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学生姓名:_______年级：_______ 科目：_______ 上课老师：_______

第一讲

分式、反比例函数

知识要点 1．分式的有关概念

设A 、B 表示两个整式．如果B 中含有字母，式子

B

A

就叫做分式．注意分母B 的值不能为零，否则分式没有意义

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简 2、分式的基本性质

,M B M A B A ??= M

B M

A B A ÷÷=

（M 为不等于零的整式） 3．分式的运算 (分式的运算法则与分数的运算法则类似)． bd bc

ad d c b a ±=± (异分母相加，先通分)；

;

;bc

ad

c d

b a d

c b

a bd ac

d c b a =?=

÷

=? .)(n n

n b a b a =

4．零指数)0(10

≠=a a 5．负整数指数 ).,0(1

为正整数p a a

a p p

≠=

- 注意正整数幂的运算性质 n

n n mn n m n m n m n m n m b a ab a a a a a a a a a ==≠=÷=?-+)(,)(),0(,

可以推广到整数指数幂，也就是上述等式中的m 、 n 可以是O 或负整数．

6、解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程．解这个整式方程．.验根，即把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是零，若结果不是0，说明此根是原方程的根；若结果是0，说明此根是原方程的增根，必须舍去．

7、列分式方程解应用题的一般步骤： （1）审清题意；（2）设未知数（要有单位）；（3）根据题目中的数量关系列出式子，找出相等关系，列出方程；（4）解方程，并验根，还要看方程的解是否符合题意；（5）写出答案（要有单位）。 1. (-5)0 =_____； 2. 3-2

=________；3. 当x_________时，分式 1x+1 有意义；

4. 写出等式中未知的式子：

（ ）c 2

+7c = 1

c+7

； 5. 约分：10a 2

b

4ab

2 =______________；

6. 分式：1x-1 、1

x-2 的最简公分母为：______；

7. 若方程x x-4 =2 + a

x-4 有增根，则增根为x=______；

8. 当x=______时，分式

32x-1的值为1 ；9. 若x=2是方程 x-a x+1 = 1

3

的解，则a=______； 10. 某种感冒病毒的直径是0.00000034米，用科学记数法表示为_______________米；

11. 已知公式：1R = 1R 1 + 1

R 2

，若R 1 =10，R 2=15，则R=___________；

12. 观察下列各式：22-4 + 66-4 =2，55-4 + 33-4 =2，77-4 + 11-4 =2，1010-4 + -2

-2-4

=2，依照以上各

式形成的规律，在括号内填入正确的数，使等式

2020-4 + （ ）

（ ）-4

=2成立 13. 下列关于x 的方程中，是分式方程的是（ ）

A. 3x=12

B. 1x =2

C. x+25 = 3+x

4 D.3x-2y=1

14. 下列各式中，成立的是（ ）

A. = y xy

B. m 6

m 2 = m 3

C. a 2

x bx = a 2

b D. a+

1

2a- 12

= a+1a-1

15. 要把分式方程：32（x-2） = 1

x

化为整数方程，方程两边需同时乘以（ ）

A. 2（x-2）

B.x

C. 2x-4

D. 2x （x-2）

18. 若有m 人a 天可完成某项工程，且每个人的工作效率是相同的，则这样的（m+n ）人完成这项

工程所需的天数为（ ）

A. a + m

B. am m+n

C. a m+n

D. m+n

am

19.计算：x+1x 2 -2x+1 ÷x+1x-1 ; 20.计算：x 2

+9x x 2 +3x + x 2

-9x

x 2 +6x+9

22.解方程：7x +2 +2 = 1-3x

x+2

24.已知y = x 2

-2x+1x 2 -1 ÷ x 2

-x x+1 - 1

x +1，试说明在等号右边代数式有意义的条件下不论x 为何值，y

的值不变。

正比例、反比例、一次函数

第一象限(＋，＋)，第二象限(－，＋)第三象限(－、－)第四象限(＋，－)；

x 轴上的点的纵坐标等于0，反过来，纵坐标等于0的点都在x 轴上，y 轴上的点的横坐标等于0，反过来，横坐标等于0的点都在y 轴上，

若点在第一、三象限角平分线上，它的横坐标等于纵坐标，若点在第二，四象限角平分线上，它的横坐标与纵坐标互为相反数；

若两个点关于x 轴对称，横坐标相等，纵坐标互为相反数；若两个点关于y 轴对称，纵坐标相等，横坐标互为相反数；若两个点关于原点对称，横坐标、纵坐标都是互为相反数。 1、 一次函数，正比例函数的定义

