向量法在中学数学中的应用
XXX大学高等教育(本科) 毕业论文
题目：向量法在中学数学中的应用学院：数学科学学院
专业：数学与应用数学
年级：×××
姓名：
指导教师：
邮箱地址：×××
联系电话：×××
完成时间：2016年9月
向量法在中学数学中的应用
专业：
学生：指导教师：
摘要
在数学学习中，涉及到的相关解题方法是非常多的，如向量法、几何法、面积法、三角法等，本论文主要针对向量法在中学数学中的应用来进行研究及分析，对与向量法相关的解题方法及技巧进行了详细的研究。正如大家所知道的一样，向量法在中学数学中是非常重要的一个解题方法。本论文采用归纳演绎的方法对向量法的相关概念、常用公式及定理等进行了介绍，接下来，采用举例分析法对向量法在解题中的实际应用进行了论证。本论文选择了几个不同的方面来对向量法在中学数学中解题的巧用进行了研究，希望本论文的研究及分析工作能够为类似数学方面的研究带来一定的指导意义。
关键词：向量法；应用；举例分析法；中学数学
abstract
In Learning Mathematics, related to problem-solving approach is very much involved, such as Vector, geometric method, area method, trigonometry, etc., the main application of Vector paper in middle school mathematics for research and analysis carried out on solving Problems associated with the vector methods and techniques have been studied in detail. As you know, like vector method it is a very important problem-solving approach in middle school mathematics. This paper uses the method of induction and deduction related concepts vector method, commonly used formulas and theorems were introduced, and then, using the example of vector
analysis method in solving problems of practical application were demonstrated. The paper chose several different aspects of vector method in middle school mathematics problem solving clever use were studied, hoping to research and analysis work in this paper can bring a certain significance for the study of mathematics is similar.
Keywords: Vector; applications; for example analysis; Middle School Mathematics
目录
摘要 (Ⅰ)
1 引言 (1)
2 相关理论知识介绍 (1)
2.1 向量的概念 (1)
2.2 向量的运算 (1)
2.2.1 减法运算 (2)
2.2.2 数乘运算 (2)
2.2.3 向量的数量积 (2)
2.2.4 加法运算 (2)
2.2.5 向量的平移公式 (2)
2.2.6 线段定比分点公式 (2)
2.3 向量的基本定理 (2)
2.3.1 空间向量的基本定理 (2)
2.3.2 平面向量的基本定理 (2)
2.3.3 共面向量的基本定理 (2)
2.3.4 共线向量的基本定理 (2)
2.4 向量的表示 (2)
3 向量法在中学几何中的应用 (2)
3.1 向量法在平面几何中的应用 (2)
3.2 向量法在解析几何中的应用 (8)
3.3 向量法解决立体几何问题 (12)
4 向量法在中学代数中的应用 (2)
4.1 求函数的最值 (2)
4.2 求参变数范围 (8)
4.3 解方程 (12)
4.4 解复数问题 (8)
4.5 证明条件等式 (12)
4.6 向量法在证明解不等式问题中的应用 (8)
4.7 向量法解决方程组问题 (12)
5 向量法解三角函数的问题 (2)
5.1 求值 (2)
5.2 证明恒等式 (8)
结论 (14)
参考文献 (15)
致谢 (16)
1 引言
对于向量及向量法在中学数学中的应用等相关理论知识而言，它是我国中学数学进行改革之后新增加的内容，目的在于为学生提供更好的工具来解决相关数学问题及更好的拓展学生的思维能力。它具有代数形式以及几何形式等的双重身份，即它把数、形融为一体，从而更好的帮助解决相关几何及代数问题。在中学数学的诸多知识点里面，向量法及其计算应用等是一个非常重要的交汇点，它经常与复数、平面解析几何、函数、导数、空间解析几何等方面的内容进行交叉渗透，从而使得相关的数学问题更加具有综合性、更加具有新颖性，这样才能够更好的反应学生对所学知识的融会贯通的能力。向量法作为中学数学一项有力的解题工具，通过对其熟练掌握和灵活应用，能够帮助我们提高解题的效率、拓展我们解题的思维能力、以及对知识进行融会贯通的能力等。
向量作为中学数学的一个基本概念，只有对其进行良好的掌握及理解，才能够更好的把向量法应用到相关数学问题中去求解。对于向量而言，它除了具有方向之外，还具有大小的一个量。因此，其对我国中学数学的发展起着非常重要的作用，向量是代数课程、函数分析、几何分析等相关课程研究的基本内容。
向量及向量法在相关数学问题中的应用等理论知识是作为我国新课改之后引入的新的内容，对我国数学的发展起到很重要的作用。它不但具有代数形式的身份，而且还具有几何形式的身份，可见，它是中学数学的一个交汇点。通过把向量引入到我国中学数学课程里面，它能够促进高中数学的整个体系架构更加完善，通过对向量法进行灵活应用，能够把许多传统的代数问题、几何问题等变得简单化，从而进一步的拓展了学生解决数学问题的思维能力及方法，也为学生进行创新等方面奠定了良好的基础。对于平面向量而言，它主要是将代数知识以及几何知识等进行有机的结合到一起，从而更好的帮助解决相关数学问题，它主要渗透到函数、平面几何、数列、三角函数、解析几何、立体几何等相关的知识体系中，并且，在研究这些数学问题的时候得到了非常广泛的应用。
2、相关理论知识介绍 2.1 向量的概念
在中学数学的学习中，向量是一个非常重要的知识点，只要把向量的相关理论知识及应用掌握透彻了，便可以灵活的应用向量法在中学几何中进行解题或者在代数中进行应用。在进行向量法的基本应用之前，我们需要先了解向量的基本理论知识，那么，什么是向量？我们把既有大小又有方向的量称之为向量。我们把具有方向的线段称之为有向的线段，比如，以A 作为起点，B 作为终点的有向线段，可以把它记为
。另外，对于有向线段AB 的长度，
则把它称为向量的模，故把其记为∣
∣。通过上述介绍可以很明
确的知道向量的三要素为：起点、方向以及长度。
我们把两个方向相反或者方向相同的非零向量称之为平行向量，如向量a 、b 平行，可以把它记为a →//b →
。把长度相等并且方向也相同的向量称之为相等向量。对于任何一组平行向量来讲，都可以把它移动到同一条直线上面，因此，也可以把平行向量叫做共线向量。
对于长度为0的向量，把它称之为零向量，记为0。零向量具有很多特点，如它与任何向量都是垂直的，它的方向也是任意的，与任意向量也都是平行的。把长度等于1个单位长度的向量称之为单位向量。
2.2 向量的运算 2.2.1 减法运算
假设向量a →
、b →
，并且在平面内任意取一点O ，作
=a →
，
=b →
，那么，
=a →
-b →
，即a →
-b →
可以表示为向量b →
的终点指向向量a →
的终点的向量。对于这种求差的方法，我们把它称之为向量减法的三角形法则。对向量减法来讲，它的实质就是加法的一种逆运算。
2.2.2 数乘运算
对于实数与向量a →
来讲，它们的积是一个向量，因此，我们把这种运算叫做向量的数乘，把它记为
，对于∣∣=∣
∣∣a →
∣而言，如果
<0，则
的方向与a →
的方向是相反的；如果＞0，则
的方向与a →
的方向是相同的；如果
=0，
则
=0.
