向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用
摘要：本文基于向量的基本理论与性质，主要介绍了向量在中学数学中的应用，并简单分析了向量学习的误区.
关键词：向量数量积平面几何立体几何
高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.本文整理了几类向量在中学数学中的应用.
一、预备知识
1.平面向量的数量积
a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）
坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a·b=xx+yy.
2.平面向量的基本定理
如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a=λe+λe.
3.两个向量平行的充要条件
a∥b？圳a=λ b
坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b？圳xy-xy=0.
向量在高中数学中的应用
向量在高中数学中的应用 在高中数学新课程教材中，平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。距离如下： 1、利用向量证明等式 材料一：已知、是任意角，求证：。 证明：在单位圆上，以轴为始边作角，终边交单位圆于A，以轴为始边作角，终 边交单位圆于B，有，所以有： 又 即 点评：对于某些恒等式证明，形式中含有或符合向量的坐标运算形式，可运用 向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。 2、利用向量证明不等式 材料二：是正数。求证： 证明：设 由数量积的坐标运算可得： 又因为，所以成立。 点评：当求解问题（式子）中含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式： ，，构造向量解之。 3、利用向量求值 材料三：已知，求锐角。
解析：由条件得 设，， 则，，， 由，得，即， 则，即，同理（因为、为锐角） 点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。 4、利用向量求函数值域 材料四：若，求的最小值。 解析：构造向量， 由，得 即， 当且仅当时，有最小值 点评：巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。 5、利用向量解决析几何问题 材料五：过点，作直线交双曲线于A、B不同两点，已知 。 （1）、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （2）、是否存在这样的直线，使若存在，求出的方程；若不存在说明理由。 解析：（1）、设直线的方程为， 代入得， 当时，设，，则，
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直
立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为???? ? n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( ) 1．下列各组向量中不平行的是( )
1求下列向量组的秩与一个极大线性无关组概要
习题4.3 1. (1) []12,1, 3,1T α=-, []23,1,2,0T α=-， []31,3,4,2T α=-,[]44,3,1,1T α=-． (2) []11,1,1,1T α=, []21,1, 1,1T α=--， []31,1,1,1T α=--,[]41,1,1,1T α=---． (3) []11, 1,2,4T α=-, []20,3,1,2T α=，[]33,0,7,14T α=, []41,1,2,0T α=-,[]52,1,5,6T α=． 分析 向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩, 所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的秩. 先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形, 通过阶梯形便可得到矩阵的秩, 它也就是该向量组的秩, 而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极大线性无关组. 解 (1) []1 23 423141133113301123241000010210000αααα--???????? ---??? ?=??→????????--???? , 所以该向量组的秩为2, 且1α, 2α为它的一个极大线性无关组. (2) []1 23 4111111 1111110 1011111001111110 01αααα--????????---??? ?=??→???? ---????--???? , 所以该向量组的秩为4, 且1α,2α,3α,4α为它的一个极大线性无关组. (3) []1 234 51 03121 312130110110121725000104 2140 60 000 0ααααα????????--? ???=??→???????????? , 所以该向量组的秩为3, 且1α,2α,4α为它的一个极大线性无关组. 2.计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关. (1) []11, 1,2,3,4T α=-，[]23,7,8,9,13T α=-，
