2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总--将军饮马问题及其11种变形汇总

2020年中考数学压轴题线段和差最值问题汇总

---------将军饮马专题古老的数学问题“将军饮马”，“费马点”，“胡不归问题”，“阿氏圆”等都运用了化折为直的数学思想这类问题也是中考试题当中比较难的一类题目，常常出现在填空题压轴题或解答题压轴题中，那么如何破解这类压轴题呢？

【问题概述】最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径．算法具体的形式包括：

1.定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题．

2．确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题．

3.定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径．

4．全局最短路径问题：求图中所有的最短路径．

【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”。

【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”．

【出题背景】直线、角、三角形、菱形、矩形、正方形、圆、坐标轴、抛物线等．

【解题思路】“化曲为直”

题型一：两定一动，偷过敌营。

题型二：两定一动，将军饮马。

例1：如图， AM ⊥EF ，BN ⊥EF ，垂足为M 、N ，MN ＝12m ，AM ＝5m ，BN ＝4m ， P 是EF 上任意一点，则PA ＋PB 的最小值是______m ．

分析：

这是最基本的将军饮马问题，A ，B 是定点，P 是动点，属于两定一动将军饮马型，根据常见的“定点定线作对称”，可作点A 关于EF 的对称点A ’，根据两点之间，线段最短，连接A ’B ，此时A ’P ＋PB 即为A ’B ，最短．而要求A ’B ，则需要构造直角三角形，利用勾股定理解决． 解答：

作点A 关于EF 的对称点A ’，过点A ’作A ’C ⊥BN 的延长线于C ．易知A ’M ＝AM ＝NC ＝5m ，BC ＝9m ，A ’C ＝MN ＝12m ，在Rt △A ’BC 中，A ’B ＝15m ，即PA ＋PB 的最小值是15m ．

例2：如图，在等边△ABC 中，AB = 6，AD ⊥BC ，E 是AC 上的一点，M 是AD 上的一点，且AE = 2，求EM+EC 的最小值

解：点C 关于直线AD 的对称点是点B ，连接BE ，交AD 于点M ，则ME+MD 最小， 过点B 作BH ⊥AC 于点H ，

则EH = AH – AE = 3 – 2 = 1，BH = BC 2 - CH 2 = 62 - 32 = 3 3

在直角△BHE 中，BE = BH 2 + HE 2 = (33)2 + 12 = 27

D

B C

D C

B

P E D C B A E D C B A

A （3对应练习题

1．如图，在△ABC 中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边

上一动点，则EC+ED 的最小值是 。

2.在菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，点E 、F 分别是边 AB 、BC 的中点，点P 在AC 上运动，在运动过程中，存在PE+PF 的最小值，则这个最小值是 .

3．如图，点C 的坐标为（3，y ），当△ABC 的周长最短时，求y 的值。

4．如图，正方形ABCD 的面积是12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD

内，在对角线AC 上有一点P ，则PD+PE 的最小值为 。

题型三：两动一定，无路可逃。

例1:P为∠AOB内一定点，M，N分别为射线OA，OB上一点，当△PMN周长最小时，∠MPN ＝80°．

（1）∠AOB＝。

（2）求证：OP平分∠MPN

分析：

这又是一定两动型将军饮马问题，我们应该先将M，N的位置找到，再来思考∠AOB的度数，显然作点P关于OA的对称点P’，关于OB的对称点P’’，连接P’P’’，其与OA交点即为M，OB交点即为N，如下图，易知∠DPC与∠AOB互补，则求出∠DPC的度数即可．

解答：

（1）法1：如图，∠1＋∠2＝100°，∠1＝∠P’＋∠3＝2∠3，∠2＝∠P’’＋∠4＝2∠4，则∠3＋∠4＝50°，∠DPC＝130°，∠AOB＝50°．

再分析：

考虑到第二小问要证明OP平分∠MPN，我们就连接OP，则要证∠5＝∠6，显然很困难，这时候，考虑到对称性，我们再连接OP’，OP’’，则∠5＝∠7，∠6＝∠8，问题迎刃而解．

解答：

（1）法2：易知OP’＝OP’’，∠7＋∠8＝∠5＋∠6＝80°，∠P’OP’’＝100°，由对称性知，∠9＝∠11，∠10＝∠12，∠AOB＝∠9＋∠10＝50°

O （2）由OP ’＝OP ’’，∠P ’OP ’’＝100°知，∠7＝∠8＝40°，∠5＝∠6＝40°，OP 平分∠MPN ．

例2：如图，在五边形ABCDE 中，∠BAE ＝136°，∠B ＝∠E ＝90°，在BC 、DE 上分别找一点M 、N ，使得△AMN 的周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数为________．

分析：

这又是典型的一定两动型将军饮马问题，必然是作A 点关于BC 、DE 的对称点A ′、A ″，连接A ′A ″，与BC 、DE 的交点即为△AMN 周长最小时M 、N 的位置．

解答：

如图， ∵∠BAE ＝136°， ∴∠MA ′A ＋∠NA ″A ＝44°由对称性知，

∠MAA ′＝∠MA ′A ，∠NAA ″＝∠NA ″A ， ∠AMN ＋∠ANM ＝2∠MA ′A ＋2∠NA ″A ＝88°

对应练习题

1.如图，∠AOB=30°，∠AOB 内有一定点P ，且OP=10，在OA 上有一点Q ，OB 上有一点R 。若△PQR 周长最小，则最小周长是多少？

2.如图，∠AOB=30°，点M 、N 分别是射线OA 、OB 上的动点，OP 平分∠AOB ，且OP=6，当△PMN 的周长最小值为 ．

3．如图，∠MON=40°，P 为∠MON 内一定点，A 为OM 上的点，B 为ON 上的点，

当△PAB 的周长取最小值时：

（1）找到A 、B 点，保留作图痕迹；

（2）求此时∠APB 等于多少度。如果∠MON= ，∠APB 又等于多少度？

4.点 C 为∠AOB 内一点．（1）在 OA 求作点 D ，OB 上求作点 E ，使△CDE 的周长最小，请画出图形；（2）在（1）的条件下，若∠AOB ＝30°，OC ＝10，求△CDE 周长的最小值和此时∠DCE 的度数．

O

N

题型四：两定两动，双双落网。

例1：已知A（2，4）、B（4，2）．C在y轴上，D在x轴上，则四边形ABCD的周长最小值为_________．此时C、D两点的坐标分别为_________．

题型五：两定一动，造桥选址。

例1：如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.乔早在何处才能使从A到B 的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）

解：如图，平移A到A1，使ＡA1等于河宽，连接A1Ｂ交河岸于Ｎ作桥ＭＮ，此时路径ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.

理由；另任作桥Ｍ１Ｎ１，连接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.

由平移性质可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.

AM+MN+BN转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１转化为ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１. 在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由线段公理知A1N1+BN1＞A1B

因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞ AM+MN+BN