ABC 中，∠C=90°，D 为AB 上一点，作DE ⊥BC 于E ，若BE=AC,BD=1/2，DE+BC=1, 求∠ABC 的度数 7. 如图，△ABC 中， AD 平分∠BAC ，若AC=AB+BD 求∠B ：∠C 的值二、证明题 8、如图，△ABC 中，∠ABC,∠CAB 的平分线交于点P ，过点P 作DE ∥AB ，分别交BC 、AC 于点D 、E 求证：DE=BD+AE 9、如图，△DEF 中，∠EDF=2∠E ，FA ⊥DE 于点A ，问：DF 、AD 、AE 间有什么样的大小关系。 10、如图，△ABC 中，∠B=60°，角平分线AD 、CE 交于点O 求证：AE+CD=AC A B C D F E

11、11. 如图，△ABC中，AB=AC, ∠A=100°，BD 平分∠ABC, 求证：BC=BD+AD 12、12. 如图,△ABC中,AB=AC,D为△ABC外一点，且∠ABD=∠ACD =60° 求证：CD=AB-BD 13、13.已知：如图，AB=AC=BE，CD为△ABC中AB 边上的中线求证：CD=1/2 CE 14、如图，△ABC中，∠1=∠2，∠EDC=∠BAC 求证：BD=ED 15、如图，△ABC中，AB=AC,BE=CF,EF交BC于点G 求证：EG=FG 16、如图，△ABC中，∠ABC=2∠C，AD是BC边上的高，B到点E，使BE=BD 求证：AF=FC 17、如图，△ABC中，AB=AC,AD和BE两条高，交于点H，且AE=BE 求证：AH=2BD 18、如图，△ABC中，AB=AC, ∠BAC=90°，BD=AB，∠ABD=30°求证：AD=DC 19、如图，等边△ABC中，分别延长BA至点E，延长BC至点D，使AE=BD 求证：EC=ED 20、如图，四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD=180°AD、BC的延长线交于点F，DC、AB的延长线交于点E，∠E、∠F的平分线交于点H 求证：EH⊥FH

三角形边长的计算公式

解三角形解直角三角形（斜三角形特殊情况）：勾股定理,只适用于直角三角形（外国叫“毕达哥拉斯定理”）a^2+b^2=c^2,其中a和b 分别为直角三角形两直角边,c为斜边.勾股弦数是指一组能使勾股定理关系成立的三个正整数.比如：3,4,5.他们分别是3,4和5的倍数.常见的勾股弦数有：3,4,5；6,8,10；5,12,13;10,24,26;等等. 解斜三角形：在三角形ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c.则有（1）正弦定理a/SinA=b/SinB= c/SinC=2R (R为三角形外接圆半径) （2）余弦定理a^2=b^2+c^2-2bc*CosA b^2=a^2+c^2-2ac*CosB c^2=a^2+b^2-2ab*CosC 注：勾股定理其实是余弦定理的一种特殊情况.（3）余弦定理变形公式cosA=(b^2+C^2-a^2)/2bC cosb=(a^2+c^2-b^2)/2aC cosC=(a^2+b^2-C^2)/2ab 斜三角形的解法：已知条件定理应用一般解法一边和两角（如a、B、C）正弦定理由A+B+C=180˙,求角A,由正弦定理求出b与c,在有解时有一解. 两边和夹角(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求第三边c,由正弦定理求出小边所对的角,再由A+B+C=180˙求出另一角,在有解时有一解. 三边(如a、b、c) 余弦定理由余弦定理求出角A、B,再利用A+B+C=180˙,求出角C 在有解时只有一解. 两边和其中一边的对角(如a、b、A) 正弦定理由正弦定理求出角B,由A+B+C=180˙求出角C,在利用正弦定理求出C边,可有两解、一解或无解.

