高中数学必修五-解三角形应用举例突破点（二）高度问题

基础回顾

考点链接

考点：测量高度问题

方法技巧

求解高度问题的三个关注点

(1)在处理有关高度问题时，关键是要理解仰角、俯角(它是在铅垂面上所成的角)的含义．

(2)在实际问题中，可能会遇到空间与平面(地面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形，这样处理起来既清楚又不容易搞错．

(3)注意山或塔垂直于地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．

实战演练

突破点(三)角度问题

基础回顾

考点链接

考点：测量角度问题

方法技巧

解决角度问题的三个注意事项

(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．

(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦或余弦值．

(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题中也要注意体会正、余弦定理“联袂”使用的优点．

实战演练

全国卷近五年高考回顾

人教A高中数学必修五同步课时分层训练：第1章解三角形第2课时含解析

第一章 1.2 应用举例第二课时高度、角度问题课时分层训练 ‖层级一‖|学业水平达标| 1.如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( ) A ．2.7 m B ．17.3 m C ．37.3 m D ．373 m 解析：选C 根据题图，由题意知CM ＝DM . ∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°， ∴CM ＝tan 45°＋tan 30°tan 45°－tan 30° ×10≈37.3(m)，故选C. 2．渡轮以15 km/h 的速度沿与水流方向成120°角的方向行驶，水流速度为4 km/h ，则渡轮实际航行的速度为(精确到0.1 km/h)( ) A ．14.5 km/h B ．15.6 km/h C ．13.5 km/h D ．11.3 km/h 解析：选C 由物理学知识，画出示意图如图．AB ＝15，AD ＝4，∠BAD ＝120°. 在?ABCD 中，D ＝60°. 在△ADC 中，由余弦定理，得 AC ＝ AD 2＋CD 2－2AD ·CD cos D ＝16＋225－4×15＝181≈13.5(km/h)．故选C.

3．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40° 方向前进10米到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( ) A ．15米 B ．5米 C ．10米 D ．12米解析：选C 如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h . 在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h ，在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10，由余弦定理，得OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ，即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos 120°， ∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10或h ＝－5(舍去)． 4．甲船在B 岛的正南A 处，AB ＝10 km ，甲船以4 km/h 的速度向正北航行，同时，乙船自B 岛出发以6 km/h 的速度向北偏东60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们航行的时间是( ) A.1507 min B ．157 h C ．21.5 min D ．2.15 h 解析：选A 设经过x 小时时距离为s ，则在△BPQ 中，由余弦定理知PQ 2＝B P 2＋BQ 2－2BP ·BQ ·cos 120°，即s 2＝(10－4x )2＋(6x )2 －2(10－4x )·6x ·? ????－12＝28x 2－20x ＋100， ∴当x ＝514 h 时，s 2最小，

高中数学人教版必修5解三角形应用举例(高度测量问题)教学设计

高中数学人教版必修5解三角形应用举例（高度测量问题）教学设计一、教学内容解析：本节课的内容是《普通高中课程标准实验教科书数学》人教A版必修5第一章《解三角形》1.2《应用举例》的第二课时，测量底部不可到达的建筑物高度问题.在第一课时学生学习了应用正弦定理和余弦定理解决有关测量距离的问题，初步了解从实际背景中抽象数学模型，将“不可测”问题转化为“可以算”的问题，从而解决实际问题的研究方法.本节课是解三角形应用举例的延伸，继续探究底部不可到达的建筑物等的高度测量问题. 解三角形知识本身是从人类长期的生产和生活实践中产生和发展起来的，在实际问题中有着广泛的应用，如测量、航海等都要用到这方面的知识，本节内容具有显著的实践性，通过从实际背景中提出问题、分析问题、建构数学模型、应用数学知识计算，进而解决问题，使学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析和解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达和交流的能力，增强学生应用数学的意识,培养学生的数学建模能力. 本节课的教学重点： 1.通过对实地测量任务的交流展示，体会数学建模过程； 2.通过对设计方案的分析，理解建构三角形模型的一般方法； 3.结合用测量工具收集的数据，巩固应用正弦定理和余弦定理解三角形问题. 二、教学目标解析：（一）教学目标： 1.体会从实际情境中发现问题——设计方案建构数学模型——运用正弦定理、余弦定理等知识进行计算求解——检验的数学建模过程，培养学生的数学建模素养； 2.归纳建构三角形模型的一般方法，解决有关底部不可到达的建筑物高度测量的问题； 3.操作简单的测量工具测量仰角、距离等，收集数据，进行解三角形运算，使学生掌握正弦定理和余弦定理的应用； 4.通过小组交流汇报的形式展示数学建模过程，让学生体会数学建模思想，培养学生的数学表达能力；