1.4.1 运用立体几何中的向量方法解决平行问题(学生版)
1.4.1运用立体几何中的向量方法解决平行问题 一、单选题 1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段AB 上一点,且23AC AB = ,则点C 的坐标为（ ） A ．7 15(,,)222- B ．3 (,3,2)8- C ．7(,1,1)3-- D ．573(,,)222 - 2．在正方体1111ABCD A B C D -中,平面1ACB 的一个法向量为（ ） A ． 1BD B ． DB C ． 1BA D ． 1BA 3．已知空间四边形ABCD 中,AC=BD,顺次连接各边中点P,Q,R,S,如图,所得图形是（ ） A ．长方形 B ．正方形 C ．梯形 D ．菱形 4．如图，在平行六面体ABCD -1111A B C D 中，点,,M P Q 分别为棱AB ，,CD BC 中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出下列说法： ①1A M ∥1D P ；②1A M ∥1B Q ； ③1A M ∥ 平面11DCC D ；④1A M ∥ 平面11D PQB ， 则以上正确说法的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 5．若AB =λCD +μCE ,则直线AB 与平面CDE 的位置关系是（ ） A ．相交 B ．平行 C ．在平面内 D ．平行或在平面内. 6．若点A (a ,0,0),B (0,b ,0),C (0,0,c )，则平面ABC 的一个法向量为（ ）
A ．(bc ,ac ,ab ) B ．(ac ,ab ,bc ) C ．(bc ,ab ,ac ) D ．(ab ,ac ,bc 7．在如图所示的坐标系中，1111ABCD A B C D -为正方体，给出下列结论： ①直线1DD 的一个方向向量为(0,0,1)； ②直线1BC 的一个方向向量为(0,1,1)； ③平面11ABB A 的一个法向量为(0,1,0)； ④平面1B CD 的一个法向量为(1,1,1). 其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8．已知空间三点坐标分别为A （4,1,3），B(2,3,1），C （3,7，-5），又点P （x,-1,3) 在平面ABC 内，则x 的值（ ） A ．-4 B ．1 C ．10 D ．11 9．若平面α，β的法向量分别为1,1,32a ??=-- ???，()1,2,6b =-，则（ ） A ．//αβ B ．α与β相交但不垂直 C ．αβ⊥ D ．//αβ或α与β重合 10．若平面α，β平行，则下列可以是这两个平面的法向量的是（ ） A ．()11,2,3n =，()23,2,1n =- B ．()11,2,2n =，()22,2,1n =- C ．()11,1,1n =，()22,2,1n =- D ．()11,1,1n =，()22,2,2n =--- 11．已知平面α内的三点()0,0,1A ，()0,1,0B ，()1,0,0C ，平面β的一个法向量为()1,1,1n =---，且β与α不重合，则（ ）
高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法
高中数学空间向量之--平面法向量得求法及其应用 一、平面得法向量 １、定义:如果,那么向量叫做平面得法向量。平面得法向量共有两大类(从方向上分),无数条。 2、平面法向量得求法 方法一(内积法):在给定得空间直角坐标系中,设平面得法向量[或,或］,在平面内任找两个不共线得向量。由, 得且,由此得到关于得方程组,解此方程组即可得到。 方法二:任何一个得一次次方程得图形就是平面;反之,任何一个平面得方程就是得一次方程。,称为平面得一般 方程。其法向量;若平面与3个坐标轴得交点为,如图所示,则平面方程为:,称此方程为平面得截距式方程,把它化 为一般式即可求出它得法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行得非零向量,其外积为一长度等于,(θ为,两者交角,且),而与, 皆垂直得向量。通常我们采取「右手定则」,也就就是右手四指由得方向转为得方向时,大拇指所指得方向规 定为得方向,。 (注:1、二阶行列式: ;２、适合右手定则、) 例1、Array试求 Ｋey: ( 例2、 求平面A 二、 1、 (1) A 图2-１ 图2—1 (2) (图 (图２ 两个平 得平面
平面而言向内;在图2—3中,得方向对平面而言向内,得方向对平面而言向内。我们只要用两个向量得向量积(简称“外积”,满足“右手定则")使得两个半平面得法向量一个向内一个向外,则这两个半平面得法向量得夹角即为二面角得平面角。 2、 求空间距离 (1)、异面直线之间距离: 方法指导:如图2－4,①作直线a 、b 得方向向量、, 求a 、b 得法向量,即此异面直线a 、b 得公垂线得方向向量; ②在直线a 、b 上各取一点A 、Ｂ,作向量; ③求向量在上得射影ｄ,则异面直线a 、b 间得距离为 ,其中 (2)、点到平面得距离: 方法指导:如图2－5,若点B 为平面α外一点,点A 为平面α内任一点,平面得法向量为,则点P 到 平面α得距离公式为 (3)、直线与平面间得距离: 方法指导:如图2-6,直线与平面之间得距离: ,其中。就是平面得法向量 (４)、平面与平面间得距离: 方法指导:如图2－7,两平行平面之间得距离: ,其中。就是平面、得法向量。 3、 证明 (1)、证明线面垂直:在图2-8中,向就是平面得法向量, a 得方向向量,证明平面得法向量与直线所在向量共线()。 (2)、证明线面平行:在图2—9中,向就是平面得法向量,线ａ得方向向量 ,证明平面得法向量与直线所在向量垂直()。 (3)、证明面面垂直:在图２—10中,就是平面得法向量,面得法向量,证明两平面得法向量垂直() (4)、证明面面平行:在图2—11中, 向就是平面得法向量,量,证明两平面得法向量共线()。 三、高考真题新解
