人教A版必修五1.3解三角形应用举例实习作业说课稿
§1.3解三角形应用举例实习作业
各位评委老师：
大家好，我说课的内容是：解三角形的实习作业
●教材分析
任何一种数学知识的产生终归要放到实践中去应用，方可体现其伟大价值。正余
弦定理也是这样，早在公元前300多年人类就已经发现了正余弦定理，它一定是为了
距离或者高度的测算才应运而生。
高中数学人教A版必修5第一章：解三角形。在第一节讲解完正余弦定理之后安
排了1.2应用举例，然后更重要的是这一章又特意加入了第三节1.3实习作业，实习
作业的安排在所有必修+选修书中出现了7次（必修一两次，必修二、三、五、选修2-2、2-3各一次），而这是唯一一次被单独分节设置的，这是应用性最好的一次实习作业。而应用正余弦定理解决实际问题的过程，既涉及到数学抽象、数学建模，直观想象，又需要数据的采集和分析，以及大量的数学运算，既巩固了知识又提高了技能。
因此这部分内容集中体现了高中数学核心素养的教学要求。
我们必须用好这个安排，才能不负教材编写者的良苦用心！
●学情分析
高二学生刚刚学完了正余弦定理，也学会了利用已给条件的解三角形问题，但是
他们已经在枯燥的纯数学计算中煎熬了很久，他们也急切地想利用学到的知识解决实
际问题。这个时候正是提高学生数学核心素养的大好时机。
因此，借助实习作业的安排，让他们走到户外，去实地测算一些建筑物的高度，
这样他们就能体会到数学是自然的，好玩的，有用的。在这个过程中，既巩固了知识，又锻炼了学生的动手能力，又提高了学生数学核心素养。
●教学目标
知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测算距离和高度的实际问题，熟悉常用的测量相关术语
过程与方法：首先通过展示图片，设置疑问，引导新课，为学生的实地测算做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“情境导入——提出问题——引发思考——探索发现——方案展示——实地检验——方法总结”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于实习作业，邀请学生进行方案展示，讲解解决方案，给出测算结果。学生就能够在亲身体验的过程中学数学、用数学。
情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养
学生运用图形、符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力，提高学生直观想
象能力、数学建模能力，数据的采集和分析能力，以及数学运算能力等数学核心素养。
●教学重点
从实际问题背景中抽象出一个或几个三角形，建立数学模型，然后逐个解三角形，得到实际问题的解。
●教学难点
根据实地测算需要建立合理可行的数学模型，数据的采集与分析，数学运算
●教学过程
一、[复习旧知]
1.复习正弦定理、余弦定理公式以及它们可以解决哪些类型的三角形。
2.回忆总结应用举例一节的例题，解应用问题的关键是建立数学模型。
二.课题导入
1、[设置情境]
首先利用幻灯片展示国内外最高的几个建筑物，比如哈利法塔，广州塔，石家庄电视塔，台北101大楼等，让学生直观的看到这些建筑物的高度是没办法用尺子测量的，
2、[提出问题]
进而提出问题：如何利用我们所学知识测算这些建筑物高度？
3、[引发思考]
我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。比如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是就需要大家选择合理可行的测算方案解决高度的测算问题。
三.进入主题：实习作业
测算我校国旗旗杆高度，如何测算，请同学们分组讨论，给出方案
测量活动准备基本工具：自制量角仪卷尺计算器
分组活动：各小组设计方案，分析可行性，然后实地测算
活动时间： 10月15日---10月20日
【设计意图】学生各小组展示设计的测算方案以及实习作业的成果。在这个过程中，既锻炼了学生的动手能力，又要求学生有一定直观想象能力（会由实际物体抽象出几何问题）、还有数学建模能力（绘出几何图形），又需要数据的采集和分析，以及大量的数学运算。
由此让学生深切的感受到数学是自然的，数学是好玩的，数学是有用的
4、[探索发现]
学生分组讨论，选定方案，分析方案的可行性。学生会根据上一课时的例题或者一些练习题给出的方案进行设计。
【设计意图】：在研究实际问题时，根据实际情况可以寻找到多种解决问题的方案，但有些过程较繁复，如何找到最优的方法，就需要对实际问题进行数学抽象，建立科
学合理的数学模型，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选择最佳的运算方式。
5.[ 方案展示] 学生可能会采用的方案预设：
不同小组的学生可能采用不同的方案，在方案中也会遇到各种各样的问题，这就锻炼了学生分析问题的能力，也提高了解决问题的能力。
学生讲解后教师点评：这种方案必须要求在实地测量中能够测得AC的长度，但是在现实中很多地方不能实现。比如我校的旗杆就安装在几层台阶之上，AC不易测得。另外有的旗杆在花坛中，也不能踩着花坛去测量。而且在实际测量中角ACB不可能趴在地面上测量。
【设计意图】学生肯定会想到这种最简单的，但实际中不一定可行的方案，首先要给予肯定，但要利用学生的最近发展区，及时引导，将学生的思路引向正路。
引出方案二。
对于方案二，如果实地允许的话，角度如何选取更有利于计算的简便？（DE=BD）
教师点评：对方案二和方案三，之所以不同，是因为CD这条基线与旗杆的相对位置的不同。
以上方案均源自课本例题。如果由学生讲出方案四，这样最好，如果没有，时间允许的话，由教师给出。这个方案源自课本习题。
6.【方法总结】
（2）测量高度问题的解题思路是将所求的高放在直角三角形中，即根据所给的边与角的关系，求出与所求的高相关的直角三角形的一条边（多为斜边）的长，最后再用勾股定理或者三角函数求解．
【设计意图】学生学会归纳总结，熟练掌握解决应用问题的步骤：数学抽象（会由实际物体抽象出几何问题）、数学建模能力（绘出几何图形），数据的采集和分析，数学运算。
