成人高考文科数学知识梳理提纲

成人高考文科数学知识梳理提纲

听课、做题，勤看书、勤记忆，真正重视起来，真正行动起来! 此外，没有什么捷径！

1.集合：会用列举法、描述法表示集合，会集合的交、并、补运算，能借助

数轴解决集合运算的问题，具体参看课本例2、4、5.

2.充分必要条件

要分清条件和结论，由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若B A ?，则A 是B 的充分条件；若B A ?，则A 是B 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件。

例1：对“充分必要条件”的理解.请看两个例子： （1）“29x =”是“3x =”的什么条件？

（2）2x >是5x >的什么条件？

我们知道，若A B ?，则A 是B 的充分条件，若“A B ?”，则A 是B 的必要条件，但这种只记住定义的理解还不够，必须有自己的理解语言：“若A B ?，即是A 能推出B ”，但这样还不够具体形象，因为“推出”指的是什么还不明确；即使借助数轴、文氏图，也还是“抽象”的；如果用“A 中的所有元素能满足B ”的自然语言去理解，基本能深刻把握“充分必要条件”的内容.本例中，29x =即集合{3,3}-，当中的元素3-不能满足或者说不属于{3}，但{3}的元素能满足或者说属于{3,3}-.假设}3|{},9|{2====x x B x x A ，则满足“A B ?”，故“29x =”是“3x =”的必要非充分条件，同理2x >是5x >的必要非充分条件. 3.直角坐标系 注意某一点关于坐标轴、坐标原点、,y x y x ==-的坐标的写法。如

点（2，3）关于x 轴对称坐标为（2，-3），

点（2，3）关于y 轴对称坐标为（-2，3）， 点（2，3）关于原点对称坐标为（-2，-3）， 点（2，3）关于y x =轴对称坐标为（3，2）， 点（2，3）关于y x =-轴对称坐标为（-3，-2），

4.函数的三要素：定义域、值域、对应法则，如果两个函数三要素相同，则是相同函数。

5.会求函数的定义域，做21页第一大题

6.函数的定义域、值域、解析式、单调性、奇偶性性、周期是重要的研究内容，尤其是定义域、一次和二次函数的解析式，单调性最重要。

7. 函数的奇偶性。

（1）具有奇偶性的函数的定义域的特征：定义域必须关于原点对称！为此确定函数的奇偶性时，务必先判定函数定义域是否关于原点对称。

（2）确定函数奇偶性的常用方法（若所给函数的解析式较为复杂，应先化简，再判断其奇偶性）：

①定义法：②利用函数奇偶性定义的等价形式：()()0f x f x ±-=或()

1()

f x f x -=±（()0f x ≠）。③图像法：奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y 轴对称。

常见奇函数：13

3

5

,,,,sin ,tan y x y x y x y x y x y x ===-===，指数是奇数 常见偶函数：220,,,,cos y k y x y x y x y x -===== 一些规律：两个奇函数相加或者相减还是奇函数，两个偶函数相加或者相减还是偶函数，但是两种函数加减就是非奇非偶，两种函数乘除是奇函数，例如

sin tan cos x

y x x

==

是奇函数. （3）函数奇偶性的性质：

①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数，那么其反函数一定还是奇函数. ③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==. ④奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.故(0)0f =是()f x 为奇函数的既不充分也不必要条件。

8.函数的单调性：一般用来比较大小，而且主要用来比较指数函数、对数函数的大小，此外，反比例函数、一次函数、二次函数的单调性也比较重要，要熟记他们的图像的分布和走势。熟记课本第11页至13页的图和相关结论。

一次函数、反比例函数 p17 例5 p20 例8

9.二次函数表达形式有三种：一般式：2()f x ax bx c =++；顶点式：2()()f x a x m n =-+；零点式：12()()()f x a x x x x =--，要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式。

课本中的p17 例5（4） 例6、例7，例10 例11；习题p23 8、9、10、11

10.一元一次不等式的解法关键是化为ax b >，再把x 的系数化为1，注意乘以或者除以一个负数不等号的方向要改变；一元一次不等式组最后取个不等式的交集，即数轴上的公共部分。做p42 4、5、6大题

11.绝对值不等式只要求会做：||ax b c c ax b c +

||ax b c c ax b +>?<+或者ax b c +<-，一定会去绝对值符号。做p43 7

12.一元二次不等式是重点，阅读课文33至34的图表及39至42页的例题。做43页8、9、10、11、12

设0a >,

,x x 是方程20ax bx c ++=的两实根，且x x <，则其解集如下表： 对于方程0=++c bx ax 有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a 是否为0，其次若0≠a ，则一定有042≥-=?ac b 。

13. 数列的同项公式与前n 项的和的关系

11,

1,2

n n n s n a s s n -=?=?

