变量与函数正比例函数讲义全
私塾国际学府学科教师辅导教案
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知识点一：变量与函数
1、常量与变量概念：在某一变化过程中，有些量的数值是变化的，我们称数值发生变化的量叫变量；有些数值是始终不变的，我们称数值始终不变的量为常量。
2、函数概念：一般地，在一个变化中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数。如果当x=a时y=b，那么b就叫做当自变量为a时的函数值。
注意：与x的每一个确定值对应的y值都是唯一的
例题解析
例1 圆周长公式C=2 n R中，下列说法正确的是()
n、R是常量，2为变量B.C、R为变量，2、n为常量
C.R为变量，2、n、C为常量
D.C为变量，2、n、R为常量
例2 一辆汽车以40km/小时的速度行驶，行驶路程s(km )与行驶时间t(小时)的关系式s=40t,其中 ____________________ 是变量，_______ 是常量。
例3下表是小华做观察水的沸腾实验时所记录的数据：
巩固练习
1时间是8分钟时，水的温度为；
2此表反映了变量________ 和—之间的关系，其中 _______ 是自变量，______ 是因变量;
(3 )在______ 时间内，温度随时间增加而增加； ________ 时间内，水的温度不再变化.
变式1某种弹簧原长20厘米，每挂重物1千克，伸长0.2厘米，挂上重物后的长度y （厘米）与所挂重物x （千克）之间的关系式y=20+0.2x 其中____________________ 是常量，________ 是变量。
变式2拖拉机开始工作时，油箱中有油40升，如果每小时用油4升，则邮箱中剩余油量y （升）与工作时
间x （时）的函数关系式（）
y=40+4x
y=4x
y=40-4x
y=4x-40
变式3下列变化关系中，y是x的函数的个数有（）
2 2 2
① xy=2 ② x +y =10 ③ x+y=5 ④ |y|=3x+1 ⑤ y=x -4x+5
A. 1个
B.2个
C.3个
D.4个
本知识点小结
知识点二：求自变量的取值范围
在函数关系式中y=x+1中，x是自变量，y是关于x的函数，在实际问题或是特殊的整式中，对x的取值有
例题解析
例1函数y= '、x1中自变量x的取值范围是（)
A . x > 1
B .x> 1C. x w 1D. x 1
例2若函数y= 有意义，则x的取值范围是（
x 2
x 2 B . x 2 C . x 2 D. x
例3王爷爷要在墙边用篱笆围一矩形菜地，篱笆总长是 75米，菜地面积S （平方米）与宽x （米）的函数关
系式是 _______ ,自变量的取值范围是 _________ . 巩固练习
变式1 : 下列函数中，自变量 x
的取值范围是
x
》3的是（
）
y
A .
1
y
x 3 B .
1
C . y x 3
D . yjx3
、x 3
本知识点小结
知识点三：函数的图像
1、函数的表达方法
（1）列表法：用表格的方法来表示两个变量之间的关系。
（3）图像法：用图像来表示两个变量之间的关系。
变式2 :
函数y= 2x 4的自变量
x 1
x 的取值范围是
变式3 :若等腰三角形的周长为 50 x 的取值范围是（） y=50-2x （0 （0 1 y= — （ 50-x ） （ 0 2 1 y= — （ 50-x ） （ 0 2 变式4已知矩形的周长为 当 x=3 时，y= ________ 的值是什么？ x 的取值范围 厘米，底边长为x 厘米，一腰长为 y 厘米，则y 与x 的函数关系式及变量 24厘米，它的长为x （厘米），宽为y （厘米） （2）当 x=4.5 时，y= ，则y 与x 之间的函数关系式为 ________ （3 ）当 x=10 时，y= _____ （ 4 ）当 x=20 时，y 对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像。 2、描点法画函数图像 第一步，列表一表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点一在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各店； 第三步，连线一按照横坐标由小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来。 例题解析 例1小明获得了科技发明奖，他马上告诉了两个朋友，10分钟后，他们又各自告诉了另外两个朋友，10分钟后，这些朋友又各自告诉了两个朋友，如果消息按这样的速度传下去，80分钟将有多少人知道这个消息， 试回答问题并补充表格。 时间（分 钟）01020 304050 60 70 80 告诉的人数2 4 总数26 例2 2014年5月10日上午，小华同学接到通知，她的作文通过了《我的中国梦》征文选拔，需尽快上 交该作文的电子文稿?接到通知后，小华立即在电脑上打字录入这篇文章，录入一段时间后因事暂停，过了一会儿，小华继续录入并加快了录入速度，直至录入完成.设从录入文稿开始所经过的时间为x，录入字数为y , 下面能反映y与x的函数关系的大致图象是（ B. C. D. 例3 画出函数y=0.5x的图像，并指出自变量x的取值范围。 巩固练习 变式1甲、乙两车沿直路同向行驶，车速分别为w x w 100 ）后两车相距ym，用解析式和图像表示20m/s 和25m/s ，现甲车在乙车前500m 处，设xs （0 y与x 的对应关系。 t ABC D 本知识点小结 知识点四：正比例函数 1、 正比例函数定义： 在函数中形如 y=kx ( k 是常熟，k 工0)的函数，叫做正比例函数，其中 系数。 正比例函数y=kx 是经过原点(0,0 )的直线 2、 正比例函数的等价形式 (1) y 是x 的正比例函数； (2) y kx ( k 为常数且k 丰0)； (3 )若y 与x 成正比例； y (4) 丄 k ( k 为常数且k 工0). x 3、正比例函数图像和性质 变式2下列平面直角坐标系中的图象，不能表示 y 是X 的函数的是 k 叫做比例 例题解析 例1 下列式子中，表示y是x的正比例函数___________________________ 。 2 2y y=-3x (2 ) y=0.3x+4 ( 3 ) 4y=x (4) y=3x +5x (5) y =4x (6)丄=5 x a b 例2 若函数y 3x +3a+2b是y关于x的正比例函数，求a、b的值. 例3.设有三个变量x、y、z，其中y是x的正比例函数，z是y的正比例函数 (1)求证：z是x的正比例函数； (2)如果z = 2 , x = 4时，求出z关于x的函数关系式. 