四.教师总结
解决应用题的一般步骤：
（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（直观想象能力、数学抽象能力）
（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个可解的斜三角形的数学模型（数学建模能力）
（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（数据分析、数学运算）
（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解
五.课后作业
1.未完成实地测算的小组，抓紧完成。
2.根据自己的需要和兴趣，利用所学知识，测算其他两点间距离或者建筑物高度。
六.板书设计
§1.3解三角形应用举例实习作业
1.正余弦定理：
2.方案展示：
方案1. 方案2. 方案3. 方法总结
人教高中数学 必修五第一章 解三角形说教材说课稿
必修五第一章解三角形的说教材 文稿 各位专家、评委老师，大家好！ 我说教材的题目是人教版高中数学《解三角形》专题。 下面我将从三个方面九个视角来进行说明. 一、说课标 高中数学课程的总目标是：使学生在九年义务教育数学课程的基础上，进一步提高作为未来公民所必要的数学素养，以满足个人发展与社会进步的需要。 （一）课程目标： 1.知识与技能：学生初中已学过解直角三角形和锐角三角函数，我们通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 2.过程与方法： （1）通过推导定理的过程，培养学生观察、比较、分析、概括的能力，体会数形结合的思想. （2）通过解三角形在实际中的一些应用，培养学生提出问题、分析和解决问题能力. （3）通过学习提高学生数据处理能力和获取知识能力. 3. 情感态度与价值观： （1）鼓励学生积极、主动的参与教学的整个过程，激发其求知的欲望；培养学生乐于探究、敢于创新的精神. （2）认识数学应用价值和文化价值，发展数学应用意识，体会数学的美学意义，体会理论来源于实践并应用于实践的辩证唯物主义观点. （二）内容标准： 1、通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题. 2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 本专题的主要内容是两个重要定理，即正弦定理和余弦定理，以及这两个定理在解任意三角形中的应用．这两个定理是学习有关三角形知识的继续和发展，它进一步揭示了三角形的边角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用． 新课改要求我们进行课程开发和整合，这就需要我们走出教材，要想走出教材我们就
高中数学人教版必修5解三角形应用举例(高度测量问题)教学设计
高中数学人教版必修5解三角形应用举例（高度测量问题）教学设计 一、教学内容解析： 本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第一章《解三角形》1.2《应用举例》的第二课时，测量底部不可到达的建筑物高度问题.在第一课时学生学习了应用正弦定理和余弦定理解决有关测量距离的问题，初步了解从实际背景中抽象数学模型，将“不可测”问题转化为“可以算”的问题，从而解决实际问题的研究方法.本节课是解三角形应用举例的延伸，继续探究底部不可到达的建筑物等的高度测量问题. 解三角形知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识，本节内容具有显著的实践性，通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题，使学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力，增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力. 本节课的教学重点： 1.通过对实地测量任务的交流展示，体会数学建模过程； 2.通过对设计方案的分析，理解建构三角形模型的一般方法； 3.结合用测量工具收集的数据，巩固应用正弦定理和余弦定理解三角形问题. 二、教学目标解析： （一）教学目标： 1.体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用正弦定理、余弦定理等知识进行计算求解——检验的数学建模过程，培养学生的数学建模素养； 2.归纳建构三角形模型的一般方法，解决有关底部不可到达的建筑物高度测量的问题； 3.操作简单的测量工具测量仰角、距离等，收集数据，进行解三角形运算，使学生掌握正弦定理和余弦定理的应用； 4.通过小组交流汇报的形式展示数学建模过程，让学生体会数学建模思想，培养学生的数学表达能力；
【数学】1.2.1《解三角形应用举例》教案(新人教A版必修5)
课题: §1.2.1解三角形应用举例 第一课时 授课类型：新授课●教学目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题，了解常用的测量相关术语 过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“提出问题——引发思考——探索猜想——总结规律——反馈训练”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例2这样的开放性题目要鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学生发现问题并进行适当的指点和矫正情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 ●教学重点 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 ●教学难点 根据题意建立数学模型，画出示意图 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 1、[复习旧知] 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 2、[设置情境] 请学生回答完后再提问：前面引言第一章“解三角形”中，我们遇到这么一个问题，“遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远呢？”