-≥?( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++). 等差数列的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；

其前n 项和公式为1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-.

等比数列的通项公式1*11()n n n a

a a q q n N q

-==?∈；

其前n 项的和公式为11

(1),11,1n n a q q s q na q ?-≠?=-??=?或11,11,1

n n a a q

q q s na q -?≠?

-=??=?.

14. 等差数列的性质：

（1）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=

(2) 若{}n a 、是等差数列，

232,,n n n n n S S S S S -- ，…也成等差数列

（3）在等差数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S S nd =偶奇－；项数为奇数21n -时，

S S a -=奇偶中，21(21)n S n a -=-?中（这里a 中即n a ）；:(1):奇偶S S k k =+。 (4)如果两等差数列有公共项，那么由它们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列，且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最小公倍数.

注意：公共项仅是公共的项，其项数不一定相同，即研究n m a b =.

15.等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分1q =和1q ≠两种情形讨论求解。 16.等比数列的性质：

（1）当m n p q +=+时，则有m n p q a a a a =，特别地，当2m n p +=时，则有

2m n p a a a =.

(2) 若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等

比数列。

当1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…是常数数列0，它不是等比数列.

(3) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，

1S a qS =+奇偶.

(4)数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

这一章主要是找数字的规律，写出数列通项公式，但对等差和等比数列要求比较高，会有较大的比重，出解答题，48页起的例2、3、4、5是基础题，例6、7、8、9是中档题目，例10、11、12是综合题。最要紧做55页的题目。

17. 导数的几何意义：曲线y ＝f （x ）在点P （x 0,f(x 0)）处的切线的斜率是).(0x f '相应地，

切线方程是);)((000x x x f y y -'=-

18.导数的应用：

（1）利用导数判断函数的单调性：设函数y ＝f （x ）在某个区间内可导， 如果,0)(>'x f 那么f(x)为增函数；如果,0)(<'x f 那么f(x)为减函数； 如果在某个区间内恒有,0)(='x f f(x)为常数；

（2）求可导函数极值的步骤：①求导数)(x f '；②求方程0)(='x f 的根；③检验)(x f '在方程0)(='x f 根的左右的符号，如果左正右负，那么函数y=f(x)在这个根处取得最大值；如果左负右正，那么函数y=f(x)在这个根处取得最小值。

19.本章重点是求曲线在一点处的切线方程和多项式的导数，会求函数最大值最小值和极值。课本61页例1、3、4、5和64页习题要过一过关。

20.三角函数 本章出2个小题，1个大题，不是重点内容

1象限角的概念：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象

限。

2.弧长公式：||l R α=，扇形面积公式： 211||22

S lR R α==，1弧度(1rad)57.3≈.

3、任意角的三角函数的定义：设α是任意一个角，P (,)x y 是α的终边上的任意一点（异于原点），

它与原点的距离是0r =>，那么sin ,cos y x r r αα==，()tan ,0y

x x

α=≠，

cot x

y

α=(0)y ≠

4.特殊角的三角函数值：

5.三角函数的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构。即首先观察角

与角之间的关系，

称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点。

6.基本公式:

1．常见三角不等式 （1）若(0,

)2x π

∈，则

sin tan x x x <<.

(2) 若(0,

)2

x π

∈，则 1sin cos x x <+≤(3) |sin ||cos |1x x +≥.

2.同角三角函数的基本关系式

22sin cos 1θθ+=，tan θ=

θ

θ

cos sin ， tan 1cot θθ?=.

3.正弦、余弦的诱导公式（参看课本77-78页） 注意规律：横不变名竖变名，正负看象限

（1）负角变正角，再写成2k π+α,02απ≤<； (2)转化为锐角三角函数。 4.和角与差角公式

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβ

αβ±=;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

.sin cos a b αα+=)α?+(辅助角?所在象限

由点(,)a b 的象限决定,tan b

a ?= ).

5.二倍角公式

sin 2sin cos ααα=，2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

22tan tan 21tan α

αα

=

-. 6.三角函数的周期公式

函数sin()y x ω?=+，x ∈R 及函数cos()y x ω?=+，x ∈R(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω

=

； 函数tan()y x ω?=+，,2

x k k Z π

π≠+

∈(A,ω,?为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω

=

. 重要例题：96至101的例1到例5

21.解三角形就完成模拟试题的相关习题即可。 22.平面向量 看125页例1、2、4、5、6及习题1、2、3

实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么(1) 结合律：λ(μa )=(λμ)a ; (2)第一分配律：(λ+μ)a =λa +μa; (3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb . 2.向量的数量积的运算律： (1) a ·b= b ·a （交换律）; (2)（λa ）·b= λ（a ·b ）=λa ·b = a ·（λb ）;

(3)（a +b ）·c= a ·c +b ·c.