巩固练习 变式1 若y=x+2-b是正比例函数，则b的值是（） A. 0 B. -2 C.2 D.-0.5 变式2 若函数y= （2-m ）x m 3是关于x的正比例函数，则常数m的值等于（） A. 2 B.-2 C.品 D.- ^[3 变式3画出下列函数图像并判断是否是正比例函数 1 （1）y=3x （2）y=4x+2 （3）y= — x （4）y=-4x 3 本知识点小结 当堂检测 1 ?小明去文具商店买日记本，已知每本日记本定价为2元. （1） ___________________________________________________________ 小明所花的钱y（元）与所买日记本的本数x（本）之间的关系式为____________________________________________ ? （2） _________________________ 在这个问题中，变量是，常量是? 2 .函数y —3—的自变量x的取值范围是（） x 2 A. x 2 B . x 2 C. x 2 D. x 2 且X 0 J x 1 3 .函数y 的自变量x的取值范围是（） x 3 A . x > 1 B . x > 1 且x 丰 3 C. x > 1 D . x > 1 且x 工3 4?《齐鲁晚报》每份0.8元，购买《齐鲁晚报》所需钱数y （元）与所买份数x之间的关系是____________ ，其中_______ 是常量, _________ 是变量。 5.下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（） 私塾国际学府学科教师辅导教案组长审核： （1）y=3x （2）y=4x+2（3）y= 3 1 x （4）y=-4x 当堂检测 1．小明去文具商店买日记本，已知每本日记本定价为2元． (1)小明所花的钱y(元)与所买日记本的本数x(本)之间的关系式为________． (2)在这个问题中，变量是________，常量是________． 2．函数2 3 -=x y 的自变量x 的取值范围是（） A ．2>x B ．2≠x C ．2≥x D ．2≠x 且0≠x 3．函数1 3 x y x -= -的自变量x 的取值范围是() A ．x ＞1 B ．x ＞1且x ≠3 C ．x ≥1 D ．x ≥1且x ≠3 4.《齐鲁晚报》每份0.8元，购买《齐鲁晚报》所需钱数y （元）与所买份数x 之间的关系是_________，其中_______是常量,_________是变量。 5.下列四个图象中，不表示某一函数图象的是（） A ． B ． C ． D ． 6．与函数y=x 是同一函数的是（） A 、y=|x| B 、x x y 2 =C 、33x y =D 、2x y = 7.设点A （a ，b ）是正比例函数3 2 y x =- 图象上的任意一点，则下列等式一定成立的是（） A ．2a+3b=0B ．2a ﹣3b=0C ．3a ﹣2b=0D ．3a+2b=0 8．设圆的面积为S ，半径为R,那么下列说法正确的是（） A 、S 是R 的一次函数B 、S 是R 的正比例函数 C 、S 是R2的正比例函数D 、以上说法都不正确 9.一等腰三角形的周长是20cm ，将底边长y （cm ）表示成腰长x （cm ）的函数． 10.（1）写出函数解析式；（2）求出腰长x 的取值范围． 本知识点小结 19.1.1 变量与函数(第2课时) 一、内容和内容解析 1．内容 函数的概念． 2．内容解析 函数是描述运动变化规律的重要数学模型，是联系方程和不等式相关知识及数与形的纽带．函数概念是中学数学的核心概念，它刻画了变化过程中两个变量之间的对应关系，是继续学习一次函数、二次函数、反比例函数等内容的基础． 本章内容包括函数的概念和表示法、正比例函数、一次函数．一次函数是函数值变化量与自变量变化量的比值固定不变的简单函数模型．研究一次函数可以获得初中函数研究的一般步骤(下定义——画图象——观察图象——概括性质)和基本思想(模型思想、数形结合的思想、运动变化和对应思想)，发展数学观察、表征、抽象概括和推理能力．函数概念学习过程中蕴含的核心数学认知活动是数学抽象概括活动． 变量y要成为变量x的函数，需满足两个条件：(1)在同一个变化过程中，有两个变量x 和y，一个变量y随着另一个变量x的变化而变化；(2)变量y的值是由变量x的取值唯一确定的．“单值对应”是函数概念的关键词，是函数概念的核心所在． 综上所述，本课教学的重点：概括并理解函数概念中的单值对应关系． 二、目标和目标解析 1．目标 (1)了解函数的概念． (2)能结合具体实例概括函数的概念． (3)在函数概念形成过程中体会运动变化与对应的思想． 2．目标解析 目标(1)的要求：能在具体实例(包括解析式、表格、图象呈现)中辨别变量之间的关系是否是函数关系，能举出函数的实例． 目标(2)的要求：能观察运动变化的具体实例，分析变量之间的对应关系并发现其单值对应的特征，通过归纳实例中变量之间的单值对应特征概括函数的概念．目标(3)的要求：在函数概念的形成过程中，初步体会变量之间的联系，感受变化与对应的思想． 1 反比例函数中的模型（讲义） 一、知识点睛 与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． ① OCD ABCD △梯形 ② 结论：AB =CD ③ 结论：BD ∥CE 二、精讲精练 2 1. 如图，已知点A ，B 在双曲线y x = （x>0）的图象上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与BD 相交于点P ，且P 是AC 的中点．若△ABP 的面积为3，则k =________． 2. 如图，A ，B 是双曲线y x = （k >0）上的点，且A ，B 两点的横坐标分别为a ，2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ．若S △AOC =6，则k =________． 第2题图 第3题图 3. 如图，直线3y x = 与双曲线y x =（x >0）交于点A ．将直线3y x =向右平移2个单位后，与双曲线y x = （x >0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若 2=BC ，则k =________． 4. 如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线y x = （k >0）经过A ，E 两点．若平行四边形AOBC 的面积为18， 则k =________． 