第一届小学祖冲之杯数学邀请赛竞赛

第一届小学“祖冲之杯”数学邀请赛

一、填空题(满分84分，本题共有12个小题民，每小题7分)。

1．一个分数，如果在它的分子上加1，这个分数就等于l ；如果在它的分母上加1，这个分数就等于9

8。原来的分数是。 2．请你用5，5，5，1这四个数字及用一些运算符号(加、减、乘、除和括号)连结成结果是24的算式，你写出的算式是：。

(例如，用3，3．8，9这四个数，可以写出结果是24的算式如：3×(8—3)+9=24)。

3．甲对乙说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你才5岁。”乙对甲说：“当我的岁数是你现在的岁数时，你将50岁。”那么甲现在岁，乙现在岁。

4．小明家养了公鸡和母鸡共45只，这些鸡的羽毛颜色分为花毛鸡和白毛鸡两种，已知花毛公鸡有ll 只，白毛鸡有l6只，母鸡有29只，那么自毛母鸡有只。

5．某班学生人数不超过60人，一次测验成绩分为优、良、及格和不及格四等。已知这次测验该班有71学生得优，31的学生得良，2

1的学生及格，则该班不及格的学生有人。 6．某日停电，房间里同时点燃了两支同样长的蜡烛。这两支蜡烛的质量不同，一支可以维持3小时，另一支可以维持5小时，当送电时吹灭蜡烛，发现其中一支剩下的长度是另一支剩下长度的三倍，这次停电时间是小时。

7．某校参加祖冲之杯数学邀请赛的选手平均分数75分，其中参赛男选手比女选手人数多80％，而女选手比男选手的平均分数高20％，那么女选手的平均分数是分。

8．如图由九个边长为1厘米的正方形组成，

在右图中面积为2

1平方厘米的三角形有个。面积为1平方厘米的三角形有个，

面积为1．5平方厘米的三角形有个，

面积最大的三角形的面积是平方厘米。

9．将自然数1到11分别填在下图的圆圈内，使得图中每条直线上的三个圆圈内的数之

和都相等。

10．某公共汽车线路上共有15个车站(包括起点站和终点站)，公共汽车从起点到终点站的行驶过程中，每一站(包括起点站)上车的人中恰好在以后的各站都各有l人下车，要使汽车在行驶中乘客都有座位，那么在车上至少要安排乘客座位个。

11．如果一个数，将它的数字倒排后所得的数仍是这个数，我们称这个数为回数；

例如，22，464，25752等都是回数。

今年的年份数l991，具有如下两个性质：

①1991是一个回数。

②1991可以分解成一个两位质数回数和一个三位质数回数的积，即1991=11×181，其中11，181既是回数又是质数。

在1000年到2000之间的一千年中，除了l991外，具有性质①和②的年份数，还有。

12．三个不同的自然数a，b，c，已知其中任何两个数的积都能被这两个数的和整除，(也就是说，(a×b)÷(a+b)，(a×c)÷(a+c)，(b×c)÷(b+f)都是整数。) 请你写出一组符合上述条件的三个数。

二、(满分l4分)

有两个同样大小的杯子，甲杯盛满了纯水，乙杯盛着半杯含有10克盐的盐水，先用甲杯里的水倒满乙杯并搅匀，然后再将乙杯里的盐水倒满甲杯并搅匀，上述过程算是进行了一次操作。如果这样连续地进行了五次操作后，那么甲杯里含有多少克盐?(用分数表示)

三、(满分l4分，每小题7分)

能不能将：(1)505； (2)1010。

写成l0个连续自然数之和?如果能，把它写出来：如果不能，说明理由。

(例如75可以写成l0个连续自然数之和为：75=3+4+5+6+7+8+9+10+11+12)

四、(满分l4分)

(1)(4分)试分别将分数71，72，73，74，75，7

6写成循环小数形式。 (2)(10分)观察分析这些循环小数的循环节，归纳出它们有哪些特点?(要求归纳出2～3条，多亦欢迎，不要求证明，只需条文式写出结论即可。但注意不要写出错误结论。)