求向量组的秩与极大无关组(修改整理)
求向量组的秩与最大无关组 一、对于具体给出的向量组，求秩与最大无关组 1、求向量组的秩（即矩阵的秩）的方法：为阶梯形矩阵 【定理】矩阵的行秩等于其列秩，且等于矩阵的秩.(三秩相等) ①把向量组的向量作为矩阵的列（或行）向量组成矩阵A； ②对矩阵A进行初等行变换化为阶梯形矩阵B； ③阶梯形B中非零行的个数即为所求向量组的秩． 【例1】求下列向量组a１=(1, 2, 3, 4)，a2 =( 2, 3, 4, 5)，a3 =(3, 4, 5, 6)的秩. 解1：以a１,a２,a３为列向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的列秩为2，所以向量组的秩为2． 解2：以a１,a２,a３为行向量作成矩阵A，用初等行变换将A化为 阶梯形矩阵后可求. 因为阶梯形矩阵的行秩为2，所以向量组的秩为2． 2、求向量组的最大线性无关组的方法 方法1 逐个选录法 给定一个非零向量组A：α1, α2,…, αn ①设α1≠ 0，则α1线性相关，保留α1 ②加入α2，若α2与α1线性相关，去掉α2；若α2与α1线性无关，保留α1，α2； ③依次进行下去，最后求出的向量组就是所求的最大无关组
【例2】求向量组：()()()1231,2,12,3,14,1,1,,,T T T ααα=-=-=-的最大无关组 解：因为a 1非零，故保留a 1 取a 2，因为a 1与a 2线性无关，故保留a 1，a 2 取a 3，易得a 3=2a 1+a 2，故a 1，a 2 ，a 3线性相关。 所以最大无关组为a 1，a 2 方法2 初等变换法 【定理】 矩阵A 经初等行变换化为B ，则B 的列向量组与A 对应的列向量组有相同的线性相关性. 证明从略,下面通过例子验证结论成立. 向量组：α1=(1,2,3)T , α2=(-1,2,0)T , α3=(1,6,6)T 由上可得，求向量组的最大线性无关组的方法： （1）列向量行变换 ①把向量组的向量作为矩阵的列向量组成矩阵A ； ②对矩阵A 进行初等行变换化为阶梯形矩阵B ； ③A 中的与B 的每阶梯首列对应的向量组，即为最大无关组． 【例3】求向量组 ：α1=(2,1,3,-1)T , α2=(3,-1,2,0)T , α3=(1,3,4,-2)T , α4=(4,-3,1,1)T 的秩和一个最大无关组, 并把不属于最大无关组的向量用最大无关组线性表示。 解 以α1,α2,α3,α4为列构造矩阵A , 并实施初等行变换化为行阶梯形矩阵求其秩： ()???? ? ?-- ? ?==→ ? ? ? ?--????123423141-13-3113305-510,,,324105-51010210-11-2A αααα---?? ? ?→ ? ? ?? 1133011200000000 知r (A )=2, 故向量组的最大无关组含2个向量
中学数学教学中的向量(续3)
中学数学教学中的向量(续3) 齐民友 (武汉大学数学与统计学院 430072) 413 关于立体几何的教学 立体几何的教学是一个困难问题,许多人都认为,学立体几何可以培养“空间想像力”.其实,什么是空间想象力说来也玄,下面举一个例,在近年高考与各种“辅导材料”中,这种“题型”的内容很多.下面可算是最简单的了. 设有一个立方体,边长为1,过O ′,A ,C 三点作一平面,联结OB ′.证明它与此平面垂直,设OB ′与此平面交于P 点,求OP 之长. 把图画出来,差一点的学生就眼花缭乱了,似乎 OB ′C ′是一条直线,其实又 不是.哪一条直线被掩盖住了,我画的图可能是错的.如果是画对了,又恰好把有用的东西遮盖起来了. 图19 一个简单的 立体几何题如果换一个想法:立方体12条棱,8个顶点中的5个还有6个面,都是没有用的,真正有用的只有下图 (其实三条坐标轴也只是辅 助性的).学生在这里的问题与其说是缺少空间想象 力,不如说是缺少从纷繁的 图形中把有用的要素提取出来的能力.而从上图看 出真正有用的只是下图.这又不只是想象力问题,而是需要较高的数学素养才行. 因此,我们的任务是如何帮助学生走一条比较平易的道路.我认为,数形结合(现在是代数化)是一个有效方法.看到题中讲的立方体,就自然想到下图的直角坐标系,以及有关的坐标.我们需要的 全部信息就全在其中了,其它都可以置之不理.这就是下图的来源. 于是就会问,经过这三点的平面方程是什么等等.下面的问题就只是最简单的代数计算了.图上看不清的全部可以算清,这就是热尔梅那句话的意义. 读者会问,讲平面的方程是否超过课标?本来课标中已规定要讲空间直角坐标,由此再到平面的方程也就只是一句话的事.值得注意的是,哪怕只是一句话,怎样说才好,我以为最好不要只是提出定义等等.因为提出一个定义就会带来一串定义,于是就有了多少个“知识点”,麻烦就多了. 现在我们提出一个问题:在研究空间直线与平面时,怎样去刻画它们?从数学上看有两个办法,一是问它们自身包含了什么样的 向量.以直线为例,必是先有一个向量v ,而{λv }(λ是实数)就是一条直线(图上的虚线).但它一定通过原点.我们把它平移一下,使O 点移到x 0,这就得到了通过x 0而方向为v 的直线l.如果用x 表示l 上的任一点(即其位置向量),就得l 的表示法: x =x 0+λv (28) 图20 怎样用向量表示 直线和平面 不论是平面直线与空间直线都可以这样写出来.我们不妨称 (28)是直线(平面的 或空间的)的方程.而且依我之见,完全不必再给它加一个诸如向量方程或参数方
