几何证明与计算(解析版)

几何证明与计算

考向1以圆为背景的特殊四边形的动态探究题

1.（2019年河南省中原名校中考第三次大联考数学试卷）如图，AB为⊙O的直径，射线AG为⊙O的切线，点A为切点，点C为射线AG上任意一点，连接OC交⊙O于点E，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD，DE，O D．

（1）求证：△OAC≌△ODC；

（2）①当∠OCA的度数为时，四边形BOED为菱形；

②当∠OCA的度数为时，四边形OACD为正方形．

【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCA＝30°，②∠OCA＝45°．

【解析】

（1）依据SAS可证明△OAC≌△ODC；

（2）①依据菱形的四条边都相等，可得△OBD是等边三角形，则∠AOC=∠OBD=60°，求出∠OCA=30°；②由正方形的性质得出∠ACD=90°，则∠ACO=45°．

【详解】（1）证明：∵OB＝OD，

∴∠B＝∠ODB，

∵BD∥OC，

∴∠AOC＝∠B，∠DOC＝∠ODB，

∴∠AOC＝∠COD，

∵OA＝OD，OC＝OC，

∴△OAC≌△ODC（SAS）；

（2）①∵四边形BOED是菱形，

∴OB＝D B．

又∵OD＝OB，

∴OD＝OB＝D B．

∴△OBD为等边三角形，

∴∠OBD＝60°．

∵CO∥DB，

∴∠AOC＝60°，

∵射线AG为⊙O的切线，

∴OA⊥AC，

∴∠OAC＝90°，

∴∠OCA＝∠OAC﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°，

②∵四边形OADC是正方形，

∴∠ACD＝90°，

∵∠ACO＝∠DCO，

∴∠OCA＝45°，

故答案30°，45°．

【点睛】本题主要考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、等边三角

形的性质和判定，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．

2. （2019年许昌二模）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一个动点（不与点A ，B 重合），D 是弦AC 上一点，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点C 作半圆O 的切线，交ED 的延长线于点F ．

（1）求证：FC ＝F D ．

（2）①当∠CAB 的度数为 时，四边形OEFC 是矩形；

②若D 是弦AC 的中点，⊙O 的半径为5，AC ＝8，则FC 的长为 ．

【答案】（1）证明见解析；（2）∠CAB ＝45°

3

10 FC 【解析】（1）证明∠FDC ＝∠FCD ，即可求解；

（2）①当∠CAB ＝45°时，∠COB ＝90°，即可求解；②D 是弦AC 的中点，则OD ⊥AC ，AD ＝DC ，cosα＝＝，FD ＝＝＝，即可求解．

解：（1）∵FC 是圆的切线，

∴∠FCD +∠ACO ＝90°，

∵FE ⊥BA ，∴∠ADC +∠CAO ＝90°，

而∠CAO ＝∠ACO ，∠ADE ＝∠FDC ，

∴∠FDC ＝∠FCD ，

∴FC＝FD；

（2）①当∠CAB＝45°时，∠COB＝90°，

则四边形OEFC是矩形，

故答案是45；

②连接OD，∵D是弦AC的中点，

∴OD⊥AC，AD＝DC，

则∠ADE＝∠AOD＝∠FDC＝α，

则AD＝CD＝AC＝4，OA＝5，DO＝4，

cosα＝＝，

则△FDC中，

FD＝＝＝＝F C．

【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、矩形的基本性质，其中（2），垂径定理的运用，是解题的关键．

3.（2019年河南省南阳市镇平县中考数学三模试）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AB边上一点，以O为圆心OB为半径的⊙O与边AB相交于点E，与AC边相切于D 点，连接OC交⊙O于点F．

（1）连接DE，求证：OC∥DE；

（2）若⊙O的半径为3．

①连接DF，若四边形OEDF为菱形，弧BD的长为________．（结果保留π）

②若AE＝2，则AD的长为________．

【答案】（1）见解析；（2）①2π；②4.

