求函数解析式习题 (含答案)
一、选择题
1、已知f （x x +-11）＝2211x x +-，则f （x ）的解析式可取为（ ）
A. 21x x +
B. －212x x +
C. 212x x
+
D. －21x x + 2、若f （sin x ）＝2－cos2x ，则f （cos x ）等于（ ）
A. 2－sin2x
B. 2＋sin2x
C. 2－cos2x
D. 2＋cos2x 3、已知(10)x f x =，则(5)f =（ ）
A. 510
B. 10
5 C. lg10 D. lg 5
*4、北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底将更新现有总车辆数的（参考数据：1. 14＝1. 46，1. 15＝1. 61） （ ） A. 10% B. 16.4% C. 16.8% D. 20%
**5、函数y ＝22
11x x +-的值域是（ ）
A. ［－1，1］
B. ]1,1(-
C. [－1，1)
D. （－1，1）
6、已知函数f （x ）＝2x ,则f （1－x ）的图像为 （ ）
7、已知2211()1f x x x x -=++，则()f x ＝
8、已知
2(3)21f x x =-，则()f x ＝ 9、(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=.
(2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠.
(3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠.
(4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==.
(5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+， 0()(0)1,lim 1x g x f x
→==. 10、从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，摇匀后再倒出1升，再用水填满，这样持续进行，如果倒k 次（k ≥1）后共倒出纯酒精x 升，倒第k ＋1次后共倒出纯酒精f （x ）升，则函数f （x ）的表达式为 。
三、解答题
11、已知f （x ）是一次函数, 且f [f （x ）]＝4x -1, 求f （x ）的解析式。
12、用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并写出其定义域。
13、函数y＝f（x）与y＝g（x）的图像如图所示，设F（x）＝f（x）g（x），求F（x）取得最大值时相应的x的值.
【试题答案】
一、选择题：
1、解析：令x x +-11＝t ，则x ＝t t +-11，
∴f （t ）＝122+t t 。∴f （x ）＝122+x x
。
答案：C 2、解析：∵f （sin x ）＝2－（1－2sin 2x ）＝1＋2sin 2x ，
∴f （cos x ）＝f [sin （2π－x ）]＝1＋2sin 2（2π
－x ）＝1＋2cos 2x ＝2＋cos2x 。 答案：D
3、D
4、B
5、B 解法一：y ＝2211x x +-＝212
x +－1。
∵1＋x 2≥1，
∴0＜212
x +≤2∴－1＜y ≤1。
解法二：由y ＝22
11x x +-，得x 2＝y y +-11。
∵x 2≥0，∴y y
+-11≥0，解得－1＜y ≤1。
6、C
二
7、
2()3f x x =+ 8、22()19f x x =-
10、f （x ）＝19x/20＋1（倒k 次后剩余酒精为20-x 升）
三、解答题
11、解：设f （x ）＝kx ＋b 则 k （kx ＋b ）＋b ＝4x -1
则
⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧-=+=3121)1(42b k b k k 或 ⎩⎨⎧=-=12b k ∴312)(-=x x f 或12)(+-=x x f
12、解：∵AB ＝2x ，则＝πx ，AD ＝2π2x x l --。
∴y ＝2x ·2π2x x l --＋22πx ＝－（2π
＋2）x 2＋lx 。
由⎪⎩⎪⎨⎧-->2π2,02x x l x ＞0，解得0＜x ＜2π+l 。
13、解：2,[0,16)()1344,[16,24]8 x x f x x x +∈⎧⎪=⎨-+∈⎪⎩，1()10,[0,24]3g x x x =-+∈
1(2)10,[0,16)3()1314410,[16,24]83 x x x F x x x x ⎧+-+∈⎪⎪=⎨⎪-+-+∈⎪⎩（）（）(） ＝2212820,[0,16)3313371440,[16,24]2412 x x x x x x ⎧-++∈⎪⎪⎨⎪-+∈⎪⎩
当x ∈)16,0[时，F （x ）＝ －21282033x x ++＝－13（x －14）2＋3256，当x ＝14
时，F （x ）max ＝256
3
当[16,24]x ∈时，F （x ）＝2133714402412x x -+，因为其对称轴－2b a ＝12371>24，故
当x ＝16时，F （x ）max ＝84，又因为84<256
3，所以x ＝14时，F （x ）取得最大值。
(完整版)函数解析式的练习题兼答案
