大学毕设论文__sars的传播数学建模论文

SARS的传播

摘要

本文首先采用抽样检测法对SARS早期的模型的合理性及实用性进行了评价，然后我们通过对传染病的共性及SARS的特性的分析。得出三个基本假设并且把人群理想化为三类（S类，I类，R类），建立起基本的SIR模型，再对SIR 模型中三类人群间的相互转化关系的分析，结合马氏链得出三种人群间变化率的矩阵T，由于SARS的特性，可知，SIR模型中的两个参数a(t),b(t)是以时间为变量的函数。我们根据北京疫情的数据，通过多项式的数据拟合法分别得a(t),b(t)的表达式，我们把a(t),b(t)及T结合，从而建立出模型。由于医疗条件的逐步改善，必会研制出其疫苗。于是我们在不改变人群分类的情况下，增加了一个系数c，（c表示疫苗日成功接种率，由于在疫情期间，疫苗未能及时改良，故c为常数。）进一步完善了我们的模型。

本文利用数学软件（Mathematica,Matlab）很好的实现了模型运算，并结合实际数据得出了各类人群与时间的关系图。从图中可以很好的反映出各类人群的变化规律，它们的变化规律与实际变化相吻合，从而证明了我们的模型基本符合要求。

一问题的提出

严重急性呼吸道综合症，简称SARS，是21世纪第一个在世界范围内传播的传染病。它对全球的经济和生活造成巨大的破坏，尽管目前疫情已得到控制，但对这种新冠状病毒及其流行规律的研究还刚刚开始，因此，有必要根据SARS流行的特点，建立数学模型预测其传染，从而采取措施预防和控制其发展。而建立该模型我们要综合各方面的因素才能使模型合理化。

二问题的分析

通过分析北京，香港和广东三地的受感染人数的变化规律，我们就可以对不同地区预测流行病的变化趋势提出以下模型假设。

模型的假设：

1 将人群分为三类

易感染者人数（疑似病例）：用S表示；

病人数（已受感染者，即确疹者）：用I表示；

移出者人数（包括“被治愈者”和“死亡者”）：用R表示

2 该地区人口不流动，疫情阶段无病原的输入和输出，设最初易感染者人

数为N，此时I，R均为0。

3 被隔离人群完全断绝与外界接触，不再具有传染性。

三模型的分析与建立

问题一:

对于附件1所提供的早期模型即N（t）=N0（1+K）t在疾病初期应该有它的

可参性。因为模型N（t）=N0（1+K）t是符合指数增长规律的。而对于这种传播

疾病，由于社会来不急防备以及群众的不重视，使得SARS疫情基本上呈自然规律增长，这与香港的实际疫情拟合图基本一致。通过对香港和北京高峰前期的病例与天数的对应关系计算出的数据与实际基本吻合。见下图表：

由上图可知在高峰期前即疾病早期基本符合指数增长规律，同时，我们也可

以看到天数越接近高峰期，实际天数与计算天数就相差越大，这说明这个模型特别适用于早期初，但从上表中的数据差来看，它们相差并不大，对整个早期阶段也有较好的预测性。因此，该模型具有一定的合理性和实用性。

问题二:模型的建立

建立SIR 模型[]1

易感染者，感染者，移出者之和是个恒量即N=S+I+R 。由于病人康复后具有终生免疫力，人与人之间有相同的接触率。最终由如下两种假设决定状态之间的转变率：（1）感染者的增长率是和感染者I 与易受感染者S 的乘积成正比的；（2）感染者I 到移出者R 的变化率是与感染者I 成正比。基于以上假设得出模型的微分方程：

????

?????=-=-=bI dt dR bI aSI dt

dI aSI

dt dS

其中a,b 都是以时间为变量的参数，a(t)为日感染率，b(t)为日移出率，于是我们可以得出三类人的转换状态图：

根据Markov Chain []2理论，我们得出一个矩阵T:

T=????

??????--10

01001t t t

t

b b a a

其中a

t 就是当天易感染者S变为感染者I的日感染率,b

t

就是当天感染者I转变

为移出者R的移出率.( a

t , b

t

分别为a(t)，b(t)某一天的值)

设初始值X

1

={N,0,0},于是我们可以由X与T的转置矩阵相乘,相乘一次得到第一天的易感染者,确诊病人及排除者的人数,再由该人数与T的转置矩阵相乘一次得到第二天各类人群的数目,依此类推,我们可以得到第t天的各类人群的数目,于是我们可以得出任何一天各类人群的数目的初步模型即:

X

1 t =X

t

*T'

由于T是由a,b确定的,所以要建立模型还必须求出a(t),b(t).