【解析】（1）利用HL可证明Rt△OCD≌Rt△OCB，可得∠COD＝∠COB，利用三角形外角性质可得∠DOB＝∠ODE+∠OED，即可证明∠DOC＝∠ODE，即可得OC//DE；（2）①根据菱形的性质可求出∠BOD，利用弧长公式即可得答案；②由DE∥OC，推出＝＝，设AD＝2k，CD＝3k，由Rt△OCD≌Rt△OCB，可得BC＝CD＝3k，在Rt△ABC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．

【详解】（1）证明：连接O D．

∵AC是切线，

∴OD⊥AC，∠ODC＝∠OBC＝90°，

∵OC＝OC，OD＝OB，

∴Rt△OCD≌Rt△OCB（HL），

∴∠COD＝∠COB，

∵OD＝OE，

∴∠ODE＝∠OED，

∵∠DOB＝∠ODE+∠OED，

∴∠DOC＝∠ODE，

∴DE∥O C．

（2）①∵四边形DEOF是菱形，∴DF＝OD＝OF，

∴△ODF是等边三角形，

∴∠DOF＝60°，

∴∠BOD＝2∠DOC＝120°，

∴的长＝＝2π．

故答案为2π．

②∵DE∥OC，

∴＝＝，

设AD＝2k，CD＝3k，

∵Rt△OCD≌Rt△OCB，

∴BC＝CD＝3k，

在Rt△ABC中，则有25k2＝9k2+82，

∴k＝2或﹣2（舍弃），

∴AD＝4．

故答案为4．

4.（河南省信阳市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．

(1)直接写出ED和EC的数量关系：_________；

(2)DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；

(3)填空：当BC=_______时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是_______．

【答案】(1). ED=EC(2).DE是⊙O的切线；证明见解析(3).2 正方形

【解析】

(1)连结CD，如图，由圆周角定理得到∠ADC=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线直线得到DE=CE=BE；

(2)连结OD，如图，利用切线性质得∠2+∠4=90°，再利用等腰三角形的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4=90°，于是根据切线的判定定理可判断DE是⊙O的切线；(3)要判断四边形AOED是平行四边形，则DE=OA=1，所以BC=2，当BC=2时，△ACB为等腰

直角三角形，则∠B=45°，又可判断△BCD为等腰直角三角形，于是得到DE⊥BC，DE=1

2

BC=1，

所以四边形AOED是平行四边形；然后利用OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°，可判断四边形OCED为正方形．

【详解】（1）连结CD，如图，

∵AC是⊙O的直径，

∴∠ADC=90°，

∵E是BC的中点，

∴DE=CE=BE；

（2）DE是⊙O的切线．理由如下：

连结OD，如图，

∵BC为切线，

∴OC⊥BC，

∴∠OCB=90°，即∠2+∠4=90°，

∵OC=OD，ED=EC，

∴∠1=∠2，∠3=∠4，

∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODB=90°，∴OD⊥DE，

∴DE是⊙O的切线；

（3）当BC=2时，

∵CA=CB=2，

∴△ACB 为等腰直角三角形，

∴∠B =45°，

∴△BCD 为等腰直角三角形，

∴DE ⊥BC ，DE =12

BC =1， ∵OA =DE =1，AO ∥DE ，

∴四边形AOED 是平行四边形；

∵OD =OC =CE =DE =1，∠OCE =90°，

∴四边形OCED 为正方形．

故答案为ED=EC ；2，正方形．

【点睛】此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．

5.（河南省外国语中学2019届九年级中招适应性测试卷数学试题）如图，AB 是O e 的直径，4AB =，点P 是AB 上方圆上的一个动点，连接AP ，作PAB ∠的平分线AC ，交O e 于点C ，过点C 作CD AP ⊥交AP 的延长线于点D .

(1)求证：CD 是O e 的切线；

(2)当AP =________时，四边形APCO 是平行四边形.

【答案】(1)证明见解析；(2)2.

（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO=∠ACO，由角平分线的定义得到∠DAC=∠OAC，等量代换得到∠DAC=∠ACO，根据平行线的判定定理得到AD∥OC，由平行线的性质即可得到结论；

（2）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以得到结论；

【详解】(1)连接OC.

∠，

∵AC平分PAB

∠=∠.