函数解析式的求法 (1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法；1．已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=x+2，则f（x）=（） A．x+1 B．2x﹣1 C．﹣x+1 D．x+1或﹣x﹣1 【解答】解：f（x）是一次函数，设f（x）=kx+b，f[f（x）]=x+2， 可得：k（kx+b）+b=x+2．即k2x+kb+b=x+2，k2=1，kb+b=2． 解得k=1，b=1．则f（x）=x+1．故选：A． (2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； 9．若函数f（x）满足f（3x+2）=9x+8，则f（x）是（） A．f（x）=9x+8 B．f（x）=3x+2 C．f（x）=﹣3﹣4 D．f（x）=3x+2或f（x）=﹣3x﹣4 【解答】解：令t=3x+2，则x=，所以f（t）=9×+8=3t+2． 所以f（x）=3x+2．故选B． (3)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的解析式； 18．已知f（）=，则（） A．f（x）=x2+1（x≠0）B．f（x）=x2+1（x≠1） C．f（x）=x2﹣1（x≠1）D．f（x）=x2﹣1（x≠0） 【解答】解：由， 得f（x）=x2﹣1， 又∵≠1， ∴f（x）=x2﹣1的x≠1．故选：C． 19．已知f（2x+1）=x2﹣2x﹣5，则f（x）的解析式为（） A．f（x）=4x2﹣6 B．f（x）= C．f（x）=D．f（x）=x2﹣2x﹣5 【解答】解：方法一：用“凑配法”求解析式，过程如下： ； ∴． 方法二：用“换元法”求解析式，过程如下： 令t=2x+1，所以，x=（t﹣1）， ∴f（t）=（t﹣1）2﹣2×（t﹣1）﹣5=t2﹣t﹣，
求二次函数的解析式专项练习60题(有答案)
求二次函数解析式专项练习 60 题（有答案） 1．已知二次函数图象的顶点坐标是（ 1，﹣ 4），且与 y 轴交于点（ 0，﹣ 3），求此二次函数的解析式． 2 2．已知二次函数 y=x 2+bx+c 的图象经过点 A （﹣ 1， 12）， B （ 2，﹣ 3）． （1）求这个二次函数的解析式． （ 2）求这个图象的顶点坐标及与 x 轴的交点坐标． 2 3．在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=﹣x 绕点 O 顺时针旋转 90°得到直线 l ，直线 l 与二次函数 y=x 2+bx+2 图象 的 一个交点为（ m ， 3），试求二次函数的解析式． 5．已知二次函数 y=ax 2+bx+c ，其自变量 x 的部分取值及对应的函数值 y 如下表所示： （1）求这个二次函数的解析式； （2）写出这个二次函数图象的顶点坐标． x ? ﹣ 2 0 2 ? y ? ﹣ 1 1 11 ? 6．已知抛物线 y=x 2+（m+1）x+m ，根据下列条件分别求 m 的值． （1）若抛物线过原点； （ 2）若抛物线的顶点在 x 轴上； （ 3）若抛物线的对称轴为 x=2． 4．已知抛物线 2， 4），求 a ，b ，c 的值． 2 y=ax 2+bx+c 与抛物线 形状相同，顶点坐标为（﹣
7．已知抛物线经过两点A（1，0）、B（0，3），且对称轴是直线x=2，求其解析式． 8．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问 题（1）写出y>0时，x 的取值范围_________ ； （2）写出y 随x 的增大而减小的自变量x 的取值范围 ____________________________________________________________ ； 2 9．已知二次函数y=x +bx+c 的图象经过点A（﹣2，5），B（1，﹣4）． （1）求这个二次函数解析式； （2）求这个图象的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标； （3）画出这个函数的图象． 10．已知：抛物线经过点A（﹣1，7）、B（2，1）和点C（0，1）．（1）求这条抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标． 11．若二次函数y=ax2+bx+c 的图象与y 轴交于点A（0，3），且经过B（1，0）、C（2，﹣1）两点，求此二次函数的解析式．
一次函数的解析式专项练习30题(有答案)
求一次函数解析式专项练习 1．已知A（2，﹣1），B（3，﹣2），C（a，a）三点在同一条直线上． （1）求a的值； （2）求直线AB与坐标轴围成的三角形的面积． 2．如图，直线l与x轴交于点A（﹣1.5，0），与y轴交于点B（0，3） （1）求直线l的解析式； （2）过点B作直线BP与x轴交于点P，且使OP=2OA，求△ABP的面积． 3．已知一次函数的图象经过（1，2）和（﹣2，﹣1），求这个一次函数解析式及该函数图象与x 轴交点的坐标．4．如图所示，直线l是一次函数y=kx+b的图象． （1）求k、b的值； （2）当x=2时，求y的值； （3）当y=4时，求x的值． 5．已知一次函数y=kx+b的图象与x轴交于点A（﹣6，0），与y轴交于点B．若△AOB的面积为12，求一次函数的表达式． 6．已知一次函数y=kx+b，当x=﹣4时，y的值为9；当x=6时，y的值为3，求该一次函数的关系式． 7．已知y与x+2成正比例，且x=0时，y=2，求： （1）y与x的函数关系式； （2）其图象与坐标轴的交点坐标．
