微积分试卷及答案6套
微积分试题（A卷）
一。填空题（每空2分，共20分)
1.已知则对于，总存在δ〉0，使得当时，恒有│ƒ(x）
─A│< ε。
2.已知，则a =，b = .
3.若当时，α与β是等价无穷小量,则 .
4.若f (x)在点x = a处连续，则。
5.的连续区间是。
6.设函数y =ƒ(x)在x0点可导，则______________。
7.曲线y = x2＋2x－5上点M处的切线斜率为6，则点M的坐标为.
8.。
9.设总收益函数和总成本函数分别为,,则当利润最大时产量
是.
二. 单项选择题（每小题2分，共18分）
1.若数列{x n｝在a的ε 邻域（a-ε,a+ε）内有无穷多个点，则（）。
(A) 数列{x n}必有极限，但不一定等于a(B) 数列｛x n}极限存在,且一定等于a
(C）数列{x n｝的极限不一定存在(D) 数列{x n}的极限一定不存在
2.设则为函数的（）.
（A）可去间断点（B）跳跃间断点(C) 无穷型间断点(D) 连续点
3.( ）。
（A) 1 （B) ∞（C) (D）
4.对需求函数,需求价格弹性。当价格（）时,需求量减少的幅度小于价
格提高的幅度。
（A） 3 （B） 5 （C) 6 (D) 10
5.假设在点的某邻域内（可以除外)存在，又a是常数，则下列结论正确的是( ）。
（A)若或∞，则或∞
(B ） 若或∞,则或∞ （C ） 若不存在，则不存在 (D) 以上都不对
6. 曲线的拐点个数是（ ) 。
（A) 0 (B)1 （C) 2 （D) 3
7. 曲线（ ）。
(A) 只有水平渐近线; （B) 只有垂直渐近线； （C) 没有渐近线; (D ） 既有水平渐近线,
又有垂直渐近线
8. 假设连续，其导函数图形如右图所示，则具有（ ）
（A ） 两个极大值一个极小值 (B ） 两个极小值一个极大值 (C ） 两个极大值两个极小值 （D ） 三个极大值一个极小值
9. 若ƒ（x )的导函数是,则ƒ（x ）有一个原函数为 ( ） 。
（A) ; (B) ; （C ） ； （D) 三．计算题（共36分）
1． 求极限 (6分) 2． 求极限 （6分）
3． 设，求的值,使在(-∞，+∞)上连续。（6分） 4． 设，求及（6分) 5． 求不定积分（6分） 6． 求不定积分（6分)
四．利用导数知识列表分析函数的几何性质，求渐近线,并作图。(14分) 五．设在[0， 1］上连续,在（0， 1)内可导，且，试证:
（1） 至少存在一点，使； （2） 至少存在一点,使；
(3) 对任意实数λ ，必存在，使得。（12分)
微积分试题（B 卷）
一. 填空题 (每空3分,共18分)
10. 。 11. . 12. 关于级数有如下结论
:
x
①若级数收敛，则发散.
②若级数发散，则收敛.
③若级数和都发散,则必发散.
④若级数收敛，发散，则必发散。
⑤级数（k为任意常数）与级数的敛散性相同.
写出正确
．．结论的序号。
13.设二元函数，则。
14.若D是由x轴、y轴及2x + y–2 = 0围成的区域,则 .
15.微分方程满足初始条件的特解是。
二. 单项选择题 (每小题3分，共24分)
10.设函数，则在区间[—3，2］上的最大值为（）。
（A) (B）（C) 1 (D）4
11.设,，其中，则有（）。
（A) （B）（C) (D）
12.设，若发散，收敛，则下列结论正确的是(）.
(A）收敛，发散（B) 收敛，发散
（C）收敛（D）收敛
13.函数在点的某一邻域内有连续的偏导数,是在该点可微的（ )条件。
(A）充分非必要（B）必要非充分 (C）充分必要（D）既非充分又非必要
14.下列微分方程中，不属于
．．．一阶线性微分方程的为（）。
（A）（B），
（C) （D）
15.设级数绝对收敛,则级数（）。
(A）发散（B）条件收敛 (C）绝对收敛 (D）不能判定敛散性散16.设，则F （x）（ ).
（A) 为正常数（B）为负常数（C）恒为零 (D）不为常数17.设，则( ）.
(A）（B) （C） (D) 0
四. 计算下列各题（共52分）
1。（5分)
2。求曲线所围成的平面图形的面积。(6分）
3. 已知二重积分，其中D由以及围成。
（Ⅰ) 请画出D的图形，并在极坐标系下将二重积分化为累次积分；（3分）
（Ⅱ）请在直角坐标系下分别用两种积分次序将二重积分化为二次积分；（4分）
(Ⅲ）选择一种积分次序计算出二重积分的值。（4分）
4. 设函数有连续偏导数，且是由方程所确定的二元函数，求及du .（8分）
5. 求幂级数的收敛域及和函数S（x）。（8分）
6. 求二元函数的极值。（8分)
7。求微分方程的通解，及满足初始条件的特解。(6分)
五. 假设函数在[a，b］上连续，在（a，b)内可导,且，记,证明在(a，b）内.（6分)
微积分试卷 (C)
一. 填空题 (每空2分，共20分）
1。数列有界是数列收敛的条件。
2. 若,则。
3. 函数是第类间断点，且为间断点。
4。若，则a = ,b = 。
5。在积分曲线族中,过点（0,1）的曲线方程是.
6. 函数在区间上罗尔定理不成立的原因是.