三角形中的五种常见证明类型

专训一：三角形中的五种常见证明类型名师点金：学习了全等三角形及等腰三角形的性质和判定后，与此相关的几何证明题的类型非常丰富，常见的类型有：证明数量关系、位置关系，线段的和差关系、倍分关系、不等关系等．证明数量关系题型1证明线段相等 1．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，E、F分别是AB、AC 上的点，且AE＝AF，求证：DE＝DF. (第1题) 题型2证明角相等 2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D为AC的中点，AE⊥BD 于F交BC于E. 求证：∠ADB＝∠CDE. (第2题) 证明位置关系 3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E，F分别在边BC，AB，AC上，且BD＝CF，BE＝CD，点G是EF的中点，求证：DG⊥EF.

(第3题) 证明倍分关系 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，BE是△ABC的高，AD，BE相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD. (第4题) 证明和、差关系 5．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AD平分∠BAC.求证：AB＋BD＝AC. (第5题) 证明不等关系 6．如图，AD是△ABC中∠BAC的平分线，P是AD上的任意一点，且AB ＞AC，求证：AB－AC＞PB－PC.

(第6题) 专训二：构造全等三角形的六种常用方法名师点金：在进行几何题的证明或计算时，需要在图形中添加一些辅助线，辅助线能使题目中的条件比较集中，能比较容易找到一些量之间的关系，使数学问题得以较轻松地解决．常见的辅助线作法有：构造法、平移法、旋转法、翻折法、加倍折半法和截长补短法，目的都是构造全等三角形．构造基本图形法 1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF. 求证：∠ADC＝∠BDF. (第1题) 翻折法

以圆为背景的相似三角形的计算与证明

以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图Z13－1，DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E，BC⊥AC于点C，交半圆于点F.已知AC＝12，BC＝9，求AO的长．图Z13－1 经典母题答图解：如答图，连结OE，设⊙O的半径是R，则OE＝OB＝R. 在Rt△ACB中，由勾股定理，得 AB＝AC2＋BC2＝15.

∵AC 切半圆O 于点E ，∴OE ⊥AC ， ∴∠OEA ＝90°＝∠C ，∴OE ∥BC ， ∴△AEO ∽△ACB ， ∴OE BC ＝AO AB ，∴R 9＝15－R 15，解得R ＝458， ∴AO ＝AB －OB ＝15－R ＝758 . 【思想方法】利用圆的切线垂直于过切点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求AO 的长．【中考变形】 1．如图Z13－2，在Rt △ACB 中，∠ACB ＝90°，O 是AC 边上的一点，以O 为圆心，OC 为半径的圆与AB 相切于点D ，连结OD . (1)求证：△ADO ∽△ACB ； (2)若⊙O 的半径为1，求证：AC ＝AD ·BC . 证明：(1)∵AB 是⊙O 的切线，∴OD ⊥AB ， ∴∠C ＝∠ADO ＝90°，∵∠A ＝∠A ， ∴△ADO ∽△ACB ； (2)由(1)知，△ADO ∽△ACB .∴AD AC ＝OD BC ， ∴AD ·BC ＝AC ·OD ，∵OD ＝1，∴AC ＝AD ·BC . 2．[2017·]如图Z13－3，已知Rt △ABC ，∠C ＝90°，D 为BC 的中点，以AC 为直径的⊙O 交AB 于点E . (1)求证：DE 是⊙O 的切线；图Z13－2

三维计算三角形边角

import java.math.BigDecimal; import java.util.ArrayList; import java.util.Arrays; import java.util.List; class XYZ{ private String X; private String Y; private String Z; public String getX() { return X; } public void setX(String x) { X = x; } public String getY() { return Y; } public void setY(String y) { Y = y; } public String getZ() { return Z; } public void setZ(String z) { Z = z; } } public class Calum { @SuppressWarnings("unchecked") public List getData(String[] XYZ){ //坐标格式为x,y,z字符串如1,2,3 List list=new ArrayList(); List line=new ArrayList();//储存边长