五、（满分14分）

有100根火柴，甲、乙两人玩轮流取火柴游戏，规定每人每次可取10根以内（包括10根）的任何根火柴，以谁取完火柴使对手已无火柴可取者为胜。

如果开始由甲先取，问谁一定能取胜？他怎样取才能取胜？

第五届小学《祖冲之杯》数学邀请赛

第五届小学《祖冲之杯》数学邀请赛一、填空题。(满分l00分) (本题共有l2个小题，第1～10小题，每小题8分；第11，12小题，每小题l0分。) 1．能被分数21 10,145, 76除得的结果都是整数的最小分数是。 2．如果,6666544443,3333222221==B A 那么A 与B 中较大的数是。 3．目前日期的流行记法是采用6位数字，即将公元年份的后两位数字记在最左边，中间两个数字表示月份，最末两位数字表示日份。(遇有月或日是一位数的，前面加一个0。例如1976年4月5日记为：760405) 第五届小学祖冲之杯赛的竞赛日期应记为951126，这个六位数恰好能被66整除，因此这样的日期被称为“大顺日”，即今天是大顺日。在今年内，距今天最近的一个大顺日是95年月日。 4．顾客向售货员购买15元的物品，付了一张面值50元的钞票，售货员没有零钱找，便向相邻柜台兑换了零钱。当交割完毕顾客走后，邻柜发现这张50元钞票是假币，该售货员于是又还给邻柜50元钱，那么，该售货员遭受了元的损失。 5．一个旅社有40间客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现了这样一个规律，如果客房定价每间每天40元时，住房率为55％；每间定价35元时，住房率为65％；每间定价30元时，住房率为75％；每间定价25元时，住房率为85％；当每间价20元时，则天天客满。要使每天收入达到最高，经理应从上五种定价中选取每天每间为元。 6．一堆黑、白围棋子，从中取走了白子15粒，余下的黑子数与白子数之比为2：1，此后，又取走黑子45粒，余下的黑子数与白子数之比为l ：5，那么这堆围棋原来共有。 7. 1995个8的连乘积减去l995个7的连乘积，差的个位上的数字是。 8．左下图是由九个矩形图案排列的方阵，但有一个矩形图案还没有放上。请你从右下图的六个矩形图案中，选一个放到问号的位置，你认为最合适的是号。 9．如下图所示，在长方形ABCD 中，放入六个形状、大小都相同的长方形(尺寸如图)。图中阴影部分的面积是。

初中七年级数学竞赛培优讲义全套专题07 整式的加减

专题07 整式的加减阅读与思考整式的加减涉及许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点： 1．透彻理解“三式”和“四数”的概念 “三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的系数、次数． 2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则” “两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则．物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．这样，使得整式大为简化，整式的加减实质就是合并同类项．例题与求解 [例1]如果代数式ax5＋bx3＋cx－5，当x＝－2时的值是7，那么当x＝7时，该式的值是______． (江苏省竞赛试题) 解题思路：解题的困难在于变元个数多，将x两个值代入，从寻找两个多项式的联系入手． [例2]已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代数式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，对于任意a，b对应的代数式的值最大的是( ) A．a＋b B．a－b C．a＋b2D．a2＋b (“希望杯”初赛试题) 解题思路：采用赋值法，令a＝1 2 ，b＝－ 1 2 ，计算四个式子的值，从中找出值最大的式子． [例3]已知x＝2，y＝－4时，代数式ax2＋1 2 by＋5＝1997，求当x＝－4，y＝－ 1 2 时，代数式3ax－24by3＋4986的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：一般的想法是先求出a，b的值，这是不可能的．解本例的关键是：将给定的x，y值分别代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体代入求值．[例4]已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．当x＝2时的值为－17，求当x＝－2时，该多项式的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式． [例5]一条公交线路上起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？

第十三届小学《祖冲之杯》数学邀请赛(五年级组)(无答案)(竞赛)

第十三届小学《祖冲之杯》数学邀请赛（五年级组）一、填空题（满分104分。第1~8小题，每小题8分；第9~12小题，每小题10分。） 1.计算：586×124＋29×586－586×53=___________。 2.有三个连续的两位自然数，它们的和也是两位自然数，并且和是23的倍数；这三个自然数分别是______,______,______。 3.张老师与王鸿和金明的平均年龄是17岁；李老师与王鸿和金明的平均年龄是15岁。李老师今年27岁，张老师今年______岁。 4.观察下列图形的规律，然后填空： 24 22 18 16 （）19（）（）5.小华家到学校有上坡路和小坡路，没有平路，共2.4千米。小华每天上学要走1.1小时。已知小华上坡时每小时走2千米，下坡时每小时走3千米。那么小华放学回家要走______小时。 6.小明有书和光碟若干，光碟的数量比书的数量的3倍少4盘，比书的2倍多8盘，那么小明有光碟_______盘。 7.有10张长2厘米、宽1.5厘米的长方形硬纸片，用它们拼成一个大的长方形纸片，这个大长方形的周长是________厘米。 8.图中“祖冲之杯邀请赛”恰恰代表了1，2，3，4，5，6，7这七个不同的数字，而且每个圆圈内的四个数字之和为15；那么：祖=________,冲=_______,之=________,杯=_______，邀=________,请=_______,赛=________。 9.一家商场开展优惠酬宾活动，凡购物满100元回赠35元现金（购物不足100元，不参加

优惠活动）。现在某人有260元，他经过计算，买回最多的物品，那么他最多买了_______元的物品。 10.世界乒乓球锦标赛期间，在一次各国运动员聚会时，有三对男女混合双打运动员恰好坐在一起。他们分别是x、y、z三个男选手和A、B、C三个女选手。其中x选手的搭档和C 选手的搭档、B选手的搭档和A选手都是第一次见面，z选手认识所有的人，则A选手的搭档是________。 11.四边形ABCD的面积是16平方厘米，其中AD=CD,DE=BE,AE=2厘米，那么四边形BCDE 的面积是________平方厘米。 12.现有一叠2元和5元的纸币若干，把它们分成钱数相等的两堆。第一堆中2元和5元的张数相同，第二堆中2元和5元的钱数相等，那么这一叠钱最少有____元。二、（本题12分）西安市出租车车费的起步价是3千米以内都是5元，往后每增加0.5千米，计价器就增加0.6元。现在有一热从甲地到乙地乘出租车共支付车费12.20元。如果这个人从甲地到乙地先步行300米。然后再乘车，也要支付车费12.20元，那么坐出租车从甲、乙两地的中点需支付出租车车费多少元？三、（本题12分）把正方体的六个面分别涂上六种不同的颜色，并画上朵数不同的花，各面颜色与花朵数目的情况列表如下：现将上述大小相同，颜色，花朵分布完全一样的四个立方体拼成一个如下图放置的长方体。那么这个长方体的下底面共有多少朵花？四、（本题12分）今天是2003年12月14日，是第十三届小学《祖冲之杯》数学邀请赛的时间，可以记作20191214，它的各个数位上的数字之和是13。按这种记法，今年所有日期的数字之和为13的还有那些？请把它们一一列举出来。

