公共课数学一模拟题2020年(241)_真题(含答案与解析)-交互

公共课数学一模拟题2020年(241)

(总分100, 做题时间60分钟)

填空题

1.设f(x)一阶连续可导，且f(0)＝0，f'(0)≠0，则＝___________.

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.4

答案:1

2.设α

1＝(1，－1，2，4)，α

2

＝(0，3，1，2)，α

3

＝(3，0，7，14)，α

4

＝

(1，－2，2，0)，α

5

＝(2，1，5，10)．它们的下列部分组中，是最大无关组的有_______．(填序号即可)

(1)α

1，α

2

，α

3

．

(2)α

1，α

2

，α

4

．

(3)α

1，α

2

，α

5

．

(4)α

1，α

3

，α

4

．

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.4答案:(2)和(4)．

由题意可计算得r(α

1，α

2

，α

3

，α

4

，α

5

)＝3，这4个部分组都包含3个向

量，只要线性无关就是最大无关组．因为α

1，α

2

，α

3

，α

4

，α

5

和γ

1

，γ

2

，

γ

3，γ

4

，γ

5

有相同线性关系，只要看对应的γ

1

，γ

2

，γ

3

，γ

4

，γ

5

的部分组

的相关性．γ

1，γ

2

，γ

3

．和γ

1

，γ

2

，γ

5

都是相关的，γ

1

，γ

2

，γ

4

和γ

1

，

γ

3，γ

4

都无关．于是(1)和(3)不是最大无关组．(2)和(4)是．

3.假设随机变量X与Y相互独立，且P{X=k}=，P{Y=一k}=，k=1，2，3，则a=__________,b=___________，Z=X+Y的分布律为__________。

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.4

答案:

由题意

故X，Y的分布律分别为

于是Z=X+Y的可能取值为一2，一1，0，1，2。且

P{Z=一2}=P{X+Y=一2}=P{X=1，Y=一3}=P{X=1}P{Y=一3}

=

类似地

P{Z=一1}=P{X+Y=一1}=P{X=1，Y=一2}+P{X=2，Y=一3}

=

P{Z=0}=P{X+Y=0}

=P{X=1，Y=一1}+P{X=2，Y=一2}+P{X=3，Y=一3}

=

P{Z=1}=P{X=2}P{Y=一1}+P{X=3}P{Y=一2}

=

P{Z=2}=P{X=3}P{Y=一1}=,

故可写出Z的分布律。

4.设函数f(x)=(e x－1)(e2x－2)…(e nx－n)，其中n为正整数，则

f'(0)=__________。

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.4

答案:(－1)n-1(n－1)!

根据导数定义，有

5.设，则a=___________。

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.4

答案:ln2

6.设矩阵A的伴随矩阵A*＝，且矩阵A，B满足[(A)-1]*BA-1＝2AB＋12E，则矩阵B＝_______．

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.4

答案:

由｜A｜3＝｜A*｜＝＝8，知｜A｜＝2．

由于(A)-1＝2A-1，(2A-1)*＝23(A-1)*＝8，故矩阵方程为4ABA-1＝2AB＋12E．

上式左乘A*，有2BA-1－B＝3A*，即B(A*－E)＝3A*．

那么B＝3A*(A*－E)-1

7.二次型f(x

1，x

2

，x

3

，x

4

)=x

3

2+4x

4

2+2x

1

x

2

+4x

3

x

4

的规范形是_______。

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.4

答案:y

12+y

2

2-y

3

2

二次型矩阵A=

由｜λE-A｜=(λ2-1)(λ2-5λ)=0，知矩阵A的特征值为1，5，-1，0。

故二次型正惯性指数p=2，负惯性指数q=1。因此二次型的规范形为y

12+y

2

2-

y

3

2。

8.设x=rcosθ，y=rsinθ，将极坐标下的累次积分转换成直角坐标系下的累次积分：=______．

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.4

答案:应填

在极坐标系下，积分区域D：0≤θ≤，1≤r≤2cosθ．

故在直角坐标系下，D为x2+y2=1和x2+y2=2x以及x轴上的线段1≤x≤2围成的区域，所以

9.曲线y=1/x+ln(1+e x)渐近线的条数为___________.

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.4

答案:3条.