设定、μ为实数，那么，实数与向量的积有：
1）()a b a b λλλ→
→
→
→
+=+ 2）()a a b λμλμ→
→
→
+=+ 3）()()a a λμλμ→
→
=
2.2.3 向量的数量积
已知，两个非零向量a →
、b →
，它们之间的夹角为θ，那么，它的数量积定义表
达式为cos ,a b a b a b →→→→→→?=??，当,2
a b π
→→??=时，称向量a → 与b →互相垂直，记作a →⊥b →．
零向量与任意向量的数量积都是为0的。
2.2.4 加法运算
已知，向量a →
、b →
，在空间平面之内任意取一个点A ，做=b →
，=a →
，故向量
被称之为向量a →
与向量b →
的和，把它记为a →
+b →
，即
+
=
，
故把这种求和的方法叫做向量加法的三角形法则。 向量加法的运算规律为：
a b b a →
→
→
→
+=+；()()a b c a b c →→→→→→
++=++。
2.2.5 向量的平移公式
如果点(,)P x y 按照向量(,)a h k →
=平移至(,)P x y '''，则???+=+=k
y y h
x x ''，则分别
称(,)x y ，(,)x y ''为旧、新坐标，a →
为平移法则．
2.2.6 线段定比分点公式
如下图2-1所示，设→
--→--=21PP P P λ,则定比分点向量式：
→
--→--→
--+++=
21111OP OP OP λ
λλ； 定比分点坐标式：设111222(,),(,),(,)P x y P x y P x y ，
则 1212,11x x y y
x y λλλλ
++=
=++．
图2-1 线段定比分点图形
2.3 向量的基本定理 2.
3.1 空间向量的基本定理
对于空间向量来讲，它的基本定理为：假设三个向量,,a b c →→→
不共面，那么，对于空间里面的任一向量p →
，它是存在一个唯一的有序实数组,,x y z , 使
p x a y b z c →
→
→
→
=++．
2.3.2 平面向量的基本定理
假设a →、b →
是同一个平面之内的两个不共线的向量，那么，对于该平面之内的任何
一个向量p →
，则有且只有一对实数λ、μ，从而使得p →
=λa →
+μb →
。
2.3.3 共面向量的基本定理
对于共面向量来讲，我们把平行于同一平面的向量称之为共面向量。 关于共面向量的定理：假设两个向量不共线，那么，向量p →与向量,a b →→
共面?存在两个实数,x y 使p x a y b →→→
=+。
2.3.4 共线向量的基本定理
关于共线向量的定理：对空间任意两个向量,(0)a b b →→→→≠，a →∥b →
?存在实数λ使a b λ→
→
=.
2.4 向量的表示
（1）向量的代数表示：通常情况之下，它是采用黑体小写字母a 、b 、c …等来进行表示，而对于手写，则在a 、b 、c 、d …等字母上加一箭头来进行表示。
（2）向量的几何表示：向量的几何表示图法，对于向量来讲，它可以采用有向线段来进行表示。而有向线段的长度，它则表示向量的大小，对于箭头所指的方向，则表示为向量的方向。假如规定线段AB的大小，对于箭头所指的方向，则表示为向量的方向。假如规定线段AB的端点A为起点，B为终点，那么，该线段就具有了从起点A到终点B的方向、长度。因此，我们把这种具有长度、方向的线段称之为有向线段。
（3）坐标表示：
1）在平面直角坐标系XY中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i，j作为一组基低。对于a来讲，它是为平面直角坐标系xy内的任意一个向量，以坐标原点o为起点作向量OP=a。由平面向量基本定理可以知道，有且只有一对实数（x，y），使得a=向量OP=xi+yj，因此，我们就可以把实数对（x，y）叫做向量a的坐标，记作a=（x，y）。这就是向量a的坐标表示。其中，（x，y）就是点P的坐标。向量OP称之为点P的位置向量。
2）在立体三维坐标系xyz里面，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的3个单位向量i，j，k作为一组基低。假设a为xyz坐标系里面的任意一个向量，那么，采用坐标原点O为起点来作向量OP=a。因此，通过空间基本定理便可以知道，有且只有一组实数（x，y，z），使得a=向量OP=xi+yj+zk，因此，我们把实数对（x，y，k）称之为向量a的坐标，记作a=（x，y，z）。这也是向量a 的坐标表示。其中（x，y，k），也就是点p的坐标。向量OP称为点P的位置向量。
图2-2 向量的坐标表示图
3) 另外,对于空间多维向量来讲,它也是可以通过类似的方法来得
到的，本论文对于空间多维向量就不在进行介绍。
3、向量法在中学几何中的应用 3.1 向量在平面几何中的应用
通过对向量加减法、数乘以及内积的相关几何意义进行灵活的应用，可以把复杂的问题进行简单化，能够很巧妙并且也非常简洁的对相关几何证明问题进行求解，也能够很简单的对几何问题中涉及到的相关夹角问题进行求解。
例3-1：试证明以三角形的三中线为边可以作成一个三角形。
对例3-1进行分析：如下图3-1所示，,,AD BE CF 分别为ABC ?三条边上的中线，假如要证明,,AD BE CF 能作成一个三角形，那么，只须证明
A D
B E
C F --→
--→
--→++=0→
即可。
图3-1 三角形ABC
证明：设AB --→=c →, BC --→=a →, CA --→=b →
, 则0a b c →
→
→
→
++=，而AD AB BD --→--→--→
=+ 12c a →→=+，BE BC CE --→--→--→=+12a b →→=+,
所以 CF CA AF --→
--→
--→
=+12
b c →
→
=+．
于是 AD BE CF --→--→--→++=1()02
a b c a b c →→→→→→→
+++++=，即以,,AD BE CF 为边可以
构成一个三角形。
3.2 向量在解析几何中的应用
对于平面向量来讲，它作为一种有向线段，其本身就是线段当中的一段，因此，它的坐标用起点和终点坐标来进行表示，可见，向量与平面解析几何之间存在着非常密切的联系．把向量方法应用到解析几何中，可以把以前非常多的形式逻辑证明转变成为数值的一种计算，从而使得复杂的问题简单化，可见，向量法成为解析几何当中的一种解决问题的重要手段及重要方法。
例3-2：已知，我们把一个圆的直径的两端点设为1122(,),(,)A x y B x y ，求此圆的方程.