第4题图 第5题图 5. 如图，已知函数的图象与x 轴、y 轴分别交于C ，B 两点，与双曲线y x = 交于A ，D 两点．若AB+CD=BC ，则k 的值为________． 3 6. 已知：如图，直线64y x =+与双曲线y x =（x <0）相交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D ， C 两点，若AB =5，则k =_________． 7. y 轴交于点A ，与双曲线x y =在第一象限交于B ，C 两点，且4AB AC ?=， 则k =_______ 8. 双曲线1y x =，2 y x =A 作x 轴的平行线，交 B ，交y 轴于点 C ，过点A 作x D ，交x 轴于点 E ，连接BD ，CE ， 则 CE =________． 第9题图 第10题图 初二数学练习 班级 姓名 一、填空 1、已知正比例函数图像上一点到x 轴距离与到y 轴距离之比为1︰2，则此函数解析式是 2、2 3 (2)m y m x -=-是正比例函数，则m= 3、已知正比例函数x a y )21(-=，如果y 的值随着x 的值增大而减小，则a 的取值范围是 4、如果正比例函数y=kx （k ≠0）的自变量增加5，函数值减少2，那么当x=3时， y= 5、若反比例函数2 32k x k y --=)(，则k = ，图象经过 象限 6、已知反比例函数x k y =的图像经过点)4,5(-A 、)5,(a B ，则a = 7、函数21 a y x += （x>0），当x 逐渐增大时，y 也随着增大，则a 的范围 。 8、已知A(x 1，y 1）和B （x 2，y 2）是直线y=-3x 上的两点，且x 1>x 2，则y 1____y 2?；(填“>”, “<”或“=”) 9、直线 x 21= y 与双曲线 x y 2 = 的交点是 10、已知函数x x x f 2 2)(-=，则=)2(f 11、若函数12,1 1 21-=-= x y x y ，则函数y =y 1+y 2中，自变量x 的 取值范围是 12、如图：A 、B 是函数x y 1 =图象上关于原点O 对称的任意两点， AC 平行于y 轴，BC 平行于x 轴，则△ABC 的面积是 . 二、选择 13、下列语句不正确的是 （ ） (A) 1+x 是x 的函数 （B ）速度一定，路程是时间的函数 （C ）圆的周长一定，圆的面积是圆的半径的函数 （D ）直角三角形中，两个锐角分别是x 、y ，y 是x 的函数 人教版初中数学八年级下册一次函数与正比例函数讲义 一次函数与正比例函数讲义 1．一次函数的定义 若两个变量x ，y 之间的关系式可以表示成y ＝kx ＋b (k ，b 为常数，k ≠0)的形式，则称y 是x 的一次函数(x 是自变量)． 谈重点 一次函数的条件 函数是一次函数必须符合下列两个条件：(1)关于两个变量x ，y 的次数是1；(2)必须是关于两个变量的整式． 【例1】 下列函数中，是一次函数的是( )． A ．y ＝7x 2 B ．y ＝x －9 C ．y ＝6x D ．y ＝1x ＋1 解析： A × x 的次数是2，不是1，所以它不是一次函数． B √ 符合一次函数的一般形式． C × 含有自变量x 的代数式不是整式，所以不是一次函数． D × 答案：B 2．正比例函数的定义 对于一次函数y ＝kx ＋b ，当b ＝0，即y ＝kx (k 为常数，且k ≠0)时，我们称y 是x 的正比例函数． 辨误区 一次函数与正比例函数的关系 需要注意的是正比例函数是一次函数的特殊情况，特殊之处在于b ＝0，且k ≠0，因此，正比例函数一定是一次函数，但一次函数并不一定是正比例函数． 【例2】 下列函数中，是正比例函数的是( )． A ．y ＝－2x B ．y ＝－2x ＋1 C ．y ＝－2x 2 D ．y ＝－2x A √ 符合正比例函数的一般形式． B × b ＝1≠0，所以它不是正比例函数． C × x 的次数是2，不是1，所以它不是正比例函数. D × 含有自变量x 的代数式不是整式，所以它不是正比例函数. 辨误区 正比例函数的判断 要判断一个函数是否是正比例函数，首先看它是否为一次函数，也就是能否转化为y ＝kx ＋b (k ≠0)的形式；其次要清楚正比例函数是特殊的一次函数，函数解析式能否转化为y ＝kx (k ≠0)的形式． 3．根据条件列一次函数关系式 列函数关系式是培养数学应用能力和抽象思维能力的一种方法，解决这类问题的基本思路为：首先要认真审题，抓住关键词，找出问题中的变量并用字母表示，然后根据题意列出函数关系式． 点技巧 如何列函数关系式 列关系式时，一定要先知道两个变量，并且弄清谁是自变量． 【例3】 甲、乙两地相距30 km ，某人从甲地以每小时4 km 的速度走了t h 到达丙地，并继续向乙地走． (1)试分别确定甲、丙两地距离s 1(km)及丙、乙两地距离s 2(km)与时间t (h)之间的函数关 17.1 变量与函数(1) 教学目标 1.掌握常量和变量、自变量和因变量(函数)基本概念. 2.了解表示函数关系的三种方法：解析法、列表法、图象法，并会用解析法表示数量关系. 过程性目标 1.通过实际问题，引导学生直观感知，领悟函数基本概念的意义. 2.引导学生联系代数式和方程的相关知识，继续探索数量关系，增强数学建模意识，列出函数关系式. 教学过程 一、创设情境 在学习与生活中，经常要研究一些数量关系，先看下面的问题. 问题1 如图是某地一天内的气温变化图. 看图回答： (1)这天的6时、10时和14时的气温分别为多少？任意给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温. (2)这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ (3)这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ 解：(1)这天的6时、10时和14时的气温分别为－1℃、2℃、5℃. (2)这一天中，最高气温是5℃,最低气温是－4℃. (3)这一天中，3时～14时的气温在逐渐升高.0时～3时和14时～24时的气温在逐渐降低. 从图中我们可以看到，随着时间t(时)的变化，相应地气温T(℃)也随之变化.那么在生活中是否还有其它类似的数量关系呢？ 二、探究归纳 问题2小蕾在过14岁生日的时候，看到了爸爸为她记录的各周岁时的体重，如下表：周岁 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 体重(kg) 7.9 12.2 15.6 18.4 20.7 23.0 25.6 28.5 31.2 34.0 37.6 41.2 44.9 观察上表，说说随着年龄的增长，小蕾的体重是如何变化的？