于是我们参照附件2中的数据，利用Matlab的多项式数据拟合，可以得到它们相应的多项式。下面进一步讲拟合过程：

第一步：对附件2中的疑似病例进行20次数据拟合，得出每天的疑似病例数的多项式：

f

S

(t)=238.2523-80.1594t+480.6525t2-325.9497t3+110.1561t4-22.3320t5+ 2.9772t6-0.275t7+0.0181t8-0.0009t9 (1)

第二步：对附件2中已确疹的病例数据进行运算，新确诊的病例数m(t)就是把当天已确诊病例数的累积n(t)减去前一天确诊病例数的累积n(t-1)即：

m(t)=n(t)-n(t-1)

对m(t)进行20次数据拟合，得出关于新增病例与时间的多项式：

f

I

(t)=407.5716-569.7285t+476.2872t2-227.1678t3+67.6374t4-13.3813t5

+1.8488t6-0.10854t7+0.0139 t8-0.0008 t9 (2)

由第二步对f

I (t)求导得出f

I

'(t)，f

I

'(t)表示为每天已确诊病例的变化情况，

因为f)(t

S 是当天疑似病例数，所以得出a(t)=f

I

'(t)/f)(t

S

。

第三步：我们把死亡病例和治愈者都归为同一组R类，于是把他们相加得到每天的R类人群K（t）,再由第二步的计算方法我们得到每天死亡和治愈的人数l(t)即

l(t)=K（t）-K（t-1）

然后对l(t)进行二次数据拟合，得出关于每天死亡和治愈人数与时间的多项式：

f

R

(t)=-0.0323t2+2.95235t-13.1284 (3)

第四步：按照第二步的方法对第二步中的m(t)再进行一次二次拟合，得到

f

I

(t)的一个二次多项式：

f

I

(t)=0.0561t2-5.7216t+141.7628 (4)

同理，由（3），（4）式可得b(t)= f R '(t)/f I (t)

即：

(前面（1），（2），（3）,(4)式的Matlab 拟合图及程序见附录I)

通过上面的分析我们可以得到一个完整的模型: (I) ????

?

???

???===+)()()()()()(*X '''1t t f t f t b t f t f t a T X I R S I t 四 模型的改进

由于我们逐步对SARS 的研究和认识,那么在不久的将来预防它的疫苗也将出现.显然医疗卫生部门就会对群众进行疫苗接种,于是我们的模型能够通过接种疫苗而进行改进,但是没有必要增加其他人群种类,我们可以简单而直接的把接种疫苗的人群从S 中分离到R 中,所以我们假定一个系数c,它表示每天有c 的人成功接种疫苗.(例,c=8%,表示每天有8%的人成功接种疫苗),我们前面的T 矩阵可以改为:

T=????

?????

?---101001t t t t b c b a c a 上面的模型就可以改进为:(II) ???????????===+c

t f t f t b t f t f t a T X X I R S I t t )(.)()()()()(*'''

1 （其中c 为常数） 五 模型的求解与结果分析

???????==)()()()()()('''t f t f t b t f t f t a I R S I

对于上面所建立的模型可以通过mathematica编程实现（程序见附录II）。现已由北京市疫情的数据，通过模型求得的各类人群的变化规律图如下：（说明：由于现阶段SARS的疫苗还没正式用于预防，所以只用模型（I）求解）

s

疑似病例与时间变化图1

I

感染人数与时间的变化图2

R

治愈和死亡人数与时间的变化图3

通过分析上图我们可知：对于图1中疑似病例是随时间的增加而逐渐下降，这与附件2中的疑似病例的变化规律基本一致；图2中感染人数先随时间的增加达到高峰之后平缓下降，这于附件1中北京日增病例走势相吻合；图3中治愈和死亡人数随时间的变化而递增，这显然与实际相符。

下面我们给出卫生部们提前或者延后五天采取严格的隔离措施后疫情传播的变化图如下：

由下图容易看出，图4中提前五天采取隔离措施，疑似病例下降速度比延后五天的速度快；图5中提前五天感染人数远小于延后五天，而且提前五天时疫情时间持续更短；图6中提前五天变化速度比延后五天来得更快。

