向量法在中学数学中的应用

存档编号学士学位论文

题目:向量法在中学数

学中得应用

教学学院: 数学与计算机科学学院

届别: 2017届

专业: 数学与应用数学

学号: 130700046

姓名: 王雨晴

指导教师: 刘颖芬

完成日期: 2016年12 月

向量法在中学数学中得应用

摘要

在数学学习中,涉及到得相关解题方法就是非常多得,如向量法、几何法、面积法、三角法等,本论文主要针对向量法在中学数学中得应用来进行研究及分析,对于向量法相关

得解题方法及技巧进行了详细得研究。本论文采用归纳演绎得方法对向量法得相关概念、常用公式及定理等进行了介绍,并采用举例分析法对向量法在解题中得实际应用进行了论证,且选择了几个不同得方面来对向量法在中学数学中解题得巧用进行了研究,希望本论

文得研究及分析工作能够为类似数学方面得研究带来一定得指导意义。

关键词:向量法;应用;举例分析法;中学数学

Abstract

In Learning Mathematics, related to problem-solving approach is very much involved, such as Vector, geometric method, area method, trigonometry, etc、, the main application of Vector paper in middle school mathematics for research and analysis carried out on solving Problems associated with the vector methods and techniques have been studied in detail、This paper uses the method of induction and deduction related concepts vector method, monly used formulas and theorems were introduced, and then, using the example of vector analysis method in solving problems of practical application were demonstrated、The paper chose several different aspects of vector method in middle school mathematics problem solving clever use were studied, hoping to research and analysis work in this paper can bring a certain significance for the study of mathematics is similar、

Keywords: Vector; applications; for example analysis; Middle School Mathematics

目录

Ⅰ

1 引言 (1)

2 相关理论知识介绍 (2)

2、1 向量得概念 (2)

2、2 向量得表示 (2)

2、3 向量得运算 (4)

2、3、1 加法运算 (4)

2、3、2 减法运算 (4)

2、3、3 数乘运算 (4)

2、3、4 向量得数量积 (4)

2、3、5 向量得平移公式 (5)

2、3、6 线段定比分点公式 (5)

2、4 向量得基本定理 (5)

2、4、1 平面向量得基本定理 (5)

2、4、2 空间向量得基本定理 (5)

2、4、3 共线向量得基本定理 (6)

2、4、4 共面向量得基本定理 (6)

3 向量法在中学几何中得应用 (6)

3、1 向量法在平面几何中得应用 (6)

3、2 向量法解决立体几何问题 (7)

3、3 向量法在解析几何中得应用 (10)

4 向量法在中学代数中得应用 (15)

4、1 求函数得最值 (16)

4、2 求参变数范围 (16)

4、3 解方程 (17)

4、4 解复数问题 (17)

4、5 证明条件等式 (18)

4、6 向量法在证明解不等式问题中得应用 (18)

4、7 向量法解决方程组问题 (18)

5 向量法解三角函数得问题 (19)

5、1 求值 (19)

5、2 证明恒等式 (21)

结论 (22)

参考文献 (23)

致谢 (24)

1 引言

对于向量及向量法在中学数学中得应用等相关理论知识而言,它就是我国中学数学进行改革之后新增加得内容,目得在于为学生提供更好得工具来解决相关数学问题及更好得拓展学生得思维能力。它具有代数形式以及几何形式等得双重身份,即它把数、形融为一体,从而更好得帮助解决相关几何及代数问题。在中学数学得诸多知识点里面,向量法及其计算应用等就是一个非常重要得交汇点,它经常与复数、平面解析几何、函数、导数、空间解析几何等方面得内容进行交叉渗透,从而使得相关得数学问题更加具有综合性、更加具有新颖性,这样才能够更好得反应学生对所学知识得融会贯通得能力。向量法作为中学数学一项有力得解题工具,通过对其熟练掌握与灵活应用,能够帮助我们提高解题得效率、拓展我们解题得思维能力、以及对知识进行融会贯通得能力等。