七年级数学竞赛题：简单的不定方程、方程组

七年级数学竞赛题：简单的不定方程、方程组如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能惟一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能惟一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型： 1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数； 2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式估值、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．例1 满足199822221997(01998)m n m n +=+<<<的整数对(m,n)共有_________对． (全国初中数学联赛试题) 解题思路由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解解．例2 以下是一个六位数乘上一个一位数的竖式，a 、b 、c 、d 、e 、f 各代表一个数(不一定相同)，则以a+b+c+d= ( )． (“五羊杯”邀请赛试题) (A)27 (B)24 (C)30 (D)无法确定解题思路视abcd 、ef 为整体，将多元问题转化为解二元一次不定方程． a b c d e f × 4 ——————— e f a b c d 例3 求方程11156 x y z ++=的正整数解． (“希望杯”数学邀请赛试题) 解题思路易知x 、y 、z 都大于1，不妨设1

初中八年级数学竞赛培优讲义全套专题25 配方法-精编

专题 25 配方法阅读与思考把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧. 配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有： 1、222 2()a ab b a b ±+=± 2、2 a b ±= 3、2222 222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2 2 2 2221 [()()()]2 a b c ab bc ac a b b c a c ++---= -+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于： (1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2 a = 能联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式. 例题与求解【例1】已知实数x ，y ，z 满足2 5,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值. 【例2】若实数a ，b ， c 满足222 9a b c ++= ，则代数式2 2 2 ()()()a b b c c a -+-+- 的最大值是 ( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 (全国初中数学联赛试题) 解题思路：运用乘法公式，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.

中国著名数学家

中国有哪些著名的数学家有张丘建、朱世杰、贾宪、秦九韶、李冶、刘徽、祖冲之、胡明复、冯祖荀、姜立夫、陈建功、熊庆来、苏步青、江泽涵、许宝騄、华罗庚、陈省身、林家翘、吴文俊、陈景润、丘成桐、冯康、周伟良、萧荫堂、钟开莱、项武忠、项武义、龚升、王湘浩、伍鸿熙、严志达、陆家羲、苏家驹、王菊珍、谷超豪、王元、潘承洞、魏宝社、高扬芝、徐瑞云、王见定、吕晗等等。1.祖冲之祖冲之（429-500），字文远。出生于建康（今南京），祖籍范阳郡遒县（今河北涞水县），中国南北朝时期杰出的数学家、天文学家。祖冲之一生钻研自然科学，其主要贡献在数学、天文历法和机械制造三方面。他在刘徽开创的探索圆周率的精确方法的基础上，首次将“圆周率”精算到小数第七位，即在3.1415926和3.1415927之间，他提出的“祖率”对数学的研究有重大贡献。直到16世纪，阿拉伯数学家阿尔·卡西才打破了这一纪录。由他撰写的《大明历》是当时最科学最进步的历法，对后世的天文研究提供了正确的方法。其主要著作有《安边论》《缀术》《述异记》《历议》等。 2.华罗庚华罗庚（1910.11.12—1985.6.12），出生于江苏常州金坛区，祖籍江苏丹阳。数学家，中国科学院院士，美国国家科学院外籍院士，第三世界科学院院士，联邦德国巴伐利亚科学院院士。中国第一至第六届全国人大常委会委员。他是中国解析数论、矩阵几何学、典型群、自守函数论与多元复变函数论等多方面研究的创始人和开拓者，并被列为芝加哥科学技术博物馆中当今世界88位数学伟人之一。国际上以华氏命名的数学科研成果有“华氏定理”、“华氏不等式”、“华—王方法”等。向左转|向右转