8．如果y+3与x+2成正比例，且x=3时，y=7．（1）写出y与x之间的函数关系式； （2）画出该函数图象；并观察当x取什么值时，y＜0？ 9．直线y=kx+b是由直线y=﹣x平移得到的，此直线经过点A（﹣2，6），且与x轴交于点B．（1）求这条直线的解析式； （2）直线y=mx+n经过点B，且y随x的增大而减小．求关于x的不等式mx+n＜0的解集． 10．已知y与x+2成正比例，且x=1时，y=﹣6． （1）求y与x之间的函数关系式，并建立平面直角坐标系，画出函数图象； （2）结合图象求，当﹣1＜y≤0时x的取值范围．11．已知y﹣2与2x+1成正比例，且当x=﹣2时，y=﹣7，求y与x的函数解析式． 12．已知y与x﹣1成正比例，且当x=﹣5时，y=2，求y与之间的函数关系式． 13．已知一次函数的图象经过点A （，m）和B （，﹣1），其中常量m≠﹣1，求一次函数的解析式，并指出图象特征． 14．已知一次函数y=（k﹣1）x+5的图象经过点（1，3）． （1）求出k的值； （2）求当y=1时，x的值．
求函数解析式习题 (含答案)
一、选择题 1、已知f （x x +-11）＝2211x x +-，则f （x ）的解析式可取为（ ） A. 21x x + B. －212x x + C. 212x x + D. －21x x + 2、若f （sin x ）＝2－cos2x ，则f （cos x ）等于（ ） A. 2－sin2x B. 2＋sin2x C. 2－cos2x D. 2＋cos2x 3、已知(10)x f x =，则(5)f =（ ） A. 510 B. 10 5 C. lg10 D. lg 5 *4、北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底将更新现有总车辆数的（参考数据：1. 14＝1. 46，1. 15＝1. 61） （ ） A. 10% B. 16.4% C. 16.8% D. 20% **5、函数y ＝22 11x x +-的值域是（ ） A. ［－1，1］ B. ]1,1(- C. [－1，1) D. （－1，1） 6、已知函数f （x ）＝2x ,则f （1－x ）的图像为 （ ） 7、已知2211()1f x x x x -=++，则()f x ＝ 8、已知 2(3)21f x x =-，则()f x ＝ 9、(1)正比例函数()f x cx =,()()(),(1)f x y f x f y f c +=+=. (2)指数函数()x f x a =,()()(),(1)0f x y f x f y f a +==≠. (3)对数函数()log a f x x =,()()(),()1(0,1)f xy f x f y f a a a =+=>≠. (4)幂函数()f x x α=,'()()(),(1)f xy f x f y f α==. (5)余弦函数()cos f x x =,正弦函数()sin g x x =，()()()()()f x y f x f y g x g y -=+， 0()(0)1,lim 1x g x f x →==. 10、从盛满20升纯酒精的容器里倒出1升，然后用水填满，摇匀后再倒出1升，再用水填满，这样持续进行，如果倒k 次（k ≥1）后共倒出纯酒精x 升，倒第k ＋1次后共倒出纯酒精f （x ）升，则函数f （x ）的表达式为 。 三、解答题 11、已知f （x ）是一次函数, 且f [f （x ）]＝4x -1, 求f （x ）的解析式。 12、用长为l 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架（如图），若矩形底边长为2x ，求此框架围成的面积y 与x 的函数关系式，并写出其定义域。
高一数学函数求解析式专项训练(含答案)
函数求解析式专项训练 一、单选题（共8题；共16分） 1.（2020高一上·开鲁期中）若，则的解析式为（） A. B. C. D. 2.（2020高三上·哈尔滨月考）若，则的解析式为（） A. B. C. D. 3.（2020高一上·定远月考）已知，则的解析式为（） A. B. C. D. 4.（2020高一上·定远月考）已知f(x－1)＝x2，则f(x)的解析式为（） A. f(x)＝x2－2x－1 B. f(x)＝x2－2x＋1 C. f(x)＝x2＋2x－1 D. f(x)＝x2＋2x＋1 5.（2020高一上·泸县月考）已知函数，则的解析式是（） A. B. C. D. 6.（2020高一上·黄陵期中）已知，则的解析式为（） A. B. C. D. 7.（2020高二下·沈阳期末）已知，则的解析式为（） A. B. C. D. 8.（2020高一上·泉州期中）已知二次函数，，且，那么这个函数的解析式是（）． A. B. C. D. 二、填空题（共7题；共7分） 9.（2020高一上·湖南期中）已知，则的解析式为________. 10.（2020高一上·赣县月考）已知, 则的解析式为________. 11.（2020高一上·长治期中）已知则的解析式为________． 12.（2020高一上·大名期中）已知函数，则函数的解析式为________. 13.（2020高一上·江阴月考）已知，则的解析式为________.