10.若二次型f(x

1，x

2

，x

3

)=x

1

2+4x

2

2+4x

3

2+2λx

1

x

2

—2x

2

x

3

+4x

1

x

3

为正定二次型，则

λ的取值范围是________．

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.4答案:一2＜λ＜1．

由A=的各阶顺序主子式均大于0，即△

1=1＞0，△

2

==4一λ2＞0，

△

3

=｜A｜=一4(λ+2)(λ一1)＞0，→一2＜λ＜1．

11.=_________．

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.4

答案:e x tan＋C

12.函数f(x，y，z)=x3+y4+z2在点(1，1，0)处方向导数的最大值与最小值之积

为________。

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.3

答案:—25

函数f(x，y，z)在点(1，1，0)处方向导数的最大值和最小值分别为f(x，y，

z)在该点处梯度向量的模和梯度向量模的负值。gradf｜

(1,1,0)

=(3，4，0)，，则函数f(x，y，z)=x3+y4+z2在点(1，1，0)处方向导数的最大值和最小值之积为

13.设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B＝－aE＋A T A是正定阵，则a的取值范围是______．

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.3

答案:a＜0

B T(－aE＋A T A)T＝－aE＋A T A＝B，故B是一个对称矩阵．

B正定的充要条件是对于任意给定的χ≠0，都有

χT Bχ＝χ(－aE＋A T A)χ＝－aχTχ＋χT A T Aχ＝－aχTχ＋(Aχ)T Aχ＞0，其中(Aχ)T(Aχ)≥0，χTχ＞0，因此a的取值范围是－a＞0，即a＜0．

14.设Ω由｛(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1｝，则= ________。

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.3

答案:

15.设(α×β).γ=2，则[(α+β)×(β+γ)].(γ+α)=__________．

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.3

答案:4

根据叉积有分配律等性质(7．8)有

(α+β)×(β+γ)=α×β+α×γ+β×γ．

再利用点积有分配律等性质(7．7)及混合积的性质(7．9)即得

原式=(α×β).γ+(β×γ).α=2(α，β，γ)=4．

【注】(β，γ，γ)，(α，β，α)，…是共面向量的混合积，全是零．

16.微分方程的通解为__________．

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.3

答案:lnx＋C

17.无穷级数的收敛区间为________。

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.3

答案:

在原级数中令=t ，原级数可化为，只需要讨论的收敛半径和收敛

区间即可。 对于级数

，由于

所以

的收敛半径为1，收敛区间为(—1，1)。

由于=t ，所以x=，即原级数的收敛区间为。

18.差分方程2y t+1-6y t =3t 的通解为______．

SSS_FILL

该题您未回答:х 该问题分值: 4.3 答案:y t =C.3t +

t.3t

差分方程可化为 y t+1-3y t =.3t ．

这是一个一阶线性差分方程，其对应的齐次差分方程为 y t+1-3y t =0，

通解为Y t =C.3t ，其中C 为任意常数． 设y t *=At.3t 是y t+1-3y t =.3t 具有的特解形式，则

y t+1*=A(t+1)3t +1， 将y t *，y t+1*代入到y t+1-3y t =.3t ，并化简得A=，所以y t *=t.3t ．

故原差分方程的通解为 y t =Y t +y t *=C.3t +

t.3t ．

19.设f(u)具有连续的一阶导数，L AB 为以

为直径的左上半个圆弧，从A 到

B ，其中点A(1，1)，点B(3，3)．则第二型曲线积分

=_____________.

SSS_FILL

该题您未回答:х 该问题分值: 4.3 答案:3π+4

添直线段(即半圆的直径从B 到A)，有

20.设总体X ～N(μ，σ2)，X 1，X 2，…，X 10为总体的简单样本，S 2为样本方差，则D(S 2)=___________。

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.3

答案:

21.已知随机变量X服从参数为λ的指数分布，

则P{X+Y=0}= _______；= _______。

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.3

答案:e—λ；1—+e—λ

已知X～f(x)=所求的概率为

P{X+Y=0}=P{Y= —X}=P{｜X｜＞1}

=P{X＞1}+P{X＜—1}=∫

1

∞λe—λx dx=e—λ。

根据全概率公式，可得

22.设D

n

=

其中n≥3．则=______．

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.3

答案:2

将D

n

按第一行(或列)展开，得

D n =(a+2)D

n－1

－2a

=(a+2)D

n－1－2aD

n－2

，

D n －aD

n－1

=2(D

n－1

－aD

n－2

)，

故

23.设总体X，Y相互独立且服从N(0，9)分布，(X

1，…，X

9

)与(Y

1

，…，Y

9

)分

别为来自总体X，Y的简单随机样本，则U=～__________．

SSS_FILL

该题您未回答:х该问题分值: 4.3答案:

由X

1+X

2

+…+X

9

～N(0，81)，得(X

1

+X

2

+…+X

9

)～N(0，1)，因为Y

1

，…，Y

9

相

互独立且服从N(0，9)分布，所以(Y

1／3)2+(Y

2

／3)2+…+(Y

9

／3)2～χ2(9)，即

(Y

12+…+Y

9

2)～χ2(9)，因此U=～t(9)．

1