在哪一段时间内体重增加得较快？ 解：随着年龄的增长，小蕾的体重也随着增长，且在1-2岁增加得较快. 问题3 收音机刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对应的数值： 观察上表回答： (1)波长l 和频率f 数值之间有什么关系? (2)波长l 越大，频率f 就________. 解： (1) l 与 f 的乘积是一个定值，即lf ＝300 000，或者说l 300000 f . (2)波长l 越大，频率f 就越小 . 问题4 圆的面积随着半径的增大而增大.如果用r 表示圆的半径，S 表示圆的面积，则S 与 r 之间满足下列关系：S ＝_________. 利用这个关系式，试求出半径为1 cm 、1.5 cm 、2 cm 、2.6 cm 、3.2 cm 时圆的面积，并将结果填入下表： 由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_________. 解： S ＝πr 2. 圆的半径越大，它的面积就越大. 在上面的问题中，我们研究了一些数量关系，它们都刻画了某些变化规律.这里出现了各种各样的量，特别值得注意的是出现了一些数值会发生变化的量.例如问题1中，刻画气温变化规律的量是时间t 和气温T ，气温T 随着时间t 的变化而变化，它们都会取不同的数值.像这样在某一变化过程中，可以取不同数值的量，叫做变量(variable). 上面各个问题中，都出现了两个变量，它们互相依赖，密切相关.一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如x 和y ，对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与之对应，我 初二数学反比例函数讲义 上课时间：2014年__月___日 一、本节课知识点梳理 1、反比例函数的概念 2、反比例函数的图像及其性质 3、反比例系数k 的意义及其实际应用 二、重难点点拨 教学重点：反比例函数图像及其性质 教学难点：反比例函数k 的几何意义 三、典型例题与分析 知识点一：反比例函数概念 一般地，如果两个变量x 、y 之间关系可以表示成y= x k ，（k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。反比例函数形式还可以写成：xy=k ，y=kx -1 （k ≠0的常数） 1、在下列函数中，反比例函数是（ ） A 11+= x y B xy=0 C x k y = D x y 21-= 2、如果函数1 2-=m x y 为反比例函数，则m 的值是 （ ） A 、1- B 、0 C 、2 1 D 、1 知识点二：反比例函数的图象与性质 注意1：双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。 函数解析式 正比例函数：y=kx(k ≠0) 反比例函数：y=x k (k ≠0) 图象 直线，经过原点 双曲线，与坐标轴没有交点 自变量取值范围 图象位置（性质） 当k ＞0时，经过 象限 当K ＜0时，经过 象限 当K ＞0时，在 象限 当K ＜0时，在 象限 性质 当K ＞0时，y 随x 的增大而 当K ＜0时，y 随x 的增大而 当K ＞0时，在每一个象限内．．．．．． ， y 随x 的增大而 当K ＜0时，在每一个象限内。．．．．．．． y 随x 的增大而 （1）已知y= x k （k ＜0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2) ①若x 1＜x 2＜0，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ②若x 1＜0＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ③若x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是 。 （2）已知y= x k （k > 0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2) ①若x 1＜x 2＜0，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ②若x 1＜0＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ③若x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是 。 注意2：反比例函数图象是以原点为对称中心的中心对称图形，是以直线y=x 和y=x -为对称轴的轴对称图形。 【例1】在反比例函数x y 1 -=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。若3210x x x >>>则 下列各式正确的是（ ） A ．213y y y >> B ．123y y y >> C ．321y y y >> D ．231y y y >> 练习： 1．下列函数中，y 随x 增大而增大的是_______ A y=-x+1 B y=x 43- C y=x 21 D y=2x-1 2．反比例函数y= x k 图象在第二四象限，则一次函数y=kx-5的图象不经过_____象限。 3．在同直角坐标系中，函数y=kx-k 与y=x k （k ≠0）的图象大致是___________。 4．已知反比例函数3 y x = ， ①若x ＜-3，则y 的取值范围 ②若y ＞-1，则x 的取值范围 一次函数讲义优质讲义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】 ④．该记者在出发后5h 到达采访地 A 、①②④ B 、②③④ C 、①②③ D 、①②③④ 8. 平面直角坐标系中，已知A （8，0），△AOP 为等腰三角形且面积为16，满足条件的P 点有( ) A ．4个 B ．8个 C ．10个 D ．12个 二．填空题（每小题2分，共20分） 9. 计算：3 －64 ＝ ▲ ． 10. 若等腰三角形的两边长分别为4和8，则这个三角形的周长为 . 11. 若032=++-y x ，则() 2013 y x +的值为 ． 12. 在平面直角坐标系中，若点M （-1，3）与点N （x ，3）之间的距离是5，则x 的值是 ． 13. 