经典习题平面法向量求法及应用
经典习题平面法向量求法及应用
平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。 平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量 (,,1) n x y =r [或 (,1,) n x z =v ，或 (1,,) n y z =r ]，在平面α内任找两个不共线的向量 ,a b r r 。由 n α ⊥r ，得 n a ?=r r 且 n b ?=r r ，由此得到 关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n r 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。0=+++D Cz By Ax ) 0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ; 若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(3 2 1 c P b P a P ,如图所 示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ →?b a 为一长 度等于θsin ||||→ → b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规 定为→ → ?b a 的方向,→ → → → ?-=?a b b a 。:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ →2 1y y b a ,2 1z z 2 1x x - ,21 z z 2 1 x x ??? ?21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。） C 1A 1 D 1 z B E
浅谈向量在高中数学中的应用
摘要：向量是高中数学教学内容中非常重要的组成部分，如果能够有效运用向量知识进行解题，有助于学生更好地将数学知识联系起来，还可以提高解题的效率。本文论述了向量在高中数学中的重要作用和意义，并分析了高中数学中对向量知识具体的运用方式。 关键词：高中数学;向量;应用 一、引言 向量是高中数学教学内容中非常重要的组成部分，相对于课本中的其他知识，向量比较抽象难懂，再加上很多学生对向量在实际解题过程中的应用很少，使得向量在高中数学整体的解题方式上显得比较少而且难。但是，在真正掌握了向量的解题规律之后，就会发现运用向量进行解题，一般步骤都比较少，只要找出诀窍就可以在短时间内完成解题，因此，掌握向量在高中数学中备受重视。与此同时，由于长期以来很多高中生都面临着数学“解题难”的问题，这些学生往往对很多题无从下手，可以说是毫无头绪，向量由于可以同时与几何、代数以及三角函数等进行综合应用，因此，向量在高中数学解题中得到了较为广泛的应用，这就要求高中数学课堂教学中不仅要求学生掌握向量的相关知识，还要灵活应用，强化学生对向量的运用能力，提高学生的解题效率、帮助学生减轻解题的负担。 二、向量概述 早在十九世纪的时候就有数学家和物理学家提出了向量的概念，并且成为研究的对象，向量在二十世纪的数学领域得到了普遍的推广和应用，但是，我国将向量内容引入高中数学的历史仅仅有二十几年，但是它已经成为了高中数学的主要内容。对向量的认识和解读主要有以下几个方面：一是向量代表了高中数学中主要的应用模型。v在向量中代表集合，而集合则构成了向量的运算交集，向量的长度可以通过数量积的运算来表达，当向量的长度达到一定的意义之后，v对向量的运算构成了线性的范畴，从而组建成数学建模的主要内容，这种建模主要应用在高中数学中的函数与抽象代数领域。二是向量在高中数学中担当着几何与代数的桥梁。由于向量在高中数学中是具有长度概念的，因此，它可以准确地将物体的位置表示出来，但是物体的位置和形状有又于几何的范畴，所以，向量可以与几何相结合，从几何的角度理解向量，比如，向量可以对几何中长度、面积与体积进行表达与换算，同时，由于向量具有方向性，不仅可以对线、面的位置关系准确表达，还可以通过加减乘除的运算与代数的运算相一致，所以，向量同样可以与代数相结合。总而言之，向量在高中数学中起到了连接几何与代数的作用。 三、高中数学中运用向量的重要性及意义 对高中生来说学习好向量具有十分重要的意义。向量作为现代数学中一个重要的概念，它是连接几何与代数的桥梁，目前高中数学教学内容中增加了向量的内容，因为向量可以让高中数学解题的方式更加多元化、更加快速和新颖。用向量解决几何中的问题可以让学生的思路更加清晰、过程更加简单，比传统的解题方法更加有效。所以，高中数学中应该重视向量的教学，引导学生开拓解题的思路。同时，高中数学教学内容增加向量的知识可以帮助学生更加清晰地认识代数与几何之间的联系，可以用新颖的方式处理数学中的问题。 高中数学教学中学习向量的重要性主要体现在，向量可以提高解题的效率，主要有以下几点，一是向量可以开拓学生的解题思维，在高中数学中的应用可以创新学生的解题思维与解题方法;二是向量在某种程度上可以降低解题的难度，这是由于在熟练掌握了向量解题技巧之后，可以大幅度地缩短解题的时间，提高解题的效率，从而可以为课堂教学节省更多的时间学习更多的知识;三是向量的学习可以加深高中生对数学知识的基础作用。 四、向量在高中数学中的应用 第一，向量是高中数学最重要的数学建模。空间向量可以说在解决一些立体几何的问题