7。已知，则。
8。某商品的需求函数为,则当p = 6时的需求价格弹性为。
二。单项选择题 (每小题2分,共12分)
1. 若，则（）。
(A) –2 (B) 0 （C)（D)
2. 在处连续但不可导的函数是（）。
(A）(B) (C）（D）
3. 在区间(-1,1)内，关于函数不正确
．．．的叙述为（）。
(A) 连续(B）有界
(C）有最大值，且有最小值(D) 有最大值，但无最小值
4。当时，是关于x的（）。
(A) 同阶无穷小（B) 低阶无穷小(C）高阶无穷小（D) 等价无穷小
5。曲线在区间( ）内是凹弧。
（A）（B) （C) (D）以上都不对
6。函数与满足关系式（）。
（A) (B) （C）(D) 三．计算题（每小题7分，共42分)
1．求极限。
2．求极限（x为不等于0的常数）。
3．求极限。
4．已知，求及。
5．求不定积分。
6．求不定积分。
四．已知函数,填表并描绘函数图形。（14分)
图形：
五．证明题（每小题6分,共12分）
1。设偶函数具有连续的二阶导函数，且。证明：为的极值点。
2。就k的不同取值情况，确定方程在开区间（0,）内根的个数,并证明你的结论。
《微积分》试卷（D卷)
一、单项选择题（本题共5小题，每小题3分,共15分）：
1。函数在处的偏导数存在是在该处可微的（ )条件。
A。充分； B. 必要; C. 充分必要；D。无关的．2。函数在（1，1）处的全微分（）。
A．；B．；C．；D．．
3。设D为：，二重积分的值=( ）。
A．；B．；C．；D．．
4.微分方程的特解形式为（）。
A ；
B ；
C ;
D ．
5。下列级数中收敛的是( )。
A．；B．；C．；D．．
二、填空题(本题共5小题,每小题3分，共15分）:
1。。
2。，则在区间［—2,3］上在（ -1 )处取得最大值.
3. 已知函数，则= ,= 。
4。微分方程在初始条件下的特解是: = .
5.幂级数的收敛半径是：= 。
三、计算下列各题（本题共5小题，每小题8分，共40分）：
1。已知,其中f具有二阶连续偏导数，求.
2。已知，求，。
3。改换二次积分的积分次序并且计算该积分。
4.求微分方程在初始条件,下的特解.
5.曲线C的方程为,点(3，2)是其一拐点，直线分别是曲线C在点(0，0)与（3,2）处的切
线，其交点为（2，4),设函数具有三阶导数，计算.
四、求幂级数的和函数及其极值（10分).
五、解下列应用题（本题共2小题，每小题10分，共20分）：
1。某企业生产某产品的产量，其中为劳动力人数,为设
备台数,该企业投入5000万元生产该产品,设招聘一个劳动力需要15万元，购买一台设备需要25万元，问该企业应招聘几个劳动力和购买几台设备时，使得产量达到最高?
2.已知某商品的需求量Q对价格P的弹性，而市场对该商品的最大需求量为10000件，即Q (0)=10000，求需求函数Q ( P ）.
《微积分》试卷（E卷）
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
1。设函数在处可导，则（)
A. B. C. D。
2。已知在的某邻域内连续,且，则在处满足( ）
A。不可导B。可导C。取极大值 D. 取极小值
3. 若广义积分收敛，则（）
A。B。C。D。
4。
A．0 B。C。不存在 D.以上都不对
5。当时，是关于的（）。
A．同阶无穷小。B．低阶无穷小.C．高阶无穷小。D．等价无穷小. 6.函数具有下列特征：，当时，
则的图形为（）。
6．某商品的需求函数,则在P＝4时,需求价格弹性为，收入对价格的弹性是。
三、计算（前四小题每题5分，后四小题每题6共44分）
1．
2．
3．
4．
5．求由所决定的隐函数的导数
6．已知是的原函数，求。
7．求由曲线与所围成的平面图形绕x轴旋转形成的旋转体的体积。
8．求曲线与直线所围平面图形的面积,问k为何时，该面积最小?
四、（A类12分）列表分析函数函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。
解：（1) 函数的定义域D：，无对称性；
（2）
（3) 列表:
线：；斜渐近
线：
(5）绘图，描
几个点
(B类12分)
解：⑴
⑵
⑶列表：
极小值 f
⑷该函
⑸绘图，
ln2),(1，ln2）
五、(B类8
证明:令
只需证明（3分）
所以（8分)
(A类8分）设在[a, b]上连续在（a ，b)内可导且
试证（1）在(a ，b)内单调递减
(2）
证（1）
由知单调减,即在（a ,b)内当时有又可得
。即在(a ,b)内单调减.
又由单调减知,于是有
《微积分》试卷（F卷)
一、单项选择题（每小题3分，共18分）
1。设函数在处可导，则（）
A。 B. C. D。
2。当时，是关于的（）.
A．同阶无穷小. B．低阶无穷小.C．高阶无穷小.D．等价无穷小.
3. 若广义积分收敛,则（）
A. B。 C. D。
4。
A．0 B. C.不存在D。以上都不对
5。函数具有下列特征：,当时，
则的图形为( ）。
3。已知存在，则。
4．设，那么。
5．.
6．某商品的需求函数，则在P＝4时，需求价格弹性为，收入对价格的弹性是。
三、计算（前四小题每题5分，后四小题每题6共44分）
1．
2．
3．
4．
5．求由所决定的隐函数的导数
6．已知是的原函数，求。
7．求由曲线与直线所围成的平面图形的面积.
8．求由曲线与所围成的平面图形绕x轴旋转形成的旋转体的体积.