14.（2020高二上·六安开学考）若函数满足，则的解析式为________. 15.（2020高一上·天津期中）设函数，，则的解析式是________. 三、解答题（共6题；共75分） 16.（2020高一上·广州期中）求下列函数的解析式. （1）已知一次函数满足，求； （2）已知，求. 17.（2020高三上·新疆月考）根据条件，求函数解析式. （1）； （2）； （3）； （4）已知是一元二次函数，且满足；. 18.（2020高一上·南阳月考）根据下列条件，求的解析式. （1），其中为一次函数； （2）. 19.（2019高一上·长春月考）求函数解析式 （1）已知是一次函数，且满足求． （2）已知满足，求． 20.（2019高一上·辽源期中）根据条件求下列各函数的解析式： （1）已知函数f(x＋1)＝3x＋2，则f(x)的解析式； （2）已知是一次函数，且满足，求的解析式； （3）已知满足，求的解析式. 21.（2019高一上·昌吉月考）求下列函数的解析式： （1）已知f(x)是二次函数，且f(0)＝2，f(x＋1)－f(x)＝x－1，求f(x)； （2）已知3f(x)＋2f(－x)＝x＋3，求f(x)．
函数解析式的几种基本方法及例题
求函数解析式的几种基本方法及例题： 1、凑配法： 已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式。（注意定义域） 例1、（1）已知f(x+1)=x 2+2x,求f(x)及f(x-2). （2） 已知221 )1 (x x x x f + =+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式 解：（1）f(x+1)=(x+1)2-1,∴f （x ）=x 2-1.f(x-2)=(x-2)2-1=x 2-4x+3. （2） 2)1()1 (2-+=+x x x x f ， 21≥+x x 2)(2-=∴x x f )2(≥x 2、换元法： 已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式。（注意所换元的定义域的变化） 例2 （1） 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f (2)如果).(,,)(x f x x x x f 时，求则当1011≠-= 解：（1）令1+=x t ，则1≥t ，2 )1(-=t x x x x f 2)1(+=+ ∴,1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 1)(2-=∴x x f )1(≥x x x x x f 21)1()1(22+=-+=+∴ )0(≥x (2)设.)(,,,111111111-=∴-=-===x x f t t t f t x t x t ） （代入已知得则
3、待定系数法: 当已知函数的模式求解析式时适合此法。应用此法解题时往往需要解恒等式。 例3、已知f(x)是二次函数，且满足f(x+1)+f(x-1)=2x 2-4x,求f(x). 解：设f(x)=ax 2+bx+c(a ≠0),∴f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)2+b(x+1)+c +a(x-1)2+b(x-1)+c=2ax 2+2bx+2a+2c=2x 2-4x, 则应有.)(1212102242222--=∴⎪⎩⎪ ⎨⎧-=-==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-==x x x f c b a c a b a 四、构造方程组法： 已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例4 设,)1 (2)()(x x f x f x f =-满足求)(x f 解 x x f x f =-)1(2)( ① 显然,0≠x 将x 换成 x 1 ，得： x x f x f 1 )(2)1(=- ② 解① ②联立的方程组，得： x x x f 323)(-- = 五、赋值法： 当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。
函数的解析式例题及答案
函数的解析式 目标：掌握求函数解析式的几种常用方法：待定系数法、配凑法、换元法，能将一些简单实际 问题中的函数的解析式表示出来；掌握定义域的常见求法及其在实际中的应用． 重点：能根据函数所具有的某些性质或所满足的一些关系，列出函数关系式；含字母参数的函 数，求其定义域要对字母参数分类讨论；实际问题确定的函数，其定义域除满足函数有意义外，还要符合实际问题的要求． 一、函数的解析式 （一）、函数的表示： 1、列表法：通过列出自变量与对应的函数值的表来表达函数关系的方法叫列表法 2、图像法：如果图形F 是函数)(x f y =的图像，则图像上的任意点的坐标满足函数的关系式，反之满足函数关系的点都在图像上.这种由图形表示函数的方法叫做图像法. 3、解析法：如果在函数)(x f y =)(A x ∈中，)(x f 是用代数式来表达的，这种方法叫做解析法 （二）、函数的解析式求法 题型1、代入法 例1、()21f x x =+，求(1)f x + 题型2、待定系数法 例2、二次函数()f x 满足(3)(1)f x f x +=-，且()0f x =的两实根平方和为10，图像过点(0,3)，求()f x 解析式 题型3、换元法 例3、已知：) 1f x =+，求()f x 。 练习：1、2134(31)x x f x +-+= ，求()f x 解析式 2、2(31)965f x x x +=-+，求()f x 解析式 题型4、消元法（构造方程组法） 例4、已知函数()f x ()21x f x x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，求函数()f x 的解析式。