在古代，天文学家没有先进的仪器就已经估算出了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在实际测量问题的真实背景下，某些方法会不能实施。如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，有些方法会有局限性。于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。今天我们开始学习正弦定理、余弦定理在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。 Ⅱ.讲授新课 （1）解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解[例题讲解] (2)例1、如图，设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离是55m，∠BAC=? 75。求A、B 51，∠ACB=? 两点的距离(精确到0.1m)
人教版高中数学必修5《解三角形》教案
高中数学必修5 《解三角形》 知识点： 1、 正弦定理：在ABC ?中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为ABC ?的外接圆的半径，则有2sin sin sin C a b c R ===A B ． 2、 正弦定理的变形公式： ①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sinC c R =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin C 2c R =； ③::sin :sin :sinC a b c =A B ； ④ sin sin sin C sin sin sin C a b c a b c ++===A +B +A B ． 3、 三角形面积公式：111sin sin C sin 222ABC S bc ab ac ?=A ==B ． 4、 余弦定理:在C ?AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，2222cos b a c ac =+-B ，2222cosC c a b ab =+-． 5、 余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =，222cos 2a c b ac +-B =，222 cos C 2a b c ab +-=． 6、 设a 、b 、c 是C ?AB 的角A 、B 、C 的对边，则： ①若222a b c +=，则90C =； ②若222 a b c +>，则90C <； ③若222a b c +<，则90C >． 正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系．主要有以下五大命题热点： 一、求解斜三角形中的基本元素 是指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高、角平分线、中线)及周长等基本问题． 例1 ABC ?中，3π= A ，BC ＝3，则ABC ?的周长为( ) A ．33sin 34+??? ?? +πB B ．36sin 34+??? ? ?+πB
高中数学第一章解三角形新教案人教A版必修5
新课标理念下高中数学必修5第一章解三角形教法学法的探究交流 本章概述：本章是在学习三角函数、平面向量的基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系，并运用它们解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章的主要内容是两个重要定理，即正弦定理和余弦定理以及这两个定理在解斜三角形中的应用。教材地位：本章是在学习了三角函数、平面向量等知识的基础上，进一步学习如何解三角形的。正、余弦定理是我们学习有关三角形知识的继续和发展，它们进一步揭示了三角形边与角之间的关系，在生产、生活中有着广泛的应用，是我们求解三解形的重要工具。 本章内容与三角形定性研究的结论相联系，与三角函数相联系，同时也体现了向量及其运算的应用。高考中常与三角函数和向量知识联系起来考查，是高考的一个热点内容。 课标要求：1、理解并掌握正弦定理和余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。2、能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。 学法指导：1、重视数学思想方法的运用。解三角形作为几何度量问题，要突出几何背景，注意数形结合思想的运用，具体解题时，要注意函数与方程思想的运用。 2、加强新旧知识的联系。本章知识与初中学习的三角形的边、角关系有着密切联系。同时，要注意与三角函数、平面向量等知识的联系，将新知识融入已有的知识体系，从而提高综合运用知识的能力。 3、提高数学建模能力。利用解三角形解决相关的实际问题，根据题意，找出量与量之间的关系，作出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型。 学科实践：本章知识在现实生活中有着广泛的应用，如天文测量、航海测量、地理测量以及日常生活中的距离、高度、角度的测量等，解三角形的理论被用于解决许多测量问题。因此，通过本章的学习，能提高学生解决关于测量和几何计算的实际问题的能力和数学建模能力。 知识点1正弦定理 1、正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即
最新人教版高中数学必修5第一章《实习作业》名师导航