∴PAC BAC

=，

∵OA OC

∠=∠，

∴BAC OCA

∠=∠，

∴PAC OCA

P，

∴AD OC

⊥，

∵CD AD

⊥，

∴OC CD

e的切线.

∴CD是O

(2)∵AP∥OC,

∴当AP=OC时，四边形APCO是平行四边形.

∴AP =2.

【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．

6．（2020年1月河南省郑州市一模数学试题）如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，延长BC 至点D ，使CD ＝CA ，连接AD 交⊙O 与点E ，连接BE ，CE .

(1)求证：△ABE ≌△CDE ；

(2)填空：

①当∠ABC 的度数为______时，四边形AOCE 是菱形；

②若AE AB ＝，则DE 的长为______．

【答案】(1)见解析；(2)①60°；②3

【解析】

（1）由AB ＝AC ，CD =CA 得出AB =CD ，再根据圆内接四边形的性质和圆周角的性质可知BAE ECD ∠=∠，∠CED ＝∠AEB 从而可证△ABE ≌△CDE

（2）①根据菱形的性质可知,AOE OCE V V

为等边三角形，进而可推出60ABC ∠=? ②由△ABE ≌△CDE 可得ABE BDA ∠=∠进而可可ADB ABE ∽△△，再利用相似三角形的性质可知AB AE AD AB

=,从而DE AD AE =-可求. 【详解】（1）证明：∵AB ＝AC ，CD =CA

∴∠ABC ＝∠ACB ，AB =CD

.∵四边形ABCE 是圆内接四边形

180,180,ABC AEC BAE BCE ∴∠+∠=?∠+∠=?

180,180,CED AEC ECD BCE ∠+∠=?∠+∠=?Q

,ABC CED BAE ECD ∴∠=∠∠=∠

ACB CED ∴∠=∠

ACB AEB ∴∠=∠

∴∠CED ＝∠AE B.

在ABE △和CDE △中BAE ECD AEB CED AB CD

∠=∠??∠=∠??=? ∴△ABE ≌△CDE

（2）①当60ABC ∠=?时，四边形AOCE 是菱形

理由如下：连接AO,CO,OE ，如下图

∵四边形AOCE 是菱形

∴OC CE AE OA ===

又OA OE OC ==Q

OA AE OE EC ∴===

∴,AOE OCE V V

为等边三角形 120AOC ∴∠=?

60ABC ∴∠=?

②由△ABE ≌△CDE

可得ABE BDA ∠=∠

,ABE BDA BAE DAB ∠=∠∠=∠Q

∴ADB ABE ∽△△

AB AE AD AB

∴=

即22

AB AD AE ===

DE AD AE ∴=-=

= 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，圆周角定理及推论，能够对所学知识灵活应用是解题的关键.

考向2 以圆为背景的证明与计算

1.（河南省漯河市临颍县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知⊙O 的直径AB =10，弦AC =6，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．

（1）求证：DE是⊙O的切线．

（2）求DE的长．

【答案】(1)详见解析；（2）4.

【解析】

试题分析：（1）连结OD，由AD平分∠BAC,OA=OD，可证得∠ODA=∠DAE,由平行线的性质可得OD∥AE,再由DE⊥AC即可得OE⊥DE，即DE是⊙O的切线；（2）过点O作OF⊥AC于点F，由垂径定理可得AF=CF=3，再由勾股定理求得OF=4，再判定四边形OFED 是矩形，即可得DE=OF=4.

试题解析：

（1）连结OD，

∵AD平分∠BAC,

∴∠DAE=∠DAB，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠DAO,

∴∠ODA=∠DAE,

∴OD∥AE,

∵DE ⊥AC

∴OE ⊥DE

∴DE 是⊙O 的切线；

（2）过点O 作OF ⊥AC 于点F ，

∴AF =CF =3，

∴OF =,

∵∠OFE =∠DEF =∠ODE =90°，

∴四边形OFED 是矩形，

∴DE =OF =4.

考点：切线的判定；垂径定理；勾股定理；矩形的判定及性质.