人教B版高中数学必修五《第一章解三角形 1.2 应用举例》_2

第1课时解三角形应用举例—距离问题一、教材分析本课是人教B版数学必修5第一章解三角形中1.2的应用举例中测量距离(高度）问题。主要介绍正弦定理、余弦定理在实际测量（距离、高度）中的应用。因为在本节课前，同学们已经学习了正弦定理、余弦定理的公式及基本应用。本节课的设计，意在复习前面所学两个定理的同时，加深对其的了解，以便能达到在实际问题中熟练应用的效果。对加深学生数学源于生活，用于生活的意识做贡献。二、学情分析距离测量问题是基本的测量问题，在初中，学生已经学习了应用全等三角形、相似三角形和解直角三角形的知识进行距离测量。这里涉及的测量问题则是不可到达的测量问题，在教学中要让学生认识问题的差异，进而寻求解决问题的方法。在某些问题中只要求得到能够实施的测量方法。学生学习本课之前，已经有了一定的知识储备和解题经验，所以本节课只要带领学生勤思考多练习，学生理解起来困难不大。三、教学目标（一）知识与技能能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量（距离、高度）有关的实际问题。（二）过程与方法通过应用举例的学习，经历探究、解决问题的过程，让学生学会用正、余弦定理灵活解题，从而获得解三角形应用问题的一般思路。（三）情感、态度与价值观提高数学学习兴趣，感知数学源于生活，应用于生活。

四、教学重难点重点：分析测量问题的实际情景，从而找到测量和计算的方法。难点：测量方法的寻找与计算。五、教学手段计算机，PPT，黑板板书。六、教学过程（设计）

情景展示，引入问题情景一：比萨斜塔（展示图片）师：比萨斜塔是意大利的著名建筑，它每年都会按照一定度数倾斜，但斜而不倒，同学们想一想，如果我们不能直接测量这个塔的高度，该怎么知道它的高度呢？情景二：河流、梵净山（展示图片）师：如果我们不能直接测量，该怎么得出河流的宽度和梵净山的高度呢？引入课题：我们今天就是来思考怎么通过计算，得到无法测量的距离（高度）问题。知识扩展：简单介绍测量工具（展示图片） 1 经纬仪:测量度数 2卷尺：测量距离

(精华讲义)数学人教版高二必修五解三角形

必修五第一章解三角形【重点】 1、正弦定理、余弦定理的探索和证明及其基本应用。 2、在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 3、三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用；实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解决。 4、结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题。 5、能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系。 6、推导三角形的面积公式并解决简单的相关题目。【难点】 1、已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 2、勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用，正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 3、根据题意建立数学模型，画出示意图，能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件。 4、灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题。 5、利用正弦定理、余弦定理来求证简单的证明题。【要点内容】一、正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即 A a sin = B b sin =C c sin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA= c a ，sinB=c b ， sinC=1 即 c= A a sin ， c= B b sin ， c= C c sin ． ∴A a sin =B b sin =C c sin 2．斜三角形中证明一：（等积法）在任意斜△ABC 当中 S △ABC =A bc B ac C ab sin 21sin 21sin 2 1== ，两边同除以abc 21即得：A a sin =B b sin =C c sin 证明二：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ ∴R CD D a A a 2sin sin ===，同理 B b sin =2R ， C c sin ＝2R a b c O B C

人教A版必修五1.3解三角形应用举例实习作业说课稿

§1.3解三角形应用举例实习作业各位评委老师：大家好，我说课的内容是：解三角形的实习作业 ●教材分析任何一种数学知识的产生终归要放到实践中去应用，方可体现其伟大价值。正余弦定理也是这样，早在公元前300多年人类就已经发现了正余弦定理，它一定是为了距离或者高度的测算才应运而生。高中数学人教A版必修5第一章：解三角形。在第一节讲解完正余弦定理之后安排了1.2应用举例，然后更重要的是这一章又特意加入了第三节1.3实习作业，实习作业的安排在所有必修+选修书中出现了7次（必修一两次，必修二、三、五、选修2-2、2-3各一次），而这是唯一一次被单独分节设置的，这是应用性最好的一次实习作业。而应用正余弦定理解决实际问题的过程，既涉及到数学抽象、数学建模，直观想象，又需要数据的采集和分析，以及大量的数学运算，既巩固了知识又提高了技能。因此这部分内容集中体现了高中数学核心素养的教学要求。我们必须用好这个安排，才能不负教材编写者的良苦用心！ ●学情分析高二学生刚刚学完了正余弦定理，也学会了利用已给条件的解三角形问题，但是他们已经在枯燥的纯数学计算中煎熬了很久，他们也急切地想利用学到的知识解决实际问题。这个时候正是提高学生数学核心素养的大好时机。因此，借助实习作业的安排，让他们走到户外，去实地测算一些建筑物的高度，这样他们就能体会到数学是自然的，好玩的，有用的。在这个过程中，既巩固了知识，又锻炼了学生的动手能力，又提高了学生数学核心素养。 ●教学目标知识与技能：能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关测算距离和高度的实际问题，熟悉常用的测量相关术语过程与方法：首先通过展示图片，设置疑问，引导新课，为学生的实地测算做良好铺垫。其次结合学生的实际情况，采用“情境导入——提出问题——引发思考——探索发现——方案展示——实地检验——方法总结”的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，通过多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于实习作业，邀请学生进行方案展示，讲解解决方案，给出测算结果。学生就能够在亲身体验的过程中学数学、用数学。情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用图形、符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力，提高学生直观想象能力、数学建模能力，数据的采集和分析能力，以及数学运算能力等数学核心素养。 ●教学重点从实际问题背景中抽象出一个或几个三角形，建立数学模型，然后逐个解三角形，得到实际问题的解。 ●教学难点