1．2 应用举例 1．3 实习作业 名师导航 三点剖析 一、实际应用问题中的有关名词术语 在解决与三角形有关的实际问题时，经常会遇到一些名词术语，如铅直平面、仰角和俯角、方位角、方向角等. （1）铅直平面：是指与海平面垂直的平面. （2）仰角与俯角是指在同一铅直平面内，视线与水平线的夹角，当视线在水平线之上时，称为仰角，当视线在水平线以下时，称之为俯角，如图1-2（3）-1所示. 图1-2（3）-1 图1-2（3）-2 （3）方位角：从指北方向顺时针旋转到目标方向线的水平角，如方位角是60°，如图1-2（3）-2所示. （4）方向角：相对于某一正方向的水平角，如北偏东60°. 二、熟悉三角形中的有关公式 S= 21absinC=21acsinB=21 bcsinA ， S=4R abc （R 为三角形外接圆半径）， S=2 1 r （a+b+c ）（r 为三角形内切圆半径）. 问题探究 问题：解三角形应用题的基本思路是什么？ 探究：解三角形应用问题时，通常要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后把问题放到三角形中（转化为解三角形问题），然后通过解这些三角形，得出三角形的边角的大小，从而得出实际问题的解.这种数学建模思想，是从实际问题出发，经过抽象概括，转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解.这一过程可用下面的流程图描述：
精题精讲 例1．如图1-2（3）-3，隔河看两目标A 、B ，但不能到达，在岸边选取相距3km 的C 、D 两点，并测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°（A 、B 、C 、D 在同一平面内），求两目标A 、B 之间的距离. 图1-2（3）-3 思路解析 要求出A 、B 之间的距离，可在△ABC （或△ADB ）中去找关系，但不管在哪个三角形中，AC 、BC 这些量都是未知的，需要在三角形中找出合适的关系式，求出它们的值，然后解三角形即可. 解：在△ACD 中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，∴∠CAD=30°. ∴AC=CD=3. 在△BDC 中，∠CBD=180°-（45°+75°）=60°. 由正弦定理，得BC= ? ? sin60sin753=226+. 由余弦定理，得AB 2=AC 2+BC 2-2AC·BC·cos ∠BCA=（3）2+（ 2 2 6+）2 -23× 2 2 6+cos75°=5. ∴AB=5.∴两目标A 、B 之间的距离为5km. 绿色通道 测量两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把未知的另外边长转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题. 例2．某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，如图1-2（3）-4，其一角已破损.现测得如下数据：BC=2.57 cm ，CE=3.57 cm ，BD=4.38 cm ，B=45°，C=120°.为了复原，请计算原玉佩两边的长（结果精确到0.01 cm ）.
高中数学第一章解三角形13实习作业习题新人教A版5!
1.3 实习作业 第1题 如图，一艘船以32.2n mile/h 的速度向正北航行．在Ａ处看灯塔Ｓ在船的北偏东20 的方向，30 min 后航行到Ｂ处，在Ｂ处看灯塔在船的北偏东65 的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续沿正北方向航行吗？ 1.答案：在ABS △中，3 2.20.516.1AB =?=n mile ，115 ABS ∠=t， 根据正弦定理， () sin sin 6520AS AB ABS =∠- ， ( ) sin sin 16.1sin115sin 6520AB B AS AB ABS ?= =?∠=?- S 到直线AB 的距离是 南
sin 2016.1sin115sin 207.06d AS =?=?≈ （cm ）． 所以这艘船可以继续沿正北方向航行． 第2题. 如图，在山脚A 测得出山顶P 的仰角为a ，沿倾斜角为β的斜坡向上走a 米到B ，在B 处测得山顶P 的仰角为γ，求证：山高() () sin sin sin -a a h a γβγ-= ． 2.答案：在ABP △中， 180+ABP γβ∠=- ， ()()() 180- 180-180+ =-BPA ABP αβαβγβγα ∠=--∠=--- ． 在ABP △中，根据正弦定理，
()() ()() sin sin sin -sin 180+αsin -sin -AP AB ABP APB AP AP α γαγβγβγα= ∠∠=-?= 所以山高为() () sin sin -sin sin -h AP ααγβαγα==． 第3题. 测山上石油钻井的井架BC 的高，从山脚A 测得65.3AC =m ，塔顶B 的仰角 α是2525' ． 已知山坡的倾斜角是1738' ，求井架的高BC ． 3.答案：在ABC △中，65.3AC =m ， =25251738747BAC αβ'''∠=--= ， 90=9017387222ABC β''∠=--= ， 根据正弦定理， sin sin AC BC ABC BAC =∠∠ Ａ β α D Ｂ Ｃ
人教版高中数学必修五高一数学必修五《解三角形》教案