for(int i=0;i1){ for(int i=0;i

培优专题四三角形中角度的证明与计算

三角形中角度的证明与计算类型一：三角形中两个角的角平分线的夹角 1、两个内角平分线的夹角如图，在△ABC 中，O 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，求∠O 与∠A 之间的关系。 2、一个内角平分线与一个外角平分线的夹角如图，在?ABC 中，D 点是∠ABC 和∠ACE 的角平分线的交点，求∠D 与∠A 之间的关系。 3、两个外角平分线的夹角如图，在?ABC 中，E 点是∠ABC 和∠ACD 的角平分线的交点，求∠E 与∠A 之间的关系。练习1、如图，在?ABC 的三条内角平分线交于点I ，AI 的延长线与BC 交于点D ，BC IH ⊥于H ，试比较∠CIH 和∠BID 的大小练习2、如图，在?ABC 中，∠A=n o ，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得2A ∠， BC A 2014∠和CD A 2014∠的平分线交于点2015A ，求2015A ∠ = 。类型二：三角形中两条边的高线的夹角如图，在?ABC 中，O 点是BC 和AC 边上高的交点，求∠AOB 与∠ D C

类型三：三角形中同一顶点的高线与角平分线的夹角如图，在 ABC 中，AD 是BC 边上高，AE 是∠BAC 的平分线，求∠DAE 与∠B 和∠C 之间的关系。练习3、如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，∠B ＝40°，∠C ＝70°，F 为射线AE 上一点(不与E 点重合)，且FD ⊥BC. (1)若点F 与点A 重合，如图1，求∠EFD 的度数； (2)若点F 在线段AE 上(不与点A 重合)，如图2，求∠EFD 的度数； (3)若点F 在△ABC 外部，如图3，此时∠EFD 的度数会变化吗？是多少？类型四：三角形中两边中垂线的交点（锐角、直角、钝角三角形分类讨论）如图，在△ABC 中，OD 垂直平分AB 交AB 于点D ，OE 垂直平分AC 交AC 于点E ，连接OB ，OC ，求∠BOC 与∠A 之间的关系。练习4 （1）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，ME 和NF 分别垂直平分AB 和AC ，求∠MAN?的度数．（2）在（1）中，若无AB=AC 的条件，你还能求出∠MAN 的度数吗？若能，请求出；?若不能，请说明理由．类型五：“8”字形图案的两条角平分线的夹角如图，已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD ，CB ，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于点M ，N 如图2，试回答下列问题：在图1中，直接写出∠A ，∠B ，∠C ，∠D 之间的数量关系在图2中，∠D 与∠B 为任意角，试探究∠P 与∠D 、∠B 之间是否存在一定的数量关系，若存在，写出它们之间的关系并证明，若不存在，说明理由。

三角形中相关角度的计算规律及应用

1 三角形中相关角度的计算规律及应用淮南市谢家集区杨公中学夏明海三角形是最简单的多边形，初中几何教学中常通过对角线或添加辅助线把复杂的图形转化为三角形来研究和讨论，使问题简化后得以解决，可见三角形是初中几何的最基础的内容，在几何教学中尤显重要。三角形内角和定理与角平分线、高线是探索和研究三角形问题的重要知识点。在教学实践中把他们巧妙的结合起来，使得解决问题更为方便。以素质教育为标准的新课标，对教材内容的深度、广度和难度都做了适当的调整，目前形势下，众多的教辅材料进入了学生的书包。其深度和难度明显超出了新课标的要求，如果学生不能很好的灵活应用基础知识，是很难完成作业的。为此对教师的课堂教学提出了新的要求。除要使学生对基础内容理解和掌握外，还要求教师把基本知识进行升华，教会学生准确、灵活的运用所学知识解决相应问题，同时要把基本内容进行归纳总结，抽象出规律性的东西。同时也培养了学生的综合分析能力和逻辑思维能力。由于我在课堂教学中摸索出点滴的教学经验——三角形中相关角度的计算规律及其应用。愿和同行们进行交流，共同分享这份快乐，共同进步。一、三角形内角和定理与角平分线规律及应用例1：在△ABC 中，BO 与CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，且相交于点O ，探究∠O 与∠A 是否有关系？若有关系，试分析有怎样的关系？研究分析：∠O =180°- (∠1+∠2) 而∠1+∠2= 1 2 (180°-∠A) =90°- 1 2 ∠A ∴∠O=180°- (90°- 1 2 ∠A) =90°+ 1 2 ∠A 由例1总结出规律：三角形的两个内角平分线交于一点，所形成角的度数等于90°加上第三角的一半，即为∠O = 90°+ 1 2 ∠A 。例2:已知如图：在△ABC 中，BO 、CO 分别平分∠CBE 和∠BCF ，且交于点O ，则∠O 与 ∠A 的关系又如何呢? 分析：∠O = 180°-（∠1+∠2）而∠1+∠2 = 1 2 (180°+ ∠A) ∴∠O =180°- [ 1 2 (180°+ ∠A)] = 180°- 90°- 1 2 ∠A = 90°- 1 2 ∠A B A O C 1 2 例1 E F