四、(12分）列表分析函数函数的单调区间、凹凸区间等几何性质，并作出函数图形。
五、(B类8分) 设连续，证明:
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综合练习题1（函数、极限与连续部分） 1．填空题 （1）函数) 2ln(1 )(-= x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x . （2）函数24) 2ln(1 )(x x x f -++= 的定义域是 ．答案： ]2,1()1,2(-⋃-- （3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f ． 答案：3)(2+=x x f （4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧ ≥<+=0,0 ,13sin )(x k x x x x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k （5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f （6）函数13 22+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x （7）=∞→x x x 1 sin lim ．答案：1 （8）若2sin 4sin lim 0=→kx x x ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题 （1）设函数2 e e x x y +=-，则该函数是（ ）． A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．既奇又偶函数 答案：B （2）下列函数中为奇函数是（ ）． A ．x x sin B ．2 e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2 x x + 答案：C （3）函数)5ln(4 +++=x x x y 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x 答案：D （4）设1)1(2 -=+x x f ，则=)(x f （ ）
A ．)1(+x x B ．2 x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C （5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0, ,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 答案：D （6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0, ,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续. A ．0 B ．1 C ．2 D ．1- 答案：B （7）函数2 33 )(2+--= x x x x f 的间断点是（ ） A ．2,1==x x B ．3=x C ．3,2,1===x x x D ．无间断点 答案：A 3．计算题 （1）4 2 3lim 222-+-→x x x x ． 解：41 21lim )2)(2()1)(2(lim 4 23lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）3 29lim 223---→x x x x 解：2 3 4613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x （3）4 58 6lim 224+-+-→x x x x x 解：3 2 12lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x
微积分试题及答案
一、选择题(每题2分) 1、设x ƒ()定义域为（1,2），则lg x ƒ()的定义域为（） A 、（0,lg2） B 、（0，lg2] C 、（10,100） D 、（1,2） 2、x=-1是函数x ƒ()=() 22 1x x x x --的（） A 、跳跃间断点 B 、可去间断点 C 、无穷间断点 D 、不是间断点 3、试求02lim x x →- A 、-1 4 B 、0 C 、1 D 、∞ 4、若 1y x x y +=，求y '等于（） A 、 22x y y x -- B 、22y x y x -- C 、22y x x y -- D 、22x y x y +- 5、曲线2 21x y x = -的渐近线条数为（） A 、0 B 、1 C 、2 D 、3 6、下列函数中，那个不是映射（） A 、2 y x = (,)x R y R + - ∈∈ B 、2 2 1y x =-+ C 、2 y x = D 、ln y x = (0)x > 二、填空题（每题2分） 1 、 __________2、、 2(1))lim ()1 x n x f x f x nx →∞-=+设 （，则 的间断点为__________ 3、21lim 51x x bx a x →++=-已知常数 a 、b,，则此函数的最大值为__________ 4、2 63y x k y x k =-==已知直线 是 的切线，则 __________ 5、ln 21 11x y y x +-=求曲线 ，在点（，）的法线方程是__________ 三、判断题（每题2分） 1、2 2 1x y x =+函数是有界函数 ( ) 2、
微积分上期末试题及答案
微积分上期末试题及答案 试题一： 1.求函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x的导数f'(x)。 答案：f'(x) = 3x^2 + 4x - 5。 2.计算极限lim(x->3)[(x^2 - 9)/(x - 3)]。 答案：由分式的定义可知，当x ≠ 3时，(x^2 - 9)/(x - 3) = x + 3，故lim(x->3)[(x^2 - 9)/(x - 3)] = 3 + 3 = 6。 3.已知y = 2x^3 - x^2 + 4x + 7，求dy/dx。 答案：dy/dx = 6x^2 - 2x + 4。 4.求函数f(x) = sin(x)的不定积分∫f(x)dx。 答案：∫f(x)dx = -cos(x) + C（C为常数）。 5.已知直线L的斜率为2，并且过点P(3, 4)，求直线L的方程。 答案：直线L的方程为y - 4 = 2(x - 3)。 试题二： 1.求曲线y = x^2的切线方程，且该切线通过点P(2, 3)。 答案：曲线y = x^2的导数为2x，斜率为m = 2(2) = 4。切线方程为y - 3 = 4(x - 2)。 2.计算定积分∫(2x + 1)dx在区间[0, 2]上的值。