（1）如果y=kx+b(k,b 为常数，且k ≠0),那么y 叫做x 的一次函数。

（2）当b ＝0时，一次函数y=kx+b 即为y=kx(k ≠0).这时，y 叫做x 的正比例函数。 注：正比例函数是特殊的一次函数，一次函数包含正比例函数。 2、正比例函数的图象与性质

（1）正比例函数y=kx(k ≠0)的图象是过（0，0）（1，k ）的一条直线。

（2）当k>0时?y 随x 的增大而增大?直线y=kx 经过一、三象限?从左到右直线上升。

当k<0时?y 随x 的增大而减少?直线y ＝kx 经过二、四象限?从左到右直线下降。 3、一次函数的图象与性质

（1） 一次函数y=kx+b(k ≠0)的图象是过（0，b ）（－

k

b

，0）的一条直线。 注：（0,b ）是直线与y 轴交点坐标，（－

k

b

，0）是直线与x 轴交点坐标. （2）当k>0时?y 随x 的增大而增大?直线y=kx+b(k ≠0)是上升的

当k<0时?y 随x 的增大而减少?直线y ＝kx+b(k ≠0)是下降的 4、一次函数y=kx+b(k ≠0, k b 为常数)中k 、b 的符号对图象的影响 （1）k>0, b>0?直线经过一、二、三象限 （2）k>0, b<0?直线经过一、三、四象限 （3）k<0, b>0?直线经过一、二、四象限 （4）k<0, b<0?直线经过二、三、四象限 5、对一次函数y=kx+b 的系数k, b 的理解。

（1）k(k ≠0)相同，b 不同时的所有直线平行，即直线l 1:y=k 1x+b 1；直线l 2:y=k 2x+b 2( k 1，k 2均不为零，k 1，b 1，k 2， b 2为常数)

k 1=k 2 k 1=k 2

l 1∥l 2 l 1与l 2重合 b 1≠b 2 b 1=b 2

（2）k(k ≠0)不同，b 相同时的所有直线恒过y 轴上一定点（0,b ），例如：直线y=2x+3, y=-2x+3, y=

2

1

x+3均交于y 轴一点（0，3） 6、直线的平移：所谓平移，就是将一条直线向左、向右（或向上，向下）平行移动，平移得到的直线k 不变，直线沿y 轴平移多少个单位，可由公式︱b 1－b 2︱得到，其中b 1，b 2是两直线与y 轴交点的纵坐标，直线沿x 轴平移多少个单位，可由公式︱x 1－x 2︱求得，其中x 1，x 2是由两直线与x 轴交点的横坐标。

7、直线y=kx+b(k ≠0)与方程、不等式的联系

（1）一条直线y=kx+b(k ≠0)就是一个关于y 的二元一次方程

（2）求两直线l 1:y=k 1x+b 1(k 1≠0)，l 2:y=k 2x+b 2(k 2≠0)的交点，就是解关于x ，y 的方程组

y=k 1x+b 1 y=k 2x+b 2

(3)若y>0则kx+b>0。若y<0，则kx+b<0

(4)一元一次不等式，y 1≤kx+b ≤y 2( y 1，y 2都是已知数，且y 1

（5）一元一次不等式kx+b ≤y 0(或kx+b ≥y 0)( y 0为已知数)的解集就是直线y=kx+b 上满足y ≤y 0(或y ≥y 0)那条射线所对应的自变量的取范围。 8、确定正比例函数与一次函数的解析式应具备的条件

（1）由于比例函数y=kx(k ≠0)中只有一个待定系数k ，故只要一个条件（如一对x,y 的值或一个点）就可求得k 的值。

(2) 一次函数y=kx+b 中有两个待定系数k,b ，需要两个独立的条件确定两个关于k,b 的方程，求得k,b 的值，这两个条件通常是两个点，或两对x,y 的值。 9、反比例函数

(1) 反比例函数及其图象 如果)0,(≠=

k k x

k

y 是常数,那么，y 是x 的反比例函数。

反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象 （2）反比例函数的性质

当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y 随x 的增大而减小；

当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。

(3)由于比例函数)0,(≠=

k k x

k

y 是常数中只有一个待定系数k ，

故只要一个条件（如一对x,y 的值或一个点）就可求得k 的值。 １、函数2

24

y x =

+中，自变量x 的取值范围为 .

3、已知一次函数y=kx+5的图象经过点（-1，2），则k= 。

4、已知点A （3，m ）与点B （n ，-2）关于y 轴对称，则m= ，n= .

5、点 P （3，－4）关于X 轴对称的点是__________。

6、一次函数y= -2x+4的图象与x 轴交点坐标是 ，与y 轴交点坐标是 , 图象与坐标轴所围成的三角形面积是 .