解：设(,)P x y 为圆上不同于,A B 的点，通过圆周角定理，可以得到AP --→
⊥
BP --→
，假设(,)P x y 是与点A 或B 重合的点，那么，则有AP --→=0→或者BP --→=0→
，故
有AP --→
?BP --→
=0成立，从而使得1122()()()()0x x y y x x y y --+--=，即为所求圆的方程。
例3-3：求过圆22(5)(6)10x y -+-=上的点(6,9)M 的切线方程．
图3-2 圆
解：如图,设(,)N x y 是所求切线上的任意一点，则MN --→
(6,9)x y =--，
(1,3)O M --→
'=,因为MN --→
⊥O M --→
'，所以MN --→
?O M --→
'=0，即(6)3(9)0x y -+-=，此
即为所求切线的方程(即使是,N M 重合时，仍有MN --→
?O M --→'=0，因为此时
MN --→
=0→
)．
例3-4：已知，椭圆16
242
2y x +=1，直线l:812y x + =1。P 是直线l 上一点，
射线OP 交椭圆于点R ，又知，点Q 在射线OP 上，并且它是满足|OQ|·|OP|=|OR|2。
当点P 在直线l 上进行移动的时候，此时，来求点Q 的轨迹方程，并且，也要说明该轨迹是属于什么曲线。
图3-3 椭圆
解：如图3-3所示，不妨设?→
?OQ =(x,y)， =(x p ,y p )，?→
?OR =(x R ,y R )。
因为
、?→
?OQ 是同方向，并且|OP|·|OQ|=|OR|2，故
=
OQ
OP ·?→
?OQ =
2
2OQ
OR ·?→
?OQ 。
所以，有x p =
22OQ
OR ·
x y P =
2
2OQ
OR ·y，并把它代入直线l 方程，得
2
2OQ
OR (
8
12y
x +)=1, ① 同理，由于?→
?OR 、?→
?OQ 是同方向的，所以：
x R =
OQ
OR ·x，y R =
OQ
OR ·y，
并且把它代入到椭圆方程，可以得到：
2
2
OQ
OR
(16242
2y x +)=1。 ② 由①、②得162422y x +=8
12y
x +。(x 、y 不全为0) 所以，得到点Q 的轨迹方程使为椭圆：
（原点是除外的）
例3-5：如图3-4所示，过点A （-1,0），并且斜率为k 的直线l 与抛物线C ：
2y =4x 交于P ，Q 两点。
图3-4 抛物线C
（1） 假如曲线C 的焦点F 与P ，Q ，R 三点按如图3-4所示的顺序构成平行
四边形PRQF ，求点R 的轨迹方程。
（2） 设P ，Q 两点只在第一象限进行运动，点E （0,8）在与线段PQ 中点
的连线交于x 轴的点N ，当点N 在点A 右侧时，求直线PQ 的斜率k 的取值范围。
解：（1）设P （42
1y ，1y ），Q （42
2y ，2y ），R （x,y ）则AP=（42
1y
+1，1y ）
AQ=（422y +1，2y ）EP=（421y -1，1y ）QR=（x-4
22
y ，y-2y ）
由A,P,Q 三点共线知AP 平行AQ ，
（421y +1）2y =1y （422y +1）
即4
21y
y （1y -2y ）=1y -2y
又1y 2y 所以1y 2y =4
由于四边形PFQR 为平行四边形，可以知道PF=QR
故（421y -1，1y ）=（x-4
2
2y
，y-2y ）
即x=4
2
2
21y y + - 1 y=1y +2y
故 2y =4x+12
因为x=4
2
2
21y y + - 1>4221y y -1=1
点R 的轨迹方程为2y =4x+12 （x>1）
(2)设N （a ，0）（a>-1）P , Q 中点为G （8
2
2
21y y +，221y y +）
即G （82y -1，2y ） EG=（8
2
y -1，2y -8） EN=(a ，-8)
由E ，G ，N 三点共线知 EG 平行EN
故 -8（8
2
y -1）=a （2y -8）
得 a=162162
--y y （a>-1）
所以 2
1
又有 P ，Q 两点在第一象限 所以4 k=1212x x y y --=214y y +=y 4 ∈(41,1) 3.3 向量法解决立体几何问题 由于立体几何是一项比较复杂的求解问题，因此，采用传统的方法来进行求解，是比较复杂的，也需要很繁琐的分析工作等。所以，通过引入向量法来对立体几何进行求解，能够使复杂问题变得简单化，使解题思路更加清晰等。通过采用向量法来把复杂问题由繁化为简，由难化为易等，这样能够起到很好的解题效果。 例3-6：已知，正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，它的底面边长AB=2，侧棱BB 1 的长为4，过点B 作B 1C 的垂线交侧棱CC 1于点E ，交B 1C 于点F. （1）求证：A 1C ⊥平面BED ； ⑵ 求A 1B 与平面BDE 所成的角的正弦值. 图3-5正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1 对于该题来讲，它是由两种解题方法的，下面分别对这两种方法进行介绍。 解法（一）： （1）证明：连AC 交BD 于点O ， 由正四棱柱性质，便可以知道AA 1⊥底面ABCD ， AC ⊥BD ，∴A 1C ⊥BD 又∵A 1B ⊥侧面BC 1且B 1C ⊥BE ， ∴A 1C ⊥BE ， ∵BD ∩BE=B ， ∴A 1C ⊥平面BDE （2）解：设A 1C 交平面BDE 于点K ，连BK ， 则∠A 1BK 为A 1B 与平面BDE 所成的角， ∵在侧面BC 1中BE ⊥B 1C ，∴△BCE ∽△B 1BC ， 1,4,2,11 =∴===∴CE BB BC BB BC BC CE 又 连结OE ，则OE 为平面ACC 1A 1与平面DBE 的交线， A B D C A 1 B 1 D 1 C 1 E F 12 2 ,12 ,2,22 3,126 ,33 OE AC K Rt ECO CO AC AB OE CO EC OE CK EC CO CK ∴=?= ==∴=+=??=?∴= = 在中又 3 6 53662, 62121221= -=∴=++= K A AA BC AB C A 6304 26 35sin 221111=+== ∠?∴B A K A BK A BK A Rt 中在 即为A 1B 与平面BDE 所成的角的正弦值. 解法（二）： （1）以D 为原点，DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系0－xyz ，则D （0，0，0），A （2，0，0），C （0，2，0），B （2，2，0）， A 1（2，0，4），D 1（0，0，4），C 1（0，2，4）， B 1（2，2，4）， 设E （0，2，t ），则∵),4,0,2(),,0,2(,11--=-=⊥ C B t BE C B BE ,1,04041=∴=-+=?∴t t C B BE 0404),0,2,2(),4,2,2(),1,0,2(),1,2,0(11=-+=?∴=--=-=∴BE C A DB C A BE E 又 且,00441=++-=?DB C A ,11BE C A DB C A ⊥⊥∴且 BDE C A BE C A DB C A 平面且⊥∴⊥⊥∴111, （2）设A 1C ∩平面BDE=K ， 设A 1C ∩平面BDE=K ， ), 4,22,22(), ,22,2(),,22,2()1,2,0()0,2,2(1-+-=∴+∴+=+=?+?=n n m m K A n n m m K n n m m n m DE n DB m DK 设 0120)22(2)22(211=-+?=++-=??⊥n m n m m DB K A DB K A …① 同理有045404)22(211=-+?=-++=??⊥n m n n m DE K A DE K A …② 由①，②联立解得),3 10 ,35,35(,32,611--=∴==K A n m ,52||,3 6 5||11==∴B A K A 又易知 ,630526 35||||sin 111===∠∴B A K A BK A 即所求角的正弦值是6 30 图3-6正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1 通过上面的两种分析方法，很明显的可以看出采用向量法来进行求解是非常方便的，其比传统方法更加具有优越性，比如：解题的思路是很清晰的，也比较容易被理解。唯一的不足之处在于其运算量是非常大的。 4、向量法在中学代数中的应用 在中学数学的很多解题里面都可以应用向量法来进行求解，如采用向量法 A B D C A 1 B 1 D 1 C 1 E F K y x z 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量及其加减运算 教学目标： （1）通过本章的学习，使学生理解空间向量的有关概念。 （2）掌握空间向量的加减运算法则、运算律，并通过空间几何体加深对运算的理解。 