专题07 三角形及四边形的计算与证明(解析版)

专题07 三角形及四边形的计算与证明一、三角形 1．三角形的概念及性质概念：（1）由三条线段首尾顺次相接组成的图形，叫做三角形．（2）三角形按边可分为：非等腰三角形和等腰三角形；按角可分为：锐角三角形、钝角三角形和直角三角形．性质：（1）三角形的内角和是180°；三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角．（2）三角形的任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边． 2．三角形中的重要线段（1）三角形的角平分线：三角形一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线．特性：三角形的三条角平分线交于一点，这点叫做三角形的内心．（2）三角形的高线：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称高．特性：三角形的三条高线相交于一点．（3）三角形的中线：在三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段叫做三角形的中线．特性：三角形的三条中线交于一点． 3．全等三角形的性质与判定概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．性质：全等三角形的对应边、对应角分别相等．判定：（1）有三边对应相等的两个三角形全等，简记为（SSS）；（2）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简记为（SAS）；（3）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简记为（ASA）；（4）有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简记为（AAS）；（5）有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简记为（HL）． 4．等腰三角形等腰三角形的有关概念及分类：有两边相等的三角形叫等腰三角形，三边相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形；等腰三角形分为腰和底不相等的等腰三角形和腰和底相等的等腰三角形．等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简称为“等边对等角”）；（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（简称为“三线合一”）；（3）等腰三角形是轴对称图形．

解三角形中有关图形的计算

解三角形的有关计算：方法归纳：对于解三角形图形的相关问题，是涉及到2个或多个三角形的解三角形问题，关键是找到这些三角形之间的具有特殊关系的量，作为把不同三角形中的条件联系在一起的“桥梁”“纽带”，从而达到解三角形的综合问题。一、解三角形有关图形的计算： 1、如图，ACD △是等边三角形，ABC △是等腰直角三角形， 90ACB = ∠，BD 交AC 于E ，2AB =．（Ⅰ）求cos CAE ∠的值；（Ⅱ）求AE ． 2、在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于1 3BC ，则cos A ＝( ) A ．310 10 B ．1010 C ．－ 1010 D ．－31010 3、如图所示，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝1，P 为△ABC 内一点，∠BPC ＝90°. (1)若PB ＝1 2 ，求P A ； (2)若∠APB ＝150°，求tan ∠PBA . 4、如图，ABC ?中，2,3 3 2sin ==∠AB ABC ，点D 在线段AC 上，且3 34,2= =BD DC AD . (1)求BC 的长；（2）求DBC ?的面积. 5、如图，△ABC 中，AB=AC=2 ，BC= D 在BC 边上，∠ADC=45°，则AD 的长度等于______。 6、在ΔABC 中， AD AB ⊥，BC = BD ，1AD = ，则AC AD ? = 7、ABC ?中，D 为边BC 上的一点，33BD =，5 sin 13B = ，3cos 5 ADC ∠=，求AD ． 8、在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长. 9、如图所示，在△ ABC ，已知AB = ,cos B = ，AC 边上的中线BD =求：（1）BC 的长度；（2）sin A 的值。 B A C D E A D C B

小专题一——有三角形有关的角度的计算

模型一：两个角的角平分线的夹角例题1：如图1，在?ABC 中，P 点是∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，若∠A=50o ，则∠P= 。如图2，在?ABC 中，P 点是∠ABC 和∠ACE 的角平分线的交点，若∠A=50o ，则∠P= 。如图2，在?ABC 中，P 点是∠CBF 和∠BCE 的角平分线的交点，若∠A=50o ，则∠P= 。例题2：如图，在?ABC 的三条内角平分线交于点I ，AI 的延长线与BC 交于点D ， BC IH ⊥于H ，试比较∠CIH 和∠BID 的大小例题3：如图，在?ABC 中，角A=m o ，∠ABC 和∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 和∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得2A ∠， BC A 2014∠和CD A 2014∠的平分线交于点2015A ，求2015A ∠的度数 = 。