1.1.3解三角形的进一步讨论 （一）教学目标 1．知识与技能:掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 2. 过程与方法:通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。 3.情态与价值：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系。 （二）教学重、难点 重点：在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 难点：正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 （三）学法与教学用具 学法：通过一些典型的实例来拓展关于解三角形的各种题型及其解决方法。 教学用具：教学多媒体设备 （四）教学设想 [创设情景] 思考：在∆ABC 中，已知22a cm =，25b cm =，0133A =，解三角形。 （由学生阅读课本第9页解答过程） 从此题的分析我们发现，在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，在某些条件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情形下解三角形的问题。 [探索研究] 例1．在∆ABC 中，已知, ,a b A ，讨论三角形解的情况 分析：先由sin sin b A B = 可进一步求出B ； 则0180()C A B =-+ 从而sin a C c A = 1．当A 为钝角或直角时，必须a b >才能有且只有一解；否则无解。 2．当A 为锐角时， 如果a ≥b ，那么只有一解； 如果a b <，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sin a b A >，则有两解； （2）若sin a b A =，则只有一解； （3）若sin a b A <，则无解。 （以上解答过程详见课本第910页） 评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A 为锐角且 sin b A a b <<时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 [随堂练习1] （1）在∆ABC 中，已知80a =，100b =，045A ∠=，试判断此三角形的解的情况。
高中数学解三角形应用文理科集体备课论课说课稿(第四周)新人教A
高中数学解三角形应用文理科集体备课论课说课稿(第四 周)新人教A 湖南省新田一中高二数学文理科集体备课论课说课稿(第四周) 课题：解三角形应用举例说课 我说课的题目是“解三角形应用举例”，选自高中数学必修五第一章 第二节。我以新课标的理念为指导，时刻牢记教什么、怎样教，为什么这 样教。本次说课分为：教材与学情分析、教法与学法、教学过程、评价与 反思四个方面。一、教材与学情分析 正弦定理和余弦定理是解决三角形的理论基础，让学生掌握建立“数 学模型”的基本思想是本节课的重中之重。通过对解斜三角形在实际中应 用的讲解，让学生体会具体问题已可以转化为抽象的数学问题以及数学知 识在生产，生活实际中所发挥的重要的作用。同时培养学生数学符号表达 题意和应用转化思想解决数学问题的能力，提高学生解决实际问题的能力。激发学生学习数学的兴趣，并让学生体会数学的应用价值。根据教材内容 分析，考虑到学生已有的认知结构心理特征及原有知识水平，我制定如下 三个教学目标：知识与技能 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的 实际问题。思想与方法 首先通过情境引入，顺利地导入新课，为以后的几节课做良好铺垫。 其次结合学生的实际情况，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系， 铺开例题，设计变式，同时通过多媒体演示，帮助学生掌握解法，能够类 比解决实际问题。对于开放性题目鼓励学生讨论，开放多种思路，引导学 生发现问题并进行适当的指点和矫正。情感和态度价值观
激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运 用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。 教学重点：探索解三角形的条件，得到实际问题的解。教学难点：根 据题意建立数学模型，画出示意图。二、教法与学法 1、教法选择：根据本节课的教学目标、教材内容及学生的认知特点，我选择创设情境教学法、探究教学法和引导发现法相结合。以学生自主探究、合作交流为主，教师启发引导为辅。 2、教学组织形式：师生互动、生生互动。 3、学法指导：巴甫洛夫曾 指出：“方法是最主要和最基本的东西”，因此学之有法，才能学之有效，学之有趣。根据本节课的特点，我在学法上指导学生： ①如何探究问题 ②遇到新的问题时如何转化为熟悉的问题③做好评价与反思4、教学 手段 根据数学课的特点，我采用的教具是：多媒体和黑板相结合。利用多 媒体进行动态和直观的演示，辅助课堂教学，为学生提供感性材料，帮助 学生探索并发现余弦定理。对证明过程和知识体系板书演示，力争与学生 的思维同步。学具是：纸张、直尺、量角器、计算器。三、教学过程为了实现本节课的教学目标，在教学中注意突出重点、突破难点，我 首先从大家最熟悉的城市入手，由美丽的九曲河产生疑问，进而将同学的 积极性调动起来。再复习正弦定理和余弦定理后，先练习两个简单题，为 后来的讲解做铺垫。在例1中，让同学学到如何测河流两侧的点的距离， 再让大家充分地讨论，如何测出同一测两点的距离。一个练习题由两位同 学到黑板上来书写，不但锻炼了学生的能力，更给学生了自信心，也加促
人教A版必修五1.3解三角形应用举例实习作业说课稿