立体几何中的向量方法—证明平行和垂直
2017届高二数学导学案编写 审核 审批 课题：立体几何中的向量方法—证明平行和垂直 第 周 第 课时 班 组 组评 姓名 师评 【使用说明】 1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】 理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【学习方法】学案导学法，合作探究法。 【自主学习·梳理基础】 1、 考点深度剖析 利用空间向量证明平行或垂直是高考的热点，内容以解答题为主，主要围绕考查空间直角坐标系的建立、空间向量的坐标运算能力和分析解决问题的能力命制试题，以多面体为载体、证明线面(面面)的平行(垂直)关系是主要命题方向． 2．【课本回眸】 1.直线的方向向量与平面的法向量的确定 ①直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB → 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． ②平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为??? ?? n·a ＝0， n·b ＝0. 2.用向量证明空间中的平行关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)?v 1∥v 2. ②设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使v ＝xv 1＋yv 2. ③设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ?α?v ⊥u . ④设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β?u 1∥u 2. 3. 用向量证明空间中的垂直关系 ①设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2?v 1⊥v 2?v 1·v 2＝0. ②设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α?v∥u . ③设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β?u 1⊥u 2?u 1·u 2＝0. 4.共线与垂直的坐标表示 设a ＝(a 1，a 2，a 3)，b ＝(b 1，b 2，b 3)，则a ∥b ?a ＝λb ?a 1＝λb 1，a 2＝λb 2，a 3＝λb 3(λ∈R)， a ⊥ b ?a·b ＝0?a 1b 1＋a 2b 2＋a 3b 3＝0(a ，b 均为非零向量)． 【课堂合作探究】 探究一：如图，在棱长为2的正方体1111D C B A ABCD -中， N M F E ,,,分别是棱1111,,,D A B A AD AB 的中点，点Q P ,分别在 棱 1DD ,1BB 上移动，且()20<<==λλBQ DP . 当1=λ时，证明：直线//1BC 平面EFPQ . 探究二：如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，AB ⊥AD ，AC ⊥CD ，∠ABC ＝60°，PA ＝AB ＝BC ，E 是PC 的中点．证明： (1)AE ⊥CD ； (2)PD ⊥平面ABE .
1求下列向量组的秩与一个极大线性无关组
习题4.3 1.求下列向量组的秩与一个极大线性无关组： (1) []12,1,3,1T α=-, []23,1,2,0T α=-， []31,3,4,2T α=-,[]44,3,1,1T α=-． (2) []11,1,1,1T α=, []21,1,1,1T α=--， []31,1,1,1T α=--,[]41,1,1,1T α=---． (3) []11,1,2,4T α=-, []20,3,1,2T α=，[]33,0,7,14T α=, []41,1,2,0T α=-,[]52,1,5,6T α=． 分析 向量组的秩等于该向量组构成的矩阵的秩, 所以求向量组的秩可以转化为求矩阵的秩. 先把向量构成矩阵通过矩阵的初等行变换成阶梯形, 通过阶梯形便可得到矩阵的秩, 它也就是该向量组的秩, 而阶梯形的阶梯头所在的列对应的向量便构成该向量组的一个极大线性无关组. 解 (1) []1 23 423141133113301123241000010210000αααα--???????? ---??? ?=??→????????--???? , 所以该向量组的秩为2, 且1α, 2α为它的一个极大线性无关组. (2) []1 23 41111111111110 1011111001111110001αααα--???? ????---??? ?=??→???? ---???? --???? , 所以该向量组的秩为4, 且1α,2α,3α,4α为它的一个极大线性无关组. (3) []1 234 51031 21 0312130110110121725000104214060 0000ααααα???? ????--? ???=??→???? ??? ? ???? , 所以该向量组的秩为3, 且1α,2α,4α为它的一个极大线性无关组. 2.计算下列向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关. (1) []11,1,2,3,4T α=-，[]23,7,8,9,13T α=-，