练习、()()1f x f x x +-=-，求()f x 解析式 题型5、抽象函数的解析式的求法 例5、(06·重庆)已知定义域为R 的函数f(x)满足ƒ(f(x)-x 2+x)=f(x)-x 2+x. （Ⅰ）若f(2)=3,求f(1);又若f(0)=a,求f(a)； （Ⅱ）设有且仅有一个实数x 0,使得f(x 0)= x 0,求函数f(x)的解析表达式. 解：（Ⅰ）因为对任意x ∈R ，有f(f(x)- x 2 + x)=f(x)- x 2 +x ， 所以f(f(2)- 22+2)=f(2)- 22+2. 又由f(2)=3，得f(3-22+2)-3-22+2，即f(1)=1.； 若f(0)=a ，则f(a-02+0)=a-02+0，即f(a)=a. （Ⅱ）因为对任意x εR ，有f(f(x))- x 2 +x)=f(x)- x 2 +x.； 又因为有且只有一个实数x 0,使得f(x 0)- x 0. 所以对任意x ∈R ，有f(x)- x 2 +x= x 0.； 在上式中令x= x 0,有f(x 0)-x 20 + x 0= x 0, 又因为f(x 0)- x 0，所以x 0- x 20=0，故x 0=0或x 0=1.； 若x 0=0，则f(x)- x 2 +x=0，即f(x)= x 2 –x. 但方程x 2 –x=x 有两上不同实根，与题设条件矛质，故x 2≠0. 若x 2=1,则有f(x)- x 2 +x=1，即f(x)= x 2 –x+1.易验证该函数满足题设条件. 综上，所求函数为f(x)= x 2 –x+1（x ∈R ）. 题型6、实际应用问题 例6、用长为L 的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为x 2，求此框架围成的面积y 与x 的函数解析式. 练习：．某市郊空调公共汽车的票价按下列规则制定： （1） 乘坐汽车5公里以内，票价2元； （2） 5公里以上，每增加5公里，票价增加1元（不足5公里按5公里计算）． 已知两个相邻的公共汽车站间相距约为1公里，如果沿途（包括起点站和终点站）设20个汽车站，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象． 分析：本例是一个实际问题，有具体的实际意义．根据实际情况公共汽车到站才能停车，所以行车里程只能取整数值． 解：设票价为y 元，里程为x 公里，同根据题意， 如果某空调汽车运行路线中设20个汽车站（包括起点站和终点站），那么汽车行驶的里程约为19公里，所以自变量x 的取值范围是{x ∈N *| x ≤19}． 由空调汽车票价制定的规定，可得到以下函数解析式： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=5432y 19 1515 1010550≤<≤<≤<≤ 一次函数的解析式的专项练习之答禄夫天创作 一次函数的解析式的求法是初中函数的基础。 一. 一般型 例1. 已知函数y m x m =-+-()3328 是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知m m 28130-=-≠⎧⎨ ⎩ ∴=-m 3，故一次函数的解析式为y x =-+33 注意：利用定义求一次函数y kx b =+解析式时，要包管k ≠0。如本例中应包管m -≠30 二. 已知一点 例 2. 已知一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 解： 一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1） ∴-=-123k ，即k =1 故这个一次函数的解析式为y x =-3 变式问法：已知一次函数y kx =-3，当x =2时，y ＝－1，求这个函数的解析式。 三. 已知两点 已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。 解：设一次函数解析式为y kx b =+ 由题意得024=-+=⎧⎨ ⎩k b b 故这个一次函数的解析式为y x =+24 四. 已知图象 例 4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 解：设一次函数解析式为y kx b =+ 由图可知一次函数y kx b =+的图像过点（1，0）、（0，2） ∴有020=+=+⎧⎨ ⎩k b b 故这个一次函数的解析式为y x =-+22 五. 与座标轴相交 例5. 已知直线y kx b =+与直线y x =-2平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线l 1：y k x b =+11；l 2：y k x b =+22。当k k 12=，b b 12≠时，l l 12// 直线y kx b =+与直线y x =-2平行，∴=-k 2。 又 直线y kx b =+在y 轴上的截距为2，∴=b 2 故直线的解析式为y x =-+22 六. 平移 例 6. 把直线y x =+21向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 解析：设函数解析式为y kx b =+， 直线y x =+21向下平移2个单位得到的直线y kx b =+与直线y x =+21平行 直线y kx b =+在y 轴上的截距为b =-=-121，故图像解析式为 一次函数解析式典型题型 一. 定义型（一次函数即X 和Y 的次数为1） 例1. 