§1.3解三角形应用举例实习作业 各位评委老师： 大家好，我说课的内容是：解三角形的实习作业 ●教材分析 任何一种数学知识的产生终归要放到实践中去应用，方可体现其伟大价值。正余 弦定理也是这样，早在公元前300多年人类就已经发现了正余弦定理，它一定是为了 距离或者高度的测算才应运而生。 高中数学人教A版必修5第一章：解三角形。在第一节讲解完正余弦定理之后安 排了1.2应用举例，然后更重要的是这一章又特意加入了第三节1.3实习作业，实习 作业的安排在所有必修+选修书中出现了7次（必修一两次，必修二、三、五、选修2-2、2-3各一次），而这是唯一一次被单独分节设置的，这是应用性最好的一次实习作业。而应用正余弦定理解决实际问题的过程，既涉及到数学抽象、数学建模，直观想象，又需要数据的采集和分析，以及大量的数学运算，既巩固了知识又提高了技能。 因此这部分内容集中体现了高中数学核心素养的教学要求。 我们必须用好这个安排，才能不负教材编写者的良苦用心！ ●学情分析 高二学生刚刚学完了正余弦定理，也学会了利用已给条件的解三角形问题，但是 他们已经在枯燥的纯数学计算中煎熬了很久，他们也急切地想利用学到的知识解决实 际问题。这个时候正是提高学生数学核心素养的大好时机。 因此，借助实习作业的安排，让他们走到户外，去实地测算一些建筑物的高度， 这样他们就能体会到数学是自然的，好玩的，有用的。在这个过程中，既巩固了知识，又锻炼了学生的动手能力，又提高了学生数学核心素养。 ●教学目标 知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测算距离和高度的实际问题，熟悉常用的测量相关术语 过程与方法：首先通过展示图片，设置疑问，引导新课，为学生的实地测算做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“情境导入——提出问题——引发思考——探索发现——方案展示——实地检验——方法总结”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于实习作业，邀请学生进行方案展示，讲解解决方案，给出测算结果。学生就能够在亲身体验的过程中学数学、用数学。 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养 学生运用图形、符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力，提高学生直观想 象能力、数学建模能力，数据的采集和分析能力，以及数学运算能力等数学核心素养。 ●教学重点 从实际问题背景中抽象出一个或几个三角形，建立数学模型，然后逐个解三角形，得到实际问题的解。 ●教学难点 根据实地测算需要建立合理可行的数学模型，数据的采集与分析，数学运算
高中数学 第一章 解三角形 1.3 实习作业教学设计 新人教A版必修5
1.3 实习作业 从容说课 本节适当安排了一些实习作业，目的是让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题解决问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果的能力，增强学生应用数学的意识和数学实践的能力．教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题． 教学重点数学模型的建立. 教学难点解斜三角形知识在实际中的应用. 教具准备测量工具（三角板、测角仪、米尺等）、实习报告 三维目标 一、知识与技能 1.解斜三角形应用; 2.测角仪原理; 3.数学建模. 二、过程与方法 1.进一步熟悉解斜三角形知识; 2.巩固所学知识,提高分析和解决简单实际问题的能力; 3.加强动手操作的能力; 4.进一步提高数学语言表达实习过程和实习结果的能力; 5.增强数学应用意识. 三、情感态度与价值观 1.认识数学在生产实际中的作用; 2.提高学习数学兴趣,树立建设祖国的远大理想. 导入新课 师前面几节课，我们一起学习了解斜三角形的应用举例,具备了一定的解斜三角形的能力,并且了解到解斜三角形知识在生产、生活实际的各个方面的应用. 这一节,我们将一起动手应用解斜三角形的知识来研究实际问题. 推进新课 （1）提出问题：问题（一）：测量学校锅炉房的烟囱的高度.
问题（二）：如图(1)，怎样测量一水塘两侧A、B两点间的距离? 问题（三）：如图(2)，若要测量小河两岸A、B两点间的距离，应怎样测量？ (1) (2) （2）分析问题： 师问题（一）中的学校锅炉房的烟囱的高度无法用皮尺直接量出，那应该怎么去解决？ 生根据实际情况，应该采取下列措施： 1.根据地形选取测量点; 2.测量所需要数据; 3.多次重复测量,但改变测量点; 4.填写实习报告; 5.总结改进方案. 实习报告（1） 年月日 2
高中数学新人教版A版精品教案《解三角形（专题课）重难点教学方法设计》
解三角形（专题课）教学设计 一、教材分析 本节课是高中数学课本必修5第一章《解三角形》，而在本章中，学生应该在已有的知识基础上，通过对任意三角形的边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的关系数量关系，并认识到运用它们可以解决一些与测量和几何计算有关的实际问题。本章知识是初中解直角三角形的继续，通过本章内容的学习，学生能够系统地掌握解任意三角形的完整实施。可以从数量的角度认识三角形，使三角形成为研究几何问题的重要工具。是中学许多数学知识的交汇点，如向量、平面几何、三角函数、解析几何、立体几何等。 二、学情分析 学生已经学习并掌握了任意角及任意角的三角函数，诱导公式、三角恒等变换、正余弦定理等相关的知识。学习本节内容是对以上知识内容的综合应用，尤其是对正弦定理与余弦定理的熟练运用。通过解三角形的方法解决有关的实际问题，可以培养学生的数学应用意识，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力，使学生逐渐形成数学的思维方式去解决问题、认识世界的意识。 三、教学目标 知识与技能：引导学生准确理解正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，会对正余弦定理会进行简单的变形；引导学生通过观察，推导，比较等出一些结论，如射影定理，三角形边角之间的关系；会运用所学知识解三角形以及与三角形有关的实际问题。 过程与方法：引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一半归纳出正余弦定理以及三角形面积公式等结论。培养学生的创新意识，观察能力，总结归纳的逻辑思维能力。让学生通过学习能体会用向量作为数形结合的工具，将几何问题转化为代数问题的数学思想方法。 情感态度与价值观：面向全体学生，创造平等的教学氛围，进行高效课堂教学，激情教育，通过学生之间，师生之间的交流与讨论、合作与评价，调动学生的主动性和积极性，让学生体验学习数学的的乐趣，感受成功的喜悦，增强学生学好数学的信心，激发学生学习的兴趣。 四、教学重难点 重点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用。 难点：正弦定理、余弦定理的内容及基本应用；正余弦定理的变形应用；用所学知识解决解三角形问题的题型归纳总结。 五、课堂结构设计 根据教材的内容和编排的特点，为更好有效地突出重点，攻破难点，以学生的发展为本，遵照学生的认知规