2019-2020学年高中数学人教B版必修5学案：1.2应用举例课堂探究学案

1.2 应用举例课堂探究实际问题中度量A ，B 两点的长度(高度)的方法剖析：(1)求距离问题．如图，当AB 的长度不可直接测量时，求AB 的距离． ①当A ，B 两点之间不可到达又不可视时，测出两边及其夹角，运用余弦定理求解，则AB ＝a2＋b2－2abcos C ． ②当A ，B 两点之间可视但不可达时，测出两角及其夹边，先用内角和定理求第三角再运用正弦定理求解． ∵∠A ＝π－(∠B ＋∠C )，∴根据正弦定理，得AB sin C ＝BC sin A ＝BC sin[π－(∠B＋∠C )]＝BC sin(∠B＋∠C )＝a sin(∠B＋∠C ) ，则AB ＝asin C sin(∠B＋∠C ) ． ③当A ，B 两点都不可达时，先在△ADC 和△BDC 中分别求出AC ，BD ，再在△ABC 或△ABD 中运用余弦定理求解．先求：AD ＝ a sin(∠ADC＋∠ACD )×si n ∠ACD ；再求：BD ＝a sin(∠BDC＋∠BCD ) ×si n ∠BCD ；最后：AB ＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB ．名师点拨：将所求距离或方向的问题转化为求一个三角形的边或角的问题时，我们选择的三角形往往条件不够，这时需要我们寻找其他的三角形作为解这个三角形的支持，为解这个三角形提供必要的条件． (2)求高度问题．如图，当AB 的高度不可直接测量时，求AB 的高度，有如下情况． ①当BC 底部可达时，利用直角三角形的边角关系求解，则tan C ．

②当BD 不可达时，在Rt △ABD 中，BD ＝ AB tan∠ADB ，在Rt △ABC 中，BC ＝ AB tan∠ACB ， ∴a ＝CD ＝BC －BD ＝ AB tan∠ACB －AB tan∠ADB ． ∴AB ＝a 1tan∠ACB －1tan∠ADB ． ③在△BCD 中，BC ＝ a sin(∠BCD＋∠D )×sin D ． ∵AB ⊥BC ，∴∠BAC ＝π2 －∠ACB ． ∴在△ABC 中，AB ＝BC sin∠BAC ×si n ∠ACB ＝BC cos∠ACB ×si n ∠ACB ． ∴AB ＝a sin(∠BCD＋∠D )×sin D cos∠ACB ×si n ∠ACB ＝asin Dtan∠ACB sin(∠BCD＋∠D ) ．名师点拨：在测量某物体高度的问题中，很多被测量的物体是一个立体的图形，而在测量过程中，我们测量的角度也不一定在同一平面内，因此还需要我们有一定的空间想象能力，关键是画出图形，把已知量和未知量归结到三角形中来求解．题型一测量距离问题【例1】如图，隔河看两目标A ，B km 的C ，D 两点，并测得∠ACB=75°， ∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°(A ，B ，C ，D 在同一平面内)，求两目标A ，B 之间的距离．分析：要求出A ，B 之间的距离，可在△ABC (或△ADB )中去找关系，但不管在哪个三角形中，AC ，BC 这些量都是未知的，需要在三角形中找出合适的关系式，求出它们的值，然后解斜三角形即可．解：在△ACD 中，∠ADC ＝30°，∠ACD ＝75°＋45°＝120°， ∴∠CAD ＝30°． ∴AC ＝CD ＝ 3 km ．

高中数学 2.3 解三角形的实际应用举例教材分析与导入设计北师大版必修5

高中数学 2.3 解三角形的实际应用举例教材分析与导入设计北师大版必修5 本节教材分析为了突出正弦定理、余弦定理在解决一些与三角形有关的实际问题中的作用,教材设置了不同问题情境的例题.目的是为了进一步强化数学建模的思想方法,即:从实际出发,经过抽象概括,转化为具体问题中的数学模型,通过推理演算,得出数学模型的解,再还原成实际问题的解. 三维目标知识与技能:能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题过程与方法:本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法,让学生在温故知新中学会正确识图、画图、想图,帮助学生逐步构建知识框架。通过3道例题的安排和练习的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导——讨论——归纳,目的不在于让学生记住结论,更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题,提供学生更广阔的思考空间情感与价值:进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括的能力教学重点:结合实际测量工