切记：两向量不能相除(相约)；向量的“乘法”不满足结合律， 4.向量平行的坐标表示

设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0， 则a b(b ≠0)12210x y x y ?-=.

5.a 与b 的数量积(或内积)a ·b =|a ||b |cos θ．

6. a ·b 的几何意义

数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 7.平面向量的坐标运算

(1)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a+b=1212(,)x x y y ++. (2)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a-b=1212(,)x x y y --. (3)设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ,

则2121(,)AB OB OA x x y y =-=--. (4)设a =(,),x y R λ∈，则λa=(,)x y λλ.

(5)设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，则a ·b=1212()x x y y +. 8.两向量的夹角公式

cos θ=

(a =11(,)x y ,b =22(,)x y ).

9.平面两点间的距离公式(A 11(,)x y ，B 22(,)x y ).

,A B d =||AB AB AB =

?=10.向量的平行与垂直

设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0， 则A ||b ?b =λa 12210x y x y ?-=. a ⊥b(a ≠0)?a ·b=012120x x y y ?+=.

11.“按向量平移”：点(,)P x y 按向量a =(,)h k 平移后得到点'(,)P x h y k ++.

23. 直线方程（重点章节） 看132至135页例1、2、3

1.直线的五种方程

（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )．

（2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).

11

2121

y y x x y y x x --=--

(4)截距式1x y a b

+=(a b 、为直线横纵截距，0a b ≠、（5）一般式0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).

2..两条直线的平行和垂直

(1)若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+

①121212||,l l k k b b ?=≠;②12121l l k k ⊥?=-.

(2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,且A 1、A 2、B 1、B 2都不为零,①

111

12222

||A B C l l A B C ?

=≠；②1212120l l A A B B ⊥?+=；

3.点到直线的距离

d =

(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).

4. 圆的四种方程 做一做第153页练习1、2、3 （1）圆的标准方程 2

2

2

()()x a y b r -+-=. （2）圆的一般方程 2

20x y Dx Ey F ++++= (224D E F +-＞0). 5.直线与圆的位置关系

直线0=++C By Ax 与圆2

2

2

)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:

0相离r d ; 0=???=相切r d ; 0>???<相交r d .其中2

2

B

A C Bb Aa d +++=

.

二．基础知识:

(一)椭圆及其标准方程 p159例1、例2 1.椭圆的定义：

椭圆的定义中，平面内动点与两定点1F 、2F 的距离的和大于|1F 2F |这个条件不可忽视.若这个距离之和小于|1F 2F |，则这样的点不存在；若距离之和等于|1F 2F |，则动点的轨迹是线段1F 2F .

2.椭圆的标准方程：（a ＞b ＞0）

12222=+b y a x 122

22=+b

x a y 3.椭圆的标准方程判别方法：判别焦点在哪个轴只要看分母的大小：如果2

x 项的分母大于

2y 项的分母，则椭圆的焦点在x 轴上，反之，焦点在y 轴上. 3椭圆的简单几何性质（a ＞b ＞0）.

椭圆的几何性质：设椭圆方程12

2

22=+b

y a x

线段1A 2A 、1B 2B 分别叫做椭圆的长轴和短轴.它们的长分别等于2a 和2b ， 离心率： a c e

=

e =＜e ＜1.e 越接近于1时，

椭圆越扁；反之，e 越接近于0时，椭圆就越接近于圆.

4双曲线及其标准方程 p167 例1、例2

双曲线的定义：平面内与两个定点1F 、2F 的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|1F 2F |）的动点M 的轨迹叫做双曲线.在这个定义中，要注意条件2a ＜|1F 2F |，这一条件可以用“三角形的两边之差小于第三边”加以理解.若2a=|1F 2F |，则动点的轨迹是两条射线；若2a ＞|1F 2F |，则无轨迹.

若1MF ＜2MF 时，动点M 的轨迹仅为双曲线的一个分支，又若1MF ＞2MF 时，轨迹为双曲线的另一支.而双曲线是由两个分支组成的，故在定义中应为“差的绝对值”. 双曲线的标准方程判别方法是：如果2

x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2

y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 5.双曲线的简单几何性质

双曲线12222=-b y a x 实轴长为2a ，虚轴长为2b ，离心率a c e ==e 越大，

开口越大.

双曲线12222=-b y a x 的渐近线方程为x a b

y ±=或表示为02222=-b

y a x .若已知双曲线

的渐近线方程是x n

m

y ±=，即0=±ny mx ，那么双曲线的方程具有以下形式：

k y n x m =-2222，其中k 是一个不为零的常数.

双曲线的方程与渐近线方程的关系

(1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a

b

y ±=.

(2)若渐近线方程为x a

b

y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x .

(3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22

22b

y a x （0>λ，焦点在x 轴上，

0<λ，焦点在y 轴上）.

抛物线 p175页表格，176页例1、例2、例4