高中数学第一章实习作业(三角测量)新课标人教A版必修5
第一章实习作业（三角测量） 教学目的： 1进一步熟悉解斜三角形知识； 2巩固所学知识，提高分析和解决简单实际问题的能力； 3加强动手操作的能力； 4进一步提高用数学语言表达实习过程和实习结果的能力； 5增强数学应用意识 教学重点：数学模型的建立 教学难点：解斜三角形知识在实际中的应用 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学方法：分组讨论式 关于实习作业的教学，受到实验条件的影响，比如学校实验室暂缺测角仪、经纬仪等测量仪器，但考虑到实习作业将体现数学知识在实际中的应用，意义重大所以没有放弃，而是在课堂上简要讲述测角仪的原理后，向学生提出：能否自己动手，制作一个简易测角仪，并在实习中加以运用 通过分组讨论，比较得出较为优秀的方案供全体同学参考，同时还能激发起学生的参与意识，提高动手能力，进一步增强学习数学的兴趣 教学过程： 一、引入： 前面几节课，学习了解斜三角形的应用举例，具备了一定的解斜三角形的能力，并且了解到解斜三角形知识在生产、生活实际的各个方面的应用这一节，我们将为应用解斜三角形知识的实习作业作准备工作 二、讲解新课： 1测角仪原理 如图，对于建筑物AB，需测出角α，其中D为测角仪所处位置，在建筑物与地面垂直前提下，DC与地面平行DA为测角仪与建筑物顶端连线 2提出问题 (1)DC的水平如何保持? (2)角α如何获得? 根据上述原理及所提问题，大家进行分组讨论，十五分钟后各组选一代表表述本组方案 3简易测角仪方案 方案Ⅰ (1)实验器材：木板一块、量角器一个、 三角架1个，硬纸条(3O cｍ)，铅垂线 (2)如图所示 ①木板②硬纸条③支架④铅垂线⑤量角 器⑥转动点 其中硬纸条、量角器固定在木板上，但可绕 转动点⑥转动，木板固定在支架上，使铅垂线与矩形木板中心线重合以保持木板
2021年人教A版高中数学必修5第一章《解三角形》综合教案
高中数学课题：解三角形综合 授课时间： 授课班级：授课教师： 教材分析 本课内容是人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》（必修5）第一章《解三角形》。数学教学的核心价值是“学生自主讨论，循序渐进教学，强化问题探究，营造思维过程”。本节课采用了问题探究、互助讨论、练习强化等教学方式，就是让学生观察、操作、比较、练习有关的学习内容，增强学生的知识探索及公式计算能力。激发学生探究数学，应用数学的潜能，发展数学建模的核心素养。 正余弦定理在高中数学中的地位与作用：三角形是最基本的几何图形，三角形中边与角的关系是三角形最基本的关系。初中我们学过简单的有关解直角三角形的知识，本章节通过正弦定理和余弦定理进一步求解任意三角形的边与角的关系，在实际测量中，如测量距离、高度、角度等问题的一系列应用均可由正弦定理和余弦定理解决。 任务分析 1.进一步熟练掌握正弦、余弦定理在解各类三角形中的应用； 2.提高对正弦、余弦定理应用范围的认识； 3.初步应用正弦、余弦定理解决一些和三角函数、向量有关的综合问题. 教学目标与核心素养 1. 掌握正、余弦定理的几种表示形式及并能灵活 会运用正、余弦定理解决解三角形问题； 2. 在具体的问题情境中，能合理选择两个定理解 解三角形； 3.培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题 的运算能力；通过三角函数、正余弦定理、向量 的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普 遍联系与辩证统一。 教学重难点 重点：正弦定理与余弦定理的灵活运用； 难点：正弦定理与余弦定理的综合运用。
教学过程 1.在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶2∶3，则cos C的值为( ) A.1 3 B.－ 2 3 C. 1 4 D.－ 1 4 2.已知△ABC的面积S＝a2－(b2＋c2)，则cos A等于( ) A.－4 B. 17 17 C.± 17 17 D.－ 17 17 3.在△ABC中，内角A，B，C所对应的边分别是a，b，c，若c2＝(a－b)2＋6，C＝π 3 ，则△ ABC的面积是________. 4.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C＝60°，b＝6，c＝3，则A＝________. 类型一利用正弦、余弦定理证明边角恒等式 【例1】在△ABC中，A，B，C的对边分别为a，b，c，求证：a2－b2 c2 ＝ sin（A－B） sin C . 证明在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝a2＋c2－2ac cos B， ∴a2－b2＝b2－a2－2bc cos A＋2ac cos B， ∴2(a2－b2)＝2ac cos B－2bc cos A， 即a2－b2＝ac cos B－bc cos A， ∴a2－b2 c2 ＝ a cos B－ b cos A c . 由正弦定理得a c ＝ sin A sin C ， b c ＝ sin B sin C ， ∴a2－b2 c2 ＝ sin A cos B－cos A sin B sin C ＝ sin（A－B） sin C ， 故等式成立. 规律方法(1)证明三角恒等式，关键是消除等号两端三角函数式的差异.形式上一般有：左⇒右；右⇒左或左⇒中⇐右三种. (2)利用正弦、余弦定理证明三角形中的恒等式的途径有两种：一是把角的关系通过正弦、余弦定理转化为边的关系；二是把边的关系转化为角的关系，一般是通过正弦定理转化.