已知函数y m x m =-+-()3328 是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知m m 281 30 -=-≠⎧⎨⎩ ∴=±≠⎧⎨ ⎩ m m 3 3 ∴=-m 3，故一次函数的解析式为y x =-+33 注意：利用定义求一次函数y kx b =+解析式时，要保证k ≠0。如本例中应保证m -≠30 二. 点斜型（已知斜率和经过的一点） 例2. 已知一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 解： 一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1） ∴-=-123k ，即k =1 故这个一次函数的解析式为y x =-3 变式问法：已知一次函数y kx =-3，当x =2时，y ＝－1，求这个函数的解析式。 三. 两点型（已知图像经过的两点） 已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为 解：设一次函数解析式为y kx b =+ 由题意得024=-+=⎧⎨⎩k b b ∴==⎧⎨⎩ k b 2 4 故这个一次函数的解析式为y x =+24 四. 图像型 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为y=-2x+2。 y 2 O 1 x 解：设一次函数解析式为y kx b =+ 由图可知一次函数y kx b =+的图像过点（1，0）、（0，2） ∴有020=+=+⎧⎨⎩k b b ∴=-=⎧⎨⎩ k b 22 故这个一次函数的解析式为y x =-+22 五. 斜截型（已知斜率k 和截距b ） 两直线平行，则k1=k2；两直线垂直，则k1=-1/k2 例5. 已知直线y kx b =+与直线y x =-2平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为 解析：两条直线l 1：y k x b =+11；l 2：y k x b =+22。当k k 12=，b b 12≠时，l l 12// 直线y kx b =+与直线y x =-2平行，∴=-k 2 又 直线y kx b =+在y 轴上的截距为2，∴=b 2 故直线的解析式为y x =-+22 六. 平移型(向上/右平移则截距增加；向左平移则截距减小) 例6. 把直线y x =+21向下平移2个单位得到的图像解析式为 y=2x-1。 解析：设函数解析式为y kx b =+， 直线y x =+21向下平移2个单位得到的直线y kx b =+与直线 y x =+21平行 ∴=k 2 直线y kx b =+在y 轴上的截距为b =-=-121，故图像解析式为y x =-21 七. 实际应用型 例7. 某油箱中存油20升，油从管道中匀速流出，流速为升/分钟，则油箱中剩油量Q （升）与流出时间t （分钟）的函数关系式为 Q=+20。 解：由题意得Q t =-2002.，即Q t =-+0220. Q t ≥∴≤0100， 故所求函数的解析式为Q t =-+0220.（0100≤≤t ） 注意：求实际应用型问题的函数关系式要写出自变量的取值范围。 八. 面积型 例8. 已知直线y kx =-4与两坐标轴所围成的三角形面积等于4，则直线解析式为 y=2x-4或y=-2x-4。 解：易求得直线与x 轴交点为（ 4 k ，0），所以4412=4⨯⨯||k ，所以||k =2，即k =±2 故直线解析式为y x =-24或y x =--24 求二次函数解析式练习题 1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示对称轴为x=﹣．下列结论中，正确的是（） A．abc＞0B．a+b=0C．2b+c＞0D．4a+c＜2b 【答案】D 2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，给出下列结论：①b2－4ac>0；② 2a+b<0；③ 4a－2b+c=0；④a︰b︰c=－1︰2︰3.其中正确的是( ) (A) ①②(B) ②③(C) ③④(D)①④ 【答案】D 3.已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函 数的关系式． 4.已知一个二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）,求这个二次函数的关系式． 5.已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式． 6.已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 7.已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）二点,且对称轴是x=1，求这个二次函数的关系式． 8.已知二次函数的图象与x轴交于A,B两点，与x轴交于点C。若AC=20,BC=15,∠ACB=90°，试确定这个二次函数的解析式 9.根据下列条件,分别求出对应的二次函数的关系式.（1）.已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；（2）.已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）； （3）.已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3） 10.已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．（1）.求这条抛物线所对应的二次函数的关系式；（2）.