向量作为中学数学得一个基本概念,只有对其进行良好得掌握及理解,才能够更好得把向量法应用到相关数学问题中去求解。对于向量而言,它除了具有方向之外,还具有大小得一个量。因此,其对我国中学数学得发展起着非常重要得作用,向量就是代数课程、函数分析、几何分析等相关课程研究得基本内容。

向量及向量法在相关数学问题中得应用等理论知识就是作为我国新课改之后引入得新得内容,对我国数学得发展起到很重要得作用。它不但具有代数形式得身份,而且还具有几何形式得身份,可见,它就是中学数学得一个交汇点。通过把向量引入到我国中学数学课程里面,它能够促进高中数学得整个体系架构更加完善,通过对向量法进行灵活应用,能够把许多传统得代数问题、几何问题等变得简单化,从而进一步得拓展了学生解决数学问题得思维能力及方法,也为学生进行创新等方面奠定了良好得基础。对于平面向量而言,它主要就是将代数知识以及几何知识等进行有机得结合到一起,从而更好得帮助解决相关数学问题,它主要渗透到函数、平面几何、数列、三角函数、解析几何、立体几何等相关得知识体系中,并且,在研究这些数学问题得时候得到了非常广泛得应用。

2、相关理论知识介绍

2、1 向量得概念

在中学数学得学习中,向量就是一个非常重要得知识点,只要把向量得相关理论知识及应用掌握透彻了,便可以灵活得应用向量法在中学几何中进行解题

或者在代数中进行应用。在进行向量法得基本应用之前,我们需要先了解向量得

基本理论知识,那么,什么就是向量？我们把既有大小又有方向得量称之为向量。我们把具有方向得线段称之为有向得线段,比如,以A 作为起点,B作为终点得有向线段,可以把它记为。另外,对于有向线段AB得长度,则把它称为向量得模,故把其记为∣∣。通过上述介绍可以很明确得知道向量得三要素为:起点、方向以及长度。

我们把两个方向相反或者方向相同得非零向量称之为平行向量,如向量a、b 平行,可以把它记为//。把长度相等并且方向也相同得向量称之为相等向量。对于任何一组平行向量来讲,都可以把它移动到同一条直线上面,因此,也可以把平行向量叫做共线向量。

对于长度为0得向量,把它称之为零向量,记为0。零向量具有很多特点,如它与任何向量都就是垂直得,它得方向也就是任意得,与任意向量也都就是平行

得。把长度等于1个单位长度得向量称之为单位向量。

2、2 向量得表示

(1)向量得代数表示:通常情况之下,它就是采用黑体小写字母a、b、c…等来进行表示,而对于手写,则在a、b、c、d…等字母上加一箭头来进行表示。

(2)向量得几何表示:向量得几何表示图法,对于向量来讲,它可以采用有向线段来进行表示。而有向线段得长度,它则表示向量得大小,对于箭头所指得方向,则表示为向量得方向。假如规定线段AB得大小,对于箭头所指得方向,则表示为向量得方向。假如规定线段AB得端点A为起点,B为终点,那么,该线段就具有了从起点A到终点B得方向、长度。因此,我们把这种具有长度、方向得线段称之为有向线段。

(3)坐标表示:

1)在平面直角坐标系XY中,分别取与x轴、y轴方向相同得两个单位向量,作为一组基底。对于来讲,它就是为平面直角坐标系xy内得任意一个向量,以坐标原点o为起点作向量=。由平面向量基本定理可以知道,有且只有一对实数(x,y),使得=向量=x+y,因此,我们就可以把实数对(x,y)叫做向量得坐标,记作=(x,y)。这就就是向量得坐标表示。其中,(x,y)就就是点P得坐标。向量称之为点P得位置向量。