(新课标)高中数学 第一章 解三角形教学设计 新人教A版必修5
（新课标）2015-2016学年高中数学第一章解三角形教学设计新 人教A版必修5 从容说课 本章主要学习了正弦定理和余弦定理、应用举例以及实习作业． 正弦定理、余弦定理是反映三角形边、角关系的重要定理．利用正弦定理、余弦定理，可以将三角形中的边的关系与角的关系进行相互转化，许多几何问题也可以转化为解三角形的问题来研究． 本节课是人教版数学必修五第一章解三角形的全章复习 教学重点1.在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情 形 2.三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用 3.正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用． 教学难点定理及有关性质的综合运用． 教具准备多媒体投影仪 三维目标 一、知识与技能 1.掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形确良； 2.三角形各种类型的判定方法； 3.三角形面积定理的应用 二、过程与方法 通过引导学生分析，解答典型例题，使学生学会综合运用正、余弦定理，三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题． 三、情感态度与价值观 通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角函数的关系，反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能，从而从本质上反映了事物之间的内在联系． 教学过程 导入新课
师 本章我们共学习了哪些内容？ 生 本章我们学习了正弦定理与余弦定理 师 你能讲出正弦定理、余弦定理的具体内容吗？ 生 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 R C c B b A a 2sin sin sin === ； 余弦定理: a 2 =b 2 +c 2 -2bcco s A ， b 2=a 2+ c 2-2acco s B ， c 2=b 2+a 2-2baco s C ab c b a C ac b c a cisB bc a c b A 2cos ,2,2cos 2 22222222-+= -+=-+ = 师 很好！哪位同学来说说运用正弦定理、余弦定理可以解决哪些类型的问题？ 生 正弦定理可以解决以下两类问题：（1）已知两角和一边解三角形；（2）已知两边及其中一边的对角解三角形.余弦定理可以解决以下两类问题:(1)已知三边解三角形；（2）已知两边及其夹角解三角形 生 老师，我来补充.利用正弦定理的解题的类型（1）在有解时只有一解，类型（2）可有解、一解和无解；利用余弦定理的解题的两种类型有解时只有一解 师 very good ！除了以上这些，我们还学习了什么？ 生 除了正弦定理、余弦定理我们还学习了三角形面积公式： C ab B ac A bc S sin 2 1 sin 21sin 21===C ，利用它我们可以解决已知两边及其夹角求三角形 的面积 师 你说的非常完善，你是我们全班同学学习的榜样. 希望我们全班同学都向他学习 推进新课 多媒体投影
人教a版数学必修5 第一章 解三角形 教学案
人教A版数学必修5 第一章解三角形教学案 章节总体设计 （一）课标要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 （二）编写意图与特色 1．数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2．注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，
新课标人教A版必修5教案
第一章解三角形 章节总体设计 （一）课标要求 本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标： （1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。 （2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 （二）编写意图与特色 1．数学思想方法的重要性 数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。 本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论。在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等,那么这两个三角形全”等。 教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。 2．注意加强前后知识的联系 加强与前后各章教学内容的联系，注意复习和应用已学内容，并为后续章节教学内容做好准备，能使整套教科书成为一个有机整体，提高教学效益，并有利于学生对于数学知识的学习和巩固。 本章内容处理三角形中的边角关系，与初中学习的三角形的边与角的基本关系，已知三角形的边和角相等判定三角形全等的知识有着密切联系。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发，提出探究性问题“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢?”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角,根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。”这样，从联系的观点，从新的角度看过去的问题，使学生对于过去的知识有了新的认识，同时使新知识建立在已有知识的坚实基础上，形成良好的知识结构。