模型二：“8”字形图案的两条角平分线的夹角例题4：已知线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD ，CB ，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD ，AB 分别相交于点M ，N 如图2，试回答下列问题：（1）在图1中，直接写出D C B A ∠∠∠∠,,,之间的数量关系（2）在图2中，D ∠与B ∠为任意角，试探究P ∠与D ∠、B ∠之间是否存在一定的数量关系，若存在，写出它们之间的关系并证明，若不存在，说明理由。模型三：角平分线与高线的夹角例题5：如图，在?ABC 中，∠C=70o ，∠B=30o ，AE 平分∠BAC ，AD 垂直于BC ，垂足为D ，则∠DAE 为。例题6：如图1，?ABC 中，AE 平分∠BAC （∠C 大于∠B ），F 为AE 上的一点，且FD ⊥BC 于点D （1）试推导EFD ∠与C B ∠∠,之间的数量关系（2）如图2，当点F 在AE 的延长线上，其余的条件都不变，判断在（1）中推导出的结论是否成立？

三角形的证明练习题

八年级下册数学第一章提高训练 9.等腰三角形的周长是 2 + J 3，腰长为1，则其底边上的高为 _________________ . 12 .已知：如图，AB = AC,/A= 36°,AB 的垂直平分线交AC 于D,则下列结论：①/C= 72。：②总。是/AB C 的平分线；③AAB D 是等腰三角形；④ABCD 是等腰三角形，其中正确的有（ A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 13 .如图，已知在 AABC 中，AB = AC,/C= 30°,AB±AD,AD = 10 .以长为1、 . 2、2 ,5、3,中的三条线段为边长可以构成个直角三角形 . （11题图）二计算题 11 .如图，在△AEC,/C= 90° ZB= 15°,AB 的中垂线DE 交EC 于D,E 为垂足，若BD = 10 cm,^ UAC 等于( )A. 10 cm B. 8 cm C. 5cm D. 2. 5cm 3 cm,_KU AC 的长等于（） A. 2 2 cm B. 2.3 cm C. 3 2 cm D. 3 .. 3 cm （13题图） 14.如图，加条件能满足 AAS 来判断/ AC*/ABE 的条件是（ A. / AEB = / ADC / C = / D B.Z AEB = / ADC CD = BE C. AC = AB AD = AE D . AC = AB / C =/ B 一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 在△ ABD 和厶ACE 中，有下列四个论断：① AB= AC;②AD= AE ;③/ B =Z C ;④BD= CE 请以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，写出一个正确的判断（000^0的形式写出来） ________________________________ . 2. ______________________________________________________________ 如图，在△ ABC 中，AD= DE AB= BE,/ A = 80° 则/ DEC= ________________________________________________________ . （2题图）（3题图）（4题图） 4.如图，/ AO =/ BO =15°，PC// OA PDLOA 若 PC = 4,贝U PD= . 5?等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 30°,则其顶角的度数为 _________________ 度. 6. 已知：如图，在厶ABC 中，AB=15m AC=12m AD 是/ BAC 的外角平分线，DE// AB 交AC 的延长线于点 E ，那么CE= _cm 7. ______________________________________________________________________________________________ 如图，人。是厶ABC 的中线，/ ADC= 45°，把△ ADC 沿 AD 对折，点 C 落在C 的位置，如果 BC=2, _则BC' = ______________ &在联欢晚会上，有 A 、B 、C 三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏，要求在他们中间放一个木 ABC （6题图）（7题（12题图）