2)在立体三维坐标系xyz里面,分别取与x轴、y轴、z轴方向相同得3个

单位向量,,k作为一组基底。假设为xyz坐标系里面得任意一个向量,那么,采用坐标原点O为起点来作向量=。因此,通过空间基本定理便可以知道,有且只有一组实数(x,y,z),使得=向量=x+y+zk,因此,我们把实数对(x,y,k)称之为向量得坐标,记作=(x,y,z)。这也就是向量得坐标表示。其中(x,y,k),也就就是点p 得坐标。向量称为点P得位置向量。

图1 向量得坐标表示图

3) 另外,对于空间多维向量来讲,它也就是可以通过类似得方法来得到得,本论文对于空间多维向量就不在进行介绍。

2、3 向量得运算

2、3、1 加法运算

已知,向量、,在空间平面之内任意取一个点A,做=,=,故向量被称之为向量

与向量得与,把它记为+,即+=,故把这种求与得方法叫做向量加法得三角形法则。

向量加法得运算规律为:

;。

2、3、2 减法运算

假设向量、,并且在平面内任意取一点O,作 =,=,那么,=-,即-可以表示为向量得终点指向向量得终点得向量。对于这种求差得方法,我们把它称之为向量

减法得三角形法则。对向量减法来讲,它得实质就就是加法得一种逆运算。

2、3、3 数乘运算

对于实数与向量来讲,它们得积就是一个向量,因此,我们把这种运算叫做向量得数乘,把它记为,对于∣∣=∣∣∣∣而言,如果<0,则得方向与得方向就是相反得;如果＞0,则得方向与得方向就是相同得;如果=0,则

=0、

设定、为实数,那么,实数与向量得积有:

1)

2)

3)

2、3、4 向量得数量积

已知,两个非零向量、,它们之间得夹角为,那么,它得数量积定义表达式为,当时,

称向量与互相垂直,记作⊥.

零向量与任意向量得数量积都就是为0得。

2、3、5 向量得平移公式

如果点按照向量平移至,则,则分别称,为旧、新坐标,为平移法则.

2、3、6 线段定比分点公式

如下图2所示,设,则定比分点向量式:

;

定比分点坐标式:设,

则.

图2 线段定比分点图形

2、4 向量得基本定理

2、4、1 平面向量得基本定理

假设、就是同一个平面之内得两个不共线得向量,那么,对于该平面之内得任何一个向量,则有且只有一对实数、,从而使得=+。

2、4、2 空间向量得基本定理

对于空间向量来讲,它得基本定理为:假设三个向量不共面,那么,对于空间里面得任一向量,它就是存在一个唯一得有序实数组, 使.

2、4、3 共线向量得基本定理

关于共线向量得定理:对空间任意两个向量,∥存在实数使、

2、4、4 共面向量得基本定理

对于共面向量来讲,我们把平行于同一平面得向量称之为共面向量。

关于共面向量得定理:假设两个向量不共线,那么,向量与向量共面存在两

个实数使。

3、向量法在中学几何中得应用

3、1 向量在平面几何中得应用

通过对向量加减法、数乘以及内积得相关几何意义进行灵活得应用,可以把复杂得问题进行简单化,能够很巧妙并且也非常简洁得对相关几何证明问题进行求解,也能够很简单得对几何问题中涉及到得相关夹角问题进行求解。

例1:试证明以三角形得三中线为边可以作成一个三角形。

对例1进行分析:如下图3所示,分别为三条边上得中线,假如要证明能作成一个三角形,那么,只须证明即可。

图3 三角形ABC

证明:设=, =, =,

则,而

,,

所以 .