具,解决生活中的测量高度问题能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的教学难点:能观察较复杂的图形,从中找到解决问题的关键条件教学建议: 1.本节教学,要注意贯穿数学建模的思想,在例题的分析解决过程中,让学生讨论归纳出街应用题的一般思路,建立数学模型. 2.如果有条件,最好采用多媒体演示例题中模型,帮助学生理解问题的背景,建立模型,同时要求学生要注意观察周围生活中的事物. 新课导入设计导入一:[问题导入现实生活中,人们又是怎样测量底部不可到达建筑物的高度呢?通过学习本节你将轻松愉快地测量出山高和工厂的烟囱高,在学生踊跃的状态下由此展开新课. 导入二:(情景导入你有坐汽车(或者火车经过山前水平公路的经历吗?如果身边带着测角仪,那么根据路标(100米杆就会立即测算出你所看到的山的高度.利用正弦定理、余弦定理你也会马上算出来,在学生急切想知道如何计算山高的期待中导入新课解三角2.3 形的实际应用举例(2

高中数学第一章解三角形1.2应用举例二导学案新人教A版必修5

1.2 应用举例（二）教学目标 1.会运用测仰角(或俯角)解决一些有关底部不可到达的物体高度测量的问题. 2.会用测方位角解决立体几何中求高度问题. 3.进一步培养学习数学、应用数学的意识．教学过程一、创设情景教师首先提出问题：通过学生对课本的预习，让学生通过观看《1.2应用举例（二）》课件测量“天塔”高度的问题，与大家分享自己对此类问题解决办法的了解。通过举例说明和互相交流，做好教师对学生的活动的梳理引导，并给予积极评价. 二、自主学习 1.如图，AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点，如果能测出点C，D间的距离m和由C点，D点观察A的仰角，怎样求建筑物高度AB？(已知测角仪器的高是h)

提示：在△ACD 中，AC sin β＝m sin α－β. 所以AC ＝m sin β sin α－β ，在Rt △AEC 中，AE ＝AC sin α， AB ＝AE ＋h . 2.如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，怎样求此山的高度CD? 提示：先在△ABC 中，用正弦定理求BC ＝5sin15°sin10° ，再在Rt △DBC 中求DC ＝BC tan8°. 二、合作探究探究点1：测量仰角(或俯角)求高度问题例1 如图所示，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )

A．10mB．53m C．5(3－1) mD．5(3＋1) m D [设AB＝x m，则BC＝x m. ∴BD＝(10＋x)m. ∴tan∠ADB＝AB DB＝x 10＋x ＝ 3 3 . 解得x＝5(3＋1)m. 所以A点离地面的高AB等于5(3＋1)m.] 名师点评：(1)底部可到达，此类问题可直接构造直角三角形． (2)底部不可到达，但仍在同一与地面垂直的平面内，此类问题中两次观测点和所测垂线段的垂足在同一条直线上，观测者一直向“目标物”前进．例2 如图，在山顶铁塔上B处测得地面上一点A的俯角α＝54°40′，在塔底C处测得A处的俯角β＝50°1′.已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD.(精确到1m)

人教A版高中数学必修五高二《解三角形》导学案

目录：第一章解三角形第一节正弦定理和余弦定理第二节应用举例第一章解三角形第二节应用举例第四课时我的学习目标： 1.运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题；掌握三角形的面积公式的简单推导和应用 2.经历运用正弦定理和余弦定理解决测量距离、高度、角度等问题，体验三角形新的面积公式的产生、发展及运用，进一步巩固所学的知

识，加深对所学定理的理解，提高创新能力；进一步培养学生研究和发现能力，让学生在探究中体验愉悦的成功体验我的学习过程：一、生活引入如图,在某市进行城市环境建设中,要把一个三角形的区域改造成室内公园, 经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m,88m,127m,这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2）师：你能把这一实际问题化归为一道数学题目吗？生1：本题可转化为已知三角形ABC 的三边，求ABC ?的面积。师：除了知道某条边和该边上的高可求出三角形的面积外，现在知道三条边如何求出三角形的面积呢？等我们掌握新的知识再来解决这个问题。二、基本功训练 1、知识点学习师：以前我们就已经接触过了三角形的面积公式，今天我们来学习它的另一个表达公式。在中ABC ?，边BC 、CA 、AB 上的高分别记为h a 、h b 、h c ，那么它们如何用已知边和角表示？生2：h a =bsinC=csinB 、h b =csinA=asinC 、h c =asinB=bsinaA 师：根据以前学过的三角形面积公式ah S 2 1=,应用以上求出的高的公式如h a =bsinC 代入，可以推导出下面的三角形面积公式，