答案：∫(2x + 1)dx = x^2 + x + C。在区间[0, 2]上的定积分值为[(2)^2 + 2 + C] - [(0)^2 + 0 + C] = 6。 3.已知函数f(x) = e^x，求f'(x)。 答案：f'(x) = e^x。 4.求函数f(x) = ln(x)的不定积分∫f(x)dx。 答案：∫f(x)dx = xln(x) - x + C（C为常数）。 5.已知曲线C的方程为y = x^3 - 3x^2 + 2，求曲线C的切线方程在点Q(-1, -2)处的斜率。 答案：曲线C的导数为3x^2 - 6x，点Q(-1, -2)在曲线C上，代入x = -1得到斜率m = 3((-1)^2) - 6(-1) = 3 - 6 = -3。 切线方程为y - (-2) = -3(x - (-1))。 本文整理了微积分上期末试题及答案，试题涵盖了导数、极限、不定积分和曲线的切线等基础概念。通过掌握这些内容，可以巩固微积分基础知识，并且能够灵活运用到实际问题中。希望这些试题及答案对你的学习有所帮助。
微积分试卷及答案6套
微积分试题（A卷） 一。填空题（每空2分，共20分) 1.已知则对于，总存在δ〉0，使得当时，恒有│ƒ(x） ─A│< ε。 2.已知，则a =，b = . 3.若当时，α与β是等价无穷小量,则 . 4.若f (x)在点x = a处连续，则。 5.的连续区间是。 6.设函数y =ƒ(x)在x0点可导，则______________。 7.曲线y = x2＋2x－5上点M处的切线斜率为6，则点M的坐标为. 8.。 9.设总收益函数和总成本函数分别为,,则当利润最大时产量 是. 二. 单项选择题（每小题2分，共18分） 1.若数列{x n｝在a的ε 邻域（a-ε,a+ε）内有无穷多个点，则（）。 (A) 数列{x n}必有极限，但不一定等于a(B) 数列｛x n}极限存在,且一定等于a (C）数列{x n｝的极限不一定存在(D) 数列{x n}的极限一定不存在 2.设则为函数的（）. （A）可去间断点（B）跳跃间断点(C) 无穷型间断点(D) 连续点 3.( ）。 （A) 1 （B) ∞（C) (D） 4.对需求函数,需求价格弹性。当价格（）时,需求量减少的幅度小于价 格提高的幅度。 （A） 3 （B） 5 （C) 6 (D) 10 5.假设在点的某邻域内（可以除外)存在，又a是常数，则下列结论正确的是( ）。 （A)若或∞，则或∞
(B ） 若或∞,则或∞ （C ） 若不存在，则不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线的拐点个数是（ ) 。 （A) 0 (B)1 （C) 2 （D) 3 7. 曲线（ ）。 (A) 只有水平渐近线; （B) 只有垂直渐近线； （C) 没有渐近线; (D ） 既有水平渐近线, 又有垂直渐近线 8. 假设连续，其导函数图形如右图所示，则具有（ ） （A ） 两个极大值一个极小值 (B ） 两个极小值一个极大值 (C ） 两个极大值两个极小值 （D ） 三个极大值一个极小值 9. 若ƒ（x )的导函数是,则ƒ（x ）有一个原函数为 ( ） 。 （A) ; (B) ; （C ） ； （D) 三．计算题（共36分） 1． 求极限 (6分) 2． 求极限 （6分） 3． 设，求的值,使在(-∞，+∞)上连续。（6分） 4． 设，求及（6分) 5． 求不定积分（6分） 6． 求不定积分（6分) 四．利用导数知识列表分析函数的几何性质，求渐近线,并作图。(14分) 五．设在[0， 1］上连续,在（0， 1)内可导，且，试证: （1） 至少存在一点，使； （2） 至少存在一点,使； (3) 对任意实数λ ，必存在，使得。（12分) 微积分试题（B 卷） 一. 填空题 (每空3分,共18分) 10. 。 11. . 12. 关于级数有如下结论 : x
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微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当 时，恒有│?(x )─A │< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，α与β 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 6. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 8. ='? ))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大时产 量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的 邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a
(C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极限一定不存在 2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+ -∞ →1 3)11(lim x x x （ ） 。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 4. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 5. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 0 或∞，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或∞ (B) 若a x g x f x x =''→) ()(lim 或∞，则a x g x f x x =→)() (lim 0或∞ (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。 (A) 0 (B)1 (C) 2
微积分试题及答案
微积分试题 一、填空题（每题3分，共30分） 1，函数2 ln += x x y 的定义域为__________. 2，()=⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛=-=2 ,2cos 35)(24πφφf x x ， x x x f 则设= . 3，() =-→x x x 10 31lim . 4，若函数()⎩ ⎨⎧≥+<=0,20 ,x x x ae x f x 在0=x 处连续，则=a _ . 5，=-+∞→22sin 1 31 2lim x x x x . 6，设x e x y 2 =，则 =''=0x y 7，函数⎩ ⎨⎧≤≤-<≤=21,31 0,2x x x x y 的连续区间是 8，设方程0sin 2 1 =+-y y x 确定的隐函数()x y y =，则=dy 9，已知函数2 3x y =在区间[1,2]上满足拉格朗日中值定理的条件，则满足定理的=ξ 10，⎰ xdx x cos = 二、选择题（每题3分，共15分）： 1. =∞ →n n n π sin lim ( ). (A) 0 ; (B) n π ; (C) π ; (D) πn . 2. ())( 0, 0, 00 ,1处在则=⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=x x f x x e x y x (A)； 左导数不存在 ;(B) 右导数不存在； (C) 导数 ()2 1 0= 'f ； (D)不可导。 3.函数()2 1-=x y 在区间（1，4）内是 ( ) （A ）凸； （B ）凹； （C ）既有凸又有凹; （D ）直线段. 4. 设产品的成本函数为()640042 12 ++= x x x c ，其中x 为产量，则当x=500时的边际成本为（ ） (A); 504 (B) 603 ;