2020_2021学年高二数学上册运用立体几何中的向量方法解决平行问题同步练习pdf含解析
（ 2020-2021 学年高二数学上册同步练习：运用立体几何中的向量方法解决平行问题 一、单选题 1．已知点A(3,3,-5),B(2,-3,1),C 为线段 AB 上一点,且 AC = 2 AB 3 ,则点C 的坐标为（ ） A 7 1 5 3 7 5 7 3 ． ( , - , ) B ． ( , -3, 2) C ． ( , -1, -1) D ． ( , - , ) 2 2 2 8 【答案】C 3 2 2 2 【解析】设 C 的坐标是（x ，y ，z ） ∵A (3,3,-5),B (2,-3,1)， ∴ AB =（-1，- 6，6）, AC =（x - 3，y - 3，z + 5） ∵ AC = 2 AB ， 3 ∴（x - 3，y - 3，z + 5）= 2 3 -1，- 6，6）, 由此解得 x = 7 , y = -1, z = -1, ， 3 故选C. 2. 在正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中,平面 ACB 1 的一个法向量为（ ） A. BD 1 B. DB C ． BA 1 D ． BA 1 【答案】A 【解析】如图所示， 由正方体的性质可得：BD 1⊥B 1C ，BD 1⊥AC ． ∴BD 1⊥平面 ACB 1．
∴平面 ACB 1 的一个法向量为 BD 1 ． 故选A ． 3. 已知空间四边形ABCD 中,AC=BD,顺次连接各边中点 P,Q,R,S,如图,所得图形是（ ） A ．长方形 B ．正方形 C ．梯形 D ．菱形 【答案】D 【解析】因为 PQ = BQ - BP = 1 BC - 1 BA = 1 AC . 2 2 2 同理 SR = 1 AC ,所以 PQ = SR , 2 所以四边形 PQRS 为平行四边形. 又 PS = AS - AP = 1 AD - 1 AB = 1 BD , 2 2 2 所以| PS |= 1 | BD |,即 PS= 1 BD. 2 2 又| PQ |= 1 | AC |, 2 故 PQ= 1 AC ,而 AC=BD , 2 所以 PS=PQ ,故四边形 ABCD 为菱形. 故选D ． 4. 如图，在平行六面体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 中，点 M , P ,Q 分别为棱 AB ， CD , BC 中点，若平行六面体的各棱长均相等，给出下列说法： ① A 1M ∥ D 1P ；② A 1M ∥ B 1Q ；
《向量的概念》公开课教学设计【高中数学必修4(北师大版)】
《向量的概念》教学设计 ◆教材分析 本节是本章的入门课，概念较多，但难度不大. 理解自由向量、相等向量、相反向量、平行向量、零向量等概念，并能判断向量之间的关系.并会辨认图形中的相等向量或作出与某一已知向量相等的向量. ◆教学目标 【知识与能力目标】 理理解向量的实际背景与基本概念，理解向量的几何表示，并体会学科之间的联系.通过教师指导发现知识结论，培养学生抽象概括能力和逻辑思维能力 【过程与方法目标】 引导学生了解向量的实际背景，帮助学生理解平面向量与向量相等的含义以及向量的几何表示；最后通过讲解例题，指导学生能够发现问题和提出问题，善于独立思考，学会分析问题和创造地解决问题. 【情感态度价值观目标】 通过本节的学习，使同学们对向量的实际背景、几何表示有了一个基本的认识；激发学生学习数学的兴趣和积极性，陶冶学生的情操，培养学生坚忍不拔的意志，实事求是的科学学习态度和勇于创新的精神. ◆教学重难点 【教学重点】 向量及向量的有关概念、表示方法. 【教学难点】 向量及向量的有关概念、表示方法. ◆课前准备 多媒体课件 ◆教学过程 思考 先引导学生思考位移和距离这两个量有什么不同？ 提出问题 1.什么是向量?它与数量有什么不同？
2.什么是有向线段,它包含哪三个要素？ 3.怎么表示向量? 4.什么是向量的模? 5.有哪些特殊向量? 6.向量间有什么特殊关系? 新知探究 1. 什么是向量？向量与数量有何区别？ 既有大小又有方向的量叫向量。 数量只有大小，没有方向的量。 思考：在质量、重力、速度、加速度、身高、面积、体积这些量中，哪些是数量？哪些是向量？ 什么是有向线段，它包括哪些元素 有向线段：具有方向的线段叫做有向线段。 有向线段的三要素：起点、方向、长度 以A为起点、B为中点的有向线段记作： ?→?AB 2.向量的表示方法有哪些？ ①几何表示法：向量常用有向线段表示：有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指 的方向表示向量的方向。 有向线段的长度：线段AB的长度也叫做有向线段 ?→ ? AB的长度 ②字母表示法：也可用字母a、b、c（黑体字）来表示，即 ?→ ? AB可表示为a（印刷时用黑体字） 说明1：我们所说的向量，与起点无关，用有向线段表示向量时，起点可以取任意位置。所以数学中的向量也叫自由向量. 如图：他们都表示同一个向量。 练习:1.向量AB ????? 和BA ????? 同一个向量吗？为什么？ 说明2： A(起点) B （终点） a
法向量的求法及其空间几何题的解答
状元堂一对一个性化辅导教案 教师张敏科目数学时间2013 年6 月4日 学生董洲年级高二学校德阳西校区授课内容空间法向量求法及其应用立体几何知识点与例题讲解 难度星级★★★★ 教学内容 上堂课知识回顾（教师安排）： 1.平面向量的基本性质及计算方法 2.空间向量的基本性质及计算方法 本堂课教学重点： 1.掌握空间法向量的求法及其应用 2.掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距 3.熟练灵活运用空间向量解决问题 得分：