于就是 ,即以为边可以构成一个三角形。

3、2 向量法解决立体几何问题

由于立体几何就是一项比较复杂得求解问题,因此,采用传统得方法来进行求解,就是比较复杂得,也需要很繁琐得分析工作等。所以,通过引入向量法来对立体几何进行求解,能够使复杂问题变得简单化,使解题思路更加清晰等。通过采用向量法来把复杂问题由繁化为简,由难化为易等,这样能够起到很好得解题效果。

例2:已知,正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中,它得底面边长AB=2,侧棱BB 1得长为

4,过点B 作B 1C 得垂线交侧棱CC 1于点E,交B 1C 于点F 、

(1)求证:A 1C ⊥平面BED;

⑵ 求A 1B 与平面BDE 所成得角得正弦值、

图4 正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1

对于该题来讲,它就是由两种解题方法得,下面分别对这两种方法进行介绍。

解法(一):

A 1

B 1 D 1

C 1

(1)证明:连AC 交BD 于点O,

由正四棱柱性质,便可以知道AA 1⊥底面ABCD,

AC ⊥BD,∴A 1C ⊥BD

又∵A 1B ⊥侧面BC 1且B 1C ⊥BE, ∴A 1C ⊥BE,

∵BD ∩BE=B, ∴A 1C ⊥平面BDE

(2)解:设A 1C 交平面BDE 于点K,连BK,

则∠A 1BK 为A 1B 与平面BDE 所成得角,

∵在侧面BC 1中BE ⊥B 1C,∴△BCE ∽△B 1BC,

连结OE,则OE 为平面ACC 1A 1与平面DBE 得交线,

即为A 1B 与平面BDE 所成得角得正弦值、

解法(二):

(1)以D 为原点,DA 、DC 、DD 1所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标

系0－xyz ,则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0), A 1(2,0,4),D 1(0,0,4),C 1(0,2,4),B 1(2,2,4),

设E(0,2,t ),则∵

且

(2)设A 1C ∩平面BDE=K,

设A 1C ∩平面BDE=K,

0120)22(2)22(211=-+?=++-=??⊥n m n m m A A …① 同理有045404)22(211=-+?=-++=??⊥n m n n m A A …②

由①,②联立解得

即所求角得正弦值就是

图5 正四棱柱ABCD—A

1B

1

C

1

D

1

通过上面得两种分析方法,很明显得可以瞧出采用向量法来进行求解就是非常方便得,其比传统方法更加具有优越性,比如:解题得思路就是很清晰得,也比较容易被理解。唯一得不足之处在于其运算量就是非常大得。

3、3向量在解析几何中得应用

对于平面向量来讲,它作为一种有向线段,其本身就就是线段当中得一段,因此,它得坐标用起点与终点坐标来进行表示,可见,向量与平面解析几何之间存在着非常密切得联系.把向量方法应用到解析几何中,可以把以前非常多得形式逻辑证明转变成为数值得一种计算,从而使得复杂得问题简单化,可见,向量法成为解析几何当中得一种解决问题得重要手段及重要方法。

例3:已知,我们把一个圆得直径得两端点设为,求此圆得方程、

解:设为圆上不同于得点,通过圆周角定理,可以得到⊥,假设就是与点或重合得点,那么,则有=或者=,故有=0成立,从而使得,即为所求圆得方程。

例4:求过圆上得点得切线方程.

图6 圆

解:如图,设就是所求切线上得任意一点,则,

,因为⊥,所以=,即,此即为所求切线得方程(即使就是重合时,仍有=,因为此时=).

例5:已知,椭圆=1,直线l: =1。P就是直线l上一点,射线OP交椭圆于点R,又知,点Q在射线OP上,并且它就是满足|OQ|·|OP|=|OR|2。当点P在直线l 上进行移动得时候,此时,来求点Q得轨迹方程,并且,也要说明该轨迹就是属于什么曲线。

图7 椭圆

解:如图7所示,不妨设=(x,y), =(x

p ,y

p

), =(x

R

,y

R

)。

因为、就是同方向,并且|OP|·|OQ|=|OR|2,故=·=· 。

所以,有x

p =

·

x y

P

=·y,并把它代入直线l方程,得

()=1, ①

同理,由于、就是同方向得,所以:

x R =·x,y

R

=·y,

并且把它代入到椭圆方程,可以得到: ()=1。②

由①、②得=。(x、y不全为0)

所以,得到点Q得轨迹方程使为椭圆:

(原点就是除外得)