能力目标： （1）培养学生的类比思想、转化思想，数形结合思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力。 （2）培养学生空间想象能力，能借助图形理解空间向量加减运算及其运算律的意义。（3）培养学生空间向量的应用意识 教学重点： （1）空间向量的有关概念 （2）空间向量的加减运算及其运算律、几何意义。 （3）空间向量的加减运算在空间几何体中的应用 教学难点： （1）空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用。 （2）空间向量的加减运算及其几何的应用和理解。 考点：空间向量的加减运算及其几何意义，空间想象能力，向量的应用思想。 易错点：空间向量的加减运算及其几何意义在空间几何体中的应用 教学用具：多媒体 教学方法：研讨、探究、启发引导。 教学指导思想：体现新课改精神，体现新教材的教学理念，体现学生探究、主动学习的思维习惯。 教学过程： （老师）：同学们好！首先请教同学们一个问题：物理学中，力、速度和位移是什么量？怎样确定？ （学生）：矢量，由大小和方向确定 （学生讨论研究）（课件）引入：（我们看这样一个问题）有一块质地均匀的正三角形面的钢板，重500千克，顶点处用与对边成60度角，大小200千克的三个力去拉三角形钢板，问钢板在这些力的作用下将如何运动？这三个力至少多大时，才能提起这块钢板？ （老师）：我们研究的问题是三个力的问题，力在数学中可以看成是什么？ （学生）向量 （老师）：这三个向量和以前我们学过的向量有什么不同？ （学生）这是三个向量不共面 （老师）：不共面的向量问题能直接用平面向量来解决么？ （学生）：不能，得用空间向量 （老师）：是的，解决这类问题需要空间向量的知识这节课我们就来学习空间向量板书：空间向量及其运算 （老师）:实际上空间向量我们随处可见，同学们能不能举出一些例子？ （学生）举例 （老师）：然后再演示（课件）几种常见的空间向量身影。（常见的高压电线及支架所在向量，长方体中的三个不共线的边上的向量，平行六面体中的不共线向量） （老师）:接下来我们我们就来研究空间向量的知识、概念和特点，空间向量与平面向量既有联系又有区别，我们将通过类比的方法来研究空间向量，首先我们复习回顾一下平面向量 山空间向量的综合应用（2） 1．直三棱柱111C B A ABC -中，?=∠90ACB ，a AA AC ==1，则点A 到平面BC A 1的距离是 A.a B.a 2 C.a 22 D.a 3 2．在ABC ?中，15=AB ，?=∠120BCA ，若ABC ?所在平面α外一点P 到C B A ,,的距离都是14，则P 到α的距离是 A.13 B.11 C.9 D.7 3．将一块边长为2的正三角形铁皮沿各边的中位线折叠成一个正四面体，则这正四面体某顶点到其相对面的距离是 A. 36 B.35 C.33 D.3 2 4．已知111C B A ABC -是各条棱长均等于a 的正三棱柱，D 是侧棱1CC 的中点．点1C 到平面1AB D 的距离 A ．a 42 B ．a 82 C ．a 423 D ．a 2 2 5．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则平面1AB C 与平面11A C D 间的距离 A ．63 B ．3 3 C ． 332 D ．2 3 6．在三棱锥ABC P -中，BC AB ⊥，PA BC AB 2 1==，点D O ,分别是PC AC ,的中点，OP ⊥底面ABC ，则直线OD 与平面PBC 所成角的正弦值 A ．621 B ．338 C ．60210 D ．30 210 7．已知长方体1111D C B A ABCD -中，21==AA AB ，4=AD ，E 为侧面1AB 的中心，F 为11D A 的中点．试计算： (1)1BC ED ?；(2) 1EF FC ?. 8．在平行四边形ABCD 中，1==AC AB ，?=∠90ACD ，将它沿对角线AC 折起，使AB 和CD 成?60角(见下图)．求B 、D 间的距离． 高中数学空间向量之--平面法向量得求法及其应用 一、平面得法向量 １、定义:如果,那么向量叫做平面得法向量。平面得法向量共有两大类(从方向上分),无数条。 2、平面法向量得求法 方法一(内积法):在给定得空间直角坐标系中,设平面得法向量[或,或］,在平面内任找两个不共线得向量。由, 得且,由此得到关于得方程组,解此方程组即可得到。 方法二:任何一个得一次次方程得图形就是平面;反之,任何一个平面得方程就是得一次方程。,称为平面得一般 方程。其法向量;若平面与3个坐标轴得交点为,如图所示,则平面方程为:,称此方程为平面得截距式方程,把它化 为一般式即可求出它得法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行得非零向量,其外积为一长度等于,(θ为,两者交角,且),而与, 皆垂直得向量。通常我们采取「右手定则」,也就就是右手四指由得方向转为得方向时,大拇指所指得方向规 定为得方向,。 (注:1、二阶行列式: ;２、适合右手定则、) 例1、Array试求 Ｋey: ( 例2、 求平面A 二、 1、 (1) A 图2-１ 图2—1 (2) (图 (图２ 两个平 得平面 平面而言向内;在图2—3中,得方向对平面而言向内,得方向对平面而言向内。我们只要用两个向量得向量积(简称“外积”,满足“右手定则")使得两个半平面得法向量一个向内一个向外,则这两个半平面得法向量得夹角即为二面角得平面角。 2、 求空间距离 (1)、异面直线之间距离: 方法指导:如图2－4,①作直线a 、b 得方向向量、, 求a 、b 得法向量,即此异面直线a 、b 得公垂线得方向向量; ②在直线a 、b 上各取一点A 、Ｂ,作向量; ③求向量在上得射影ｄ,则异面直线a 、b 间得距离为 ,其中 (2)、点到平面得距离: 方法指导:如图2－5,若点B 为平面α外一点,点A 为平面α内任一点,平面得法向量为,则点P 到 平面α得距离公式为 (3)、直线与平面间得距离: 方法指导:如图2-6,直线与平面之间得距离: ,其中。就是平面得法向量 (４)、平面与平面间得距离: 方法指导:如图2－7,两平行平面之间得距离: ,其中。就是平面、得法向量。 3、 证明 (1)、证明线面垂直:在图2-8中,向就是平面得法向量, a 得方向向量,证明平面得法向量与直线所在向量共线()。 (2)、证明线面平行:在图2—9中,向就是平面得法向量,线ａ得方向向量 ,证明平面得法向量与直线所在向量垂直()。 (3)、证明面面垂直:在图２—10中,就是平面得法向量,面得法向量,证明两平面得法向量垂直() (4)、证明面面平行:在图2—11中, 向就是平面得法向量,量,证明两平面得法向量共线()。 三、高考真题新解 立体几何空间向量知识点总结 知识网络： 知识点拨： 1、空间向量的概念及其运算与平面向量类似，向量加、减法的平行四边形法则，三角形法则以及相关的运算律仍然成立．空间向量的数量积运算、共线向量定理、共面向量定理都是平面向量在空间中的推广，空间向量基本定理则是向量由二维到三维的推广． 2、当a 、b 为非零向量时．0a b a b ?=?⊥是数形结合的纽带之一，这是运用空间向量研究线线、线面、面面垂直的关键，通常可以与向量的运算法则、有关运算律联系来解决垂直的论证问题． 3、公式cos ,a b a b a b ?<>= ?是应用空间向量求空间中各种角的基础，用这个公式可以求两异面直线所成的角（但要注意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值围上的区别），再结合平面的法向量，可以求直线与平面所成的角和二面角等． 4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念，通过研究方向向量与法向量之间的关系，可以确定直线与直线、直线与平面、平面与平面等的位置关系以及有关的计算问题． 5、用空间向量判断空间中的位置关系的常用方法 （1）线线平行 证明两条直线平行，只需证明两条直线的方向向量是共线向量． （2）线线垂直 证明两条直线垂直，只需证明两条直线的方向向量垂直，即0a b a b ?=?⊥． （3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明可在平面找到一个向量与直线方向向量是共线向量； ③利用共面向量定理，即证明可在平面找到两不共线向量来线性表示直线的方向向量．（4）线面垂直 用向量证明线面垂直的方法主要有： ①证明直线方向向量与平面法向量平行； ②利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题． （5）面面平行 ①证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）； ②转化为线面平行、线线平行问题． （6）面面垂直 ①证明两个平面的法向量互相垂直； ②转化为线面垂直、线线垂直问题． 