微积分基础期末试题及答案
微积分基础期末试题及答案 [注意：本文按照期末试题的格式进行排版] 试题一： 函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 内可导，且 f(a) = f(b) = 0。证明：存在ξ ∈ (a, b)，使得f'(ξ) = 0。 证明： 根据 Rolle 定理，已知在 [a, b] 区间上连续且在 (a, b) 内可导，且 f(a) = f(b) = 0，那么一定存在ξ ∈ (a, b)，使得f'(ξ) = 0。 试题二： 设函数 y = f(x) 满足条件：f(x + 2) = 3f(x) + 5。证明 f'(x) = f'(x + 2)。 证明： 将 f(x + 2) = 3f(x) + 5 两边对 x 求导，得到 f'(x + 2) = 3f'(x)。根据等 式两边的对称性，可以推导得到 f'(x) = f'(x + 2)。 试题三： 设函数 y = f(x) 在区间 (a, b) 内具有二阶连续导数，且对任意的 x ∈(a, b)，有 f(x) > 0，f''(x) > 0。证明 f'(x) 在 (a, b) 上严格单调递增。 证明： 根据题设条件可知，对任意的 x ∈ (a, b)，f''(x) > 0，即 f'(x) 的导数 处处大于 0。根据导数的定义，说明 f(x) 在 (a, b) 上严格单调递增。
答案一： 证明思路：利用介值定理和导数的定义进行推导。 由于 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，根据介值定理可知，对任意介于 f(a) 和 f(b) 之间的数值 c（c ≠ 0），存在ξ ∈ (a, b) 使得f(ξ) = c。由于 f(a) = f(b) = 0，所以 c = 0。即存在ξ ∈ (a, b)，使得f(ξ) = 0。 又因为 f(x) 在开区间 (a, b) 内可导，根据导数的定义，有f'(ξ) = lim┬(h→0)〖(f(ξ+h)-f(ξ))/h〗。 当 h 趋近于 0 时，根据 c 的取值为 0，可以得到： f'(ξ) = lim┬(h→0)(f(ξ+h))/h). 因为 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，那么 f(x) 在ξ 点周围的某个小区间 内都有定义。因此，f(ξ + h) 在ξ 点周围也有定义。 根据上述推导过程，可以得出结论：存在ξ ∈ (a, b)，使得f'(ξ) = 0。 答案二： 证明思路：利用等式两侧求导的性质和导数的线性性质进行推导。 已知 f(x + 2) = 3f(x) + 5，对等式两侧同时对 x 求导，得到 f'(x + 2) = 3f'(x)。 据此，可以得出结论：f'(x) = f'(x + 2)。 答案三： 证明思路：利用 f''(x) > 0 的条件和导数的定义进行推导。
微积分考试试题及答案
微积分考试试题及答案 一、选择题 1. 设函数 f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1，那么 f'(1) 的值是多少？ A. -1 B. -4 C. -3 D. 0 答案：C 2. 给定曲线 y = 2e^x - x，求当 x = 0 时，曲线的切线方程为？ A. y = 1 - x B. y = x - 1 C. y = e - x D. y = x - e 答案：A 3. 对于函数 f(x) = 3x^2 + 2x + 1，在 [0,2] 区间上的定积分为？ A. 12 B. 10 C. 14
D. 16 答案：C 二、填空题 1. 设函数 g(x) = 2x^3 - 6x + 5 的不定积分为 F(x)，那么 F(2) 的值为 ________。 答案：27 2. 设函数 h(x) = x^4 - 2x^3 + 3x^2 + 5x - 2，那么 h'(x) 的导函数为 _________。 答案：4x^3 - 6x^2 + 6x + 5 三、解答题 1. 计算函数f(x) = ∫[0,2] (3x^2 + 2x + 1) dx 的值。 解答步骤： 首先对 f(x) 进行积分得到 F(x) = x^3 + x^2 + x + C。 然后将积分上下限代入 F(x)，得到 F(2) = 2^3 + 2^2 + 2 + C = 14 + C。 由于题目没有给定积分常数 C，所以无法具体计算 F(2) 的值。 2. 求函数g(x) = ∫[-1,1] (2x^3 - 6x + 5) dx 的值。 解答步骤： 首先对 g(x) 进行积分得到 G(x) = x^4 - 3x^2 + 5x + C。
微积分习题及答案
微积分习题及答案 微积分习题及答案 微积分作为数学的重要分支，是研究变化和积分的学科。它是现代科学和工程 领域中不可或缺的工具。在学习微积分的过程中，习题是非常重要的一部分， 通过解答习题可以加深对概念和原理的理解，并提升解决实际问题的能力。下 面将介绍几个常见的微积分习题及其答案。 一、极限习题 1. 求极限：lim(x→0) (sinx/x) 解答：当x趋近于0时，sinx/x的值趋近于1。这是因为sinx/x的极限定义为1，所以该极限的值为1。 2. 求极限：lim(x→∞) (1+1/x)^x 解答：当x趋近于无穷大时，(1+1/x)^x的值趋近于e，其中e是自然对数的底数。这是因为(1+1/x)^x的极限定义为e，所以该极限的值为e。 二、导数习题 1. 求函数f(x) = x^2的导数。 解答：根据导数的定义，f'(x) = 2x。所以函数f(x) = x^2的导数为2x。 2. 求函数f(x) = e^x的导数。 解答：根据导数的定义，f'(x) = e^x。所以函数f(x) = e^x的导数为e^x。 三、积分习题 1. 求∫(x^2 + 2x + 1)dx。 解答：根据积分的定义，∫(x^2 + 2x + 1)dx = (1/3)x^3 + x^2 + x + C，其中C 为常数。
2. 求∫(sinx + cosx)dx。 解答：根据积分的定义，∫(sinx + cosx)dx = -cosx + sinx + C，其中C为常数。 四、微分方程习题 1. 求解微分方程dy/dx = 2x。 解答：对方程两边同时积分，得到y = x^2 + C，其中C为常数。 2. 求解微分方程dy/dx = 3x^2。 解答：对方程两边同时积分，得到y = x^3 + C，其中C为常数。 通过解答以上习题，可以加深对微积分概念和原理的理解。同时，通过解决实 际问题的能力的提升，可以将微积分应用于科学和工程领域中的实际问题。微 积分的习题和答案是学习过程中的重要参考资料，希望以上内容对大家有所帮助。