平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 二、 平面法向量的应用 1、 求空间角 (1)、求线面角：如图2-1，设→ n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α所成的角为： 图2-1-1:.| |||arccos 2,2 →→→ →→ →??->= <-= AB n AB n AB n π π θ 图2-1-2:2| |||arccos 2,π π θ-??=->=<→ →→ → → → AB n AB n AB n (2)、求面面角:设向量→ m ，→ n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为： θ β α → m 图2-2 → n θ → m α 图2-3 → n β | ,cos |sin ><=→ →AB n θA B α 图2-1-2 θ C → n 图2-1-1 α θ B → n A C
用向量方法证明空间中的平行与垂直
用向量方法证明空间中的平行与垂 直 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑
用向量方法证明空间中的平行与垂直 1.已知直线a的方向向量为a，平面α的法向量为n，下列结论成立的是( C > A．若a∥n，则a∥α B．若a·n＝0，则a⊥α C．若a∥n，则a⊥α D．若a·n＝0，则a∥α 解读：由方向向量和平面法向量的定义可知应选 C.对于选项D，直线a?平面α也满足a·n＝0. 2.已知α，β是两个不重合的平面，其法向量分别为n1，n2，给出下列结论： ①若n1∥n2，则α∥β；②若n1∥n2，则α⊥β； ③若n1·n2＝0，则α⊥β；④若n1·n2＝0，则α∥β. 其中正确的是( A > A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 3.(原创>已知A(3，－2,1>，B(4，－5,3>，则与向量错误!平行的一个向量的坐标是( C >b5E2RGbCAP A．(错误!，1,1> B． (－1，－3,2> C．(－错误!，错误!，－1> D．(错误!，－3，－2错误!>p1EanqFDPw 解读：错误!＝(1，－3,2>＝－2(－错误!，错误!，－1>，DXDiTa9E3d 所以与向量错误!平行的一个向量的坐标是(－错误!，错误!，－1>，故选C.RTCrpUDGiT 4.设l1的方向向量为a＝(1,2，－2>，l2的方向向量为b＝(－2,3，m>，若l1⊥l2，则m等于 2 .5PCzVD7HxA 5.设平面α的法向量为(1,2，－2>，平面β的法向量为(－2，－4，k>，若α∥β，则k＝ 4 . 解读：因为α∥β，所以(－2，－4，k>＝λ(1,2，－ 2>， 所以－2＝λ，k＝－2λ，所以k＝4. 6.已知错误!＝(1,5，－2>，错误!＝(3,1，z>．若错误!⊥错误!，错误!＝(x－1，y，－3>，且BP⊥平面ABC，则实数x＝错误!，y＝－错误!，z＝ 4 .jLBHrnAILg 解读：由已知错误!，xHAQX74J0X 解得x＝错误!，y＝－错误!，z＝4. 7.(原创>若a＝(2,1，－错误!>，b＝(－1,5，错误!>，则以a，b为邻边的平行四边形的面积为2错误!.LDAYtRyKfE 解读：因为a·b＝(2,1，－错误!>·(－1,5，错误!>＝0，
向量在中学数学中的应用研究报告
向量在中学数学中的应用研究工作报告 一、课题研究的背景及意义 向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”,它是中学数学知识的一个交汇点,是数学问题解决的重要工具。《普通高中数学课程标准》对其教学要求为重基础,突出向量作为工具的作用。本课题对高中数学教科书中的向量内容进行分析,把向量作为数学工具来解决数学问题,列举在教学中积累的应用向量解决问题的实例,并进行分类讨论。主要是向量在平面几何、函数、等式与不等式、数列、复数、三角函数、平面解析几何等数学问题解决教学方面的应用。学生在中学阶段必须掌握利用向量来解决常见的数学问题。在此背景下，“运用向量法解题”是一值得关注和研究的问题。 二、课题研究的目标和内容 研究目标 本课题研究的目标是明确向量在中学数学解题中的地位，提高对向量解题的认识，有效地促 进中学数学中利用向量解题，从解题的内涵、思维过程等方面试图从向量解题的思想方法、解题策略、解题心理、解题案例等方面尽可能全面的阐述向量解题，给学习向量的人提供相应的参考。 1、优化学生认识的结构 根据数学学习的同化理论，学生在数学学习的过程中，总是在原有的知识基础上，学习、接受新的知识，使旧知识获得新的意义，使原来的认知结构得到重建和优化。如学习向量平行与垂直时，可以使原有的直线平行、垂直含义及证明的方法得到扩充，得到同化，充实了学生的知识结构。在向量的观念下，学生可以从多角度多方面思考数学知识，达到对知识的融合，优化学生认识结构。 2、培养学生的思维品质 中学数学教学的目的之一是培养学生的思维能力，而培养数学思维品质是形成数学思维能力的基本条件。向量的引入给培养学生的思维品质提供了新的方法和途径。利用向量知识点的多样性，一题多解，培养思维的广阔性；在平面向量这一章中许多概念及有关向量的运算、运算性质、运算律、既类似于实数的相关知识，又有本质区别，这是本章难点，在训练过程中，完善学生认识结论，克服知识负迁移，培养思维的批判性；以课文习题为蓝本实现一题多变，培养思维的灵活性；利用向量形成解题模型，做到一法多题，培养学生思维的聚合性。在向量教学中强化数学思想方法，优化思维品质。 3、培养学生建模能力 向量一章的内容，突出的是知识的应用。新课标准把数学建模能力列为学生学习数学需完成的知识。向量的工具作是显然的。这里可以借助物理问题，通过把物理问题转化为数学问题，建立数学知识与物理知识的联系，即把物理问题抽象成数学问题，然后利用数学模型解释相关物理现象，培养学生建模能力。 4、帮助学生养成数学文化素养 向量以其独特的内容、形式和功能，反映了人类文明的优秀文化成果，作为知识的继承者，学生学好向量，完善知识结构，养成自身的数学文化素养。 研究内容