6、运用空间向量求空间角 （1）求两异面直线所成角 利用公式cos, a b a b a b ? <>= ? ， 但务必注意两异面直线所成角θ的围是 0, 2 π ?? ???， 故实质上应有：cos cos,a b θ=<> ． （2）求线面角 求直线与平面所成角时，一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量，通过数量积求出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量，先求出直线方向向量与平面法向量的夹角φ，即可求出直线与平面所成的角θ，其关系是sinθ＝| cosφ|． （3）求二面角 用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义，在两个面先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量，然后求出这两个方向向量的夹角，由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角，它与二面角的大小相等或互补．7、运用空间向量求空间距离 空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离． （1）点与点的距离 点与点之间的距离就是这两点间线段的长度，因此也就是这两点对应向量的模． （2）点与面的距离 点面距离的求解步骤是： ①求出该平面的一个法向量； ②求出从该点出发的平面的任一条斜线段对应的向量； ③求出法向量与斜线段向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即得要求的点面距离． 备考建议： 经典习题平面法向量求法及应用 平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。 平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量 (,,1) n x y =r [或 (,1,) n x z =v ，或 (1,,) n y z =r ]，在平面α内任找两个不共线的向量 ,a b r r 。由 n α ⊥r ，得 n a ?=r r 且 n b ?=r r ，由此得到 关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n r 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。0=+++D Cz By Ax ) 0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ; 若平面与3个坐标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(3 2 1 c P b P a P ,如图所 示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ →?b a 为一长 度等于θsin ||||→ → b a ，（θ为,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规 定为→ → ?b a 的方向,→ → → → ?-=?a b b a 。:),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ →2 1y y b a ,2 1z z 2 1x x - ,21 z z 2 1 x x ??? ?21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。） C 1A 1 D 1 z B E 摘要：向量是高中数学教学内容中非常重要的组成部分，如果能够有效运用向量知识进行解题，有助于学生更好地将数学知识联系起来，还可以提高解题的效率。本文论述了向量在高中数学中的重要作用和意义，并分析了高中数学中对向量知识具体的运用方式。 关键词：高中数学;向量;应用 一、引言 向量是高中数学教学内容中非常重要的组成部分，相对于课本中的其他知识，向量比较抽象难懂，再加上很多学生对向量在实际解题过程中的应用很少，使得向量在高中数学整体的解题方式上显得比较少而且难。但是，在真正掌握了向量的解题规律之后，就会发现运用向量进行解题，一般步骤都比较少，只要找出诀窍就可以在短时间内完成解题，因此，掌握向量在高中数学中备受重视。与此同时，由于长期以来很多高中生都面临着数学“解题难”的问题，这些学生往往对很多题无从下手，可以说是毫无头绪，向量由于可以同时与几何、代数以及三角函数等进行综合应用，因此，向量在高中数学解题中得到了较为广泛的应用，这就要求高中数学课堂教学中不仅要求学生掌握向量的相关知识，还要灵活应用，强化学生对向量的运用能力，提高学生的解题效率、帮助学生减轻解题的负担。 二、向量概述 早在十九世纪的时候就有数学家和物理学家提出了向量的概念，并且成为研究的对象，向量在二十世纪的数学领域得到了普遍的推广和应用，但是，我国将向量内容引入高中数学的历史仅仅有二十几年，但是它已经成为了高中数学的主要内容。对向量的认识和解读主要有以下几个方面：一是向量代表了高中数学中主要的应用模型。v在向量中代表集合，而集合则构成了向量的运算交集，向量的长度可以通过数量积的运算来表达，当向量的长度达到一定的意义之后，v对向量的运算构成了线性的范畴，从而组建成数学建模的主要内容，这种建模主要应用在高中数学中的函数与抽象代数领域。二是向量在高中数学中担当着几何与代数的桥梁。由于向量在高中数学中是具有长度概念的，因此，它可以准确地将物体的位置表示出来，但是物体的位置和形状有又于几何的范畴，所以，向量可以与几何相结合，从几何的角度理解向量，比如，向量可以对几何中长度、面积与体积进行表达与换算，同时，由于向量具有方向性，不仅可以对线、面的位置关系准确表达，还可以通过加减乘除的运算与代数的运算相一致，所以，向量同样可以与代数相结合。总而言之，向量在高中数学中起到了连接几何与代数的作用。 三、高中数学中运用向量的重要性及意义 对高中生来说学习好向量具有十分重要的意义。向量作为现代数学中一个重要的概念，它是连接几何与代数的桥梁，目前高中数学教学内容中增加了向量的内容，因为向量可以让高中数学解题的方式更加多元化、更加快速和新颖。用向量解决几何中的问题可以让学生的思路更加清晰、过程更加简单，比传统的解题方法更加有效。所以，高中数学中应该重视向量的教学，引导学生开拓解题的思路。同时，高中数学教学内容增加向量的知识可以帮助学生更加清晰地认识代数与几何之间的联系，可以用新颖的方式处理数学中的问题。 高中数学教学中学习向量的重要性主要体现在，向量可以提高解题的效率，主要有以下几点，一是向量可以开拓学生的解题思维，在高中数学中的应用可以创新学生的解题思维与解题方法;二是向量在某种程度上可以降低解题的难度，这是由于在熟练掌握了向量解题技巧之后，可以大幅度地缩短解题的时间，提高解题的效率，从而可以为课堂教学节省更多的时间学习更多的知识;三是向量的学习可以加深高中生对数学知识的基础作用。 四、向量在高中数学中的应用 第一，向量是高中数学最重要的数学建模。空间向量可以说在解决一些立体几何的问题 专题11.4 空间向量的应用（专题训练卷） 一、单选题 1．（2020·江苏如东 高一期末）在长方体1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，11AA =，则直线1BC 与平面11BB DD 所成角的正弦值为（ ） A ． 6 B ． 102 C ． 155 D ． 105 【答案】D 【解析】 以D 点为坐标原点，以1,,DA DC DD 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系， 则1(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),A B C C (0,2,1), 1(2,0,1),(2,2,0),BC AC AC ∴=-=-为平面11BB D D 的一个法向量． 110 cos ,558 BC AC ∴<>= =?． ∴直线1BC 与平面11BB DD 10 故选：D ． 2．（2020·河北新华 石家庄二中高一期末）在正方体1111ABCD A B C D -中，M N ，分别为AD ，11C D 的中点，O 为侧面11BCC B 的中心，则异面直线MN 与1OD 所成角的余弦值为( ) A．1 6 B． 1 4 C． 1 6 -D． 1 4 - 【答案】A 【解析】 如图，以D为坐标原点，分别以1 ,, DA DC DD所在直线为,, x y z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2，则()( )()() 1 100,012,121,002 M N O D ，，，，，，，，，∴()() 1 1,1,2,1,2,1 MN OD =-=--．