高等数学专升本试卷(含答案)

高等数学专升本试卷(含答案) 高等数学专升本试卷

题号得分

考试说明：

1、考试时间为150分钟；

2、满分为150分；

3、答案请写在试卷纸上，用蓝色或黑色墨水的钢笔、圆珠笔答卷，否则无效；

4、密封线左边各项要求填写清楚完整。

一.选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求.

本题共有5个小题，每小题4分，共20分）

1.函数y=1-x+arccos(x+1)的定义域是（）

A.x<1

B.(-3,1)

C.{x|x<1}∩[-3,1]

D.-3≤x≤1.

2.极限lim(sin3x/x) x→∞等于()

A.0

B.1

C.不存在

D.3.

3.下列函数中，微分等于dx的是()

A.x^2/2

B.y=ln(lnx)+c

XXX.

4.d(1-cosx)=（）

A.1-cosx

B.-cosx+c

C.x-XXX.

5.方程z=(x^2)/(a^2)+(y^2)/(b^2)表示的二次曲面是（超纲，去掉）()

A.椭球面

B.圆锥面

C.椭圆抛物面

D.柱面.

二.填空题(只须在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有10个小题，每小题4分，共40分)

1.lim(x^2+x-6)/(x^2-4) x→2_______________.

2.设函数f(x)=|x-a|+x，在点x=a处连续，则

a=________________.

3.设函数y=xe。则y''(x)=__________________.

4.函数y=sinx-x在区间[0,π]上的最大值是

______________________.

5.|sin(x)|=________________.

6.设F(x)=(∫π/4x^2cos^2tdt+1)/4，则

F'(x)=_______________________.

7.设f(x)+f(-x)=x/(1+x^2)，则∫xf(t)+f(-

t)dt=____________________________.

8.设a=3i-j-2k，b=i+2j-k，则a·b=____________________.

9.设z=(2x+y)，则∂z/∂x=____________________.

10.设D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，则

∬D(x^2+y^2)dxdy=_________________.

注：题目中的“∫”为积分符号，“∬”为二重积分符号，“∂”

为偏导数符号。）

3.解：原式 $=\int \frac{1}{(1+x^2)^2}dx$，令 $1+ x^2 = t$，则 $xdx = \frac{1}{2}dt$，原式

$=\frac{1}{2}\int\frac{1}{t^2}dt = -\frac{1}{t}+C=-

\frac{1}{1+x^2}+C$。

4.解法1.$\frac{dy}{dx} = -2t\sin(t^2)$，分离变量得

$\frac{dy}{\sin(t^2)}=-2t dx$，两边积分得 $\cos(t^2) = -t^2+C$，即 $C = 1$，则 $\cos(t^2) = -t^2+1$。解法2：因为 $dx =

\sin(t^2)dt$，$dy = -2t\sin(t^2)dt$，所以$\frac{dy}{dx} = -2t$。

5.解：原式 $= \int_{-\infty}^{+\infty}

\frac{d(1+x)}{(1+x^2)^{\frac{3}{2}}}$，令 $1+x = \tan t$，则$dx = \frac{1}{\cos^2t}dt$，原式 $= \int_{-

\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos t dt = 2$。

6.解：由条件得 $\arctan(1+x) = \frac{\pi}{4}$，即 $x =

\tan(\frac{\pi}{4})-1 = 0$。所以 $\lim_{n\to\infty}f(\frac{2}{n}) = \lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x} = f'(0)$，又 $f'(x) =

\frac{2}{1+(1+x)^2}$，所以 $f'(0) = 2$，即

$\lim_{n\to\infty}nf(\frac{2}{n}) = 2$。

7.解法1：分离变量得 $\frac{dy}{3+y^2} = -\cot x dx$，两边积分得 $\ln|3+y^2| = -\ln|\sin x| + c$，代入初值条件得 $c = -3$，所以 $y = \pm\sqrt{-3+Ce^{-2\ln|\sin x|}}$，即 $y =

\pm\sqrt{\frac{C}{\sin^2 x}-3}$。解法2：令 $y = \tan z$，则$\frac{dy}{dx} = \frac{dz}{dx}\sec^2 z$，原方程化为

$\frac{dz}{dx} = -\frac{\cos x}{\sin^3 x}$，两边积分得 $\tan z = \frac{1}{2}\ln|\frac{\sin x}{3+\cos^2 x}|+c$，代入初值条件得$c = 0$，所以 $y = \tan z = \pm\sqrt{\frac{1}{3+\cos^2 x}}$。

8.解：根据链式法则，$\frac{\partial z}{\partial x} =

\frac{\partial z}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial

x}+\frac{\partial z}{\partial \theta}\frac{\partial \theta}{\partial x}$，$\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} = \frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial^2 z}{\partial

r^2}(\frac{\partial r}{\partial x})^2+\frac{\partial^2 z}{\partial

\theta^2}(\frac{\partial \theta}{\partial x})^2+\frac{\partial^2

z}{\partial r\partial \theta}\frac{\partial r}{\partial x}\frac{\partial

\theta}{\partial x}$。代入 $\frac{\partial z}{\partial r} = \cos

\theta$，$\frac{\partial z}{\partial \theta} = -r\sin \theta$，

$\frac{\partial^2 z}{\partial r^2} = 0$，$\frac{\partial^2

z}{\partial \theta^2} = -r\cos \theta$，$\frac{\partial^2 z}{\partial

r\partial \theta} = -\sin \theta$，$\frac{\partial r}{\partial x} = \cos \theta$，$\frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{r\sin

\theta}{r^2-x^2}$，得到 $\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} =

\frac{2x^2-r^2}{(r^2-x^2)^2}$。

10.解：根据比值判别法，

$\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} =

\lim_{n\to\infty}\frac{(n+1)^2}{(3n+2)(3n+5)} = \frac{1}{9}$，

所以级数收敛。根据 Raabe 检验，

$\lim_{n\to\infty}n(\frac{a_n}{a_{n+1}}-1) =

\lim_{n\to\infty}n\frac{3n+5}{(n+1)^2}-1 = 2$，所以级数发散。

四.综合题

1.解.定义域为$\left(-\infty,-3\right)\cup\left(-

2,0\right)\cup\left(0,+\infty\right)$，对应数项级数的一般项为$\dfrac{(-1)^{n+1}(n+2)!}{2^n(n+1)!}x^n$，当$x=\pm3$时，级

数的一般项为$\pm\dfrac{(n+2)!}{2^n(n+1)!}3^n$，故该级数的

收敛域为$-3

2.证明。由于$f(x)$不恒等于$x$，故存在$x\in(0,1)$，使

得$f(x)\neq x$。

如果$f(x)>x$，根据拉格朗日中值定理，存在$\xi\in(0,x)$，使得$f'(\xi)=\dfrac{f(x)-f(0)}{x-0}>\dfrac{x-0}{x-0}=1$。利用

微分中值定理可证得，必存在$\xi$，使得$f'(\xi)>1$。

如果$f(x)\dfrac{1-x}{1-x}=1$。利用微分中值定理可证得，必存在$\xi$，使得$f'(\xi)>1$。

3.解。P点处该曲线的斜率为1，故该曲线在P点处的切

线方程为$y=x+2$。曲线与x轴的交点为B$(-1,0)$和C$(2,0)$，因此所求区域由直线PA和AB及曲线弧所围成。该区域绕x

轴旋转生成的旋转体的体积为$\pi\int_{-

2}^0\left(x+2\right)^2dx-\pi\int_0^2\left(x^2-

2x+2\right)dx=\dfrac{229\pi}{30}$。