新人教A版必修5高中数学1.2应用举例—④解三角形学案(二)

高中数学 1.2应用举例—④解三角形学案新人教A 版必修5 学习目标 1. 能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法进一步解决有关三角形的问题； 2. 掌握三角形的面积公式的简单推导和应用； 3. 能证明三角形中的简单的恒等式．学习重难点 1.重点；面积公式； 2.难点：正弦定理、余弦定理的综合应用，一、知识链接问题1：在?ABC 中（1）若1,3,120a b B ===?，则A 等于．（2）若33a =，2b =，150C =?，则c = _____．问题2：在ABC ?中，33a =，2b =，150C =?，则高BD = ，三角形面积= ．二、试一试探究：在?ABC 中，边BC 上的高分别记为h a ，那么它如何用已知边和角表示？ h a =b sin C =c sin B 根据以前学过的三角形面积公式S =12 ah ，代入可以推导出下面的三角形面积公式，S =12 ab sin C ，或S = ，同理S = ．新知：三角形的面积等于三角形的任意两边以及它们夹角的正弦之积的一半． ※ 模仿练习 1. 在?ABC 中，根据下列条件，求三角形的面积S （精确到0.1cm 2）：（1）已知a =14.8cm ，c =23.5cm ，B =148.5?；（2）已知B =62.7?，C =65.8?，b =3.16cm ；（3）已知三边的长分别为a =41.4cm ，b =27.3cm ，c =38.7cm ．变式：在某市进行城市环境建设中，要把一个三角形的区域改造成室内公园，经过测量得到这个三角形区域的三条边长分别为68m ，88m ，127m ，这个区域的面积是多少？（精确到0.1cm 2）

新人教版必修五解三角之解三角形应用举例讲义学生版及教师版

新人教版高中数学解三角全章复习知识点及讲义解三角形内容简介：1. 正弦定理和余弦定理掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题 2.应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题解三角形应用举例【知识要点】要点一、解三角形应用题的步骤解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识，解题时应认真分析题意，并做到算法简练，算式工整，计算正确.其解题的一般步骤是： (1)准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系； (2)根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型； (3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解； (4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题. 要点诠释：要点二、解三角形应用题的基本思路实际问题画图数学问题解三角形数学问题的解检验实际问题的解要点三、实际问题中的一些名词、术语仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i 表示。坡比是坡角的正切值。方位角与方向角：方位角：一般指正北方向线顺时针到目标方向线的水平角。方位角的取值范围为0°～360°。如图，点B 的方位角是0 135α=。

高中数学_【课堂实录】应用举例(二)(测量高度角度)教学设计学情分析教材分析课后反思

解三角形的实际应用举例（二）—测量高度、角度一教学目标:学生看，了解学习目标（1分钟） 1 知识与技能能用正、余弦定理等知识解决与高度、角度有关的三角形问题； 2 过程与方法通过合作探究，解决例题及习题，学习数学建模的方法，提高分析问题、解决问题的能力； 3 情感、态度与价值观体会这类测量问题在某一特定情境和条件限制下的一个测量方案，感受数学的应用价值，提高学习兴趣。 4. 重点：画出示意图，分析已知与所求，解三角形。难点：根据题意建立数学模型，画出示意图。二教学过程（-）知识回顾:师问生答-- 为本节课的知识内容作铺垫(3分钟) 1.正弦定理：可解下列两类三角形： (1)已知两角及一边； (2)已知两边与一边的对角。 2.余弦定理：可解下列三类三角形： (1)已知三边长； (2)已知两边及夹角； (3)已知两边与一边所对角。 3.仰(俯)角: 在同一铅垂平面内，视线与水图平线的夹角，如所示. 4.方向角：从指定方向线（正北、正南、正东或正西）到目标方向线的水平角,如图所示。（二）情境引入:从生活入手，引入本节内容。（1分钟）南偏西60°问:1.生活中,人们是怎样测量底部不可到达的物体的高度呢？ 2.在航海中,人们在海面上如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？