绝对值方程详解及答案.doc

第九讲绝对值与一元一次方程绝对值是初中数学最活跃的概念之一，能与数学中许多知识关联而生成新的问题，我们把绝对值符号中含有未知数的方程叫含绝对值符号的方程，简称绝对值方程．解绝对值方程的基本方法有：一是设法去掉绝对值符号．将绝对值方程转化为常见的方程求解；一是数形结合，借助于图形的直观性求解．前者是通法，后者是技巧．解绝对值方程时，常常要用到绝对值的几何意义，去绝对值的符号法则，非负数的性质、绝对值常用的基本性质等与绝对值相关的知识、技能与方法．例题【例 1】方程5x 6 6x 5 的解是． (重庆市竞赛题) 思路点拨没法去掉绝对值符号，将原方程化为一般的一元一次方程来求解．【例 2】适合2a7 2a 1 8 的整数a的值的个数有()． A．5B．4C． 3D． 2 ( “希望杯；邀请赛试题) 思路点拨用分类讨论法解过程繁琐，仔细观察数据特征，借助数轴也许能找到简捷的解题途径．注：形如 ax b cx d 的绝对值方程可变形为ax b(cx d ) 且cx d0 ，才是原方程的根，否则必须舍去，故解绝对值时应检验．【例 3】解方程：x 3x 1 4 ；思路点拨从内向外，根据绝对值定义性质简化方程． (天津市竞赛题 ) 【例 4】解下列方程： (1) x 3 x 1 x 1 (北京市“迎春杯”竞赛题) (2) x 1 x 5 4 ．(“祖冲之杯”邀请赛试题) 思路点拨解含多个绝对值符号的方程最常用也是最一般的方法是将数轴分段进行讨论，采用前面介绍的“零点分段法”分类讨论；有些特殊的绝对值方程可利用绝对值的几何意义迅速求解．【例 5】已知关于 x 的方程x 2 x 3 a ，研究a存在的条件，对这个方程的解进行讨论．思路点拨方程解的情况取决于 a 的情况， a 与方程中常数2、 3 有依存关系，这种关系决定了方程解的情况，因此，探求这种关系是解本例的关键．运用分类讨它法或借助数轴是探求这种关系的重要方法与工具，读者可从两个思路去解．注本例给出了条件，但没有明确的结论，这是一种探索性数学问题，它给我们留有自由思考的余地和充分展示思维的广阔空间，我们应从问题的要求出发，进行分析、收集和挖掘题目提供的各种信息，进行全面研究．

初一数学竞赛(行程问题精讲)

例1 从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米，。车从甲地开往乙地需9小时，乙地开往甲地需2 1 7小时，问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题) 分析本题用方程来解简单自然。解设从甲地到乙地的上坡路为x 千米，下坡路为y 千米，根据题意得方程组 ?????=+=+(2) 21720 35(1) 93520y x y x 解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第一个方程中x 的系数201恰好是第二个方程中y 的系数，而y 的系数35 1也恰好是第二个方程中x 的系数)，也可以采用如下的解法： (1)+(2)得 (x+y)( 201+351)=9+2 17 所以 x+y=21035 12012179=++ (3) (1)-(2)得 (x -y)( 201-351)=9-2 17 所以 x-y=7035 12012179=-- (4) 由(3)、(4)得 x=140270210=+ 所以甲、乙两地间的公路长210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路。例2 公共汽车每隔x 分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔6分钟开过来一辆公共汽车，而每隔7 24分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是均匀的，则x 等于分钟。(第六届迎春杯初赛试题) 分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为a 米/每秒，小宏速度为b 米/每秒，则当一辆汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面ax 米处，它用6分钟

初中数学竞赛讲座.doc

竞赛讲座01 —奇数和偶数整数中,能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用21表示,这里k是整数. 关于奇数和偶数，有下面的性质： (1)奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数； (2)奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数; （3)两个奇（偶)数的差是偶数;一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若ａ、ｂ为整数，则与有相同的奇数偶；（5）n个奇数的乘积是奇数，ｎ个偶数的乘积是2ｎ的倍数;顺式中有一个是偶数,则乘积是偶数．以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题例１（第2届“华罗庚金杯”决赛题)下列每个算式中,最少有一个奇数,一个偶数，那么这1２个整数中,至少有几个偶数？ □+□=□,□-□＝□, □×□=□□÷□＝□．解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这１２个整数中至少有六个偶数．例２（第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组是整数,那么

(Ａ）ｐ、q都是偶数. (Ｂ）p、ｑ都是奇数．（C）p是偶数，q是奇数（D)p是奇数,q是偶数分析由于19８8ｙ是偶数，由第一方程知１９88y,所以p是偶数，将其代入第二方程中,于是１１x也为偶数,从而２7１1x为奇数，所以是奇数，应选（C）例3 在1,2,3…，1９92前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数．分析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而１+2+3＋…+1992996×199３为偶数于是题设的代数和应为偶数。 2.与整除有关的问题例４(首届“华罗庚金杯”决赛题）７0个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的３倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的:0,1，3,8，２1，…。问最右边的一个数被６除余几？解设70个数依次为a12３据题意有 a１=0，偶 a２＝1 奇 a３=3a2１，奇ａ4=3a３2，偶 a5=3a43，奇 a6=3a5４, 奇 ……………… 由此可知：?当n被3除余1时，是偶数; 当n被3除余０时,或余２时，是奇数，显然a70是3１型偶数，所以k必须是奇数，令2１，则ａ70=31=3(21）+１=6４。