写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；（3）.这个函数有最大值还是最小值？这个值是多少？ 11.如图，在平面直c bx ax y+ + =2角坐标系中，抛物线c bx ax y+ + =2经过A（-2，-4），O（0，0），B(2,0)三点.(1)求抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线对称轴上一点，求AM+OM的最小值． 【答案】 解：（1）把A（-2，-4），O（0，0），B（2，0）三点代入c bx ax y+ + =2 中，得 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = + + - = + - 2 4 4 2 4 c c b a c b a ………………3分 解这个方程组，得 2 1 - = a，b=1，c=0.所以解析式为x x y+ - =2 2 1 （2）由x x y+ - =2 2 1 = 2 1 )1 ( 2 1 2+ - -x，可得 抛物线的对称轴为x=1,并且对称垂直平分线段OB． ∴OM=BM，OM+AM=BM+AM 连接AB交直线x=1于M，则此时OM+AM最小． 过A点作AN⊥x轴于点N，在Rt△ABN中， AB=2 4 4 42 2 2 2= + = +BN AN 因此OM+AM最小值为2 4 11.如图，点A在x轴上，OA＝4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置. （1）求点B的坐标；（2）求经过点A、O、B的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】解：（1）如图，过点B作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO＝90°. 60°. ∵∠AOB＝120°，∴∠BOC＝ 又∵OA＝OB＝4 OB·sin60°＝4× 3 ＝23. ∴OC＝ 1 2 OB＝ 1 2 ×4＝2，BC＝ ∴点B的坐标是(－2，－23). （2）∵抛物线过原点O和点A、B，∴可设抛物线解析式为y＝ax2+bx.. 一次函数的解析式的专项练习 一次函数的解析式的求法是初中函数的基础。 一. 一般型 例1. 已知函数y m x m =-+-()332 8是一次函数，求其解析式。 解：由一次函数定义知m m 28130 -=-≠⎧⎨⎩ ∴=±≠⎧⎨⎩m m 33 ∴=-m 3，故一次函数的解析式为y x =-+33 注意：利用定义求一次函数y kx b =+解析式时，要保证k ≠0。如本例中应保证m -≠30 二. 已知一点 例2. 已知一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1），求这个函数的解析式。 解： 一次函数y kx =-3的图像过点（2，－1） ∴-=-123k ，即k =1 故这个一次函数的解析式为y x =-3 变式问法：已知一次函数y kx =-3，当x =2时，y ＝－1，求这个函数的解析式。 三. 已知两点 已知某个一次函数的图像与x 轴、y 轴的交点坐标分别是（－2，0）、（0，4），则这个函数的解析式为_____________。 解：设一次函数解析式为y kx b =+ 由题意得024=-+=⎧⎨⎩ k b b ∴==⎧⎨⎩ k b 24 故这个一次函数的解析式为y x =+24 四. 已知图象 例4. 已知某个一次函数的图像如图所示，则该函数的解析式为__________。 y 2 O 1 解：设一次函数解析式为y kx b =+ 由图可知一次函数y kx b =+的图像过点（1，0）、（0，2） ∴有020=+=+⎧⎨⎩ k b b ∴=-=⎧⎨⎩ k b 22 故这个一次函数的解析式为y x =-+22 五. 与座标轴相交 例5. 已知直线y kx b =+与直线y x =-2平行，且在y 轴上的截距为2，则直线的解析式为___________。 解析：两条直线l 1：y k x b =+11；l 2：y k x b =+22。当k k 12=，b b 12≠时，l l 12// 直线y kx b =+与直线y x =-2平行，∴=-k 2。 又 直线y kx b =+在y 轴上的截距为2，∴=b 2 故直线的解析式为y x =-+22 六. 平移 例6. 把直线y x =+21向下平移2个单位得到的图像解析式为___________。 求二次函数的解析式专项练习60题(有答 案) 1.已知二次函数图像的顶点坐标为（1，-4），与y轴交于点（0，-3），求此二次函数的解析式。 2.已知二次函数y=x^2+bx+c的图像经过点A（-1，12）和B（2，-3）。 1）求这个二次函数的解析式。 2）求这个图像的顶点坐标及与x轴的交点坐标。 3.在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线l与二次函数y=x^2+bx+2的图像的一个交点为（m，3），试求此二次函数的解析式。 4.已知抛物线y=ax^2+bx+c与抛物线y=x^2+2x+3的顶点坐标相同，为（-2，4），求a，b，c的值。 5.已知二次函数y=ax^2+bx+c，其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示： x。-2.2 y。-11.11 1）求这个二次函数的解析式。 2）写出这个二次函数图像的顶点坐标。 6.已知抛物线y=x^2+(m+1)x+m，根据下列条件分别求m 的值： 1）若抛物线过原点； 2）若抛物线的顶点在x轴上； 3）若抛物线的对称轴为x=2. 7.已知抛物线经过两点A（1，5）、B（-1，3），且对称轴是直线x=2，求其解析式。 