我们可以建立数学模型，化为解三角形的问题来解决。（三）合作探究探究点1 测量高度问题(题目设置从平面图形到立体图形，引导学生体会观测点选取位置的不同，导致图形的差异) 例1 如图AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度AB 的方法.（明确需要两个观测点，即选择一条基线。3分钟）师：思考：1.怎样作高？ 2.只选一个观测点行吗？生：1.作地面的垂线表示高； 2.一个观测点只能测角度，无法直接测长度，所以需要至少2个观测点。（用PPT 动态展示，引出下面题目）如图某同学选择H 、G 两点，使H 、G 、B 三点在同一条水平线上，在H,G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别是α,β,CD=a ，且测角仪器的高是h ，则AB=？（5分钟）分析：AB= ，应求 . （1）在哪个三角形中求？（2）还需知道哪个边（角）？又如何求此边（角）？（学生讨论2分钟，起来回答,引导学生不同解题思路，边用PPT 展示两种方案具体解题过程--5分钟）解法一：在△ACD 中，∠ADC=β，CD=a ，∠DAC=α-β，根据正弦定理可得 AC a a sin , AC sin sin sin ,AE Rt ACE , sin ,AE sin AC AC 中 a sin sin AB AE h h sin 解法二:在△ACD 中，∠ADC=β，CD=a ，∠ACD=180°-α，根据正弦定理可得 sin(180)sin sin(180 )sin( ) sin() sin() AD a a a AD = sin sin sin sin sin() AE a Rt ADE 中， AB=AE h=AD h= h AD （引导生总结--2分钟）

人教版高中数学必修五第一章1.2第2课时高度、角度问题

第一章解三角形 1.2 应用举例第2课时高度、角度问题 A 级基础巩固一、选择题 1．某人向正东走了x km 后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km ，结果离出发点恰好 3 km ，那么x 的值是( ) A. 3 B ．2 3 C ．3 D ．23或 3 解析：由正弦定理，得 sin A ＝BC sin B AC ＝3sin 30°3 ＝32，因为BC ＞AC ，所以A ＞B ，B ＝30°，所以A 有两解，即A ＝60°或A ＝120°. 当A ＝60°时，∠ACB ＝90°，x ＝23；当A ＝120°时，∠ACB ＝30°，x ＝ 3.故选D. 答案：D 2．在200 m 高的山顶上，测得山下一塔塔顶与塔底的俯角分别为30°，60°，则塔高为( ) A.4003 m B.4003 3 m C.203 3 m D.2003 m 解析：如下图所示，由题意知∠PBC ＝60°，

所以∠ABP ＝90°－60°＝30°，又∠BPA ＝60°－30°＝30°，所以AB ＝PA . 又在Rt △PBC 中，BC ＝200·tan 30°，所以在Rt △PAD 中，PA ＝BC cos 30°＝4003 . 因为PA ＝AB ，所以AB ＝4003 . 答案：A 3．在静水中划船的速度是每分钟40 m ，水流的速度是每分钟20 m ，如果船从岸边A 处出发，沿着与水流垂直的航线到达对岸，那么船前进的方向指向河流的上游并与河岸垂直的方向所成的角为 ( ) A.π4 B.π3 C.π6 D.512 π 解析：设水流速度与船速的合速度为v ，方向指向对岸．则由题意知，sin α＝v 水v 船＝2040＝12 ，又α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＝π6. 答案：C 4．要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择甲、乙两观测点，在甲、乙两点测得塔顶的仰角分别为45°，

高中数学第一章解三角形1.2.2解三角形的实际应用举例_高度角度问题素养评价检测含解析5

解三角形的实际应用举例——高度、角度问题（20分钟35分) 1.如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°,此时气球的高是60 m，则河流的宽度BC等于（） A.240(+1) m B。180(—1）m C.120(—1）m D.30（+1) m 【解析】选C。如图，在△ACD中,∠CAD=90°-30°=60°， AD=60 m，所以CD=AD·tan 60°=60（m)。在△ABD中,∠BAD=90°—75°=15°，所以BD=AD·tan 15°=60(2—)(m)。所以BC=CD-BD=60—60(2-）=120(—1)(m）。 2.一艘客船上午9:30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°方向上，之后它以每小时32海里的速度继续沿正北方向匀速航行,上午10:00到达B处，此时测得船与灯塔S相距8海里,则灯

塔S在B处的（） A。北偏东75° B.南偏东15° C。北偏东75°或南偏东15° D。以上方位都不对【解析】选C。根据题意画出示意图,如图,由题意可知AB=32×=16,BS=8， ∠A=30°.在△ABS中,由正弦定理得 =， sin S= ==，所以S=45°或135°, 所以B=105°或15°, 即灯塔S在B处的北偏东75°或南偏东15°。 3.如图,在O点测量到远处有一物体做匀速直线运动,开始时物体位于P点，1分钟后，其位置在Q点，且∠POQ=90°，再过1分钟，该物体位于R点,且∠QOR=30°,则tan∠OPQ的值为(）

A。 B. C. D.3 【解析】选C.由题意知，PQ=QR,设其长为1，则PR=2。在△OPR 中由正弦定理得=。在△OQR中,由正弦定理得=，则tan∠OPQ===。 4。如图所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度,在塔的同一侧选择C，D两个观测点,且在C,D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD=120°,C,D两地相距500 m,则电视塔AB的高度是() A。100m B。400 m C。200m D.500 m 【解析】选D。设AB=x,在Rt△ABC中，∠ACB=45°,所以BC=AB=x；在Rt△ABD中,∠ADB=30°，所以BD=x.在△BCD中,∠BCD=120°，CD=500 m,由余弦定理得（x）2=x2+5002-2×500xcos 120°，解得x=500 m. 5。如图所示,为测量一水塔AB的高度，在C处测得塔顶的仰角