7、将直线 y ＝3x + 4 向下平移6个单位，得到直线________________。 8、点 P （a ，a －2）在第三象限，则 a 的取值范围是___ _ .

9、已知y -2与x 成反比例，当x =3时，y =1，则y 与x 间的函数关系式为 ； 10、 设有反比例函数y k x

=

+1

，(,)x y 11、(,)x y 22为其图象上的两点，若x x 120<<时，y y 12>，则k 的取值范围是___________

11、已知点P 在第二、四象限夹角的平分线上，且到y 轴的距离为24，则点P 的坐标为_________________。 12.函数1y x =

-中，自变量x 的取值范围是 ( )

A . x < 1

B . x ≤ 1

C . x > 1

D . x ≥1

13.若点在第二象限，且到轴的距离分别为4，3，则点的坐标为（ ） A 、（4，－3）

B 、（3，－4）

C 、（－3，

4） D 、（－4，3）

14．点M （1，2）关于x 轴对称点的坐标为（ ） A 、（－1，2） B 、（－1，－2） C 、（1，－2）

D 、（2，－

1）

15. 一次函数y=－2x+3的图像不经过的象限是（ ）. A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限

16．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的

路程为300

米．小军先走了一段路程，爸爸才开始出发．图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程S(米)与登山所用的时间t （分）的关系（从爸爸开始登山时计时）．根据图象，下列说法错误的是（ ） A ．爸爸登山时，小军已走了50米 B ．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面 C ．小军比爸爸晚到山顶

D ．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟后登山的速度比小军快 17、如果反比例函数x

k

y =

的图像经过点（－3，－4），那么函数的图像应在（ ） A 、第一、三象限 B 、第一、二象限 C 、第二、四象限 D 、第三、四象限 18、若反比例函数2

2

)12(--=m x m y 的图像在第二、四象限，则m 的值是（ ）

A 、－1或1

B 、小于

2

1

的任意实数 C 、－1 Ｄ、不能确定 19、正比例函数kx y =- k 例函数x

k

y =在同一坐标系内的图象为（ ）

A

B

C

D

20、如右图，A 为反比例函数x

k

y =图象上一点，AB 垂直x 轴于B 点，若S △AOB ＝3，则k 的值为（ ） A 、6 B 、3 C 、2

3

D 、不能确定

21、已知反比例函数x

y 12

=

的图象和一次函数7-=kx y 的图象都经过点()2,m 。 ⑴求这个一次函数的解析式；⑵如图，梯形ABCD 的顶点B A 、在

这个一次函数的图象上，顶点D C 、在已知反比例函数的图象上，两底BC AD 、与y 轴平行，且点B A 、的横坐标分别为2和4，求梯形ABCD 的面积。

22、如图，矩形OABC 的边OC OA 、分别在x 轴和y 轴上，且点A 的坐标为()0,4，点C 的坐标为

()2,0，点P 在线段CB 上，距离y 轴3个单位，有一直线()0≠+=k b kx y 经过点P ，且把矩形OABC

分成两部分。

⑴若直线又经过x 轴上一点D ，且把矩形OABC 分成的两部分面积相等，求k 和b 的值；

y

x y

x

y

x y

o o

o x

o A

B

O

x

y

⑵若直线又经过线段AB 上一点Q ，且把矩形OABC 分成的两部分的面积比为293：，求点Q 坐标。

23、 如图所示，直线PA 是一次函数y=x+n(n>0)的图象，直线PB 是一次函数y=-2x+m(m>n)的图象

（1）用m,n 表示A ，B ，P 的坐标

（2）若点D 是PA 与y 轴的交点，且四边形PDOB 的面积是6

5

，AB ＝2，试求P 点坐标并写出直线PA ·PB 的解析式

24、已知：如图，在平面直角坐标系xoy 中，A 、B 两点的坐标分别为A （12，0）、B （0，9）若点N

在直线AB 上，且S BON ?：S BOA ?＝1：3,求直线ON 的解析式。

25.已知反比例函数y=

k

2x

和一次函数y=2x －1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+1，b+k ）两点。（1）求反比例函数的解析式

（2）如图，已知点A 在第一象限，且同时在上述两个函数的图象上，求A 点的坐标。

（3）利用（2）的结果，请问：在x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由。

26．如图，直线y ＝

2

1

x ＋2分别交x 、y 轴于点A 、C ，P 是该直线上在第一象限内的一点，PB ⊥x 轴，B 为垂足，S △ABP ＝9．

（1）求点P 的坐标；

（2）设点R 与点P 的同一个反比例函数的图象上，且点R 在直线PB 的右侧，作RT ⊥x 轴，T 为垂足，当△BRT 与△AOC 相似时，求点R 的坐标.