第六届小学《祖冲之杯》数学邀请赛(无答案)(竞赛)-最新学习文档

第六届小学《祖冲之杯》数学邀请赛一、填空题(满分l00分)1～10小题每题8分，ll ～12每小题l0分 1．我国古代数学家祖冲之在数学上的重大贡献之一是推算出圆周率π的值在3．1415926与3．1415927之间，比欧州早一千多年，约率 722是π的近似值，现问：722 小数点后面第2019位上数字是。 2．在某一个月中，有三个星期天的日期是偶数号，那么这个月的8号是星期。 3．将分数13 1的分子、分母同加一个整数后得到53，那么同加上的这个数是。 4．一辆汽车以每小时60千米的速度从A 地开往B 地，他又以每小时 40千米的速度从B 地返回A 地，那么这辆汽车行驶的平均速度是千米／时。 5．某班44人，从A ，B ，C ，D ，E 五位候选人中选举班长，A 得选票23张，B 得选票占第二位，C ，D 得票相同，E 选票最少，得4票，那么B 得选票张。 6．一张面积为l 的正三角形白纸片，现按下述方式对其涂色：每次把正三角形分成四个全等的小正三角形，将中间的小正三角形涂成黑色(如下图)，经过四次涂色后，仍是白色的面积是。 7．12个小球分别标上自然数l ，2，3…12。甲、乙、丙三人每人拿了4个小球，而且每人所拿的四个小球上标的数之和相等。已知甲拿的球中有两个球标的数是6，12；乙有两个球的标数是7，9。那么丙所取的四个球上标的数是，，，。 8．一个长方形的边长都是整数厘米，面积为1050平方厘米，那么这个长方形的周长最大可能是厘米，最小可能是厘米。 9．在2019这个数的前面或后面添写一个数4，所得到的两个五位数均能被4整除。现在，请你找出一个三位数写在2019的前面或后面，使所得的两个七位数也能被这个三位数整除，这样的三位数有个，它们是。 10．下图3×3正方形的每个方格内的字母都代表一个数，已知其每行，每列以及两条对角线上三个数之和都相等，若a=4，d=19，l =22，那么b= ，h= 。 11．小明来到红毛族探险，看到下列几个红毛族的算式： 8×8=8 9×9×9=5 9×3=3 (93+8)×7=837 老师告诉他，红毛族算术中所用的符号“+，一，×，÷，( )，=”与我们算术中的意义相同，进位也是十进制，只是每个数字虽然与我们写法相同，但代表的数却不同。请你按红毛族的算术规则，完成下面算式：

秋季初二竞赛班轴对称练习题

秋季初二竞赛班轴对称练习题 The document was prepared on January 2, 2021

轴对称1练习题 2011-9-10 题1 （第一届“祖冲之杯”初中数学竞赛题） AC ⊥BD ，已知OA 如图，凸四边形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，且＞OC ，OB ＞OD. 求证：BC ＋AD ＞AB ＋CD. [证明] 在线段OA 上取C 关于BD 对称点C ′，在线段OB 上取D 关于AC 的对称点D ′，连C ′D ′，AD ′，BC ′，则C ′D ′＝CD ，BC ′＝BC ，AD ′＝AD. 在△ABE 中，BE ＋AE ＞AB ① 在△D ′C ′E ′中， D ′E ＋C ′E ＞C ′D ′ ② ①＋②得： BC ′＋AD ′＞AB ＋C ′D ′， ∴BC ＋AD ＞AB ＋CD. 题2 (1999年北京市初中竞赛试题) 如图所示, 正方形纸片ABCD 中, E 为BC 中点, 折叠正方形, 使点A 与点E 重合, 压平后得拆痕MN. 设梯形ADMN 的面积为S 1, 梯形BCMN 的面积为 S 2, 求 2 1 S S 的值. [解] 连结AE, 则折痕MN 垂直平分AE. 若连结EN, 则EN ＝AN. 设正方形边长为1, NB ＝x, 则EN ＝1－x, BE ＝2 1. 由勾股定理, 得(1－x)2＝x 2＋4 1.

解得x ＝83. 又AE ＝411+ ＝2 5. 过N 作NF ⊥DC 于F, 在Rt △ABE 和Rt △NFM 中, AB ＝NF, ∠1＝∠2(都是∠MNA 的余角), ∴Rt ∠ABE ≌Rt △NFM. ∴NM ＝AE ＝2 5 . ∴MF ＝ 2 1 145=-. ∴MC ＝21＋83, DM ＝81.∴21S S ＝ 8 78385 81++ ＝53. 题3 等腰三角形ABC 中，AB= AC,∠A=100o ，BE 是∠ABC 的平分线，求证：AE+ BE=BC ． [证法1] 由已知条件不难算出：∠1=∠2=20o ，∠5=60o ，∠7=40o 延长BE 到G ，使BG=BC ，连结CG ，不难得到∠G=80o ，∠8=40o,∠6=60o 。在BC 上截取BF=BA ，连结EF ，易证△ABE ≌△FBE,从而∠3=∠5=60o ，EF=AE ．在△EFC 与△EGC 中，∠4=180o-（∠5+∠3）=60o=∠6，CE=CE ，∠7=∠8，故△EFC ≌△EGC ，EF=EG ，从而EG=AE ． ∴AE+BE=EG+BE=BG=BC. [证法2] 由已知条件可以算出：∠1=∠2=20o ， ∠5=60o,∠C=40o ，在BC 上截取BG=BE ，连结EG ，计算后可知∠7 =∠BEG=80o ，∠4=∠7-∠C=40o ，于是∠4=∠C ，EG=GC ．又在BC 上截取BF=BA ，连结EF.显然△ABE ≌△FBE ，从而∠5=∠3，于是∠3=60o ，又AE=EF.