高中数学必修五解三角形教案(2021年整理)

高中数学必修五解三角形教案(word版可编辑修改) 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学必修五解三角形教案(word版可编辑修改)）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为高中数学必修五解三角形教案(word版可编辑修改)的全部内容。

数学5 第一章解三角形章节总体设计 (一）课标要求本章的中心内容是如何解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。通过本章学习，学生应当达到以下学习目标：（1）通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题。（2）能够熟练运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的生活实际问题。 (二）编写意图与特色 1．数学思想方法的重要性数学思想方法的教学是中学数学教学中的重要组成部分，有利于学生加深数学知识的理解和掌握。本章重视与内容密切相关的数学思想方法的教学，并且在提出问题、思考解决问题的策略等方面对学生进行具体示范、引导。本章的两个主要数学结论是正弦定理和余弦定理，它们都是关于三角形的边角关系的结论.在初中，学生已经学习了相关边角关系的定性的知识，就是“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角”，“如果已知两个三角形的两条对应边及其所夹的角相等，那么这两个三角形全”等。教科书在引入正弦定理内容时，让学生从已有的几何知识出发,提出探究性问题：“在任意三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系.我们是否能得到这个边、角的关系准确量化的表示呢？”，在引入余弦定理内容时，提出探究性问题“如果已知三角形的两条边及其所夹的角，根据三角形全等的判定方法，这个三角形是大小、形状完全确定的三角形.我们仍然从量化的角度来研究这个问题，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题。"设置这些问题，都是为了加强数学思想方法的教学。

【创新设计】2022-2021学年高二数学人教A必修5学案：1.2 应用举例(二) Word版含答案

1．2 应用举例(二) [学习目标] 1.能够运用正弦定理、余弦定理等学问和方法解决一些有关底部不行到达的物体高度测量的问题.2.巩固深化解三角形实际问题的一般方法，养成良好的争辩、探究习惯.3.进一步培育同学学习数学、应用数学的意识及观看、归纳、类比、概括的力量． [学问链接] 现实生活中，人们是怎样测量底部不行到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？要点一测量仰角求高度问题例1 如图所示，A 、B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，又在B 点测得∠ABD ＝45°，其中D 点是点C 到水平面的垂足，求山高CD . 解由于CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD . 因此只需在△ABD 中求出AD 即可，在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由 AB sin 15°＝AD sin 45° ，得AD ＝AB ·sin 45° sin 15°＝800× 2 26－2 4＝800(3＋1) (m)．即山的高度为800(3＋1) m. 规律方法在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都依据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解．和高度有关的问题往往涉及直角三角形的求解．跟踪演练1 如图，地平面上有一旗杆OP ，为了测得它的高度h ，在地面上选一基线AB ，AB ＝20 m ，在A 点处测得P 点仰角∠OAP ＝30°，在B 点处测得P 点的仰角∠OBP ＝45°，又测得∠AOB ＝60°，求旗杆的高度h .(结果保留两个有效数字) 解在Rt △AOP 中，∠OAP ＝30°，OP ＝h ， ∴OA ＝OP ·1tan 30° ＝3h . 在Rt △BOP 中，∠OBP ＝45°，∴OB ＝OP ·1 tan 45°＝h . 在△AOB 中，AB ＝20，∠AOB ＝60°，由余弦定理得AB 2＝OA 2＋OB 2－2×OA ×OB ·cos 60°，即202＝(3h )2＋h 2－2·3h ·h ·12，解得h 2＝400 4－3≈176.4，∴h ≈13(m)．答旗杆高度约为13 m. 要点二测量俯角求高度问题例2 如图所示，在山顶铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角为α，在塔底C 处测得A 处的俯角为β.已知铁塔BC 部分的高为h ，求出山高CD . 解在△ABC 中， ∠BCA ＝90°＋β， ∠ABC ＝90°－α， ∠BAC ＝α－β，∠CAD ＝β. 依据正弦定理得AC sin ∠ABC ＝BC sin ∠BAC ，即 AC sin (90°－α)＝BC sin (α－β) ， ∴AC ＝BC cos αsin (α－β)＝h cos αsin (α－β) . 在Rt △ACD 中，CD ＝AC sin ∠CAD ＝AC sin β ＝ h cos αsin β sin (α－β) . 答山的高度为h cos αsin β sin (α－β) . 规律方法利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及依据题意画示意图，要懂得从所给的背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化．跟踪演练2 江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________m. 答案 30

高中数学1.2应用举例第二课时测量高度问题(新人教A版必修5)