(完整版)《微积分》各章习题及详细答案
第一章 函数极限与连续 一、填空题 1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。 2、=-+→∞) 1()34(lim 22 x x x x . 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。 4、01 sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 . 5、=-∞ →x e x x arctan lim . 6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0 ,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b . 7、=+→x x x 6) 13ln(lim 0 。 8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________. 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→x x a x a x 。 11、已知当0→x 时，1)1(3 12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a . 12、函数x x x f +=13arcsin )(的定义域是__________。 13 、lim ____________x →+∞ =. 14、设8)2( lim =-+∞→x x a x a x ,则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞ →=____________。 二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 (Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ))()(x h x f +；(C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。 2、x x x +-=11)(α，31)(x x -=β,则当1→x 时有 。 （Ａ）α是比β高阶的无穷小； (Ｂ)α是比β低阶的无穷小； (C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~. 3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1 111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。 （Ａ）23； （Ｂ）3 2 ； （C ）1； （D)0。 4、数列极限=--∞ →]ln )1[ln(lim n n n n . （Ａ）1； （Ｂ）1-； （C)∞； （D ）不存在但非∞。 5、⎪⎪⎩ ⎪ ⎪⎨⎧>=<+=01cos 0 00sin )(x x x x x x x x x f ，则0=x 是)(x f 的 。 (Ａ)连续点;(Ｂ）可去间断点；（C ）跳跃间断点；（D ）振荡间断点。
微积分考试题库(附答案)
85 考试试卷（一） 一、填空 1．设c b a ,,为单位向量，且满足0=++c b a ，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅= 2．x x e 10 lim +→= ，x x e 10 lim -→= ，x x e 1 lim →= 3．设2 11)(x x F -= '，且当1=x 时，π2 3)1(=F ，则=)(x F 4．设= )(x f ⎰ dt t x 2sin 0 ，则)(x f '= 5．⎩ ⎨⎧>+≤+=0,0 ,1)(x b ax x e x f x 在x =0处可导，则=a ，=b 二、选择 1．曲线⎩⎨⎧==-0 1 22z y x 绕x 轴旋转一周所得曲面方程为（ ）。 （A ）12222=+-z y x ； （B ）122222=--z y x ； （C ）12222=--z y x ； （D ）122222=+-z y x 2．2 )1 1(lim x x x x -∞→-+=（ ）。 （A ）1 （B ）2 1 e （C ）0 （D ）1-e 3．设函数)(x f 具有连续的导数，则=+'⎰ dx x f x f x )]()([（ ） （A ）c x xf +)(； （B ）c x f x +')(； （C ）c x f x +'+)(； （D ）c x f x ++)( 4．设)(x f 在],[b a 上连续，则在],[b a 上至少有一点ξ，使得（ ） （A ）0)(='ξf （B ）a b a f b f f --= ') ()()(ξ
86 （C ）0)(=ξf （D ）a b dx x f a b f -=⎰)()(ξ 5．设函数x x a y 3sin 31sin +=在x = 3 π 处取得极值，则=a （ ） （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3 三、计算题 1． 求与两条直线⎪⎩ ⎪ ⎨⎧+=+==2 11 t z t y x 及112211-= +=+z y x 都平行且过点（3，-2，1）的平面方程。 2．求下列极限 （1）12cos 1lim 21 +-+→x x x x π； （2）1 arctan lim 30--→x x e x x 3．计算下列积分 （1）⎰dx x sin ； （2） ⎰ +dx x sin 21 （3）⎰+dx x x e ln 11 2； （4）⎰--+2/12 /111dx x x 4．求下列导数或微分 （1） 设32 ) 1)(21()2(x x x y +--=，求dy 。 （2）⎩ ⎨⎧+=+-=2 3)1ln(t t y t t x ，求22dx y d 。 （3）x x x y sin )1(+=，求dy 。 （4）设a y x =+ ，求隐函数)(x y y =的二阶导数22dx y d 。 四、设)1,0()(],1,0[)(D x f C x f ∈∈，且1)2 1 (,0)1()0(===f f f ，证明： （1）存在)1,2 1(∈η，使ηη=)(f （2） 对任意实数λ，必存在),0(ηξ∈，使1])([)(=--'ξξλξf f
微积分试卷(附答案)