中国古代数学家祖冲之

中国古代数学家祖冲之中国南北朝时代南朝杰出的科学家。字文远。范阳逎（今河北涞水县北）人。出生在士大夫家庭，几代研究历法，其祖父掌管土木建筑，也懂科学技术。祖冲之从小受到良好的家庭教育，少年时代就开始钻研古代的经典，思想机敏。青年时代起，对各种事物敢于大胆设想，勇于创新，并且勤于实践，搜集和阅读了大量有关天文、数学等方面的书籍，并经常进行精密的测量和仔细的推算，由于他既崇尚抽象的理论，又注重理论的应用，突破了天命论神秘主义的桎梏，取得了不少有价值的科学成果，特别是天文历法和数学方面得成就尤其突出。当时曾经长期采用19年7闰月的方法作为历法来计算阴历。他将之改为每391年中有144个闰年，使之更为精确。祖冲之还在历法上第一个应用了岁差（即指地球围绕太阳运行一周，不可能完全回到上一年的冬至点的现象），算出了岁差为45年11个月后退一度（等于60分），并在他所编的《大明历》中加以应用。这是天文史上的一个创举。他还算出了交点月，即月亮连续两次经过黄白交点所需的时间是 27.21223日，这与现代测得的 27.21222日极为相似，为准确地推算出日月食发生的时间创造了条件。但《大明历》受到了保守势力的极力反对，直到他死后10年在他儿子祖暅再三推荐下，新历法才在510年被正式采用。祖冲之对圆周率的研究，在数学史上具有深远的影响。他算出圆周率值在3.1415926和3.1415927之间，并以22/7和355/113作为分数表示圆周率的疏率和密率。其中，密率是世界上第一个最精确的圆周率，欧洲人奥托和安托尼兹直到1573年才先后求出这个数值。因此，日本数学家三上义夫主张称密率为“祖率”。此外，祖冲之在其他科学领域也有很多创造发明。他从曾经仿制成功一辆“指南车”，研制了用水力冲击的“水锥磨”，还制成了“千里船”，经过试验，日行百余里；他还懂音乐。祖冲之把数学上的研究成果写成一本名叫《缀术》的著作，内容十分丰富，可惜早已失传。（来自网上资源）

七年级竞赛试卷

初一数学竞赛模拟试题(1) 一、选择题 1、4ab 2c 3 的同类项是（）（A ）4bc 2a 2 （B ）4ca 2b 3 （C ）41ac 3b 2 （D ）41 ac 2b 3 2、ax+b=0和mx+n=0关于未知数x 的同解方程，则有（）（A ）a 2+m 2>0. （B ）mb ≥an. （C ）mb ≤an. （D ）mb=an. 3、下列式子中，正确的是（）（A ）a 2·a 3=a 6. （B ）(x 3)3=x 6. （C ）33 =9. （D ）3b ·3c=9bc. 4、有理数a, b, c 在数轴上对应的点如图所示：则下面式子中正确的是（）（A ）c + b > a + b. (C)ac > ab (B)cb < ab. (D) cb > ab 5、已知a ≤2，b ≥－3，c ≤5,且a －b ＋c ＝10，则a ＋b ＋c 的值等于（）。（A ）10 （B ）8 （C ）6 （D ）4 6、在整数0、1、2…、8、9中质数有x 个，偶数有y 个，完全平方数有z 个，则x+y+z 等于（）. （A ）14 （B ）13 （C ）12 （D ）11 （E ）10 7、在0,1,2,…，50这51个整数中，能同时被2，3，4整除的有（）. （A ）3个（B ）4个（C ）5个（D ）6个 8、某超级市场有128箱苹果，每箱至少120只，至多144只，装苹果只数相同的箱子称为一组，问其中最大一组的箱子的个数n ，最小是（）（A ）4 （B ）5 （C ）6 （D ）24 （E ）25 二、填空题 9、已知31999b a m 与n b a 211-是同类项，则n m -＝＿＿。 10、已知方程（1.9x －1.1）－（x -21）＝0.9（3 x －1）＋0.1，则解得x 的值是＿。 11、小明骑车自甲地经乙地，先上坡后下坡，到达乙地后立即返回甲地，共用34分钟，已知上坡速度是400米／分，下坡速度是450米／分，则甲地到乙地的路程是＿＿米。 12、已知,1999=a 则 |2001333||1423|2323-+---+-a a a a a a ＿。 13、从集合{}5,4,1,2,3---中取出三个不同的数，可能得到的最大乘积填在□中，可－能得到的最小乘积填在〇中并将下式计算的结果写在等号右边的横线上。－（－□）÷〇＝＿＿。 14、有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，