1. 2应用举例第二课时：测量高度问题一、教学目标： 1、能力要求： ①综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决与测量学、航海问题等有关的实际问题； ②体会数学建摸的基本思想，掌握求解实际问题的一般步骤； ③能够从阅读理解、信息迁移、数学化方法、创造性思维等方面，多角度培养学生分析问题和解决问题的能力 2、过程与方法：利用仰角和俯角等条件测量底部不可到达的建筑物高度这类问题不能直接用解直角三角形的方法解决，但常常用正弦定理和余弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题。二、教学重点、难点：重点：综合运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些实际问题。难点：底部不可到达的建筑物高度的测量。三、名词解释： 1、仰角：朝上看时，视线与水平面夹角为仰角。 2、俯角：朝下看时，视线与水平面夹角为俯角。 3、方位角：从某点的指北方向线起,依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角,叫方位角。 4、坡度：坡度是指路线纵断面上同一坡段两点间的高度差与其水平距离的比值的百分率。四、例题讲解：例1、AB 是底部B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点。设计一种测量建筑无高度AB 的方法。解：选择一条水平基线HG ，使H ，G ，B 三点在同一条直线上。由在H ，G 两点用测角仪器测得A 的仰角分别为βα,，a CD =，测角仪器的高度为h 。在ACD ∆中，βα-=∠CAD ∴在ACD ∆中，由正弦定理可得： () βαβ-=sin sin a AC 在ACE ∆中，()βαβαα-= =sin sin sin sin a AC AE () h a h AE AB +-= +=∴βαβαsin sin sin 例2、在某建筑物顶部有一铁塔，在铁塔上B 处测得地面上一点A 的俯角 45=α，在塔底

2020年高一高二数学百所名校好题分项解析汇编专题02 解三角形应用举例(必修5)(原卷版)

高一数学（必修5）百所名校速递分项汇编专题02 解三角形应用举例一、选择题 1．【上海市徐汇区南洋模范中学2017-2018学年高一（下)期中】张晓华同学骑电动自行车以24m/h的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A处望见电视塔S在电动车的北偏东30°方向上，15min后到点B处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B时与电视塔S的距离是（） A．2m B．C．3m D． 2．【四川省南部县五校2017-2018学年高一下学期期末】某位居民站在离地20m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为，小高层底部的俯角为，那么这栋小高层的高度为 A．B．C．D． 3．【辽宁省凌二中2017-2018学年高一下学期期末】某船开始看见灯塔时，灯塔在船南偏东方向，后船沿南偏东的方向航行后，看见灯塔在船正西方向，则这时船与灯塔的距离是（）A．B．C．D． 4．【安徽师大附中2017-2018学年高一下学期期末】在地平面上有一旗杆(在地面),为了测得它的高度,在地平面上取一基线,测得其长为,在处测得点的仰角为,在处测得点的仰角为,又测得,则旗杆的高等于( ) A．B．C．D． 5．【重庆市大学城第一中学校2017-2018学年高一下学期期中】一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（）

A．正西方向B．南偏西方向 C．南偏西方向D．南偏西方向 6．【华南师范大学附属中学南海实验高中2017-2018学年高一第二学期期中】如图所示,为测一树的高度,在地上选取两点,从两点分别测得望树尖的仰角为，且两点之间的距离为,则树的高度为（） A．B．C．D． 7．【山东省德州市平原县第一中学2017-2018学年高一下学期期末】如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个观测点与，测得米，并在测得塔顶的仰角为，则塔的高度为（） A．米B．米C．米D．米 8．【四川省遂宁市2017-2018学年高一下学期期末教学水平监测】如图，为测得河对岸塔的高，先在河岸上选一点，使在塔底的正东方向上，此时测得点的仰角为再由点沿北偏东方向走到位置，测得，则塔的高是 A．10 B．10 C．10

收集2解三角形重难点,易错点突破(含答案解析)

专题1-2 解三角形重难点、易错点突破 (建议用时：60分钟) 三角形定“形”记根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正弦、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用． 1．通过角之间的关系定“形” 例1 在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．正三角形 2．通过边之间的关系定“形” 例2 在△ABC 中，若sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c a ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰三角形或直角三角形细说三角形中解的个数解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨． 1．出现问题的根源我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，作图步骤如下：①先做出已知角A ，

把未知边c 画为水平的，角A 的另一条边为已知边b ；②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心，边a 为半径作圆C ；③观察圆C 与边c 交点的个数，便可得此三角形解的个数．显然，当A 为锐角时，有如图所示的四种情况：当A 为钝角或直角时，有如图所示的两种情况：根据上面的分析可知，由于a ，b 长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A 为锐角，只有当a 不小于b sin A 时才有解，随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的．当A 为钝角时，只有当a 大于b 时才有解． 2．解决问题的策略 (1)正弦定理法已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求B . 根据正弦定理a sin A ＝b sin B ，可得sin B ＝ b sin A a .