微积分试卷 一、填空题（每题3分，共30分） 1、函数)1ln(3-+-=x x y 的定义域是____________. 2、设x x f -= 11 )(则=))(1( x f f ________________. 3、已知65 4lim 25=-+-→x k x x x ，则k =________________. 4、=+-∞ →x x x x )1 1( lim ____________. 5、设函数⎪⎩⎪ ⎨⎧=≠=0 ,0,1sin )(x a x x x x f 为),(+∞-∞上的连续函数，则a =____________ . 6、设)(x f 在0=x 处可导，且0)0(=f ，则=→x x f x ) (lim 0 . 7、已知x x x f += 1)1(，求)(ln x f '= . 8、曲线)1ln(2 x y +=的在区间__________________单调减少。 9、若x e -是)(x f 的原函数，则=⎰ dx x f x )(ln 2_____________. 10、⎰ =xdx x ln _____________. 二、单选题（每题3分，共15分） 1、下列极限计算正确的是（ ） A ． 111lim 0=⎪⎭⎫ ⎝⎛++→x x x B. e x x x =⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++→11lim 0 C ． 1sin lim =∞→x x x D. 11 sin lim 0=→x x x 2、函数1 1 arctan )(-=x x f 在x =1处是( ). A. 连续 B. 可去间断点 C. 跳跃间断点 D. 第二类间断点 3、函数3 )(x x f =在区间]1,0[上满足拉格朗日中值定理，则其ξ=（ ）. A . 3 B.3- C.33- D. 3 3 4、当0→x 时，与2 x 等价的无穷小是（ ）。 A. 12-x e B. )2 1ln(x + C. )cos 1(2x - D.x arctan
微积分选择题及答案
第二部分 一元函数微分学 [选择题] 容易题 1—39，中等题40—106，难题107—135。 1．设函数)(x f y =在点0x 处可导，)()(00x f h x f y -+=∆，则当0→h 时，必有( ) (A) y d 是h 的同价无穷小量. (B) y y d -∆是h 的同阶无穷小量。 (C) y d 是比h 高阶的无穷小量. (D) y y d -∆是比h 高阶的无穷小量. 答D 2． 已知)(x f 是定义在),(+∞-∞上的一个偶函数，且当0
（C ）可导的点，且0)0(='f 。 （D ）可导的点，但0)0(≠'f 。 答C 6．设函数f(x)定义在[a ，b]上，判断何者正确？（ ） （A ）f （x ）可导，则f （x ）连续 （B ）f （x ）不可导，则f （x ）不连续 （C ）f （x ）连续，则f （x ）可导 （D ）f （x ）不连续，则f （x ）可导 答A 7．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的导数的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的切向量 （B ）0x 点的法向量 （C ）0x 点的切线的斜率 （D ）0x 点的法线的斜率 答C 8．设可微函数f(x)定义在[a ，b]上，],[0b a x ∈点的函数微分的几何意义是：（ ） （A ）0x 点的自向量的增量 （B ）0x 点的函数值的增量 （C ）0x 点上割线值与函数值的差的极限 （D ）没意义 答C 9．x x f = )(，其定义域是0≥x ，其导数的定义域是（ ） （A ）0≥x （B ）0≠x （C ）0>x （D ）0≤x 答C
微积分试卷(含答案)
微积分试题 一、 填空题（每题2分⨯10=20分） 1、函数 ()f x =的定义域是 2、 设()2f x x =- ，则[(2)]f f = 3、 22929lim 1 n n n n →∞--=- . 4、 0sin 5lim sin x x x →= 5、 1lim(1)x x x →∞+= 6、 '(arcsin )x = 7、 函数 2y x =，则=dy 8、 函数 3x y e =的导数为 . 9、 02sin lim x x x →= . 10、数学思维从思维活动的总体规律的角度来考察，可分为形象思维、 、和直觉思维。 二 选择题（每题2分⨯5=10分） 1、 若),1()(+=x x x f 则=-)(x f （ ）. A x(x-1) B (x-1)(x-2) C x(x+1) D (x+1)(x+2) 2、1sin(1)lim 1 x x x →-=-( ). A 1 B 0 C 2 D 2 1 3、 函数)(x f 在0x x =处有定义是)(x f 在0x x =处连续的（ ）. A 必要条件 B 充分条件 C 充要条件 D 无关条件 4、设)(x f y -=，则='y （ ）. A )('x f B )('x f - C '()f x -- D )(' x f - 5、 设函数(),()u x v x 在x 可导，则（ ） A []uv u v '''= B []uv u v '''=- C []u v u v '''⨯=+ D []uv u v uv '''=+
三、计算题（每小题6分，共24分） 1、已知2 (tan )6sec f x x =-，求)(x f 2、求极限3 33lim 22x x x x →∞- 3、求极限0tan sin lim x x x x →- 4、求极限1 0lim(14)x x x →+ 四、计算题（每小题8分，共24分） 1、求4x y x e =的导数 2、设)(x y y =由隐函数5y e xy =+确定，求y '。 3、求 五、应用题（每小题8分，共16分） 1、 把边长为a 的正方形铁皮四角各剪去一个大小相同的小正方形，而后把四边折起，做成一个无盖方盒， 问剪掉的小正方形的边长为多大时，方盒的容积最大？ 2、某商品的销售量Q 是单价P （万元/件）的函数：4 5P Q -=，总成本函数(32+=Q C 万元），如果销售每件商品要纳税a （万元/件），求销售利润最大时的单价。 六、 证明题（6分） 证明方程32 233x x +=至少有一个正根。 一、 填空题（每题2分⨯10=20分） 1、{|44}x x -<< 2、 2 3、 9 . 4、 5 5、 e 6、 7、 2dx
微积分试题及答案
微积分试题及答案 一、选择题(每题2分) 1、设??x?定义域为（1,2），则??lgx?的定义域为（）a、（0,lg2） b、（0，lg2? c、（10,100） d、（1,2） x2?x2、x=-1就是函数??x?=的（） x?x2?1?a、跳跃间断点3、试求lima、?4、若 b、可以回去间断点 c、无穷间断点 d、不是间断点 2?x?4等于（） x?0x1b、0c、1d、?4yx??1，谋y?等同于（）xya、 2x?yy?2x2y?xx?2yb、c、d、 2x?y2y?x2y?x2x?y2x的渐近线条数为（）21?x5、曲线y?a、0b、1c、2d、36、以下 函数中，那个不是态射（） a、y?x(x?r,y?r) b、y??x?1 2c、y?xd、y?lnx(x?0) 2??22二、填空题（每题2分）1、y=11?x2fx)?mil、设（的反函数为__________2、 (n?)1x，则()fx的间断点为__________ x??nx2?1x2?bx?a?5，则此函数的最大值为__________3、已知常数a、b,limx?11?x4、已知直线y?6x?k是y?3x的切线，则k?__________5、求曲线xlny?y?2x?1，在点（，11）的法线方程是__________三、判断题（每题2分） 2x2就是存有界函数()2、存有界函数就是发散数列的充份不必要条件()1、函数 y?1?x23、若lim，就说道?就是比?低阶的无穷小()4可微函数的极值点未必就是它的 驻点()?5、曲线上凹陷弧与凸弧的分界点称作拐点() sin1x四、计算题（每题6分）1、求函数y?x1的导数2、已知 f(x)?xarctanx?ln(1?x2），求dy 23、未知x2?2xy?y3?6，确认y就是x的函数，谋y?4、谋 limtanx?sinx2x?0xsinxdxx2(cosx)5、排序?6、排序lim?3x?0（1?x)x五、应用题