则 1 1 1 1 cos, 6 66 MN OD MN OD MN OD ? === ?．∴异面直线 MN与 1 OD所成角的余弦值为 1 6 ,故选A． 3．（2020·辽宁高三其他（文））如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D 所成角的正弦值为（） A 6 B 26 C 15 D 10 【答案】D 【解析】 以D点为坐标原点，以DA、DC、1 DD所在的直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系则A（2，0， 高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则： 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 ， ， 空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离： ； 1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2：利用空间向量求线线角、线面角 1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量，则 则： 空间线段 的中点 M （x ，y ，z ）的坐标： 2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则 3 ：利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等， 操作方法： 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法： 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2．空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离 2）直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3）二面角的范围一般是指 （0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1）异面直线所成的角的范围 是 b F 空间向量在立体几何中的应用： (1)直线的方向向量与平面的法向量： ①如图，l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，对空间任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t ，使得a t OA OP +=，其中向量a 叫做直线的方向向量． 由此可知，空间任意直线由空间一点及直线的方向向量惟一确定． ②如果直线l ⊥平面α ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 叫做平面α 的法向量． 由此可知，给定一点A 及一个向量a ，那么经过点A 以向量a 为法向量的平面惟一确定． (2)用空间向量刻画空间中平行与垂直的位置关系： 设直线l ，m 的方向向量分别是a ，b ，平面α ，β 的法向量分别是u ，v ，则 ①l ∥m ?a ∥b ?a ＝k b ，k ∈R ； ②l ⊥m ?a ⊥b ?a ·b ＝0； ③l ∥α ?a ⊥u ?a ·u ＝0； ④l ⊥α ?a ∥u ?a ＝k u ，k ∈R ； ⑤α ∥?u ∥v ?u ＝k v ，k ∈R ； ⑥α ⊥β ?u ⊥v ?u ·v ＝0． (3)用空间向量解决线线、线面、面面的夹角问题： ①异面直线所成的角：设a ，b 是两条异面直线，过空间任意一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，则a ′与b ′所夹的锐角或直角叫做异面直线a 与b 所成的角． 设异面直线a 与b 的方向向量分别是v 1，v 2，a 与b 的夹角为θ ，显然],2 π,0(∈θ则 ?= > 状元堂一对一个性化辅导教案 教师张敏科目数学时间2013 年6 月4日 学生董洲年级高二学校德阳西校区授课内容空间法向量求法及其应用立体几何知识点与例题讲解 难度星级★★★★ 教学内容 上堂课知识回顾（教师安排）： 1.平面向量的基本性质及计算方法 2.空间向量的基本性质及计算方法 本堂课教学重点： 1.掌握空间法向量的求法及其应用 2.掌握用空间向量求线线角，线面角，面面角及点面距 3.熟练灵活运用空间向量解决问题 得分： 平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或(1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 二、 平面法向量的应用 1、 求空间角 (1)、求线面角：如图2-1，设→ n 是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，α∈A ，则AB 与平面α所成的角为： 图2-1-1:.| |||arccos 2,2 →→→ →→ →??->= <-= AB n AB n AB n π π θ 图2-1-2:2| |||arccos 2,π π θ-??=->=<→ →→ → → → AB n AB n AB n (2)、求面面角:设向量→ m ，→ n 分别是平面α、β的法向量，则二面角βα--l 的平面角为： θ β α → m 图2-2 → n θ → m α 图2-3 → n β | ,cos |sin ><=→ →AB n θA B α 图2-1-2 θ C → n 图2-1-1 α θ B → n A C 向量在高中数学中的应用 在高中数学新课程教材中，平面向量是高中数学的新增内容，也是新高考的一个亮点。学生学习平面向量在前，学习解析几何在后，而且教材中二者知识整合的不多，很多学生在学习中就“平面向量”解平面向量题，不会应用平面向量去解决解析几何问题。向量知识、向量观点在数学、物理等学科的很多分支有着广泛的应用，它具有代数形式和几何形式的“双重身份”，能融数形与一体，能与中学数学教学内容的的许多主干知识综合，形成知识交汇点。距离如下： 1、利用向量证明等式 材料一：已知、是任意角，求证：。 证明：在单位圆上，以轴为始边作角，终边交单位圆于A，以轴为始边作角，终 边交单位圆于B，有，所以有： 又 即 点评：对于某些恒等式证明，形式中含有或符合向量的坐标运算形式，可运用 向量的数量积定义和向量坐标运算来证明。 2、利用向量证明不等式 材料二：是正数。求证： 证明：设 由数量积的坐标运算可得： 又因为，所以成立。 点评：当求解问题（式子）中含有乘积或乘方时，可巧妙地利用向量数量积坐标表达式： ，，构造向量解之。 3、利用向量求值 材料三：已知，求锐角。 解析：由条件得 设，， 则，，， 由，得，即， 则，即，同理（因为、为锐角） 点评：对于求值问题，巧妙地运用向量的数量积定义构造等量关系求值。 4、利用向量求函数值域 材料四：若，求的最小值。 解析：构造向量， 由，得 即， 当且仅当时，有最小值 点评：巧妙构造向量，可以解决条件最值问题，特别是某些含有乘方之和或乘积之和式子的条件最值问题，用向量证明更有独特之处。 5、利用向量解决析几何问题 材料五：过点，作直线交双曲线于A、B不同两点，已知 。 （1）、求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。 （2）、是否存在这样的直线，使若存在，求出的方程；若不存在说明理由。 解析：（1）、设直线的方程为， 代入得， 当时，设，，则， 高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 平面的法向量 仁定义：如果a _ ：，那么向量a 叫做平面二的法向量。平面.：＞ 的法向量共有两大类(从方向上分) ，无 数条。 2、平面法向量的求法 斗 ■ 4 方法一(内积法)：在给定的空间直角坐标系中， 设平面「的法向量n =(x,y,1)［或n =(x,1,z)，或n =(1yZ ］， 在平面:内任找两个不共线的向量 a,b 。由n _ ：?，得n a = 0且n b = 0，由此得到关于 x, y 的方程组，解此 i 方程组即可得到n 。 方法二：任何一个 x, y, z 的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是 Ax By Cz ^0 (代B,C 不同时为0)，称为平面的一般方程。其法向量 n -(A, B,C)；若平面与3个坐 标轴的交点为R(a,0,0), P 2(0,b,0), P 3(0,0, c),如图所示，则平面方程为?上 ］--1,称此方程为平面的截距 a b c 式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法)：设 ，.为空间中两个不平行的非零向量，其外积 a b 为一长度等于|a||b|sinr , ( 9为 ..,.