综上所述，提前采取严格隔离措施比延后效果更好，也使得对社会的影响更低。

四模型的优点及发展方向

1 优点：

（1）我们的模型可以对SARS的所有阶段进行预测，而附件1的模型只适用于早期；

（2）我们的模型操作性强，结果精确，计算完全可由相应的数学软件mathematica,matlab的编程来实现。它可以根据疫情a,b的值会按设定

的函数自行修正，这也符合疾病随地域的变化而改变；

（3）在我们的改进模型中加了一个系数c，它使得模型更精确，也符合传染病的发展规律；

（4）此模型可以直观的反映疾病发展规律。我们只要通过数学软件画出图形，在图形上就可以显示出SARS在每天各类人群的分布情况。

2 模型的发展方向：

要建立一个真正能够预测以及能为预防和控制提供可靠，足够的信息的模型。要考虑以下几点因素：

（1）必须准确掌握疾病的传播规律，获得更多的直观信息，例如传染率，死亡率，治愈率，传染期限，潜伏期等；

（2）考虑各种社会因素，包括医疗机构的医疗程度，人的免疫程度，群众对SARS的认识，以及政府机构对SARS的宣传等以上条件可用参数P 来反映；

（3）还要考虑城市间人口的流动，此因素用B表示。

解决以上因素的困难：

a）由于SARS突然性发生以及它的传播速度快的特性，这就使得在初期

很难预防；

b）要对因素P，B考虑是一个非常复杂的过程。而要达到控制疾病的程

度，困难就在于社会经济的落后，技术的不先进，人们素质的不高，显然

要想改变这一现象不是一朝一夕的过程，也是一个变数很大的因素。

问题三建立传染病数学模型的重要性

2002年末开始，全国部分地区遭受了非典型性肺炎的袭击，全国经济出现了前所未有的滑坡，使人们的生命受到威胁。2003年初我国在毫无准备的情况下受到“非典”的突击，当时全民上下在一片迷茫之中，不知道病原体的来历，医务人员也无从下手，致使非典病原体不断扩散，使得感染人数不断增加。此时我们才意识到要对这个新的传染病去做深入研究。

研究发现SARS是一种独特性传染病，它具有传播速度快，传播途径广等特点，正因为如此，在人们还没有认清SARS时，人们不知道如何采取措施对它进行控制，至使在SARS疫情前期，人们损失惨重。经过一段时间的传播，人们对这种病原体有了一定的研究，基本掌握了它的传播途径。但是这时没有找到任何一种疫苗，没有能力完全消除它，只能采取适当可行的措施减少它的发病率。我国在弄清情况后就采取了严格的防预措施。例如，在有发现疫情的地区，封锁各出现疫情点，封锁学校等；在没有发现疫情的地区也采取了封闭措施，例如，切断外来人员，部分大学也实施封校。全国上下掀起了一场抗击非典的战争，上至政府下至平明百姓无一不重视SARS的传播。但对于SARS的传播规律还没正确的了解，这些做法只是治标而不能治本。关键是我们还不能够通过某种途径来找出它的发展规律。

对上所述我们知道，SARS之初之所以那么肆虐是因为人们对它还没有很好的认识，更没有有效的预防和控制措施。那么如何去研究解决这个难题就变得迫在眉睫，而这个关键就在于能否建立起合理的传染病模型。

假若一个好的传染病模型出来后，就可以利用它对传染病进行及时的预测，并对该疾病提供有效的信息，也可以给相关卫生部门研究接种疫苗提供可靠的数据，从而可以达到控制传染病高病发率的发生。除此之外，它还使得政府能够根据预测的信息做好足够的人力，物力准备，做到从容以对。从而就给人民的社会生活和经济生活提供了强力的保障，也给社会稳定增加了砝码。所以无论是从自身利益出发，还是从国家的稳定发展考虑，建立传染病的数学模型是至关重要的，也是摆在我们面前的一个迫切的任务。

所以，建立合理的数学模型是预防和控制传染病至关重要的一步，也是不可缺少的环节。

参考文献

[1] 姜启源，数学模型第三版，北京，高等教育出版社，2003年7月

[2] http://pespmc1.vub.ac.be/ASC/MARKOV_CHAIN.html 2003年9月23日

论文点评：

本文首先根据题目给出的条件和要求，用抽样检验法对早期模型的合理性和实用性进行了评价，其合理性在于符合指数增长规律，实用性在于对早期阶段的疫情有较好的预测性。

为克服只对早期阶段起作用的模型弱点，文章建立了进一步的SIR模型，并引进了疫苗日成功率系数，进一步完善了模型，在计算上充分利用了数学软件，实现了对各类群体的变化规律的描绘。

论文特点是模型采用多项式拟合，找出了各类群体与时间的关系，从而有效地拟合出了模型的系数，得出了一个完整模型。并用数学软件（matlab）描绘了与时间的关系图，便于进行分析，比较。

本文所建模型合理，论证正确，表述简明清晰，并联系实际与建模写了一篇不错的短文，大众甚至领导阶层定会将数学作为预防和抗击传染病的一种手段。

本篇论文获得2003年数学建模的全国一等奖。