数学分析大纲

《数学分析》教学大纲说明

1、本课程是数学专业（本科）的一门重要基础课，它的任务是使学生获得极限论、微积分学、无穷级数等方面的系统知识。

本课程是进一步学习复变函数、微分方程、微分几何、概率论、实变函数与泛函分析等后继课程的

阶梯，也是用更高的观点深入理解中学数学教材、更好地将数学知识应用于生产实践所必要的基础。

2、通过本课程的教学应使学生做到：

（1）对极限思想和方法有深刻的认识，从而有助于培养学生的辨证唯物主义观点；

（2）正确理解数学分析的基本概念，基本上掌握数学分析中的论证方法，获得教熟练的演算技能和初步应用的能力；

（3）逐步养成严谨的治学习惯，逐步提高自己的分析问题和解决问题的能力与书面及口头表

达能力；

3、本课程总教学时数为373学时。

其中讲授约342学时，习题课约31学时。

4、实施本大纲时，注意以下几点：

（1）本大纲所列顺序及学时数安排，可按所选用教材及每学期的周数，在不影响基本要求的情况下作适当调整。

（2）作为中学教师，应对实数理论”、数表构造”有一定的理解，建议教学过程中注意作适当介绍。

（3）大纲中每节所列岀的讲授时数与习题课时数，可按学生学习的实际情况作少量调整。

（4）大纲中列出*号和用小号排版的内容是为了扩大学生的视野，教学中可根据情况适当选用。

时间安排如下：（建议另外安排课外辅导时间）

第一学期讲授84学时，习题课14学时。

第二学期讲授85学时，习题课17学时。

第三学期讲授85学时。

第四学期讲授85学时。

大纲内容

一、实数集与函数（12学时）

实数概述。绝对值不等式。区间与邻域。数集的确界与确界原理。函数概念，函数的几种表示

法（解析法、列表法和图象法等）。具有某些特性的函数（有界函数、单调函数、奇函数与偶函数、周期函数）。函数的有理运算。复合函数，反函数、基本函数、基本初等函数、初等函数。

［附注］

（1）为了与中学数学衔接，建议用无限十进小数来定义实数，并指岀它的性质。

（2）在中学已学过集合” 对应”的基础上，建议用映射”的观点定义函数，并引用记号f: x

y。

二、数列极限（14学时）

数列，数列极限的定义，收敛数列性质——唯一性、有界性、保号性、不等式性质、迫敛性、

有理运算。有界单调数列极限存在定理。

三、函数极限（20学时）

函数极限。。单侧极限。函数性质唯一性、局部有界性、局部保号性、不等式性质，迫敛性、

有理运算。归结原则（Heine定理）。函数极限的柯西准则。。无穷小量及其阶的比较，记号0、0、?。广义极限。无穷大量及其阶的比较。

四、函数的连续性（12学时）

函数在一点的连续性。单侧连续性。间断点及其分类、在区间上连续的函数。连续函数的局部

性质一一有界性、保号性。连续函数的有理运算。复合函数的连续性，闭区间上连续函数的性质有界性、取得最大最小值性、介值性、一致连续性。反函数的连续性，初等函数的连续性。

［附注］

在讲授初等函数的连续性”时应给岀实指数的乘幂”的定义。

五、导数与微分（20学时）

引入问题（瞬时速度问题）。导数定义。单侧导数，导函数，导数的几何意义，无穷大导数。和、积、商的导数。反函数的导数，复合函数的导数，初等函数的导数，微分概念，微分的几何意义。微分运算法则。一阶微分形式的不变性，微分在近似计算中的应用。高阶导数与高阶微分。有参量方程所表示的曲线的斜率。

［附注］

（1）结合求导举例，可介绍对数求导法。

（2）高阶导数的布莱尼兹公式可述而不证。

六、微分学基本原理与不定式极限（20学时）

费马（Fermat）定理、罗尔中值定理、拉格朗日定理（泰勒公式及其拉格朗日型余项、皮亚诺（Peano）型余项）。近似计算。罗比塔（L 'HOSPita）法则。

七、运用导数研究函数性态。

函数单调性的判别法。极值，最大值与最小值。曲线的凹凸性，拐点，渐近线，函数图象的讨论。

八、实数的一些基本定理（10学时）

区间套定理。数列的柯西收敛准则。有界无限数列存在收敛子列。聚点定理。有限覆盖定理。

［附注］

建议以区间套定理为主要工具证明其他定理。关于闭区间上连续函数性质的证明”可视情况适

当选用

九、不定积分（15学时）

原函数与不定积分概念。基本积分表，线性运算法则，换元积分，几种无理函数的积分（如）

［附注］

连续函数的原函数存在性的证明留待一单元定积分”中进行。

十、定积分（33学时）

引入问题（曲边梯形面积与变力作功）。定积分定义，定积分的几何意义，可积的必要条件，上和与下和，上积分与下积分。可积的充要条件。可积函数类一一闭区间上的连续函数、闭区间上只