初一数学三角形角度的相关计算

[适用年级]：华师七年级 [期别]：39期 [栏目]：一点就通三角形中的角度计算河南安阳市十六中学牛书堂 455000 要进行三角形的角度计算，首先要搞清楚三角形角度之间的关系变化。 1、内角和定理在△ABC 中，∠A+∠B+∠C=180° 2、外角定理三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和 3、直角三角形的两锐角直角三角形的两个锐角之和等于90° 4、等腰三角形的三角的关系已知等腰三角形的顶角为n °，则两底角为2 1(180°－n °);已知等腰三角形的一个底角为 n °，则另一个底角也是n °,顶角为180°－2n °. 三角形中的角度计算主要分以下三种形式： 1、方程法， 2、推理代换法， 3、特殊值法 1、方程法例1、在△ABC 中，AB=AC ，CD 平分∠C ，∠ADC=150°，求∠B [分析] (1)所求的∠B 在△DBC 内，已知的∠ADC 是△DBC 的外角，所以有∠ADC=∠B+∠BCD 。∠B 是等腰△ABC 的顶角，∠BCD 是底角的一半，可以用∠B 表示，所以可利用方程式求∠B 。 (2)因为∠A 是底角，∠ACD 是底角的一半， ∠ADC 是已知角，所以可以先求出∠A 。解法1、设∠B=x ，则∠ACB=21(180°－x),∠BCD=4 1(180°－x),由三角形的内角和定理，可得∠B+∠BCD=∠ADC ，即 x+4 1(180°－x)=150° 所以x=140° 解法2、设∠A=x ，则∠ACB=x,∠ACD= 21x 。因为∠A+∠ACD+∠ADC=180°，所以 x+2 1x+150°=180° 解得x=20°,即∠A=20° ∴∠B=180°－2×20°=140° 例2、在△ABC 中，∠A ：∠B=5：7，∠C 比∠A 大10°，求∠C 解：设∠C=x,则∠A=x －10°,∠B=5 7(x-10°),所以有 C B A

(完整word版)三角形的证明练习题

A B P C D O （7题图）（6题图）（11题图）八年级下册数学第一章提高训练一、填空题（每小题2分，共20分） 1．在△ABD和△ACE中，有下列四个论断：①AB＝AC；②AD＝AE；③∠B＝∠C；④BD＝CE 请以其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，写出一个正确的判断（⊙⊙⊙→⊙的形式写出来）． 2．如图，在△ABC中，AD＝DE，AB＝BE，∠A＝80°则∠DEC＝． 3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝AC＋CD，则∠B与∠C的关系是．（2题图）（3题图）（4题图） 4．如图，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC＝4，则PD＝． 5．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角的度数为度． 6．已知：如图，在△ABC中，AB=15m，AC=12m，AD是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AC的延长线于点E，那么CE＝ cm．7．如图，AD是△ABC的中线，∠ADC＝45°，把△ADC沿AD对折，点C落在C/的位置，如果BC=2，则BC′= ．8．在联欢晚会上，有A、B、C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上，他们在玩一个游戏，要求在他们中间放一个木凳，使他们抢坐到凳子的机会相等，试想想凳子应放在△ABC的三条线的交点最适当． 9．等腰三角形的周长是2＋3，腰长为1，则其底边上的高为__________． 10．以长为1、2、2 、5、3，中的三条线段为边长可以构成个直角三角形．二计算题 11．如图，在△ＡＢＣ，∠Ｃ＝90°，∠Ｂ＝15°，ＡＢ的中垂线ＤＥ交ＢＣ于Ｄ，Ｅ为垂足，若ＢＤ＝10ｃｍ，则ＡＣ等于（）Ａ．10ｃｍＢ．8ｃｍＣ．5ｃｍＤ．2．5ｃｍ 12．已知：如图，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ａ＝36°，ＡＢ的垂直平分线交ＡＣ于Ｄ，则下列结论：①∠Ｃ＝72°；②ＢＤ是∠ＡＢＣ的平分线；③△ＡＢＤ是等腰三角形；④△ＢＣＤ是等腰三角形，其中正确的有（）Ａ．1个Ｂ．2个Ｃ．3个Ｄ．4个 13．如图，已知在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，∠Ｃ＝30°，ＡＢ⊥ＡＤ，ＡＤ＝3ｃｍ，则AC的长等于（）Ａ．2 2ｃｍＢ．3 2ｃｍＣ．2 3ｃｍＤ．3 3ｃｍ 14.如图 ,加条件能满足AAS来判断⊿ACD≌⊿ABE的条件是（） A．∠AEB = ∠ADC ∠C = ∠D B．∠AEB = ∠ADC CD = BE C．AC = AB AD = AE D．AC = AB ∠C =∠B A B C D E A B C D （14题图）（12题图）（13题图）