如图，已知函数y ＝2x ＋1和y ＝－x －2的图像交于点P ，根据图像， 可得方程组???2x －y ＋1＝0 x ＋y ＋2＝0 的解为 . 14. 将一次函数y ＝2x -1的图像向上平移3个单位长度后，其对应的函数关系式为 ． 15. 如图，在△ABC 中，AB ＝，BC ＝，∠B ＝60°，将△ ABC 绕点A 按顺时针旋转一定角度得到△ADE ，当点B 的对应点D 恰好落在BC 边上时，则CD 的长为 . 16. 如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，沿CD 折叠△CBD ， 使点B 恰好落在AC 边上的点E 处.若 ∠A ＝26°，则∠ADE ＝ °. 17. 如图所示的图形中,所有的四边形都是正方形,所有的三角形 -1-1 y= -x-2 y=2x+1 x y P （第13题图） D E C A B （第16题图） x y 1 234–1–2 –3–4 1 2 3 4–1–2–3–4C D B A o （第18题图） （第15题图） D E A C B E A 反比例函数 1、正比例函数y=x 与反比例函数1 y x = 的图像相交于A 、C 两点，过A 作AB 垂直于x 轴于B ，CD 垂直于x 轴于D ，则四边形ABCD 的面积是( ) A 1 B 32 C 2 D 52 2、点P 是x 正半轴上一个动点，过点P 作x 轴的垂线交双曲线1 y x = 于点Q,连接OQ ，当点P 沿x 轴的正方向运动时，Rt QOP 的面积大小是否发生变化?如果不变，请求出Rt QOP 的面积；如果改变，请说明理由。 3、已知正方形OABC 的面积为9，点O 为坐标原点，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，点B 在函数k y x = （k 0，x 0）的图像上。点P （m ，n ）是函数k y x =（k 0，x 0） 的图像上任意一点，过点P 分别作x 轴，y 轴的垂线，垂足分别为E 、F ，并设矩形OEPF 和正方形OABC 不重合部分的面积为S 。 （1 ）求点B 的坐标及k 的值； （2）当S=4.5时，求点P 的坐标； （3）写出S 关于m 的函数关系式。 4、已知点（1,3）在函数k y x = （x 0）的图像上，矩形ABCD 的边BC 在x 轴上，E 是 对角线BD 的中点，函数k y x = （x 0）又经过A 、E 两点，点E 的横坐标为m 。 （1）求k 值； （2）求点C 的横坐标（用m 表示） （3）当045ABD ∠=时，求m 的值。 5、“三等分角”是数学史上一个著名问题，即仅用尺规不可能“三等分角”。下面是数学家帕普斯借助函数给出一个“三等分锐角”的方法：将给定的锐角AOB ∠置于直角坐标系中，边OB 在x 轴上、边OA 与函数1 y x =的图像交与点P ，以P 为圆心，2OP 为半径作弧交1 y x = 图像于R ，过点P 和R 分别作x 轴和y 轴的平行线，两直线相交于点M ，连结OM 得到MOB ∠，则MOB ∠=1 3AOB ∠。要明白帕普斯方法，请研究以下问题： （1）设P （a ，1 a ）、R （b ，1b ），求直线OM 对应的函数表达式（用a 、b 的代数 式表示）； （2）分别过点P 和R 作y 轴和x 轴的平行线，两直线相交于点Q ，请说明点Q 在直线OM 上，并据此证明MOB ∠= 1 3 AOB ∠； （3）应用上述方法得到的结论，你如何三等分一个钝角（用文字简要说明）。 常见函数之 正比例函数、反比例函数与对勾函数 1．正比例函数 如果y=kx （k 是常数，K ≠0），那么，y 叫做x 的正比例函数 一次函数的图象是直线，画一次函数的图象，只要先描出两点，再连成直线 一次函数的性质 当k>0时y 随x 的增大而增大，当k<0时，y 随x 的增大而减小。 2、反比例函数 (1) 反比例函数及其图象 如果)0,(≠=k k x k y 是常数,那么，y 是x 的反比例函数。 反比例函数的图象是双曲线，它有两个分支，可用描点法画出反比例函数的图象 （2）反比例函数的性质 当K>0时，图象的两个分支分别在一、三象限内，在每个象限内， y 随x 的增大而减小； 当K<0时，图象的两个分支分别在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大。 3．对勾函数()b f x ax x =+的图象与性质 对勾函数是数学中一种常见而又特殊的函数。它在高中教材上不出现，但考试总喜欢考的函数，所以也要注意它和了解它。 （1） 对勾函数的图像 对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，形如 f(x)=ax+（接下来写作f(x)=ax+b/x ）。 当a≠0，b≠0时，f(x)=ax+b/x 是正比例函数f(x)=ax 与反比例函数f(x)= b/x “叠加”而成的函数。这个观点，对于理解它的性质，绘制它的图象，非常重要。 当a ，b 同号时，f(x)=ax+b/x 的图象是由直线y ＝ax 与双曲线y= b/x 构成，形状酷似双勾。故称“对勾函数”，也称“勾勾函数”、“海鸥函数”。如下图所示： 当a ，b 异号时，f(x)=ax+b/x 的图象发生了质的变化。但是，我们依然可以看作是两个函数“叠加”而成。（请自己在图上完成：他是如何叠加而成的。） a>0 b>0 a<0b<0 对勾函数的图像（ab 同号） 反比例函数中的模型（讲义） 一、知识点睛 与反比例函数相关的几个结论，在解题时可以考虑调用． ① 结论：2||ABO ABCO S S k ==△矩形 结论：OCD ABCD S S =△梯形 ② 结论：AB =CD ③ 结论：BD ∥CE 二、精讲精练 1. 如图，已知点A ，B 在双曲线k y x =（x>0）的图象上，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D ，AC 与 BD 相交于点P ，且P 是AC 的中点．若△ABP 的面积为3，则k =________ ． 2. 如图，A ，B 是双曲线k y x = （k >0）上的点，且A ，B 两点的横坐标分别为a ，2a ，线段AB 的延长线交x 轴于点C ．若S △AOC =6，则k =________． 第2题图 第3题图 3. 如图，直线43y x = 与双曲线k y x =（x >0）交于点A ．将直线43y x =向右平移92个单位后，与双曲线k y x =（x >0）交于点B ，与x 轴交于点C ，若2=BC AO ，则k =________． 4. 如图，平行四边形AOBC 中，对角线交于点E ，双曲线k y x = （k >0）经过A ，E 两点．