微积分试题及答案大全
微积分试题及答案 第一章 函数极限与连续 一、填空题 1、已知x x f cos 1)2(sin +=，则=)(cos x f 。 2、=-+→∞) 1()34(lim 22 x x x x 。 3、0→x 时，x x sin tan -是x 的 阶无穷小。 4、01sin lim 0=→x x k x 成立的k 为 。 5、=-∞ →x e x x arctan lim 。 6、⎩⎨⎧≤+>+=0,0 ,1)(x b x x e x f x 在0=x 处连续，则=b 。 7、=+→x x x 6)13ln(lim 0 。 8、设)(x f 的定义域是]1,0[，则)(ln x f 的定义域是__________。 9、函数)2ln(1++=x y 的反函数为_________。 10、设a 是非零常数，则________)(lim =-+∞→x x a x a x 。 11、已知当0→x 时，1)1(3 12-+ax 与1cos -x 是等价无穷小，则常数________=a 。 12、函数x x x f +=13arcsin )(的定义域是__________。 13 、lim ____________x →+∞ =。 14、设8)2( lim =-+∞→x x a x a x ，则=a ________。 15、)2)(1(lim n n n n n -++++∞ →=____________。 二、选择题 1、设)(),(x g x f 是],[l l -上的偶函数，)(x h 是],[l l -上的奇函数，则 中所给的函数必为奇函数。 （Ａ）)()(x g x f +；（Ｂ）)()(x h x f +；（C ）)]()()[(x h x g x f +；（D ）)()()(x h x g x f 。 2、x x x +-= 11)(α，31)(x x -=β，则当1→x 时有 。 （Ａ）α是比β高阶的无穷小； （Ｂ）α是比β低阶的无穷小； （C ）α与β是同阶无穷小； （D ）βα~。 3、函数⎪⎩⎪⎨⎧=-≥≠-+-+=0)1(0,1 111)(3x k x x x x x f 在0=x 处连续，则=k 。 （Ａ）23； （Ｂ）3 2 ； （C ）1； （D ）0。 4、数列极限=--∞ →]ln )1[ln(lim n n n n 。 （Ａ）1； （Ｂ）1-； （C ）∞； （D ）不存在但非∞。
大一微积分期末试卷及答案
微积分期末试卷 选择题6×２ 1~6 DDBDBD 一、 填空题 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2log ,(0,1),1x y R x =-; 40,0 5解：原式=11(1)() 1m lim lim 2(1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、 判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小 2、 若fX 在0x 处取得极值,则必有fx 在0x 处连续不可导 3、 设函数ｆx 在[]0,1上二阶 可导且'()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、 计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=22211 1 330002 (2) lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解： 3 2 4 0lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求
5 3tan xdx ⎰ 6arctan x xdx ⎰求 四、 证明题; 1、 证明方程310x x +-=有且仅有一正实根; 证明：设3()1f x x x =+- 2、arcsin arccos 1x 12x x π+=-≤≤证明（） 五、 应用题 1、 描绘下列函数的图形 3. 4.补充点7179(2,).(,).(1,2).(2,)2222 --- 50lim (),()0x f x f x x →=∞∴=有铅直渐近线 6如图所示： 2.讨论函数22()f x x Inx =-的单调区间并求极值 由上表可知fx 的单调递减区间为(,1)(0,1)-∞-和 单调递增区间为(1,0)1-+∞和（，） 且fx 的极小值为f-1=f1=1
微积分试题及答案
微积分试题及答案 1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1在x = 2处的导数。 解析：首先，我们需要求函数f(x)的导数。对于一个二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c，它的导数等于2ax + b。因此，对于f(x) = 3x^2 - 2x + 1，其导数即为 f'(x) = 6x - 2。接下来，我们需要求在 x = 2 处的导数。将 x = 2 代入导数公式，得到 f'(2) = 6(2) - 2 = 10。 答案：函数f(x)在x = 2处的导数为10。 2. 求函数g(x) = sin(x) + cos(x)的定积分∫[0, π] g(x)dx。 解析：我们需要求函数 g(x) = sin(x) + cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分。首先，我们可以分别求 sin(x) 和 cos(x) 在[0, π] 区间上的定积分， 然后将结果相加即可。根据积分的基本性质，∫sin(x)dx = -cos(x) 和 ∫cos(x)dx = sin(x)，所以： ∫[0, π]sin(x)dx = [-cos(x)]|[0, π] = -cos(π) - (-cos(0)) = -(-1) - (-1) = 2 ∫[0, π]cos(x)dx = [sin(x)]|[0, π] = sin(π) - sin(0) = 0 - 0 = 0 将上述结果相加，得到定积分的结果： ∫[0, π]g(x)dx = ∫[0, π]sin(x)dx + ∫[0, π]cos(x)dx = 2 + 0 = 2 答案：函数g(x) = sin(x) + cos(x)在[0, π]区间上的定积分为2。 3. 求曲线y = x^3在点(1, 1)处的切线方程。