两者交角，且Ou :::二)，而与..，.皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 .. 例 1、 已知，al(2,1,0),b'(-1,2,1), T T —f —f 试求(1): a^b ； (2)： b 汉a. T T T T Key: (1) a b =(1,-2,5)；⑵ b a =(-1,2,5) 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体 ABCD -A 1B 1C 1D 1中, 7 T T T 的方向转为 匸的方向时，大拇指所指的方向规定为a b 的方向 ^( x i ,y i ,z i ),^(x 2, r 「 T T 丫2二2),则:a b = Z 2 X 1乙 X 2 Z 2 X 1 X 2 y 1 y 2 (注：1、二阶行列式 =ad —cb ； d 2、适合右手定 则。 x, y, z 的一次方程。 向量在高中数学教学中的作用 作为新课程改革，高中数学教材的两个显着变化就是“向量和导数”的引入.其目的也很明确：为研究函数、空间图形，提供新的研究手段，即充分体现它们的工具性.但这种“工具性”，只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”.，极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵. 对教材引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题，我们的学生可以说是欣喜若狂啊，因为学生觉得这种方法好！可操作性强！（只要能建系，有坐标就行！）但在实际应用中，学生觉得这些结论不易理解，加上这些结论只能逐步形成和完善，靠死记硬背吧，今天记了明天又忘了！等到用时，仍是“生硬、呆板”，甚至张冠李戴.如何突破这一问题？我认为其根本原因是：在学生的认知结构里，这一性质未能如愿地形成“知识链”.那么，这一性质是怎样与相关问题产生“对接或联系”的呢？ （1）它是空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的“对接点”. 1．1线线角 ]) 2 ,0[ ( π α α∈ 的求法的新认识： 我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围 为 ] ,0[π），即 | || , cos | cos b a= = > < = α ,我们能否加以重新认识这个公式 呢？如图， | | 1 | | |1 | cos b OB OB = = α ，此时OB1 可以看作是 与方向 上的单位向 量的数量积 | | ( a = ?其中 ，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理 解为： | | cos b = α （这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）. 1．2线面角 ]) 2 ,0[ ( π θ θ∈ 的求法的新认识： | , cos | sin< =n θ| || |n PA = （其中为平面α的一个法向量），此结论重新可 以理解为： | | | | | | sin PA PA OP = = θ ，此时OP又可 1 1 1 §3.1.1空间向量及加减其运算 【学情分析】： 向量是一种重要的数学工具，它不仅在解决几何问题中有着广泛的应用，而且在物理学、工程科学等方面也有着广泛的应用。在人教A版必修四中，读者已经认知了平面向量，现在，学习空间向量时要注意与平面向量的类比，体会空间向量在解决立体几何问题中的作用。【教学目标】： （1）知识与技能：理解和掌握空间向量的基本概念，向量的加减法 （2）过程与方法：通过高一学习的平面向量的知识，引申推广，理解和掌握向量的加减法 （3）情感态度与价值观：类比学习，注重类比、推广等思想方法的学习，运用向量的概念和运算解决问题，培养学生的开拓创新能力。 【教学重点】： 空间向量的概念和加减运算 【教学难点】： 空间向量的应用 四．练习巩 固 1．课本P86练习1-3 2．如图，在三棱柱1 11C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +; （2）1AA CB AC ++; （3）CB AC AA --1 解：（1）11CA BA CB =+ （2）11AB AA CB AC =++ （3）11BA CB AC AA =-- 巩固知识，注意区别加 减法的不同处. 五．小结 1．空间向量的概念： 2．空间向量的加减运算 反思归纳 六．作业 课本P97习题3.1，A 组 第1题（1）、（2） 练习与测试： （基础题） 1．举出一些实例，表示三个不在同一平面的向量。 2．说明数字0与空间向量0的区别与联系。 答：空间向量0有方向，而数字0没有方向；空间向量0的长度为0。 3．三个向量a,b,c 互相平行，标出a+b+c. ‘解：分同向与反向讨论（略）。 4．如图，在三棱柱111C B A ABC -中，M 是1BB 的中点， 化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量： （1）1BA CB +; 2019-2020年高中数学选修2-1空间向量及其应用 一．课标要求： （1）空间向量及其运算 ① 经历向量及其运算由平面向空间推广的过程； ② 了解空间向量的概念，了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； ③ 掌握空间向量的线性运算及其坐标表示； ④ 掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能运用向量的数量积判断向量的共线与垂直。 （2）空间向量的应用 ① 理解直线的方向向量与平面的法向量； ② 能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直、平行关系； ③ 能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）； ④ 能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。 二．命题走向 本讲内容主要涉及空间向量的坐标及运算、空间向量的应用。本讲是立体几何的核心内容，高考对本讲的考察形式为：以客观题形式考察空间向量的概念和运算，结合主观题借助空间向量求夹角和距离。 预测07年高考对本讲内容的考查将侧重于向量的应用，尤其是求夹角、求距离，教材上淡化了利用空间关系找角、找距离这方面的讲解，加大了向量的应用，因此作为立体几何解答题，用向量法处理角和距离将是主要方法，在复习时应加大这方面的训练力度。 三．要点精讲 1．空间向量的概念 向量：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。如位移、速度、力等。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 表示方法：用有向线段表示，并且同向且等长的有向线段表示同一向量或相等的向量。 说明：①由相等向量的概念可知，一个向量在空间平移到任何位置，仍与原来的向量相等，用同向且等长的有向线段表示；②平面向量仅限于研究同一平面内的平移，而空间向量研究的是空间的平移。 2．向量运算和运算率 加法交换率： 加法结合率： 数乘分配率： 说明：①引导学生利用右图验证加法交换率，然后推广到首尾相接的若干向量之和；②向量加法的平行四边形法则在空间仍成立。 3．平行向量(共线向量)：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量。平行于记作∥。 注意：当我们说、共线时，对应的有向线段所在直线可能是同一直线，也可能是平行直线；当我们说、平行时，也具有同样的意义。 共线向量定理：对空间任意两个向量（≠）、，∥的充要条件是存在实数使＝ 注：⑴上述定理包含两个方面：①性质定理：若∥（≠0），则有＝，其中是唯一确定的 空间向量在立体几何中的应用 1.如图，已知正四棱柱中，底面边长，侧棱的长为，过点作的垂线交侧棱于点，交于点．求证：平面；求与平面所成的角的正弦值． 2.如图，四边形是圆柱的轴截面，点在圆柱的底面圆周上，是的中点，圆柱的底面圆的半径，侧面积为，． 求证：； 求二面角的平面角的余弦值． 3.等边三角形的边长为，点、分别是边、上的点，且满足（如图）．将 沿折起到的位置，使二面角 成直二面角，连结、（如图）． 求证：丄平面； 在线段上是否存在点，使直线与平面 所成的角为？若存在，求出的长；若不存在， 请说明理由．4.如图，在斜三棱柱中，点、分别是、的中点，平面．已知 ，． 证明：平面； 求异面直线与所成的角； 求与平面所成角的正弦值． 5.如图，平面，，，，，分别为，的中点．证明：平面； 求与平面所成角的正弦值． 