2.（河南省南阳市淅川县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，AB 是O e 的直径，点C 在O e 上，AD 平分CAB ∠，BD 是O e 的切线，AD 与BC 相交于点E ，与O e 相交于点F ，连接EF ．

（1）求证：BD BE =；

（2）若4DE =，BD =AE 的长．

【答案】（1）见解析；（2）6=AE

【解析】

（1）利用圆周角定理得到∠ACB =90°，再根据切线的性质得∠ABD =90°，则∠BAD +∠D =90°，然后利用等量代换证明∠BED =∠D ，从而判断BD =BE ；

（2）利用圆周角定理得到∠AFB =90°，则根据等腰三角形的性质DF =EF =2，再证明BDF ADB △∽△，列比例式求出AD 的长，然后计算AD -DE 即可．

【详解】（1）证明：∵AB 是O e 的直径，

∴90ACB ∠=?，

∴90CAE CEA ∠+∠=?．

∵BED CEA ∠=∠，

∴90CAE BED ∠+∠=?．

∵BD 是O e 的切线，

∴90ABD ∠=?，

∴90BAD BDA ∠+∠=?．

又∵AO 平分CAB ∠，

∴CAE BAD ∠=∠，

∴BED BDA ∠=∠，

∴BD BE =；

（2）解：∵AB 是O e 的直径，

∴90AFB ∠=?，

又∵BE BD =， ∴12

2D F E F E D ===． 在Rt BDF △中，根据勾股定理得，4BF =．

∵D D ∠=∠，90BFD ABD ∠=∠=?，

∴BDF ADB △∽△， ∴BD DF AD BD

=，即525AD =， 解得10AD =，

∴6AE AD DE =-=．

【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质、切线的性质.熟练掌握切线的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．

3.（河南省濮阳市县区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，在ABC ?中，AB AC =，以AB 为直径作O e 交BC 于点D .过点D 作EF AC ⊥，垂足为E ，且交AB 的延长线于点F .

（1）求证：EF 是O e 的切线；

（2）若10AB =，60A ∠=o ，求BD 长.

【答案】（1）见解析；（2）BD 长为5．

【解析】

（1）连接OD ，AD ，根据等腰三角形三线合一得BD =CD ，根据三角形的中位线可得OD ∥AC ，所以得OD ⊥EF ，从而得结论；

（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得∠BAD =12

∠BAC =30°，由30°的直角三角形的性

质即可求得B D．

【详解】（1）证明：连接OD，AD，∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BD＝CD，

∵OA＝OB，

∴OD是△BAC的中位线，

∴OD∥AC，

∵EF⊥AC，

∴OD⊥EF，

∴EF是⊙O的切线；

（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，

∴∠BAD＝1

2

∠BAC＝30°，

∴BD＝1

2

AB＝

1

2

×10＝5,

即BD长为5．

【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、等腰三角形的性质，圆的切线的判定，30°的直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．4.（河南省新乡市辉县市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=C B．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）已知∠BAO=25°，点Q是弧AmB上的一点.

①求∠AQB的度数；

②若OA=18，求弧AmB的长.

【答案】（1）见解析；（2）①∠AQB=65°，②l弧AmB=23π.

【解析】

(1)连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再根据∠P AO+∠APO=90°，继而得出∠OBC=90°，问题得证；

(2)①根据等腰三角形的性质可得∠ABO=25°，再根据三角形内角和定理可求得∠AOB的度数，继而根据圆周角定理即可求得答案；

②根据弧长公式进行计算即可得.

【详解】(1)连接OB，

∵CP=CB，

∴∠CPB=∠CBP，

∵OA⊥OC，

∴∠AOC=90°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA，

∵∠P AO+∠APO=90°，

∴∠ABO+∠CBP=90°，

∴∠OBC=90°，

∴BC是⊙O的切线；

(2)①∵∠BAO=25° ，OA=OB，

∴∠OBA=∠BAO=25°，

∴∠AOB=180°-∠BAO-∠OBA=130°，

∴∠AQB=1

2

∠AOB=65°；

②∵∠AOB=130°，OB=18，

∴l弧AmB=360130

180

18

π

-?

（）

=23π.

【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.