高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 平面的法向量 仁定义：如果a _ ：，那么向量a 叫做平面二的法向量。平面.：＞ 的法向量共有两大类(从方向上分) ，无 数条。 2、平面法向量的求法 斗 ■ 4 方法一(内积法)：在给定的空间直角坐标系中， 设平面「的法向量n =(x,y,1)［或n =(x,1,z)，或n =(1yZ ］， 在平面:内任找两个不共线的向量 a,b 。由n _ ：?，得n a = 0且n b = 0，由此得到关于 x, y 的方程组，解此 i 方程组即可得到n 。 方法二：任何一个 x, y, z 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 Ax By Cz ^0 (代B,C 不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量 n -(A, B,C)；若平面与3个坐 标轴的交点为R(a,0,0), P 2(0,b,0), P 3(0,0, c),如图所示，则平面方程为?上 ］--1,称此方程为平面的截距 a b c 式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法)：设 ，.为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b 为一长度等于|a||b|sinr , ( 9为 ..,.两者交角，且Ou :::二)，而与..，.皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 .. 例 1、 已知，al(2,1,0),b'(-1,2,1), T T —f —f 试求(1): a^b ； (2)： b 汉a. T T T T Key: (1) a b =(1,-2,5)；⑵ b a =(-1,2,5) 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 7 T T T 的方向转为 匸的方向时，大拇指所指的方向规定为a b 的方向 ^( x i ,y i ,z i ),^(x 2, r 「 T T 丫2二2),则:a b = Z 2 X 1乙 X 2 Z 2 X 1 X 2 y 1 y 2 (注：1、二阶行列式 =ad —cb ； d 2、适合右手定 则。 x, y, z 的一次方程。
向量在高中数学中的作用
向量在高中数学教学中的作用 作为新课程改革，高中数学教材的两个显着变化就是“向量和导数”的引入.其目的也很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性.但这种“工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”.，极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵. 对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题，我们的学生可以说是欣喜若狂啊，因为学生觉得这种方法好！可操作性强！（只要能建系，有坐标就行！）但在实际应用中，学生觉得这些结论不易理解，加上这些结论只能逐步形成和完善，靠死记硬背吧，今天记了明天又忘了！等到用时，仍是“生硬、呆板”，甚至张冠李戴.如何突破这一问题？我认为其根本原因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地形成“知识链”.那么，这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢？ （1）它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”. 1．1线线角 ]) 2 ,0[ ( π α α∈ 的求法的新认识： 我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围 为 ] ,0[π），即 | || , cos | cos b a= = > < = α ,我们能否加以重新认识这个公式 呢？如图， | | 1 | | |1 | cos b OB OB = = α ，此时OB1 可以看作是 与方向 上的单位向 量的数量积 | | ( a = ?其中 ，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理 解为： | | cos b = α （这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）. 1．2线面角 ]) 2 ,0[ ( π θ θ∈ 的求法的新认识： | , cos | sin< =n θ| || |n PA = （其中为平面α的一个法向量），此结论重新可 以理解为： | | | | | | sin PA PA OP = = θ ，此时OP又可 1 1 1