若平行四边形AOBC 的面积为18， 则k =________． 第4题图 第5题图 5. 如图，已知函数1+-=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于C ，B 两点，与双曲线k y x = 交于A ，D 两点．若AB+CD=BC ，则k 的值为________． 6. 已知：如图，直线364y x =+与双曲线k y x =（x <0）相交于A ，B 两点，与x 轴、y 轴分别交于D ， C 两点，若AB =5，则k =_________． 7. 如图，直线b x y +- =33与y 轴交于点A ，与双曲线x k y =在第一象限交于B ，C 两点，且4AB AC ?=， 变量与函数 教学目的： 1．了解常量与变量的意义，能分清实例中的常量与变量； 2．了解自变量与函数的意义，能列举函数的实例，并能写出简单的函数关系式； 3．通过函数概念，初步形成学生利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。经历函数概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想。让学生主动地从事观察、操作、交流、归纳等探索活动，形成自己对数学知识的理解和有效的学习模式。 教学重点：函数概念的形成过程。 教学难点：理解函数概念。 教学过程： 一、创设情境 问题1:图1是某地一天内的气温变化图.这张图告诉我们哪些信息? 看出回答: （1）这天的6时,10时和14时的气温分别为多少?任意给出这天中的某一时刻,说出这一时刻的气温. （2）这一天中,最高气温是多少?最低气温是多少? （3）这一天中,什么时候的气温在逐渐升高?什么时候的气温在逐渐降低? 思考:这张图是怎样来展示这天各时刻的温度和刻画这天的气温变化规律的? 问题2:银行对各种不同的存款方式都规定了相应的利率,下表是20XX年7月中国工商银行为”整存整取”的存款方式规定的年利率. 观察上表,说一说随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的? 问题3:收音机的刻度盘的波长和频率分别是用米(m)和千赫兹(kHz)为单位标刻的.下面是一些对对应的数值: 仔细的观察你能发现什么? 问题4:圆的面积是随着半径增大而增大的.如果用r表示圆的半径,S表示圆面积,则S与r之间满足什么关系?利用这个关系式,试求出半径为 1cm,1.5cm,2cm,2.6cm,3.2cm时圆的面积,并将结果填入下表: 由此你可以得到什么结论? 二、形成概念 （一）变量与常量概念的形成过程 1．举例、归纳 问题1：某地一天内的气温变化图（示图）学生观察气温随时间变化的情况，引出“变量”。 问题2：学生观察随着存期x的增长,相应的年利率y是如何变化的过程，加深对变量的认识，引出“常量”。 设问：一个量变化，具体地说是它的什么在变？什么不变呢？ 引导学生观察发现：是量的数值变与不变。 归纳变量与常量的定义并板书。 在其他二个问题中有哪些是变量?哪些是常量? 立仁教育 初二数学反比例函数讲义 一、本节课知识点梳理 1、反比例函数的概念 2、反比例函数的图像及其性质 3、反比例系数k 的意义及其实际应用 二、重难点点拨 教学重点：反比例函数图像及其性质 教学难点：反比例函数k 的几何意义 三、典型例题与分析 知识点一：反比例函数概念 一般地，如果两个变量x 、y 之间关系可以表示成y=x k ，（k 为常数，k ≠0）的形式，那么称y 是x 的反比例函数。反比例函数形式还可以写成：xy=k ，y=kx -1（k ≠0的常数） 1、在下列函数中，反比例函数是（ ） A 11+= x y B xy=0 C x k y = D x y 21 -= 2、如果函数12-=m x y 为反比例函数，则m 的值是 （ ） A 、1- B 、0 C 、2 1 D 、1 知识点二：反比例函数的图象与性质 注意1：双曲线的两个分支是断开的，研究函数的增减性时，要将两个分支分别讨论，不能一概而论。 （1）已知y=x k （k ＜0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2) ①若x 1＜x 2＜0，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ②若x 1＜0＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ③若x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是 。 （2）已知y=x k （k > 0）的图象上有两点A （x 1，y 1）、B(x 2，y 2) ①若x 1＜x 2＜0，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ;若0＜x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ②若x 1＜0＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是y 1 y 2 ③若x 1＜x 2，则y 1 与y 2大小关系是 。 注意2：反比例函数图象是以原点为对称中心的中心对称图形，是以直线y=x 和y=x -为对称轴的轴对称图形。 【例1】在反比例函数x y 1-=的图像上有三点(1x ，)1y ，(2x ，)2y ，(3x ，)3y 。若 3210x x x >>>则下列各式正确的是（ ） A ．213y y y >> B ．123y y y >> C ．321y y y >> D ．231y y y >> 练习： 1．下列函数中，y 随x 增大而增大的是_______ A y=-x+1 B y=x 43- C y=x 21 D y=2x-1 2．反比例函数y=x k 图象在第二四象限，则一次函数y=kx-5的图象不经过_____象限。 3．在同直角坐标系中，函数y=kx-k 与y=x k （k ≠0）的图象大致是___________。 一次函数、正比例函数、反比例函数综合练习题（LHW ） 一、选择题 1、在直角坐标系中 ，第四象限的点M 到横轴的距离为8，到纵轴的距离为6，则点M 的 坐标是（ ） （A ） （8，6） （B ）（-8， 6） （C ） （6，-8） （D ） （8，-6） 2、若点P （x,y ）的坐标满足xy =0，则点P 的位置是（ ） A 、 在x 轴上 B 、 在y 轴上 C 、 是坐标原点 D 、在x 3、若直线y=kx+b 不经过第二象限，则k 、b 的取值范围是（ ） （A ） ?? ?00 b k （B ）???