三角形中有关角度的计算

三角形中有关角度的计算一.直接求角度 1.如图，在锐角△ABC 中，CD 、BE 分别是AB 、AC 上的高，? 且CD 、BE 交于一点P ，若∠A=50°，求∠BPC 的度数。 2.所示，在△ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于D ，∠ACB 的平分线交AD 于E ，?交AB 于F ，请猜测∠AEF 与∠AFE 之间有怎样的数量关系，并说明理由． 3.把一副三角板按如图方式放置，则两条斜边所形成的钝角α=_______度． 4.如图，在△ABC 中，∠B=66°，∠C=54°，AD 是∠BAC 的平分线，DE 平分∠ADC 交AC 于E ，则∠BDE=_________． 5.如图,△ABC 中,∠ABC=∠C=72°,BD 平分∠ABC,求∠ADB 的度数. C B 45 α 30 D C B A

6.如图,△ABC 中,∠A=80°,∠B 、∠C 的角平分线相交于点O,∠ACD=30°,?求∠ DOB 的度数. 7.△ABC 的两条高AD ，CE 相交于点M ，已知∠A=30°，∠C=75°，求∠AMC 8.（1）在△ABC 中，AB=AC ，∠BAC=100°，ME 和NF 分别垂直平分AB 和AC ，求∠MAN?的度数．（2）在（1）中，若无AB=AC 的条件，你还能求出∠MAN 的度数吗？若能，请求出；?若不能，请说明理由． 9.如图，在△ABC 中，∠ABC 的角平分线BE 和 ∠ACD 的角平分线CE 相交于点E ， (1)如果∠A =60°，∠ABC =50°，求∠E 的大小． (2)如果∠A =70°，∠ABC =40°，求∠E 的大小． (3)根据（1）和（2）的结论，试猜测一般情况下，∠E 和∠A 的大小关系，并简要说明理由． O D C B A C A E C B A

中考数学考点专题(六) 与三角形有关的计算与证明

中考数学复习专题(六) 与三角形有关的计算与证明 1．(2016·河北)如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上(F ，C 之间不能直接测量)，点A ，D 在l 异侧，测得AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝EC. (1)求证：△ABC ≌△DEF ； (2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．解：(1)证明：∵BF ＝EC ， ∴BF ＋FC ＝EC ＋FC ，即BC ＝EF. 又∵AB ＝DE ，AC ＝DF ， ∴△ABC ≌△DEF. (2)AB ∥DE ，AC ∥DF. 理由：∵△ABC ≌△DEF ， ∴∠ABC ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠DFE. ∴AB ∥DE ，AC ∥DF. 2．(2017·苏州)如图，∠A ＝∠B ，AE ＝BE ，点D 在AC 边上，∠1＝∠2，AE 和BD 相交于点O. (1)求证：△AEC ≌△BED ； (2)若∠1＝42°，求∠BDE 的度数．解：(1)证明：∵AE 和BD 相交于点O ， ∴∠AOD ＝∠BOE. 又∵∠A ＝∠B ， ∴∠BEO ＝∠2. 又∵∠1＝∠2， ∴∠1＝∠BEO. ∴∠AEC ＝∠BED. 在△AEC 和△BED 中， ???∠A ＝∠B ， AE ＝BE ， ∠AEC ＝∠BED ， ∴△AEC ≌△BED(ASA )． (2)∵△AEC ≌△BED ， ∴EC ＝ED ，∠C ＝∠BDE. 在△EDC 中，∵EC ＝ED ，∠1＝42°， ∴∠C ＝∠EDC ＝69°. ∴∠BDE ＝∠C ＝69°. 3．(2016·襄阳)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，且BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.

三角形边长计算公式

三角形边长计算公式发表——斜三角形三边长的经典计算公式：用《程形学定边L变B>A，斜三角形的三个边长存在着一个关系式：其中无数个“斜三角形”：