数学家祖冲之的故事

数学家祖冲之的故事 It was last revised on January 2, 2021

数学家祖冲之的故事大家好！今天我给大家讲一位中国古代数学家的故事，他就是祖冲之。祖冲之是我国古代着名的家，也是天文学家，生于1500多年前的南北朝时期，河北涞源人。他最伟大的成就就是把圆周率计算到小数点后7位，领先于西方国家1000多年。为什么说祖冲之厉害呢？这要从如何计算一个圆圈的周长说起。现在我们都知道，圆的周长=圆的直径乘以圆周率，圆周率是一个无限不循环小数，等等，用这个公式可以方便的算出圆的周长。但在2000多年前，人们可不知道有这么方便的公式，也不知道有圆周率的存在！人们计算圆周长的方法是用直径乘以三，误差非常的大。后来，人们发现圆周率应该比三大，但是到底大多少却无法确定。祖冲之经过多年的刻苦研究，计算出圆周率在和之间，世界纪录协会世界将祖冲之列为第一位将圆周率值计算到第7位小数的科学家。人们为了纪念祖冲之的重大贡献，将圆周率称为“祖率”。小时候就非常喜欢钻研数学和天文。一天晚上，他躺在床上想老师教的“圆周是直径的3倍”的计算公式。第二天一早，他就拿了一段绳子，跑到村头量车轮。祖冲之先用绳子量了车轮的周长，再把绳子折成同样大小的3段，去量车轮的直径。量来量去，他发现车轮的直径根本不是圆周长的1／3。这究竟为什么？他决心要解开这个谜题。正是这种精神，让他成为了一位伟大的数学家。

祖冲之不但研究数学，也喜欢研究天文。他经常观测太阳和星球运行的情况，并且做详细记录。在他33岁时，编制了《大明历》。测定出地球绕太阳转一圈的时间，跟现代科学测定的一年的时间相差只有五十秒，测定月亮绕地球一圈的时间，跟现在的相差不到一秒!让我们不得不惊叹，在没有计算机的古代，这么准确是怎么做到的？祖冲之还有很多科学发明。他造过一种指南车，随便车子怎样转弯，车上的铜人总是指着南方；他又造过“千里船”，一天可以航行一百多里。祖冲之“认真学习、刻苦钻研、态度严谨、不怕困难”的优秀品质永远值得我们学习。这就是我给大家讲的祖冲之的故事。谢谢！

2017初中数学祖冲之杯竞赛模拟试卷.doc

初中数学祖冲之杯竞赛模拟试卷一、 (每小题4分,共32分,请将唯一正确结论的代号填在下面的表格 1.若方程01=++px x 的二根之差为1，则p 的值为 (A) 2± (B)4± (C)3± (D)5± 2.已知关于x 的方程01)12()2(22=+++-x m x m 有两个不等的实数根，则实数m 的取值范围为 (A)43m 且2≠m (D)43≥m 且2≠m 3.在ABC ?中，设C B A ∠∠∠,,所对的边分别为c b a ,,,若3:2:1::=∠∠∠C B A ，那么c b a ::等于 (A)3:2:1 (B)2:3:1 (C) 9:4:1 (D) 3:2:1 4.某工厂今年第二季度的产值比第一季度的产值增长了x %,第三季度的产值又比第二季度的产值增长了%x ,则第三季度的产值比第一季度的产值增长了 (A) %2x (B) %2x + (C) %%)1(x x + (D) %%)2(x x + 5.如图1,⊙A,⊙B,⊙C 两两不相交,且半径均为则图中三个阴影部分的面积之和为 (A) 12π (B)8π (C) 6π (D)4π 6.已知,11=-a a 那么a a +1值是 (A) 5 (B) 5± (C)3± (D)5或1 7.如图2,ABC ?中，CB AD ⊥于D (1) 090=∠+∠DAC B ; (2) DAC B ∠=∠; (3) ABC ?的外接圆的圆心在BC 上; (4) AB AC AD CD =; 其中一定能够判断ABC ?是直角三角形的共有（A ）4个（B ）3个（C ）2个（D ）1个 8.某校计划在校园内修建一座周长为20米的花坛,同学们设计出正三角形、正方形和圆三种图案，其中使花坛面积最大的图案是（A ）正三角形（B ）正方形（C ）圆（D ）不能确定学校姓名编密封线内不要答题封线内不要答题 O

人教版七年级下册数学期末专项复习题：简单的不定方程、方程组【含答案】

人教版七年级下册数学期末专项复习题：简单的不定方程、方程组【含答案】阅读与思考如果方程(组)中，未知数的个数多于方程的个数，那么解往往有无穷多个，不能唯一确定，这样的方程(组)称为不定方程(组)．对于不定方程(组)，我们常常限定只求整数解，甚至只求正整数解．加上这类限制后，解可能唯一确定，或只有有限个，或无解．这类问题有以下两种基本类型： 1．判定不定方程(组)有无整数解或解的个数； 2．如果不定方程(组)有整数解，求出其全部整数解．二元一次不定方程是最简单的不定方程，一些不定方程(组)常常转化为二元一次不定方程求其整数解．解不定方程(组)，没有固定的方法可循，需具体问题具体分析，经常用到整数的整除、奇数偶数、因数分解、不等式分析、穷举、分离整数、配方等知识与方法．根据方程(组)的特点进行适当变形，并灵活运用相关知识与方法是解不定方程(组)的基本思路．例题与求解【例1】满足222219981997m n +=+ (0＜m ＜n ＜1 998)的整数对(m ，n )共有_______对． (全国初中数学联赛试题) 解题思路：由方程特点，联想到平方差公式，利用因数分解来解答．【例2】电影票有10元，15元，20元三种票价，班长用500元买了30张电影票，其中票价为20元的比票价为10元的多( )． A ．20张 B ．15张 C ．10张 D ．5张 (“希望杯”邀请赛试题) 解题思路：设购买10元，15元，20元的电影票分别为x ，y ，z 张．根据题意列方程组，整体求出的z －x 值．【例3】某人家中的电话号码是八位数，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得14 405，将前三位数组成的数与后五位数组成的数相加得16 970，求此人家中的电话号码．