有有限个间断点的有界函数、单调函数，定积分性质一一线性运算法则、区间可加性、不等式性质、绝对可积性、积分中值定理。微积分学基本定理。牛顿一一莱布尼兹公式，换元积分法，分部积分

法。

无穷限非正常积分概念。柯西准则，线性运算法则，绝对收敛。无穷限非正常积分收敛判别法。无

界函数非正常积分概念。无界函数非正常积分收敛性判别法。［附注］对下列内容可根据情况适当

处理：上和与下和的性质，可积的充要条件的证明。可积函数类的证明，定积分性质的证明（积分中值定理的证明（积分中值定理的证明要求掌握）。

十一、定积分的应用（15学时）

简单平面图形面积。曲线的长，微分。由截面面积求立体体积，旋转体积与侧面积。物理应用

（压力、功、静力矩与重心、平均值）。

十二、级数收敛与和的定义。柯西准则，收敛级数的基本性质。正项级数，比较原则，比式判别法与根式判别法，积分判别法*。一般级数的绝对收敛与条件收敛，交错级数，莱布尼兹判别法，阿贝耳判别法与狄利克雷判别法。绝对收敛级数的重排定理。

十三、函数与函数项级数（15学时）

函数列与函数项级数的收敛与一致收敛概念。一致收敛的柯西准则。一致收敛的充要条件，函数项级数一致收敛的M判别法。阿贝耳判别法与狄利克雷判别法，函数列极限函数与函数项级数和的连续性、可积性与可微性。

十四、幂级数（10学时）

阿贝耳定理。收敛半径与收敛区间，一致性收敛性，连续性，逐项积分与逐项微分的四则运算，泰勒级

数，泰勒展开的条件，初等函数的泰勒展开。

十五、傅立叶级数（9学时）

三角函数，三角函数系的正交性，傅立叶级数。以为周期的函数的傅立叶级数及其收敛定理

（证明不作要求）。奇函数与偶函数的傅立叶级数。以21为周期的傅立叶级数*。贝塞耳不等式*。

十六、多元函数的极限与连续（24学时）

平面点集概念（邻域、内点、界点、开集、闭集、开域、闭域等）。平面点集的基本定理一一区

域套定理、聚点定理、有限覆盖定理。二元函数概念（建议用影射观点定义）。二重极限，累次极限。二元函数的连续性，复合函数的连续性定理，有界闭区域上连续函数的性质（证明不作要求）。

十七、多元函数微积分（30学时）

偏导数、全微分概念及其几何意义。可微的必要与充分条件。全微分在近似计算中的应用。复

合函数的偏导数与全微分，一阶（全）微分形式的不变性。方向导数与梯度*。高阶偏导数及其与

顺序无关性。高阶微分，二元函数的中值定理与泰勒定理，二元函数极值（在举例中可介绍最小

二乘法”）。

十八、隐函数定理及其应用（12学时）

隐函数概念，隐函数定理（证明不作要求），隐函数求导。隐函数组概念，隐函数组定理*。隐

函数组求导。反函数组与坐标变换，函数行列式。几何应用。条件极值与拉格朗日乘数法。

*十九。向量函数微分学

二十、重积分（34学时）

二重积分定义与存在性，二重积分性质，二重积分计算（化为累次积分）。

二重积分的换元法（极坐标变换与一般变换）。三重积分与计算，三重积分的换元法（柱坐标

变换、球坐标变换与一般变换），重积分应用（体积、曲面、面积、重心、转动惯性*，引力）。含参量积分的连续性、可积性与可微性。

［附注］在讲授二重积分的换元法时应介绍的计算。

二十一、重积分（续）与含参量非正常积分（12学时）

含参量的（无穷限与无界函数）非正常积分，含参量非正常积分的一致收敛的柯西准则与M判别法。含参量非正常积分的性质（连续性、可微性与可积性）。欧拉积分（函数与B函数）。

［附注］本章中的理论推导可不作要求。

二十二、曲线积分与曲面积分（27学分）

第一型和第二型曲线积分概念与计算。格林公式。曲线积分与路线无关的条件，曲面的侧，第一型和第二型曲面积分概念与计算，高斯公式与斯托克斯公式。