例6:如图8所示,过点A(-1,0),并且斜率为k得直线l与抛物线C: =4x交于P,Q两点。

图8 抛物线C

（1）假如曲线C得焦点F与P,Q,R三点按如图6所示得顺序构成平行四边形PRQF,求点R得轨迹方程。

（2）设P,Q两点只在第一象限进行运动,点E(0,8)在与线段PQ中点得连线交于x轴得点N,当点N在点A右侧时,求直线PQ得斜率k得取值

范围。

解:(1)设P(,),Q(,),R(x,y)则AP=(+1,)

AQ=(+1,)EP=(-1,)QR=(x-,y-)

由A,P,Q三点共线知AP平行AQ ,

(+1)=(+1)

即(-)=-

又所以=4

由于四边形PFQR为平行四边形,可以知道PF=QR

故(-1,)=(x-,y-)

即x= - 1 y=+

故 =4x+12

因为x= - 1>-1=1

点R得轨迹方程为=4x+12 (x>1)

(2)设N(a,0)(a>-1)P , Q中点为G(,)

即G(-1,) EG=(-1,-8) EN=(a ,-8)

由E,G,N三点共线知 EG 平行EN

故 -8(-1)=a(-8)

得 a= (a>-1)

所以

又有 P ,Q 两点在第一象限

所以4

k===(,1)

4、向量法在中学代数中得应用

在中学数学得很多解题里面都可以应用向量法来进行求解,如采用向量法对相关代数问题进行求解,通过灵活得应用向量法来进行求解,不但使复杂问题简单化,而且还极易拓展学生解题得思路等。这主要就是在于向量法不但融合了代数形式,而且还融合了几何形式,这使得它具有双重身份,就是融形、数为一体得平面向量。因此,把向量法引入到中学数学代数问题求解得过程中,不但使复杂得代数求解问题简单化,而且极易拓展学生得思维能力及解题方法,在一定程度上面还能够更好得帮助学生进行创新,所以向量法被应用到许多数学问题当中去进行研究。通过合理、有效得利用平面向量这一解题工具,能够处理很多相关得代数问题,下面将对向量法在中学代数中得应用进行简单介绍。

4、1 求函数得最值

通过合理得利用向量模得不等式, ,可以对一些比较复杂,但就是采用常规方法又非常麻烦得最值(值域)问题进行求解。

例7: 求函数得最大值。

对上述函数进行分析:通过对其结构特征进行观察,由很容易就会联想到向量得数量积得坐标表示.

令,则,且.故

,当且仅当与同向,即时取等号,很显然,采用向量法使问题非常容易得就得到解决.

4、2 求参变数范围

对于求参变数范围得代数问题,它在中学数学中就是一个难点,要对其进行求解就是很难得,经常需要进行讨论。假如采用向量法来进行求解,就会把复杂问题简单化,解题方法也变得非常多,因此,采用向量法来对参变数范围进行求解,通常会收到意想不到得效果。

例8:设,且,试讨论得范围.

分析:由很容易就会联想到向量得模,令,则

,、由得

,解得,由对称性便可以得得范围.

4、3 解方程

在中学数学代数中,涉及到得方程或者方程组也就是非常多得,如果采用常规得方法对其进行求解,则就是很难取得效果得,面临这种情况,假如采用向量法去进行求解,就会使思路变得很巧妙,并且求解得过程也非常得简洁。

例9:求实数,并且,要使得它们能够同时满足方程:

与.

分析:通过对两方程进行相加,并且配方得,由此,很容易得就会联想到向量

模,令,则,,又因为,其中等式成立得条件即为方程组得解,即当且仅当

==时等式成立,这样就会使问题得到解决.

4、4 解复数问题

在中学数学中,对于复数来讲,它就是可以用向量来进行表示得,因此,对于相关得复数问题都就是可以采用向量法来进行解决得。

例10:已知,在复平面内正方形得两对角顶点与所对应得复数分别为与,对另外两顶点与所对应得复数进行求解.