≤00b k （C ）???≥00b k （D ）???0 b k 4、在函数y=3x ，y=2x-3，y= x 2 ，y=2x 2的图象中，其中既是轴对称图形，又关于原点对称的有（ ）个。 （A ）1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 5、如图，一次函数y=kx+b 的图象经过A 、B 两点，y ＞0时， x 的取值范围是（ ） A 、x ＞0 B 、x ＞2 C 、x ＞-3 D 、-3＜x ＜2 6、如图，一次函数ｙ1=ｘ－1与反比例函数ｙ2=x 2 的图像交于点 A (2,1), B (－1,－2),则使ｙ1＞ｙ2的ｘ的取值范围是（ ） A. ｘ＞2 B. ｘ＞2 或－1＜ｘ＜0 C. －1＜ｘ＜2 D. ｘ＞2 或ｘ＜－1 7、如果y 是m 的反比例函数，m 是x 的反比例函数，那么y 是x 的（ ） A ．反比例函数 B ．正比例函数 C ．一次函数 D ．反比例或正比例函数 8、函数x k y = 图象经过点（－4，6），则下列各点不在x k y =图象上的是（ ） A 、（3，8） B 、（3，－8） C 、（－8，－3） D 、（－4，－6） 9、已知反比例函数2 y x -= 的图象上有两点A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），且12x x <， 则12y y -的值是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非正数 D ．不能确定 10、如果矩形的面积为6cm 2 ，那么它的长y cm 与宽x cm 之间的函数关系用图象表示大致 （ 第4章 一次函数 4．1 函数和它的表示法 4．1.1 变量与函数 1．了解常量、变量的概念；(重点) 2．了解函数的概念；(重点) 3．确定简单问题的函数关系．(难点) 一、情境导入 如图，水滴激起的波纹可以看成是一个不断向外扩展的圆，它的面积随着半径的变化而变化，随着半径的确定而确定． 在上述例子中，每个变化过程中的两个变量：当其中一个变量变化时，另一个变量也随着发生变化；当一个变量确定时，另一个变量也随着确定． 你能举出一些类似的实例吗？ 二、合作探究 探究点一：常量与变量 分析并指出下列关系中的变量与常量： (1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2； (2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之 间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2； (3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12 gt 2(其中g 取9.8m/s 2)； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w . 解析：在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量，数值始终不变的量称为常量． 解：(1)球的表面积S cm 2与球的半径R cm 的关系式是S ＝4πR 2，其中，常量是4π，变 量是S ，R ； (2)以固定的速度v 0米/秒向上抛一个小球，小球的高度h 米与小球运动的时间t 秒之 间的关系式是h ＝v 0t －4.9t 2，常量是v 0，4.9，变量是h ，t ； (3)一物体自高处自由落下，这个物体运动的距离h m 与它下落的时间t s 的关系式是h ＝12gt 2(其中g 取9.8m/s 2)，其中常量是12 g ，变量是h ，t ； (4)已知橙子每千克的售价是1.8元，则购买数量w 千克与所付款x 元之间的关系式是x ＝1.8w ，常量是1.8，变量是x ，w . 1 初三反比例函数讲义 第1节 反比例函数 本节内容： 反比例函数定义 反比例函数定义的应用（重点） 电流I 、电阻R 、电压U 之间满足关系式：U=IR 当U=220V 时，可以用含有R 的代数式表示I ：__________________ 舞台灯光的亮暗就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的。当电流I 较小时，灯光较暗；当电流I 较大时，灯光较亮。 一般地，如果两个变量x 、y 之间的关系可以表示成x k y =k (为常数，)0≠k 的形式，那么称y 是x 的反比例函数。 反比例函数的自变量x 不能为零。 小注： （1）x k y = 也可以写成1 -=kx y 或k xy =的形式； （2）x k y =若是反比例函数，则x 、y 、k 均不为零； （3）k xy =)0(>k 通常表示以原点及点()y x ,为对角线顶点的矩形的面积。 ■例1 下列函数中是反比例关系的有___________________（填序号）。 ①3x y - = ②131+=x y ③x y 2-= ④2211x y -= ⑤x y 23 -= ⑥21=xy ⑦28x y = ⑧1-=x y ⑨2=x y ⑩x k y =k (为常数， )0≠k 2、 反比例函数定义的应用（重点） 确定解析式的方法仍是____________，由于在反比例函数x k y = 中，只有一个待定系数，因此只需要一对对应值，即可求出k 的值，从而确定其解析式。 由欧姆定律可知，电压不变时，电流强度I 与电阻R 成反比例，已知电压不变，电阻R=12.5欧姆，电流强度I=0.2安培。 （1） 求I 与R 的函数关系式； （2） 当R=5欧姆时，求电流强度。 正比例函数和反比例函数 一、知识梳理 1. 如果变量y是自变量X的函数，对于X在定义域内取定的一个值a ,变量y的对应值叫做当 x=a时的函数值。 (为了深入研究函数，我们把“ y是X的函数”用记号y=f(x)表示，这里括号里的X表示自变量，括号外的字母f表示y随X变化而变化的规律。f(a)表示当x=a时的函数值) 2. 函数的自变量允许取值范围，叫做这个函数的定义域。 3. 正、反比例函数的解析式、定义域、图像、性质 4. 函数的表示法有三种：列表法，图像法，解析法。 二、典型题选讲 ?概念辨析 1. 在问题研究过程中，可以取不同数值的量叫做 _______________ . 保持数值不变的量叫做 _________________ 达两个变量之间依赖关系的数学式子称为 ____________________ . 2. 写出下列函数的定义域： (1) ^X 1 (2) y=-(3) X n⑷厂' x—1 j√χ-4 3. 