6.如图，三棱柱中，，， ．证明； 若平面平面，，求直线与平面 所成角的正弦值． 7.如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，，是上的一点，．证明：平面； 设二面角为，求与平面所成角的大小． 8.如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，，且． 求证：平面；求直线与平面所成的角的大小； 求二面角的大小． 9.如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，底面 ，，为中点．求证：直线平面； 求直线与平面所成角的大小； 求点到平面的距离．10.如图，四棱锥的底面为矩形，是四棱锥的高，与所成角为，是的中点，是上的动点．证明：； 若，求直线与平面所成角的大小． 11.如图，在四棱锥中，平面，四边形是菱形，，，是上任意一点．求证：；已知二面角的余弦 值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦值． 12.已知平行四边形中，，，，是线段的中点．沿直线将翻折成，使得平面平面．求证：平面； 求直线与平面所成角的正弦值． 法向量的快速求法 在数学考试过程中，大部分同学往往因为时间不够而没法做完一份完整的试卷，有些同学也因为时间不够，计算速度加快而出现计算错误等原因导致失分，所以能够简便而快速的算出结果是很多同学梦寐以求的。用向量方法做立几题，必须会的一种功夫是求平面的法向量。不少理科同学为经常算错平面的法向量而苦恼，下面介绍一种快速求平面的法向量方法。 新教材对平面几何的要求，重点在于求平面的法向量，常见的待定系数法解方程组，运算量大，学困生容易算错，最简单快捷的方法是行列式法。 结论：向量a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)是平面α内的两个不共线向量，则向量n ＝(y 1z 2－y 2z 1，－(x 1z 2－x 2z 1)，x 1y 2－x 2y 1)是平面α的一个法向量. 如果用二阶行列式表示，则 n ＝( 1122y z y z ，－1 122x z x z ，1 12 2 x y x y ) ，这更便 于记忆和计算. 结论证明（用矩阵与变换知识可以证明，此处略去），但你可以验证 n 一定满足 m a m b ??=?? ?=???111222 0x x y y z z x x y y z z ++=??++=?； 而且∵a 、b 不共线，∴n 一定不是0. 怎样用该结论求平面的法向量呢？举例说明. 例、向量a ＝(1，2，3)，b ＝(4，5，6)是平面 α内的两个不共线向量，求平面α的法向量 解：设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则0 n a n b ??=???=???2304560x y z x y z ++=?? ++=? 令z ＝1，得n ＝(1，－2，1). 注意： ① 一定按上述格式书写，否则易被扣分. ② n 的计算可以在草稿纸上完成，过程参照 右边“草稿纸上演算过程”. a ＝(1，2， b ＝(4，5，交叉相乘的差就是求y 时，a 、b 的纵坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差的时，a 、b 的竖坐标就不参与运算，a ＝(1，2，b ＝(4，5，6) 交叉相乘的差就是 ∴n ＝(－3，6 向量方法在高中数学解题中的应用 王贤举 摘要：向量具有丰富的物理背景。它既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、几何的桥梁。通过向量法使代数问题几何化、使几何问题代数化、使代数问题和几何问题相互转化的一些实例，体现向量法在解决中学代数问题和几何问题的一些作用和优点。 关键词：高中数学；向量法；解题；应用 Abstract: The vector has rich physical backgrounds. It is both the object of geometry and the object of algebra, and also is the bridge of algebra and geometry. By some examples about vector methods that make some algebra problems into geometry problems, or make some geometry problems into algebra problems, or make algebra problems and geometry problems transform mutually, it manifests the merit of vector methods in solving algebra and geometry problems in senior high school mathematics. Key word: Senior high school mathematics; Vector methods; Problem solving; Application 1、向量与高中数学教学 向量是既有大小，又有方向的量【1】，是数学中的重要概念之一。向量具有丰 富的物理背景，如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是向量。在高 中数学新课程中设置向量的容，是基于以下几方面原因： 1.1向量是几何的研究对象 物体的位置和外形是几何学的基本研究对象。向量可以表示物体的位置，也 是一种几何图形（几何里用有向线段表示向量：所指的方向为向量的方向，线段 的长度表示向量的大小），因而它成为几何学的基本研究对象。作为几何学的研 究对象，向量有方向，可以刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系；向量 有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。 空间向量的应用教学设计 钟山中学徐玉学 一、教材内容分析： 在空间直角坐标系中引入空间向量，是解决立体几何中图形的大小及位置关系等问题的一种理想的代数工具，使我们能用代数的观点和方法解决几何问题，用精确计算代替逻辑推理和空间想象，用数的规范性代替形的直观性，具体、可操作性强，从而大大降低了立体几何的求解难度，提高学生的学习效率。 二、学生学情分析： 学生已经学习了空间向量的相关概念和性质，对空间向量知识有了一定的了解，所以课堂上可以多组织学生参与教学，通过自主探究主动发现应用空间向量解决距离问题的途径。但是由于学生对向量数量积的几何意义的理解并不透彻，所以在实际教学中需要多加启发和引导。 三、教学目标： （一）知识与技能 1.掌握空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离公式； 2.理解运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的方法。 （二）过程与方法 1.体验运用空间向量推导点到平面的距离和两平行平面的距离公式的过程； 2.体验运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的过程。 （三）情感态度与价值观 1.通过运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离的学习过程，让学生体会立体几何问题代数化的转化思想，认识到运用空间向量解决立体几何问题的优越性。 2.培养学生理解和运用知识的能力以及代数运算能力。 a B O 'B 四、教学重点、难点 重点：运用空间向量法求点到平面的距离和两平行平面的距离 难点：1.理解点到平面的距离与向量投影的关系； 2.转化思想的理解与运用。 五、教学策略 在学生已有知识的基础上，通过引导和启发，组织学生进行自主探究，在探究过程中建构起空间距离与空间向量的联系，达到利用空间向量解决距离问题的目的。 六、教学过程 （一）知识回顾 θ>=空间向量及其运算详细教案
练习4-空间向量的综合应用51
高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法
空间向量与立体几何知识点
经典习题平面法向量求法及应用
浅谈向量在高中数学中的应用
专题11.4 空间向量的应用(专题训练卷)(解析版)
高中数学-空间向量及向量的应用
空间向量在立体几何中的应用和习题(含答案)
法向量的求法及其空间几何题的解答
向量在高中数学中的应用
高中数学--空间向量之法向量求法及应用方法
向量在高中数学中的作用
3.1空间向量及其运算第1课时完美版
2019-2020年高中数学选修2-1空间向量及其应用
空间向量的综合应用(学生用)
整理法向量的快速求法
向量方法在高中数学解题中的应用
空间向量的应用教学设计