8.二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图像如图所示，根据图像解答下列问题： 1）写出y>0时，x的取值范围； 2）写出y随x的增大而减小的自变量x的取值范围； 3）求函数y=ax^2+bx+c的表达式。 9.已知二次函数y=x^2+bx+c的图像经过点A（-2，5）、B（1，-4）。 1）求这个二次函数的解析式； 2）求这个图像的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标； 3）画出这个函数的图像。 10.已知：抛物线经过点A（-1，7）、B（2，1）和点C （0，1）。 1）求这条抛物线的解析式； 2）求该抛物线的顶点坐标。 11.若二次函数y=ax^2+bx+c的图像与y轴交于点A（0，3），且经过B（1，4）、C（2，-1）两点，求此二次函数的解析式。 12.二次函数y=x^2+bx+c的图像过A（2，3）和B（-1，1）两点，求此二次函数的解析式。 -- 求二次函数解析式专项练习60题（有答案) １．已知二次函数图象的顶点坐标是(1,﹣4)，且与y轴交于点(0,﹣3)，求此二次函数的解析式． 2．已知二次函数y=x２＋bｘ+c的图象经过点Ａ(﹣1,1２），B(2，﹣3). (1)求这个二次函数的解析式. (２)求这个图象的顶点坐标及与ｘ轴的交点坐标． 3.在平面直角坐标系ｘOy中，直线y=﹣x绕点O顺时针旋转90°得到直线l，直线ｌ与二次函数y=x2+bx+２图象的一个交点为（m,3),试求二次函数的解析式. 4.已知抛物线ｙ=ax２+bｘ＋c与抛物线形状相同,顶点坐标为（﹣2，4)，求ａ,b，c的值. ５．已知二次函数y=aｘ２＋bx＋ｃ,其自变量x的部分取值及对应的函数值y如下表所示： （1）求这个二次函数的解析式; （2）写出这个二次函数图象的顶点坐标． x …﹣2 0 ２… y …﹣１１１１… 6.已知抛物线y=x2+(m+1)x+ｍ,根据下列条件分别求m的值. (1）若抛物线过原点； （２)若抛物线的顶点在ｘ轴上； (3）若抛物线的对称轴为x=2． 7.已知抛物线经过两点Ａ（1,０）、Ｂ(0，3)，且对称轴是直线x=２,求其解析式. 8．二次函数y=ax2+ｂｘ＋c(ａ≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题: （1)写出y>０时,x的取值范围_＿__＿__＿_ ； (２）写出y随x的增大而减小的自变量ｘ的取值范围_＿＿__＿__＿； (3)求函数y=ax2+bx＋ｃ的表达式. ９.已知二次函数y=x2+bx+ｃ的图象经过点A(﹣2，5），B（1，﹣4）. （1）求这个二次函数解析式； (2）求这个图象的顶点坐标、对称轴、与坐标轴的交点坐标； （３)画出这个函数的图象. 1０．已知:抛物线经过点Ａ(﹣1,7)、Ｂ（2,１)和点C(０，1). (1)求这条抛物线的解析式; （2)求该抛物线的顶点坐标. １1．若二次函数y＝ａx2+ｂｘ+c的图象与y轴交于点Ａ（0,3),且经过B(1,0)、C（2,﹣1）两点,求此二次函数的解析式． 2022年春北师大版九年级数学中考复习《二次函数与特殊平行四边形综合压轴题》 专题突破训练（附答案） 1．如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+2x+c（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）和点B，交y轴于点C（0，3），顶点为D． （1）求抛物线解析式； （2）点E为线段BD上的一个动点，作EF⊥x轴于点F，连接OE，当△OEF面积最大时．求点E的坐标； （3）G是第四象限内抛物线上一点，过点G作GH⊥x轴于点H，交直线BD于点K、且OH＝GK，作直线AG．①点G的坐标是； ②P为直线AG上方抛物线上一点，过点P作PQ⊥AG于点Q，取点M（0，），点N 为平面内一点，若四边形MPNQ是菱形，请直接写出菱形的边长． 2．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c的图象经过点C（0，2），交x轴于点A（﹣1，0）和B，连接BC，直线y＝kx+1与y轴交于点D，与BC上方的抛物线交于点E，与BC交于点F． （1）求抛物线的表达式及点B的坐标； （2）是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由． （3）在（2）的条件下，若点M为直线DE上一点，点N为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，抛物线y＝ax2+bx+4经过点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C，过点C 作直线CD∥x轴，与抛物线交于点D，作直线BC，连接AC． （1）求抛物线的函数表达式，并用配方法求抛物线的顶点坐标； （2）E是抛物线上的点，求满足∠ECD＝∠ACO的点E的坐标； （3）点M在y轴上，且位于点C的上方，点N在直线BC上，点P为直线BC上方抛物线上一点，若以点C，M，N，P为顶点的四边形是菱形，求菱形的边长． 4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣1，0）、B （5，0），与y轴交于点C，D是抛物线对称轴上一点，纵坐标为﹣5，P是线段BC上方抛物线上的一个动点，连接BP、DP． （1）求抛物线的函数表达式； （2）当△BDP的面积取得最大值时，求点P的坐标和△BDP面积的最大值；求一次函数解析式的专项练习(含答案)
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