已知：f (X) =_x2+1，f (O) = _________ , f (T) = _______ , f ⑵= __________ . 4. 解析式形如y =kx(k式0)的函数叫做_______________ . 5. 函数y=3x的图像是经过（1, 3）和______________ ■勺一条 __________ .当自变量X的值从小到大逐渐变化时，函数值y相应地从 __________ 到_______ 渐变化? 6. 反比例函数的解析式是 ________ ,反比例函数的图像叫______________ . 7. 已知：反比例函数y =?8,点A（-2，-4）_________ 它的图像上（填“在”或“不在”）. X 8. 反比例函数γ=立的图像的两支在第___________ 限。在其各自的象限内，y随X的增大而 X 7、已知旳十科2, yι与x2成正比例，y与X -1成反比例，当X = - 1时，y = 3；当X = 2 时，y = —3, (1)求y与X之间的函数关系式； (2)当Xi 2时，求y的值。 8?已知y与X —1成正比例，且当X=3时，y=4, (1)求y与X的函数关系式；(2)当x=-1时，求y的值. 9、如图，直线I交X轴、y轴于点A、B,与反比例函数的图像交于C D两点，如果A( 2, 0)，点 C D分别在一、三象限，且OA= OB= AC= BD求反比例函数的解析式。 Iy 第1题图 正比例函数（提高） 【学习目标】 1. 理解正比例函数的概念，能正确画出正比例函数y kx =的图象； 2. 能依据图象说出正比例函数的主要性质，解决简单的实际问题． 【要点梳理】 要点一、正比例函数的定义 1、正比例函数的定义 一般的，形如y kx = （k 为常数，且k ≠0）的函数，叫做正比例函数.其中k 叫做比例系数. 2、正比例函数的等价形式 （1）、y 是x 的正比例函数； （2）、y kx =（k 为常数且k ≠0）； （3）、若y 与x 成正比例； （4）、 k x y =（k 为常数且k ≠0）. 要点二、正比例函数的图象与性质 正比例函数y kx =（k 是常数，k ≠0）的图象是一条经过原点的直线，我们称它为直线y kx =.当k ＞0时，直线y kx =经过第一、三象限，从左向右上升，即随着x 的增大y 也增大；当k ＜0时，直线y kx =经过第二、四象限，从左向右下降，即随着x 的增大y 反而减小. 要点三、待定系数法求正比例函数的解析式 由于正比例函数y kx =（k 为常数，k ≠0 ）中只有一个待定系数k ，故只要有一对x ， y 的值或一个非原点的点，就可以求得k 值. 【典型例题】 类型一、正比例函数的定义 1、若函数22432m n y x m n -+=-+-是y 关于x 的正比例函数，求m 、n 的值. 【思路点拨】正比例函数的一般式为(0)y kx k =≠，要特别注意定义满足0k ≠，x 的指数 为1． 【答案与解析】 解：由题意，得221320m n m n -+=??-=? 解得 1 1.5 m n =??=? ∴当1, 1.5m n ==时，y 是x 的正比例函数. 【总结升华】理解正比例函数的概念应抓住解析式中的两个主要特征：（1）k 不等于零；（2） x 的指数是1. 举一反三： 【变式】（春?凉州区校级月考）x 、y 是变量，且函数y=（k+1）x |k|是正比例函数，求K 的值． 【答案】解：根据正比例函数的定义可得：k+1≠0，|k|=1，解得；k=1． 2、设有三个变量x 、y 、z ，其中y 是x 的正比例函数，z 是y 的正比例函数 （1）求证：z 是x 的正比例函数； （2）如果z ＝1，x ＝4时，求出z 关于x 的函数关系式. 【答案与解析】 解：（1）由题意，设11(0)y k x k =≠，22(0)z k y k =≠，12,k k 为常数 12z k k x =∴ 120,0k k ≠≠ ∴120k k ≠且为常数 ∴z 是x 的正比例函数；12z k k x =∴12(0)k k ≠ （2）当z ＝1，x ＝4时，代入12z k k x = ∴121 4 k k = ∴z 关于x 的函数关系式是14 z x = . 【总结升华】在本题中，按照题意，比例系数要设为不同的12,k k ，不要都设为k ，产生混淆. 举一反三： 【变式】已知z m y =+，m 是常数，y 是x 的正比例函数，当x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1，求z 与x 的函数关系． 【答案】 解：由题意，y kx =，z m kx =+ , ∵x ＝2时，z ＝1；当x ＝3时，z ＝－1， ∴1＝m ＋2k ，－1＝m ＋3k 解得k ＝－2，m ＝5 第二课时变量与函数 教学目标： 1、知识与技能：使学生进一步理解函数的定义，熟练地列出实际问题的函数关系式，理解自变量取值范围的含义，能求函数关系式中自变量的取值范围。 2、过程与方法：会由自变量的值求函数值。 3、情感态度与价值观：经历从具体实例中抽象出函数的过程，发展抽象思维的能力，感悟运动变化的观点。 教学重、难点： 1、重点：在具体情景中分清哪个是变量，哪个是自变量，谁是谁的函数。 2、难点：会由自变量的值求出函数的值。 教学过程 一、复习 1．填写如右图(一)所示的加法表，然后把所有填有10的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格子横向的加数用x表示，纵向加数用y表示，试写出y关于x的函数关系式。 2．如图(二)，请写出等腰三角形的顶角y与底角x之间的函数关系式． 3．如图(三)，等腰直角三角形ABC边长与正方形MNPQ的边长均为l0cm，AC 与MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让△ABC向右运动，最后A点与N 点重合。试写出重叠部分面积y与长度x之间的函数关系式． 二、求函数自变量的取值范围 1．实际问题中的自变量取值范围 问题1：在上面的联系中所出现的各个函数中，自变量的取值有限制吗?如果有．各是什么样的限制? 问题2：某剧场共有30排座位，第l排有18个座位，后面每排比前一排多1个座位，写出每排的座位数与这排的排数的函数关系式，自变量的取值有什么限制。 从右边的分析可以看出，第n排的排数座位数 座位 l 18 一方面可以用18＋(n－1)表 2 18＋1 3 18＋2 示，另一方面可以用m表示，所以…… m＝18＋(n－1) n 18＋(n－1)变量与函数正比例函数讲义
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