泛函分析考试试卷自制试卷

泛函分析考试试卷

一、选择题。

1、下列说法不正确的是（）

A、n维欧式空间R n 是可分空间

B、全体有理数集为R n 的可数稠密子集

C、l∞是不可分空间

D、若X为不可数集则离散度量空间X是可分的

答案：D

2、设T是度量空间(X,d）到度量空间（Y，d~）的映射，那么T在x0?X连续的充要条件是（）

A、当x n→x0（n→∞）时，必有Tx n→Tx0（n→∞）

B、当x n→x0（n→∞）时，必有Tx0→Tx n（n→∞）

C、当x0→x n（n→∞）时，必有Tx n→Tx0（n→∞）

D、当x n→x0（n→0）时，必有Tx n→Tx0（n→0）

答案：D

3、在度量空间中有（）

A、柯西点列一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列

B、柯西点列一定收敛，而且每一个收敛点列是柯西点列

C、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列都是柯西点列

D、柯西点列不一定收敛，但是每一个收敛点列不一定是柯西点列

答案：C

4、关于巴拿赫空间叙述不正确的是（）

A、完备的赋范线性空间称为巴拿赫空间

B、L p[a，b]（p≥1）是巴拿赫空间

C、空间l p是巴拿赫空间

D、赋范线性空间的共轭空间不是巴拿赫空间

答案：D

5、下列对共轭算子性质描述错误的是（）

A、（A+B)*=A*+B*;

B、(A*)*=A**

C、当X=Y时,(AB)*=B*A*

D、（aA)*=a A*

答案：B

二、填空题

1、度量空间X到Y中的映射T是X上的连续映射的充要条件为Y中的任意开集M为

。

答案：原像T-1M是X中的开集

2、设T是赋范线性空间X到赋范线性空间Y中的线性算子，则T为有界算子的充要条件是T是X上的。

答案：连续算子。

3、若T为复内积空间X上有界线性算子，那么T=0的充要条件是对一切x?X有。

答案：（Tx，x）=0

4、有界线性算子T的共轭算子T×也是有界线性算子，并且

T T

。

答案：=

5、设{f n}是巴拿赫空间X上的一列泛函，如果{f n}在X的每点x处有界，那么{f n} 。

答案：一致有界

三、判断题

1、自伴算子一定为正常算子，正常算子不一定是自伴算子。（ ）√

2、设T 1和T 2是希尔伯特空间X 上两个自伴算子，则T 1*T 2自伴的充要条件是T 1*T 2=T 2*T 1。

（ ）√

3、强收敛必定弱收敛，弱收敛必定强收敛。（ ）×

4、设X 和Y 都是巴拿赫空间，如果T 是从X 到Y 上的一对一有界线性算子，则T 的逆算子

T -1不是有界线性算子。（ ）×

5、无界算子不是闭算子。（ ）×

四、证明题

1. 设 X 是赋范线性空间, f 是X 上连续线性泛函, 证明 f 的零空间N ( f ) 是 X 中闭子空间.

证明：对任何 x, y ∈ N ( f ), 及任何 α, β f (α x + β y) = α f (x) + β f (y) = 0

所以 α x + β y ∈ N ( f ). 所以 N (f) 是线性空间. 又设 x n ∈ N ( f ), 且 x n → x ∈ X, 由 f 连续

f (x) = lim n f (x n ) = 0 所以x ∈ N ( f ). 所以 N ( f ) 是闭集.

2. 设 X 是赋范空间, A, B ∈ B (X → X) 是X 上正则算子, 证明 T = A B 是X 上正则算子.

证 A, B 是正则算子, 所以 A - 1, B - 1 存在, 且 A - 1, B - 1 ∈ B (X → X)

令 S = B - 1 A - 1 ∈ B (X → X), 则S T = B - 1 A - 1 A B = I, A B B - 1 A - 1 = I 所以 S = T - 1, 所以 T 是正则算子.

3. 设H 是实内积空间, A 是H 上自伴算子, 证明A = 0 的充分必要条件是对所有x ∈

H, ?A x, x ? = 0.

证明 必要性: ? A x, x ? = ?0, x ? = 0, ? x ∈ H.

充分性: 对任意 x, y ∈ H

0 = ? A (x + y), x + y ?

= ? A x, x ? + ? A x, y ? + ? A y, x ? + ? A y, y ?

= ? A x, y ? + ? A y, x ?

由 T 是自伴算子 ? A y, x ? = ? y, A x ? = ?A x, y ? ,

所以 2 ? A x, y ? = 0 ? x, y ∈ H

所以 A x = 0 ? x ∈ H

所以 A = 0.

4、．证明：)1(∞<≤p l p 是可分空间。

解：考虑集合}1,);,0,,,,{(21>∈=n Q r r r r B i n ，即B 是由至多有限个坐标不为0，

且坐标都是有理数的元素构成。因此，B 是可数集。

对于p i l

x x ∈=?)(，有∞<∑∞=)||1i p i x ，所以0,0>?>?N ε，当N n >时，p n i p

i x )2()||1ε<∑∞+=，有有理数的稠密性，可取得n r r r ,,,21 ， 使得p n i p i i r x )2()||1

ε<-∑=

令p n l B r r r y ?∈=),0,,,,(21 。且

εε

<<+-=+-=-=-∑∑∑∑∑∞+==∞+==∞=p p p n i p i p n i p i i p

n i p i n i p i i p i p i i x r x x r x y x y x /1/11/11/111/11))2(2()||()||()||||()

||(||||

即B 在)1(∞<≤p l p 中稠密。依定义知)1(∞<≤p l p 是可分的。

5、设H 是内积空间，H y y x x n n ∈,,,，则当x x n →，y y n →时，),(),(y x y x n n →，

即内积关于两变元连续。

解：H 是内积空间，设||||?是由其内积导出的范数，由于x x n →，y y n →， 所以0>?ε，0n ?使得当0n n >时均有ε<-||||x x n 和ε<-||||y y n

同时由于y y n →，故知n y 有界，H x ∈所以||||x 有限。因此可取

||)

||||,(||sup 1n n y x M ∞≤≤= 因此|),(),(),(),(||),(),(|y x y x y x y x y x y x n n n n n n -+-=-

|),(||),(||),(),(||),(),(|y y x y x x y x y x y x y x n n n n n n n -+-=-+-≤ εM y y M x x M y y x y x x n n n n n 2||||||||||||||||||||||||≤-+-≤-?+?-≤ 故0)},(),(lim{=-∞→y x y x n n n ，即),(),(y x y x n n →

五、计算题

1、在实数轴R 上，令p y x y x d ||),(-=，当p 为何值时，R 是度量空间，p

为何值时，R 是赋范空间。

解：若R 是度量空间，所以R z y x ∈?,,，必须有：),(),(),(z y d y x d z x d +≤成立

即p p p z y y x z x ||||||-+-≤-，取1,0,1-===z y x ，

有2112=+≤p p p ，所以，1≤p

若R 是赋范空间，p x x x d ||||||)0,(==，所以R k x ∈?,，

必须有：||||||||||x k kx ?=成立，即p p x k kx ||||||=，1=p ，

当1≤p 时，若R 是度量空间，1=p 时，若R 是赋范空间。