竞赛辅导12奇数和偶数

竞赛讲座－奇数和偶数整数中，能被2整除的数是偶数，反之是奇数，偶数可用2k表示，奇数可用2k+1表示，这里k是整数. 关于奇数和偶数，有下面的性质：（1）奇数不会同时是偶数；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；（2）奇数个奇数和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；（3）两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；（4）若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇数偶；（5）n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；顺式中有一个是偶数，则乘积是偶数. 以上性质简单明了，解题时如果能巧妙应用，常常可以出奇制胜. 1.代数式中的奇偶问题例1（第2届“华罗庚金杯”决赛题）下列每个算式中，最少有一个奇数，一个偶数，那么这12个整数中，至少有几个偶数？ □+□=□，□-□=□， □×□＝□□÷□＝□. 解因为加法和减法算式中至少各有一个偶数，乘法和除法算式中至少各有二个偶数，故这12个整数中至少有六个偶数. 例2 （第1届“祖冲之杯”数学邀请赛）已知n是偶数，m是奇数，方程组是整数，那么（A）p、q都是偶数. （B）p、q都是奇数. （C）p是偶数，q是奇数（D）p是奇数，q是偶数分析由于1988y是偶数，由第一方程知p=x=n+1988y，所以p是偶数，将其代入第二方程中，于是11x也为偶数，从而27y=m-11x为奇数，所以是y=q奇数，应选（C）

例3 在1，2，3…，1992前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数. 分析因为两个整数之和与这两个整数之差的奇偶性相同，所以在题设数字前面都添上正号和负号不改变其奇偶性，而1+2+3+…+1992==996×1993为偶数于是题设的代数和应为偶数. 2.与整除有关的问题例4（首届“华罗庚金杯”决赛题）70个数排成一行，除了两头的两个数以外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数的和，这一行最左边的几个数是这样的：0，1，3，8，21，….问最右边的一个数被6除余几？解设70个数依次为a1,a2,a3据题意有 a1=0, 偶 a2=1 奇 a3=3a2-a1, 奇 a4=3a3-a2, 偶 a5=3a4-a3, 奇 a6=3a5-a4, 奇 ……………… 由此可知：当n被3除余1时，a n是偶数；当n被3除余0时，或余2时，a n是奇数，显然a70是3k+1型偶数，所以k必须是奇数，令k=2n+1，则 a70=3k+1=3(2n+1)+1=6n+4. 解设十位数，五个奇数位数字之和为a，五个偶数位之和为b(10≤a≤35,10≤b≤35)，则a+b=45，又十位数能被11整除，则a-b应为0，11，22（为什么？）.由于a+b与a-b有相同的奇偶性，因此a-b=11即a=28，b=17. 要排最大的十位数，妨先排出前四位数9876，由于偶数位五个数字之和是17，现在8+6=14，偶数位其它三个数字之和只能是17-14=3，这三个数字只能是2，1，0. 故所求的十位数是9876524130. 例6（1990年日本高考数学试题）设a、b是自然数，且有关系式

初二数学培优之配方法

初二数学培优之配方法阅读与思考把一个式子或一个式子的部分写成完全平方式或者几个完全平方式的和的形式，这种方法叫配方法，配方法是代数变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧. 配方法的作用在于改变式子的原有结构，是变形求解的一种手段；配方法的实质在于揭示式子的非负性，是挖掘隐含条件的有力工具. 配方法解题的关键在于“配方”，恰当的“拆”与“添”是配方常用的技巧，常见的等式有： 1、222 2()a ab b a b ±+=± 2、2 a b ±= 3、2222 222()a b c ab bc ca a b c +++++=++ 4、2 2 2 2221 [()()()]2 a b c ab bc ac a b b c a c ++---= -+-+- 配方法在代数式的求值，解方程、求最值等方面有较广泛的应用，运用配方解题的关键在于： (1) 具有较强的配方意识，即由题设条件的平方特征或隐含的平方关系，如2 a = 能联想起配方法. (2) 具有整体把握题设条件的能力，即善于将某项拆开又重新分配组合，得到完全平方式. 例题与求解【例1】已知实数x ，y ，z 满足2 5,z 9x y xy y +==+- ，那么23x y z ++=_____ (“祖冲之杯”邀请赛试题) 解题思路：对题设条件实施变形，设法确定x ， y 的值. 【例2】若实数a ，b ， c 满足222 9a b c ++= ，则代数式2 2 2 ()()()a b b c c a -+-+- 的最大值是 ( ) A 、27 B 、18 C 、15 D 、12 (全国初中数学联赛试题) 解题思路：运用乘法公式，将原式变形为含常数项及完全平方式的形式.