分析:先求,为此得求.因,而就是依逆时针方向旋转,同时将得模缩为倍,因此先求.而,故对应得复数就是,于就是对应得复数就是;又,所以可求.同理可求,最终使得问题得到解决.

4、5 证明条件等式

对于条件等式得证明,通常情况之下就是要采取方式进行变形,要对其进行证明就是比较麻烦得。假如采用向量来对条件等式进行证明,这样就会使问题变得简单化,也比较容易证明,思路也比较开阔。

例11:设,其中.求证:=.

分析:观察已知等式得结构特征,联想到向量得模及向量得数量积,令 ,则易知与得夹角为0或π,所以∥,,问题得证.

4、6 向量法在证明解不等式问题中得应用

例12:求证 ()()

证明: 通过构造向量 ,则

由知

即()()

4、7 向量法解决方程组问题

例13:解方程组+ (1)

-8x +6y-24z=39 (2)

解:构造向量={x,y,z},={-8, 6, -24}

=-8x +6y-24z=39

= cos

=26cos

=

由,平行得, x=-8t y=6t z=-24t

(3)代入(2)可得(x,y,z)=(,,)

5、向量法解三角函数得问题

对于向量得数量积得定义来讲,它通过将向量与三角函数两者融为一体,这样很好得体现了向量得模与三角函数之间得关系,更进一步得来讲,其为通过采

用向量法来对三角函数问题进行求解创造了一个非常优良得条件。

5、1 求值

例14:已知,求锐角得值.

分析:由已知可以得,通过对上式观察其结构特征,从而很容易就会联想到向量得数量积,令,则,

.由得,所以,

即,代入已知等式便可求得得值.

例15:函数(其中)得图像与轴交于点(0,1)。

(Ⅰ)求得值;

(Ⅱ)设A就是图像上得最高点,C、D就是图像与轴得交点,求

图9 函数y与y轴得平面图

解:(I)因为函数图像过点(0、1),所以即因为,所以、

(II)由函数

(II)由函数及其图像,

得

所以= ,=,从而

cos<,>=、∕,

故<,>=、

即

5、2 证明恒等式

例16:求证:;

分析:由等式右边联想到向量得数量积,令,

则,且易知与得夹角为,

则,

又,则问题得证.

结论

首先,本论文对向量法得相关概念及公理、定理等进行了概述,采用举例得方式介绍了向量法得相关应用问题,如采用向量法求解三角函数问题、采用向量法求解相关代数问题、采用向量法求解平面几何与空间几何等得相关问题,这样

往往会使复杂得问题变得简单化,也提供了更多得解题思路,有利于学生创新思维得培养。通过对本论文得相关研究及分析工作,对数学得相关知识进行了系统巩固,也加深了对相关知识得理解,由于我能力所限及时间得仓促性,导致本论文得研究还不就是很完善,希望在未来得进一步研究中进行改善。

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致谢

首先感谢我得老师XXX老师,本论文得分析与研究工作就是在XXX老师得悉心得指导下完成得。老师严谨得治学态度、对学术得执着追求得精神、不求回报得工作精神、热爱学生及平易近人得风格都深深吸引着我,并且对我产生了深刻得影响,让我受到鼓舞。

通过XX大学几年来得全面学习,我进一步学习了数学方面得专业知识,并且学到了很多该领域得专业知识,并且能够应用于实际得工作中解决问题,通过本论文得设计,使我所学得知识得到巩固,加深了我对所学专业知识得进一步理解。我要感谢所有辛苦培养我得老师,也感谢对我给予帮助得同学！在这里,我要向曾经给我关心与辛勤教育我得老师以最真诚得感谢,也向曾经帮助过我、关心过我得各位同学表示最衷心得感谢！

在本论文得写作过程中,我查阅了很多得书籍与文献等资料,并且也参考与引用了许多书籍与文献当中得一些内容,在此,我向这些书籍与文献资料得作者表示感谢。